下载文档原格式
空间点、线、面之间的位置关系1.线与线的位置关系：平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交3.如何确定一个平面？方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面方法(2)两条相交线可以确定一个平面方法(3)两条平行线可以确定一个平面4.如何证明三点共线？具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。
5.如何证明线线平行？方法(1)利用三角形或梯形的中位线方法(2)利用平行四边形方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)6.如何证明线面平行？方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。
方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。
特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。
7.如何证明面面平行？只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。
8.如何证明线面垂直？只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。
特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。
9.如何证明面面垂直？只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。
特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。
10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？夹角范围是：0°~ 90°在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。
空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理： 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(即可以确定一个平面) (公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．(公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；) 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面平行的判定定理和性质定理∵∴∵＝∴2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗？4．平面与平面平行的判定定理和性质定理∵＝ 提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 5．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 突破点 一1.点共线问题,一般转化为证明这些点的某两个平面点公共点,再根据公理3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．）证明这些点都在这两个平面的交线上.2.线共点问题 ，证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这点，把问题转化为证明点再直线上。
3.证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其他元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。
[限时规范训练]单独成册一、选择题1．(2017·郑州模拟)设α，β分别为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，选A.答案：A2．在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则真命题是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：对于A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，因此选项A不正确；对于B，分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的，因此选项B不正确；对于C，直线b可能位于平面α内，此时结论不正确；对于D，直线a与平面β没有公共点，因此a∥β，选项D正确，故选D.答案：D3．如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C4．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.答案：A5．(2017·菏泽模拟)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.故选B.答案：B6．(2017·贵阳模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析：由题意可知P A、PE、PF两两垂直，所以P A⊥平面PEF，从而P A⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩P A＝P，所以EF⊥平面P AO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A.答案：A7．已知点E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有()A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条解析：如图所示，作平面KSHG ∥平面ABCD ，C 1F ，D 1E 交平面KSHG 于点N ，M ，连接MN ，由面面平行的性质得MN ∥平面ABCD ，由于平面KSHG 有无数多个，所以平行于平面ABCD 的MN 有无数多条，故选D.答案：D8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A ．BM 是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．MB ∥平面A 1DE解析：取CD 的中点F ，连接MF ，BF ，AF (图略)，则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，∴平面MBF ∥平面A 1DE ，∴MB ∥平面A 1DE ，故D 正确．∵∠A 1DE ＝∠MFB ，MF ＝12A 1D ，FB ＝DE ，由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB ，∴MB 是定值，故A 正确．∵B 是定点，BM 是定值，∴M 在以B 为球心，MB 为半径的球上，故B 正确．∵A 1C 在平面ABCD 中的射影是点C 与AF 上某点的连线，不可能与DE 垂直，∴不存在某个位置，使DE ⊥A 1C .故选C. 答案：C二、填空题9．