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第二十四讲数学归纳法走进高考第一关考点关回归教材数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1) 验证:n=1时，命题成立；(2) 在假设当n=k(k>1)时命题成立的前提下推出n=k+1时，命题成立.根据(1 )(2)可以断定命题对一切正整数n都成立.考点训练1 .(2007・上海,15)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)2k2成立时,总可推出f(k+1)>(k+1)2成立”，那么, 下列命题总成立的是()A•若f(3)29成立，则当kA时，均有f(k)Pk2成立B•若f(5上25成立，则当kS5时,均有f(k)>k2成立C•若f(7)v49成立,则当炬8时，均有f(k)<k2成立D•若f (4)=25成立，则当也4时，均有f(k)»k2成立答案:D解析:若f(3)A9,只能推出，当也3时f(k)>k2,所以A不正确;若f(5)>25,只能推出，当也5时,f(k)>k2,所以B不正确;若f(7)v49, 只能推出，当1<k<7时,f(k)vk2,所以C不正确;而f⑷=25>16,由题意，当也4时,f(k)>k2成立，故选D.2.（2008 •湖南模拟）数列｛%｝中，已知a1=15^n>2时已=耳i+2n-1 .依次计算a2,a3,a4后，猜想a*表达式是（）A.3n-2 B.n2C.3n1D.4n-3答案:解析:由a〔=15a n=a nd+2n-1 (n>2),^a2=a1 +2 X 2-1=1 +3=4,a4=a3+2 X 4-1 =9+7=16./.a n=n2.时，验证n=1时，左边应取的项是（）答案:D(A 事 3)(n + 4)C.1+2+3 B.1+2n G N*) D.1+2+3+4n + 14.（2009^南高三检测）用数学归纳法证明不等式+・・・+ — > —（n > 1且n e N）时，在证明n = k + l这一步时, n + 2 2n 24需要证明的不等式是（）1 1 1 13A.+ +・.>k + 1k + 22k24.111113B. ------- + +・.+ >k + 1k + 32k2k + 24厂111113C. ------ + +..+ + >k + 2k + 32k2k + 24c 1111113D. ------ ++..+ + + ------ >k + 2k + 32k2k + 2k + 224答案:D 解析:需要证明的不等式就是把特征不等式中的n换上k+1，因此应选D.解读高考第二关热点关题型一用数学归纳法证明等式例 1 求证:1 —— + — - — + ・・・ -- - — 2n = —-— +2 3 4 2n-l n + 11 1------ + ・..+ —.n + 2 2n分析:本题是与正整数n有关的数学命题，直接证明有困难，故可考虑用数学归纳法.=1时，等式成立.(2)假设71 = k 时，等式成立，即1 —€ 1 则当n = k + 1时，证明：(1 )当77= 1时号左边=11 1，右边= *,・•・"1 1 _ 1 丄 1-------- -- ------- ------ —I — ---+…+ 34丄+丄12L112k ' 2怡 + 1 2^+21 112k 2^ + 1 2 力+/•当n = kJ rl 时，等式也成立. 由（1）与（2）可知，等式对一切 朋W 都成立.1F21 F3 寺+詁1 2W点评:在用数学归纳法证明数学命题时，应注意以下几点:①数学归纳法中两个步骤缺一不可,(1)是基础,(2)是推理的依据；②由n=k推出n=k+1时,必须用上假设，否则不是数学归纳法；③推证n=k+1时，命题成立，其目标就是命题中的n换上k+1 最后要写出结论.变式1：用数学归纳法证明:对任何正整数n有+存1 1召成立35+ +4n2-l证明：（1）当n = 1时，左边=+，右边等式成立. ⑵假设）时等式成立，即 丄十丄十丄十…十^=丄 3 15 35 4—12走+「那么当n = k +1时，有P …+ 乔士+g+1l)2 k ■ _________ 12^ + 1 i(k + l)2 1 3（2丘 + 3）冷+1（2FHD（2l+3）2於+获+1 （2怡+1）（2沧+ 3）（2怡 + 1）以+ 1） _ 怡+ 1（2怡+ 1）（2怡 + 3）一2 以 + 1）+「这就是说，当咒=力+1时，等式也成立. 由⑴与(2)知，等式对任何正整数n都成立.题型二用数学归纳法证明不等式例2已知函数f(x)=x・sinx擞列｛aj满"Oo^<1 ,a n+^=f(3n),n=1证：0o n+-|<a n证明:先、、<a n<1(1)当n=1 时，已知0<a n<1, 即n=1时，不等式成立.