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则 OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， ∴三棱锥S ABC 的体积 V ＝13×⎝⎛⎭⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33， 即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π. 答案：36π10.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(把你认为正确结论的序号都填上)．解析：AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，为60°. 答案：③④11．如图，P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确命题的序号是________．解析：∵P A⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，∴CB⊥P A，CB⊥AC，又P A∩AC＝A，∴CB⊥平面P AC.又AF⊂平面P AC，∴CB⊥AF.又∵F是点A在PC上的射影，∴AF⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC，故①③正确．又∵E为A在PB上的射影，∴AE⊥PB，∴PB⊥平面AEF，故②正确．而AF⊥平面PCB，∴AE不可能垂直于平面PBC.故④错．答案：①②③12．如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN 与BE平行；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE，BN，显然①②正确；对于③，连接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN与BM成60°角，所以③正确；对于④，易知DM ⊥平面BCN，所以DM⊥BN正确．答案：①②③④三、解答题13．(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比． 解析：(1)证明：如图，取AC 的中点O ， 连接DO ，BO .因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO . 又由于△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO . 从而AC ⊥平面DOB ， 故AC ⊥BD . (2)连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2， 故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.14．(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD 的体积．解析：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，故BC ∥平面P AD .(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ， 所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27，所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3.所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×2(2＋4)2×23＝4 3.15．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解析：(1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ， 可得PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得 AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P ABCD 的体积 V PABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3. 由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22， PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.。
点线面的位置关系和判定方法在几何学中，点、线段和平面是最基本的图形元素，它们之间的位置关系和判定方法对于几何问题的解决至关重要。
本文将探讨点线面的位置关系以及相应的判定方法。
一、点与线段的位置关系和判定方法1. 点在线段上的情况：一个点可以在线段的两端点之间，也可以在线段上，或者在线段外。
要判断一个点是否在线段上，可以使用如下方法：（1）距离判定法：计算点到线段两个端点的距离，如果两个距离之和等于线段长度，那么点就位于线段上。
（2）向量判定法：将线段的两个端点视为向量A和向量B，将点与线段的一个端点视为向量C。
如果向量C可以表示为向量A与向量B的线性组合，且系数的和等于1，那么点就位于线段上。
2. 点在线段的延长线上的情况：当一个点在线段的延长线上时，意味着可以无限延长线段，点位于线段的一侧。
判定方法如下：（1）向量判定法：同样将线段的两个端点视为向量A和向量B，将点与线段的一个端点视为向量C。
如果向量C可以表示为向量A与向量B的线性组合，且系数的和大于1，那么点在线段的延长线上。
3. 点在线段的左侧或右侧的情况：若点位于线段的左侧（或右侧），则该点与线段的两个端点所形成的线段组合为逆时针（或顺时针）方向。
判定方法如下：（1）向量叉积法：将线段的一个端点与点构成的向量记为向量A，将线段的一个端点与线段另一端点构成的向量记为向量B。
计算向量A和向量B的叉积，若叉积大于0，则点在线段的左侧；若叉积小于0，则点在线段的右侧；若叉积等于0，则点在线段上。
二、点与平面的位置关系和判定方法1. 点在平面上的情况：一个点可以位于平面上，也可以位于平面外部。
判定方法如下：（1）向量法：选择平面上的三个非共线点A、B、C，将点与这三个点分别构成向量。
如果点与向量A、B、C共面，那么点就位于平面上。
2. 点在平面的一侧或另一侧的情况：当一个点在平面的一侧时，意味着通过该点可以画出与平面垂直的直线。
判定方法如下：（1）点法向量法：选择平面上的一个点P，计算向量AP与平面的法向量N的点积。
2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第二讲空间点、线、面位置关系的判断课时作业理1．(2016·正定摸底)已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a ∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．答案：D2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例证明，故选B.答案：B3．如图所示，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1解析：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选D.答案：D4．(2016·某某模拟)设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.上述命题中，所有真命题的序号是( )A．①④B．②③C．①③D．②④解析：由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A. 答案：A5.如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( ) A．垂直B．相交不垂直C ．平行D ．重合 解析：如图，分别取另三条棱的中点A ，B ，C 将平面LMN 延展为平面正六边形AMBNCL ，因为PQ ∥AL ，PR ∥AM ，且PQ 与PR 相交，AL与AM 相交，所以平面PQR ∥平面AMBNCL ，即平面LMN ∥平面PQR .答案：C7．一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是________．解析：如图，由题意得AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH .∵AC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，∴AC ∥EF ，同理AC ∥GH ，所以EF ∥GH .同理，EH ∥FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．答案：平行四边形8．(2016·某某模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为棱DC 的中点，则D 1P 与BC 1所在直线所成角的余弦值等于________．解析：连接AD 1，AP (图略)，则∠AD 1P 就是所求角，设AB ＝2，则AP ＝D 1P ＝5，AD 1＝22，∴cos ∠AD 1P ＝12AD 1D 1P ＝105. 答案：1059.如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值X 围是________．解析：取B 1C 1中点M ，则A 1M ∥AE ；取BB 1中点N ，则MN ∥EF (图略)，∴平面A 1MN ∥平面AEF .若A 1P ∥平面AEF ，只需P ∈MN ，则P 位于MN 中点时，A 1P 最短；当P 位于M 或N 时，A 1P 最长．不难求得A 1P 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 10.(2016·某某模拟)如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，∠BAD ＝90°.M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．(1)求证：CD ∥平面MNQ ；(2)求证：平面MNQ ⊥平面CAD .证明：(1)因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以MQ ∥CD ，又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故CD ∥平面MNQ .(2)因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以MN ∥AB ，又∠BAD ＝90°，故MN ⊥AD .因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD ∩平面CAD ＝AD ，且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面CAD ，又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ⊥平面CAD .11．(2016·某某五校联考)如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ＝PD ，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．(1)求证：AD ⊥平面PBE ；(2)若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ；(3)若V P BCDE ＝2V Q ABCD ，试求CP CQ的值．解析：(1)证明：由E 是AD 的中点，PA ＝PD 可得AD ⊥PE .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，所以AB ＝BD ，又因为E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE ，又PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PBE .(2)证明：连接AC (图略)，交BD 于点O ，连接OQ .因为O 是AC 的中点， Q 是PC 的中点，所以OQ ∥PA ，又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，(3)设四棱锥P BCDE ，Q ABCD 的高分别为h 1，h 2.所以V P BCDE ＝13S 四边形BCDE h 1， V Q ABCD ＝13S 四边形ABCD h 2.又因为V P BCDE ＝2V Q ABCD ，且S 四边形BCDE ＝34S 四边形ABCD ，所以CP CQ ＝h 1h 2＝83. 12．(2016·某某模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN .∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点，∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ， ∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形，∴MN ∥OH ，又∵MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，(3)由(2)知，OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，体积比等于底面积之比，即3∶1.。