(2)假设n=k时，不等式成立，即0<a k<1.又・f (x)=4 -cosx>0(0<x<1 )5•••函数f(x)在(0⑴上递增.由0<a k<1 知，f(0)<f(a k)<f(1)5Xa k+1=f(a k)5/.O-sinO<a k+1<1 -sin1 <1, .\0<a k+1<1,/.n=k+1时,不等式成立. 又-.0<a n<1,a n+r a n=f（an）-a n=a n-sina n-a n=-sina n<°--a n+1<a n B综上所^50<a n+1<a n<1 -点评:本题虽然与函数有关，但所证不等式与n有关，故可以用数学归纳法证明.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1也成立，主要方法有:①放缩法;②分析法;③比较法等.变式2:用数学归纳证明v 1 一£(n$2,n e N*).Ill 1 :—y H H + ■…-------------------- : 22 32 42n证明：（1）当n = 2时，左边= * = +，右边=1•••不等式成立.（2）假设克斗心2衣2 ）时，不等式成立,即右冷+右+…+则当n =k + 1时弓*+*+*+•••+* +(ITi7<1_T + aW_欲+ 1)2 —怡_ 於+怡+ 1”联力+ 1) _ 1 TcTFTP--H I+T7< H J+T7_ ^+1*:.当n=k + l时，不等式也成立.综合(1)、(2)知，对任意心2的正整数，不等式成立.题型三数学归纳法证明几何问题例3平面上有n条直线，它们之间任何两条不平行，任何三条不共点，求证:这n条直线将平面分成n(n + l) J部分.2+证明：当"=1时，一条直线把平面分成两部分, 竺吕土» +1 = 2,所以当” =1时，命题成立.(2)假设当n = k 时，命题成立，即k 条直线把平面分成 "仃》+ 1个部分.当九=怡+ 1时，这怡+ 1条直线中的k 条 直线把平面分成冷亍)+ 1部分，第怡+ 1条直线与前怡条直线共有怡个交点，将第怡+ 1条直线分成怡+ 1部分，这时将平面多分成了怡+ 1部分，即怡+ 1条直线把平面分成-a t n + 也成立. 1+ (怡十1)= 以+ 1)4十2) 2 + 1部分，所以当72=怡+1时，命题由(1).(2)知「对一切wEN*，此命题成立. 点评:用数学归纳法证明几何问题时,一定要清楚以n=k到n=k+1时，新增加的量是多少，一般地证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上,再增加1个•当然也可以从k+1 个中分出一个来,剩下的k个利用假设.变式3:是否存在正整数m，使得f(n)=(2n+7)53n+9对任意自然若不存在说明理由.解:由f (n) =(2n + 7)g3n + 9,得f (1) = 36,f(2)= 3 x 36, f(3)= 10x36,f(4)= 34x36.由此猜想：m = 36.下面用数学归纳法证明：(1) 当n = 1时,f (1) = 36,显然成立；(2) 假设n = k时,有f (k) =(2k + 7)猷+ 9能被36整除当n = k +1 时,[2 & +1) + 7]猷+1 + 9=(2k + 7)聖k+i + 2聖k+i 十9= [(2^ + 7)3'+9]x3 + 18(3k_1 -1).由于3k j -1是2的倍数，故18(3-1 -1)能被36整除，由假设知当n = k +1时,f (n)也能被36整除.由⑴、(2)知,对一切正整数n都有f(n) =(211 + 7)醐+9能被36整除m的最大值为36.笑对高考第三关技巧关数学归纳法与归纳猜想是解决数列问题的常用方法，也高考热点之一•其思路是:先算出一个数列的前n项,用不完全归纳法得到通项公式的猜想,再用数学归纳法给予证明.典例某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n》2,数列的前n项积为n?.⑴写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式拼加以证明・分析:根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律，同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示，证明这个数列的通项公式可用数学归纳法.本题中要特别注意第一个步骤的处理.解：（l）d知如=1，由题思，得Q]・Q2=2r 所以«2=2\ 因为Q] * CI2 .<23=3_，4 2 同理為=p因此这个数列的前五项为1,4,16 25 ~9'T6^所以52(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为务1（/7 = 1） 92心）•下面用数学归纳法加以证明：当心2时皿92当〃 时5=迈二尸=於，等式成立.