授课资料范本2021江苏高考理科数学二轮讲义：空间点、线、面的地址关系含剖析编辑： __________________时间： __________________第 2讲空间点、线、面的地址关系[20xx 考导游航 ]考点扫描三年考情考向展望20xx20xx20xx1 ．空间点、线、江苏高考立体几何解答题一般位面地址关系的判断居试卷 15 或 16 题的地址．试题主要2 ．空间平行和垂第 15题本源于课本习题改编，主要观察空间第16题第 15题直平行和垂直，这是近几年一直的命题3 ．平面图形的折原那么．预计 2021 年命题仍会坚持这个叠问题命题思想．空间点、线、面地址关系的判断一般会作为填空题观察，平面4 ．立体几何中的图形的折叠问题和研究性问题是命题研究性问题的冷点，复习做合适关注．1．必记的看法与定理(1)线面平行与线面垂直的判判定理、性质定理；(2)面面平行与面面垂直的判判定理、性质定理．2．需要活用的关系与结论3．需要关注的易错点使用相关平行、垂直的判判定理时，要注意其具备的条件，缺一不可以．解答高考题时，推理过程不完满是失分的重要原因，需引起特别注意．空间线面地址关系的判断[ 典型例题 ](20xx 镇·江期末 )设α，β为互不重合的平面， m， n 是互不重合的直线，给出以下三个命题：①假设 m∥ n， n? α，那么 m∥α；②假设 m? α，n? α， m∥ β， n∥β，那么α∥ β；③假设α⊥ β，α∩ β＝ m， n? α， n⊥ m，那么 n⊥β．其中正确命题的序号为________．【剖析】① 中，当m?α时命题不成立；② 中，只有当m，n订交时才必然成立；③是平面与平面垂直的性质定理，故只有③ 正确．【答案】③解决此类问题，可以从三个角度加以研究，一是与相关的定理的条件进行比较，看可否缺少条件，假设缺少条件，那么必然是错误的；二是采用模型法，即从一个常有的几何体中来寻找满足条件的模型，看它在模型中可否必然成立；三是反例法，看可否举出一个反例．[ 对点训练 ]1．设l 是直线，α，β是两个不同样的平面，以下四个命题：①假设 l ∥α，l ∥ β，那么α∥ β；②假设 l∥ α，l⊥ β，那么α⊥β；③假设α⊥ β，l⊥ α，那么l⊥β；④假设α⊥ β，l ∥ α，那么l ⊥β，其中正确的选项是 ________．[剖析 ] 设α∩ β＝ a，假设直线 l∥ a，且 l?α， l ?β，那么 l ∥α， l∥ β，因此α不用然平行于β，故①错误；由于 l ∥α，故在α内存在直线 l ′∥l ，又由于 l⊥ β，因此 l′⊥ β，故α⊥ β，因此②正确；假设α⊥β，在β内作交线的垂线 l，那么 l ⊥ α，此时 l 在平面β内，因此③错误；α⊥ β，假设α∩ β＝ a， l∥ a，且 l 不在平面α，β内，那么l∥ α且l∥ β，因此④ 错误．[答案]②空间平行和垂直[ 典型例题 ]6/25ABC-A1B1C1中， D ，E 分别为 BC，AC 的中点， AB＝ BC．求证： (1)A1B1∥平面 DEC 1；(2)BE⊥ C1E．【证明】(1)由于 D ，E 分别为 BC ，AC 的中点，因此 ED∥ AB．在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB∥ A1B1，因此 A1B1∥ ED ．又由于 ED? 平面 DEC 1， A1B1?平面 DEC1，因此 A1B1∥平面 DEC 1．(2)由于 AB＝ BC，E 为 AC 的中点，因此 BE⊥ AC．由于三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，因此 C1C⊥平面 ABC．又由于 BE? 平面 ABC，因此 C1C⊥BE．由于 C1C? 平面 A1ACC 1， AC? 平面 A1ACC 1， C1C∩ AC＝ C，因此 BE⊥平面 A1ACC1．由于 C1E? 平面 A1ACC1，因此 BE⊥ C1E．(1)立体几何中，要证线面平行，可利用线线平行的判判定理、面面平行的性质定理证明．(2)证明面面垂直常用面面垂直的判判定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转变成证明线面垂直，一般先从现有直线中搜寻，假设图中不存在这样的直线，那么借助中线、高线或增加辅助线解决．(3)证明立体几何问题，重要密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此有时需要画出一些图形辅助使用．[ 对点训练 ]2．(20xx ·考江苏卷高 )在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中， AA1＝ AB， AB1⊥B1C1．求证： (1)AB∥平面 A1B1C；(2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC．[证明 ] (1) 在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中， AB∥ A1 B1．由于 AB?平面 A1B1C， A1B1? 平面 A1B1C，因此 AB∥平面 A1B1C．(2)在平行六面体ABCD -A1B1C1D 1中，四边形 ABB1A1为平行四边形．又由于 AA1＝ AB，因此四边形ABB1A1为菱形，因此 AB1⊥ A1B．又由于 AB1⊥ B1C1， BC∥B1C1，因此 AB1⊥ BC．又由于 A1B∩ BC＝ B， A1B? 平面 A1BC， BC? 平面 A1BC，因此 AB1⊥平面 A1BC．由于 AB1? 平面 ABB1A1，因此平面ABB1A1⊥平面 A1BC．平面图形的折叠问题[ 典型例题 ]在矩形ABCD 中， E 为边 AB 的中点，将△ ADE 沿直线 DE 翻转成△ A1 DE．假设 M 为线段 A1C 的中点，那么在△ ADE 翻转过程中，正确的命题是 ________．①BM 是定值；②点 M 在圆上运动；③必然存在某个地址，使DE⊥ A1C；④必然存在某个地址，使MB ∥平面 A1DE ．【剖析】取DC中点N，连接MN，NB，那么MN∥A1D，NB∥DE，因此平面MNB ∥平面 A1DE ，由于 MB? 平面 MNB，因此 MB∥平面 A1DE ，④正确；∠A1DE ＝∠MNB ， MN＝1A1D＝定值， NB＝ DE ＝定值，依照余弦定理得， MB2＝ MN2＋2NB2－2MN ·NB·cos ∠ MNB ，因此 MB 是定值．①正确；B 是定点，因此 M 是在以 B 为圆心， MB 为半径的圆上，②正确；当矩形 ABCD 满足 AC⊥ DE 时存在，其他情况不存在，③不正确．因此①②④ 正确．【答案】①②④(1)解决与翻折相关的几何问题的要点是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的打破口．(2)把平面图形翻折后，经过合适连线就能获取三棱锥、四棱锥，从而把问题转变到我们熟悉的几何体中去解决．[ 对点训练 ]3．(20xx ·苏省高考命题研究专家原创卷江(七 ))如图，在矩形ABCD 中， E，F 分别为BC，DA 的中点．将矩形ABCD 沿线段 EF 折起，使得∠ DFA ＝60°．设 G 为 AF 上的点．(1)试确定点G 的地址，使得CF ∥平面 BDG ；(2)在 (1)的条件下，证明：DG ⊥ AE．[解 ] (1) 当点 G 为 AF 的中点时， CF∥平面 BDG ．证明以下：由于 E，F 分别为 BC，DA 的中点，因此 EF∥ AB∥ CD．连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OG，那么 AO＝ CO，又 G 为 AF 的中点，因此 CF∥OG，由于 CF?平面 BDG ， OG? 平面 DBG．因此 CF∥平面 BDG．(2)证明：由于 E， F 分别为 BC， DA 的中点，因此 EF⊥ FD ， EF⊥ FA．又 FD ∩FA＝F，因此 EF⊥平面 ADF ，由于 DG? 平面 ADF ，因此 EF⊥ DG．由于 FD＝FA，∠DFA＝60°，因此△ ADF 是等边三角形， DG ⊥ AF，又 AF ∩EF＝F，因此 DG⊥平面 ABEF ．由于 AE? 平面 ABEF ，因此 DG ⊥ AE．立体几何中的研究性问题[ 典型例题 ](20xx 江·苏省高考名校联考(九 ))如图，在四棱锥 P- ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AB⊥ AD ，CO⊥ AD，且 AB＝ AO＝1A D＝ 1，3 1OP＝2CD ＝ 2， PA＝ 3．(1)在线段 PD 上找一点M，使得 CM ∥平面 PAB；(2)证明：平面PCD ⊥平面 PAB ．【解】1(1)在线段 PD 上取点 M，使得 PM ＝ PD ，连接 OM．311在△PAD 中，OA＝ AD，PM＝ PD，33因此 OM∥ PA．又在四边形ABCD 中， AB⊥ AD ， CO⊥ AD，因此 AB∥ CO．由于 AB∩ PA＝ A， CO∩OM ＝O，因此平面MOC ∥平面 PAB，又 CM? 平面 MOC，因此 CM∥平面 PAB．(2)证明：在△ PAO 中， PA＝3， AO＝ 1， OP＝2，因此 AO2＋ OP2＝AP2，故 AO⊥ OP．在 Rt △ POD 中， OD＝ 2，故 PD 2＝ OP2＋ OD2＝ ( 2)2＋ 22＝ 6．故在△ PAD 中， PA 2＋ PD 2＝ AD 2，因此 AP⊥ PD ．由于平面PAD⊥平面 ABCD ，平面 PAD ∩平面ABCD ＝AD， AB⊥ AD，因此 AB⊥平面PAD ，又 PD ? 平面 PAD，因此 AB⊥PD ．又 AB ? 平面 PAB， AP? 平面 PAB， AB∩ AP＝ A，因此 PD⊥平面 PAB．又 PD ? 平面 PCD，因此平面 PCD⊥平面 PAB．立体几何研究性命题的种类一、研究条件，即研究能使结论成立的条件是什么．解这类题采用的策略是： (1)经过各种研究试一试给出条件． (2)找出命题成立的必要条件，再证明充分性．二、研究结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．对命题结论的研究，常从条件出发，研究出要求的结论是什么，研究的结论可否存在．解这类题采用的策略是：常假设结论存在，再搜寻与条件相容还是矛盾的结论．[ 对点训练 ]4．(20xx ·通模拟南 )在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点 D 是 BC 的中点， BC＝ BB1．(1)求证： A1C∥平面 AB1D ；(2)试在棱 CC1上找一点M，使 MB⊥ AB1．[解 ] (1) 证明：连接 A1B，交 AB1于点 O, 连接 OD ．由于 O、 D 分别是 A1B、BC 的中点，因此 A1C∥ OD．由于 A1C?平面 AB1D ，OD ? 平面 AB1D，因此 A1C∥平面 AB1D ．(2)M 为 CC1的中点．证明以下：由于在正三棱柱ABC -A1B1C1中， BC＝ BB1，因此四边形BCC1B1是正方形．由于 M 为 CC1的中点，D 是 BC 的中点，因此△ B1BD≌△ BCM ，因此∠ BB1D ＝∠CBM ，∠ BDB 1＝∠ CMB．π又由于∠ BB1D ＋∠ BDB 1＝2，π∠CBM ＋∠ BDB 1＝，因此 BM ⊥B1D ．2由于△ ABC 是正三角形，D 是 BC 的中点，因此 AD⊥ BC．由于平面ABC⊥平面 BB1C1C, 平面 ABC∩平面 BB1C1C＝ BC， AD ? 平面 ABC，因此 AD⊥平面 BB1C1 C．由于 BM? 平面 BB1C1C，因此 AD⊥ BM ．由于 AD∩ B1D＝ D，因此 BM⊥平面 AB1D．由于 AB1? 平面 AB1D ，因此 MB⊥ AB1．1． (20xx ·揭阳模拟改编)设平面α，β，直线a， b， a? α， b? α，那么“ a∥ β， b∥ β〞是“ α∥ β〞的 ________条件．[剖析 ] 由平面与平面平行的判判定理可知，假设直线a， b 是平面α内两条订交直线，且a∥ β， b∥ β，那么α∥ β；当α∥ β，假设a?α，b?α，那么a∥ β，b∥ β，因此“ a∥β，b∥ β〞是“ α∥ β〞的必要不充分条件．[答案 ] 必要不充分2．在正方体ABCD -A1B1C1D1中， E 为 DD1的中点，那么BD1与过点 A、 E、 C 的平面的位[剖析 ] 连接 AC、 BD 订交于一点 O，连接 OE、 AE、 EC，由于四边形 ABCD 为正方形，因此 DO＝ BO．而 DE ＝D 1E，因此 EO 为△ DD 1B 的中位线，因此 EO∥ D1 B，因此 BD 1∥平面 AEC．[答案 ] BD 1∥平面 AEC3．(20xx 南·京模拟 )四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PA⊥底面 ABCD 且 PA＝ 4，那么 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为________．[剖析 ] 由于 PA⊥底面 ABCD ，因此 PC 在底面 ABCD 上的射影为AC，∠ PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角， tan∠ PCA＝PA＝2．AC[答案]24．(20xx 南·京、盐城模拟 )平面α，β，直线m，n，给出以下命题：①假设 m∥ α，n∥ β， m⊥ n，那么α⊥ β；②假设α∥ β， m∥ α， n∥ β，那么 m∥ n；③假设 m⊥ α，n⊥ β， m⊥ n，那么α⊥ β；④假设α⊥ β， m⊥ α， n⊥ β，那么 m⊥ n．其中是真命题的是________． (填写所有真命题的序号)[剖析 ] ①错误，还有可能α，β订交；② 错误，直线m，n可能平行、订交或异面；③④正确．[答案 ] ③④5．(2021 ·江期末镇 )如图，四边形 ABCD 中， AD ∥ BC， AD＝AB ，∠ BCD ＝ 45°，∠BAD ＝ 90°，将△ ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD ⊥平面 BCD ，构成三棱锥 A-BCD ，那么在三棱锥A-BCD 中，以下命题正确的选项是 ________． (填序号 )①平面 ABD ⊥平面 ABC；②平面ADC⊥平面 BDC ；③平面 ABC⊥平面 BDC；④平面ADC ⊥平面 ABC．[剖析 ] 由于在四边形ABCD 中， AD∥ BC， AD＝ AB，∠BCD ＝ 45°，∠ BAD＝ 90°，所以 BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD ，且平面ABD∩平面BCD ＝ BD ，因此CD⊥平面ABD ，那么CD⊥ AB，又 AD ⊥AB， AD∩ CD ＝D ，因此 AB⊥平面 ADC ，又 AB ? 平面 ABC，因此平面 ABC⊥平面 ADC ．[答案]④6．(20xx 无·锡期末 )两条直线m、 n，两个平面α、β．给出下面四个命题：①m∥ n， m⊥α? n⊥ α；② α∥ β，m? α， n? β? m∥ n；③m∥ n， m∥α? n∥ α；④ α∥ β，m∥ n， m⊥α? n⊥ β．其中正确命题的序号是________．[剖析 ] 两条平行线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，故① 正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故② 错；m∥ n，m∥α时，n ∥ α或 n? α，故③ 错；由α∥ β，m⊥α得 m⊥ β，由 m⊥ β， n∥ m 得 n⊥ β，故④正确．[答案 ] ①④7．(20xx 苏·州调研 )正方体 ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，点 M 为 CC1的中点，点N 为线段 DD 1上凑近 D 1的三均分点，平面BMN 交 AA1于点 Q，那么线段AQ 的长为 ________．