因为Q1 • y • 5—\ =（怡一1）S 假设当n = k(k^2)时，结论成立，即k 2a l♦ a2 .......... %-] * a k ■ a k + l = 4 + l）2 ,以十1)2(di 9 a2•…• a—])• ci k(k-1)2 _(k +1)2 _ (卄P [以 + 1〉一叮 L所以当n = k^\时，结论也成立.综上所述，当心2时，这个数列的通项公式是如(TI— 1 )2考向精测(2008 •天津高考)在数列｛%｝与｛bn ｝中,a 1=15b 1=4擞列｛aj 的前n 项和S“满足nS n+1-(n+3)S n =052a n+1为与虬由的等比中 MneN*.⑴求备b2的值;1(粒=1),所以(心 2).(2)求数列何｝与叫｝的通项公式.解：（1）由题设y有Q] +匕一4口1 =0皿1 = 1,解得a z = 3.由题设字又有4a；=仇6] 96] = 4弓解得仇=9.（2）由题设nS n+l—（7? + 3）S… =0疋1 = 1=4,及勺=22 Tl (72 + 1 ) jb n =(n + 1)2 山 C N先证 ^ = !1G !+l)^eN当72=1时皿1 1X(1 + 1) ，等式成立.3』2 = 9，进 ~ 步可得伉 3 = 6 “3 = 1 6，Q 4 = 10 “4 = 2 5，猜想 CL n 当时，用数学归纳法证明如下：当 n = 2 时,似 =""j + D '等式成立.假设当n=b 时，2等式成立，即a k =Kk ^l \k^2. 由题设MS“i =仏+ 3)S- ① (k-l)S k = (k + 2)S-].② ①的两边分别减去②的两边，整理得ka k+i =(怡+ 2)a k 9 仏+1)22 怡+ 2 -ci从而 S R b （&十1）[（怡十1）十这就是说，当72 =怡+ 1时等式也成立.综上可知，等式6=讥"『)对任何的心2成立. 综上所述，等式况”="(罗1)对任何的?2EN*都成立. 再用数学归纳法证明仇=5 + 1)2山WN* . 当71=1时，厲= (1 + 1)2 ,等式成立.假设当n = k 时，等式成立，即b k = (k + 1尸，则:这就是说号当n = k +1时，等式也成立• 4心+1伙+ 1)2 魏+ 2)2 (—)2 =［仏+ 1)+叮 I综上可知▼等式b tl =(n+1屮对任何的舁err都成立. 课时作业（二十四）数学归纳法、选择题1 ■如果命题p(n)对n=k时成立，则它对n=k+2也成立，且知p(n) 对n=2时成立，则下列结论中正确的是()A. p(n)对所有自然数n成立B. p(n)对所有正偶数n成立C. p(n)对所有正奇数n成立D. p(n)对所有大于1的自然数成立答案:B解析:由题设知n=2时,p(n)成立湘当于k=2时,p(n)成立，则n=k+2也成立，故对所有正偶数p(n)成立.1 2 •设 f (n) = -i —+ —^―+ -^—+ —(neN *),那么 f(n + l) n +1 n + 2 n + 3 2n 答案:D2?? + 2* -f(n)等于()A.—-—2n + l C.— +-2n + l 2n + 2 B. 1 2n + 2 1 2n + 2 解析：/(72 + 1)一"2) = + 2^2 1 72 + 1 2? i3•若k棱柱有f(k)个对角面，则k+1棱柱的对角面的个数是()A.2f (k)B.f (k) + k — 1C.f(k) + kD.f(k) + 2答案:解析:增加一条棱与前面k条棱中不相邻的两条棱作对角面，有总2个,同时一个侧面变为了对角面，因此增加了个对角面.4■下列代数式中，可能被13整除的是（）.34n+1+52n+1答案:D解析:把代入验证知选D. 5•对于不等式Vn 2 +n<n + l(n e N*)，某同学的证明过程如下:(1) 当n = 1时,Vl 2+1 = QWl +1,不等式成立.(2) 假设n = k(ke N*)时,不等式成立， 即 Jk? +k Wk + 1.A.n 3+5n C.62n1+1 D.42n+1+3n+2当n = k +1时,J(k + 1)2 +(k + l) = Vk2+3k + 2<^(k2+3k + 2) + (k + 2) =J(k + 2)2 =(k + l) + l.・••当n = k + l时，不等式成立•上述证法()。
2010-2011届高三毕业班数学一轮基础知识复习及其讲义第一部分 集合1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。
4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数⇔f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。