[剖析 ] 以以下图，在线段 DD 1上凑近点 D 处取一点 T，使得 DT＝1，由于 N 是线段 DD 1 3上凑近 D112，故 NT ＝2－1－2＝1，由于 M 为 CC1的中点，故 CM＝ 1，的三均分点，故 D N＝3 3 3连接 TC，由 NT∥ CM，且 CM ＝NT ＝1，知四边形 CMNT 为平行四边形，故 CT∥ MN ，同理在 AA1上凑近 A 处取一点 Q′，使得 AQ′＝1，连接 BQ′， TQ′，那么有 BQ′∥ CT∥ MN，故BQ′3与 MN 共面，即 Q′与 Q 重合，故 AQ＝1．31[答案]38．如图，∠ ACB ＝ 90°， DA ⊥平面 ABC， AE⊥ DB 交 DB 于点 E， AF⊥ DC 交 DC 于点F，且 AD ＝ AB＝ 2，那么三棱锥 D-AEF 体积的最大值为 ________．19/25ADC ，因此 BC⊥ AF．又 AF⊥ CD， BC∩ CD＝ C，因此 AF⊥平面 DCB，因此 AF⊥EF， AF⊥DB．又 DB⊥ AE， AE∩ AF＝ A，因此 DB⊥平面 AEF ，因此 DE 为三棱锥 D-AEF 的高．由于AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，因此 AE＝ 2，设 AF＝ a，FE＝ b，那么△AEF 的面积11 a2＋ b2＝ 1× 2＝1，因此三棱锥 D -AEF 的体积 V≤1×1×2＝2S＝2ab≤2·2222326 (当且仅当 a＝ b＝1 时等号成立 )．2[答案] 69．如图，正方体ABCD-A B C D的棱长为1，线段 B D上有两个动点 E，F ，且 EF ＝11111112，那么以下结论中正确的选项是________． (填序号 )①AC ⊥BE；②E F ∥平面 ABCD ；③三棱锥A-BEF 的体积为定值；④△ AEF 的面积与△ BEF 的面积相等．[剖析 ] 由于 AC⊥平面 BB1D1D，又 BE ? 平面 BB1D 1D，因此 AC⊥BE，故①正确．由于 B1D 1∥平面 ABCD ，又 E、 F 在线段 B1 D1上运动，故 EF ∥平面 ABCD ．故②正确．③中由于点 B 到直线 EF 的距离是定值，故△BEF 的面积为定值，又点 A 到平面 BEF 的距离为定值，故 V A-BEF不变．故③正确．由于点 A 到 B1D 1的距离与点 B 到 B1D 1的距离不相等，因此△AEF 与△ BEF 的面积不相等，故④错误．[答案 ] ①②③10．在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AB＝ 8，∠ ABC＝ 60°， PC⊥平面 ABC， PC＝ 4， M 是 AB 上一个动点，那么 PM 的最小值为 ________．[剖析 ] 如图，由于 PC ⊥平面 ABC， MC ? 平面 ABC ，因此 PC⊥ MC ．故 PM ＝ PC2＋MC2＝ MC2 ＋ 16．又由于 MC 的最小值为4×43＝ 23，因此 PM 的最小值为 2 7．8[答案] 2 711． (20xx 江·苏省高考名校联考(五 ))如图，在斜三棱柱 ABC-A B C中， CC ＝ CA，点 E，1111F分别为 AC1，BC 1的中点．(1)假设 B1C1上存在一点G，使得平面EFG ∥平面 AA1 B1B，求证：点G 为 B1C1的中点；(2)假设 AC1⊥ AB，求证：平面CEF ⊥平面 ABC1．[证明 ] (1) 如图，连接 AB1，由于平面EFG ∥平面 AA1B1B， EG? 平面 EFG，因此 EG∥平面 AA1B1B．由于 EG? 平面 AB1C1，平面 AB1C1∩平面 AA 1B1B＝ AB1，因此 EG∥ AB1，由于点 E 为 AC 1的中点，因此点 G 为 B1C1的中点．(2)由于 CC 1＝ CA，点 E 为 AC 1的中点，因此 CE⊥ AC1．由于点 E， F 分别为 AC 1，BC 1的中点，因此 EF ∥AB，由于 AC1⊥ AB，因此 EF⊥ AC1．又 CE∩ EF＝ E， CE， EF? 平面 CEF ，因此 AC 1⊥平面 CEF ，由于 AC1? 平面 ABC1，因此平面 CEF ⊥平面 ABC 1．12． (20xx ·南通调研 ) 如图，在周围体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，∠ BAD ＝90°． M ，N， Q 分别为棱AD ， BD， AC 的中点．(1)求证： CD∥平面 MNQ ；(2)求证：平面MNQ ⊥平面 CAD ．[证明 ] (1)由于 M， Q 分别为棱AD ，AC 的中点，因此 MQ∥ CD，又 CD?平面 MNQ ， MQ? 平面 MNQ，故 CD∥平面 MNQ ．(2)由于 M， N 分别为棱 AD ， BD 由于平面 BAD⊥平面 CAD，平面的中点，因此 MN∥ AB，又∠ BAD ＝90°，故 MN⊥AD． BAD ∩平面 CAD ＝AD ，且 MN ? 平面 ABD ，因此MN⊥平面 CAD ．又 MN ? 平面 MNQ ，因此平面 MNQ ⊥平面 CAD ．13． (20xx ·京、盐城模拟南) 如图①， E， F 分别是直角三角形ABC 边 AB 和 AC 的中点，∠ B＝90°，沿 EF 将三角形 ABC 折成如图②所示的锐二面角A1- EF- B，假设 M 为线段 A1C 的中点．求证：23/25(1)直线 FM ∥平面 A EB ；1(2)平面 A FC ⊥平面 A BC．11[证明 ] (1)取 A B 中点 N，连接 NE ，NM(图略 )，111那么 MN 綊 BC，EF 綊 BC，因此 MN 綊 FE，22因此四边形MNEF 为平行四边形，因此 FM ∥ EN，又由于 FM ?平面 A1EB， EN? 平面 A1EB，因此直线FM ∥平面 A1EB．(2)由于 E， F 分别为 AB 和 AC 的中点，因此 A1F＝ FC ，因此 FM ⊥ A1C．同理， EN⊥ A1B，由(1) 知，FM ∥ EN，因此 FM ⊥ A1 B．又由于 A1C∩ A1B＝ A1，因此 FM ⊥平面 A1BC，又由于 FM ? 平面 A1FC ，因此平面A1FC ⊥平面 A1BC．14．在长方体ABCD - A1B1C1D 1中， AB＝BC＝ 2，过 A1、C1、 B 三点的平面截去长方体的一个角后，获取以以下图的几何体ABCD -A1 1 140．C D ，且这个几何体的体积为3(1)求 AA1的长；(2)在线段 BC1上可否存在点P，使直线A1P 与 C1D 垂直，若是存在，求线段A1P 的长，若是不存在，请说明原因．[解] (1)由于 VABCD - A C D＝VABCD- A B C D －VB- A B C1111111111111040＝2× 2× AA1－3×2×2× 2× AA1＝3 AA1＝3，因此 AA1＝ 4．(2)存在点 P 满足题意．在平面CC D D中作 D Q⊥CD交CC于 Q，过 Q 作 QP∥CB 交11111BC1于点 P，那么 A1P⊥ C1D ．由于 A1D 1⊥平面 CC1D1D， C1D? 平面 CC1D1D，因此 C1D⊥ A1D1，而 QP∥ CB， CB∥A1D1，因此 QP∥ A1D1，又由于 A1D1∩ D 1Q＝ D1，因此 C1 D⊥平面 A1PQD1，且 A1P? 平面 A1PQD1，因此 A1P⊥C1D．由于 Rt△ D1C1Q∽Rt△ C1CD，C1Q D1C1因此＝，因此C1Q＝1，又由于 PQ∥ BC，因此 PQ＝1BC＝1．42由于四边形 A1PQD 1为直角梯形，且高 D1Q＝5，因此 A1P＝〔 2－1〕2＋ 5＝29．22。
点线面位置关系的判定基础知识（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（1）若平面外的一条直线l 与平面α上的一条直线平行，则l∥α（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线面垂直的判定：（1）若直线l 与平面α上的两条相交直线垂直，则l ⊥α（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量平面：法向量2、向量关系与线面关系的转化：设直线 a ,b 对应的法向量为 a ,b ，平面α,β对应的法向量为 m , n （其中 a ,b 在α,β外）（1） a ∥ b ⇔ ∥a b（2） a ⊥ b ⇔ a ⊥ b（3） a ⊥ α⇔ a ∥ m （4） a ∥α⇔ a ⊥ m （5）α∥β⇔ m ∥n（6）α⊥ β⇔ m ⊥ n3、有关向量关系的结论（1） 若 a ∥b ,b ∥c ，则 a ∥c平行+平行→平行（2） 若 a ⊥ b ,b ∥c ，则 a ⊥ c 平行+垂直→垂直（3） 若 a ⊥ b ,b ⊥ c ，则 a , c 的位置关系不定。
一、选择题1．(2018·天津检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，此时α与β相交，故A选项错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a⊂α，使得l∥a，此时α⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B选项正确；对于C选项，若α⊥β，l⊥α，则l ∥β或l⊂β，故C选项错误；对于D选项，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D选项错误．选B.答案：B2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的命题是()A．①②B．②③C．①④D．②④解析：两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．答案：B3．(2018·合肥教学质量检测)已知l，m，n为不同的直线，α，β，r为不同的平面，则下列判断正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩r＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α解析：A：m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.答案：C4．(2018·石家庄教学质量检测)设m，n是两条不同的直线，α，β，r是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥r，m⊥α，则m⊥r；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；④若α⊥r，β⊥r，则α∥β.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；②，根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确；③m∥α或m⊂α，m∥β或m⊂β，故③错误；④，根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误，所以真命题的个数为1，故选B.答案：B5．如图所示，在四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①②B．②④C．①③D．①④解析：①中，∵平面AB∥平面MNP，∴AB∥平面MNP.②中，若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．③中，易知AB∥MP，∴AB∥平面MNP.④中，易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．故能得到AB∥平面MNP的图形的序号是①③.答案：C6．(2018·大庆模拟)α，β表示平面，a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是()A ．α⊥β，且a ⊥βB ．α∩β＝b ，且a ∥bC ．a ∥b ，且b ∥αD ．α∥β，且a ⊂β解析：对于A ，B ，C 还可能有a ⊂α这种情况，所以不正确；对于D ，因为α∥β，且a ⊂β，所以由面面平行的性质定理可得a ∥α，所以D 是正确的．答案：D7．如图，在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面D EFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B.4532C ．45D ．45 3解析：取AC 的中点G ，连接SG ，BG (图略)．易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形D EFH 为平行四边形．因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.答案：A8．(2018·哈尔滨联考)直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题： ①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由空间直线与平面平行关系可知①②正确；由线面垂直、线面平行的判定和性质可知③正确；由线面垂直、面面垂直的性质定理可知④正确．故选D.答案：D9．(2018·绵阳诊断)已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A．l⊂α，m⊂β，且l⊥mB．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥mD．l⊂α，l∥m，且m⊥β解析：依题意知，A，B，C均不能得出α⊥β，对于D，由l∥m，m⊥β得l⊥β，又l ⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D.答案：D10．(2018·贵阳模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF 内的射影为O，则下列说法正确的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析：由题意可知P A、PE、PF两两垂直，所以P A⊥平面PEF，从而P A⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩P A＝P，所以EF⊥平面P AO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A.答案：A11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是()A．BM是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．MB∥平面A1DE解析：取CD的中点F，连接MF，BF，AF(图略)，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF ∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确．∵∠A1DE＝∠MFB，MF＝12A1D，FB＝DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB，∴MB是定值，故A正确．∵B是定点，BM是定值，∴M在以B为球心，MB为半径的球上，故B正确．∵A1C在平面ABCD中的射影是点C与AF上某点的连线，不可能与DE垂直，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C.故选C.答案：C二、填空题12．如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE平行；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE，BN，显然①②正确；对于③，连接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN与BM成60°角，所以③正确；对于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正确．答案：①②③④13.如图，在正方体ABC D-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(把你认为正确结论的序号都填上)．解析：AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为60°.答案：③④14．(2018·厦门质检)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，α⊥β，则m∥β；②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n；③m⊂α，n⊂β，m ∥n，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)．解析：对于命题①可以有m⊂β，故不成立；对于命题③可以有α与β相交，故不成立．答案：②④15．(2018·武昌调研)在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线A D与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，如图所示，则AE⊥BD，BD⊥AC.又AE∩AC＝A，所以BD⊥平面AEC，从而有BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①错误．②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在这样的直角三角形BAC，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．③假设A D⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB＜BC，故矛盾，假设不成立，③错误．答案：②三、解答题16．(2018·汕头质量监测)如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90˚，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：AC⊥平面BCE；(3)求三棱锥E-BCF的体积．解析：(1)证明：因为四边形ABEF为矩形，所以AF∥BE，又BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)证明：过C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，所以四边形ADCM为矩形．所以AM＝MB＝2，又AD＝2，AB＝4，所以AC＝22，CM＝2，BC＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(3)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM.又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.故V E-BCF＝V C-BEF＝13×12×BE×EF×CM＝16×2×4×2＝83.17．(2018·广州五校联考)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，P A＝PD，∠BAD＝60˚，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．(1)求证：AD⊥平面PBE；(2)若Q是PC的中点，求证：P A∥平面BDQ；(3)若V P-BCDE＝2V Q-ABC D，试求CPCQ的值．解析：(1)证明：由E是AD的中点，P A＝PD可得AD⊥PE. 又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60˚，所以AB ＝BD ，又E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE ， 又PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PBE .(2)证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OQ (图略)． 因为O 是AC 的中点， Q 是PC 的中点， 所以OQ ∥P A ，又P A ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ， 所以P A ∥平面BDQ .(3)设四棱锥P -BCDE ，Q -ABCD 的高分别为h 1，h 2. 所以V P -BCDE ＝13S 四边形BCDE h 1，V Q -ABCD ＝13S 四边形ABCD h 2. 又V P -BCDE ＝2V Q -ABCD ，且S 四边形BCDE ＝34S 四边形ABCD ，所以CP CQ ＝h 1h 2＝83. 18．(2018·郑州第二次质量预测)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13AB ＝1.现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC .(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC?(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离． 解析：(1)当AP ＝13AB 时，有AD ∥平面MPC .理由如下：连接BD 交MC 于点N ，连接NP .在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12，在△ADB 中，AP PB ＝12，∴AD ∥PN .∵AD ⊄平面MPC ，PN ⊂平面MPC ， ∴AD ∥平面MPC .(2)∵平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ，AM ⊥DM ，∴AM ⊥平面MBCD .∴V P -MBC ＝13×S △MBC ×AM 2＝13×12×2×1×12＝16. 在△MPC 中，MP ＝12AB ＝52，MC ＝2，又PC ＝⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， ∴S △MPC ＝12×2×⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫222＝64.∴点B 到平面MPC 的距离为 d ＝3V P -MBCS △MPC ＝3×1664＝63.。
