导数的概念及其几何意义》课件1北师大版选修(3)

北师大版高中数学选修 2-2 导数的概念 阅读教材 P60“例 1”以上部分，完成下列问题． 设函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x0 变到 x1 时，函数值从 f(x0)变到 f(x1)，函数 值 y 关于 x 的平均变化率为ΔΔyx＝fxx11－－xf0x0＝fx0＋ΔΔxx－fx0.当 x1 趋于 x0，即 Δx 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个__________，那么这个值就是函数 y＝f(x) 在 x0 点的__________．在数学中，称瞬时变化率为函数 y＝f(x)在 x0点的________， 通常用符号 f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝________________＝__________________.
探究 1 抛物线 y＝x2 在点 P 处的切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，能否求出
P 点的坐标？
【提示】
f′(x)＝ lim
Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0
x＋ΔΔxx2－x2＝2x，设 P(x0，y0)
是满足条件的点．
因为切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，
所以 2x0＝4，∴x0＝2，y0＝4， 故切点 P 的坐标为(2,4)．
【解】 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函
数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim
Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝ lim
Δx→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlixm→0
－2＋1 Δx＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方
程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x＋2y＋4＝0.
(2)在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)， 即 12x－3y－16＝0.

������
=-������12
−
1 2
������.
所以当 x=4 时,y'=-116 − 14=-156,
故曲线在点 P
4,-
7 4
处的切线方程为 y+74=-156(x-4),即
5x+16y+8=0.
探究一
探究二
思维辨析
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D答疑解惑 AYIJIEHUO
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(ΔΔ������������++24)2=-1.
答案:(1)C (2)-1
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2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的 斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
【例2】 (1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率
等于( )
A.0 B.2 C.4 D.6
(2)求曲线 y=1������ −
������上一点 P
4,-
7 4
处的切线方程.
分析(1)利用导数几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得 图像在点A处的切线的斜率;(2)利用导数几何意义求出图像在点P 处的切线的斜率,再根据直线方程的点斜式求得直线方程.
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1.导数的概念

－5
3 ． 若 y ＝ 10x ， 则 y′|x ＝ 1 ＝ ________. 解析： ∵y′＝10xln10， ∴y′|x＝1＝10ln10. 答案： 10ln10
4．求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝x3；(3)y＝ x；
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
π k＝－sin－3＝
3 ， 2
1 3 π ∴其切线方程为 y－2＝ 2 x＋3， 即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
2.求曲线 y＝sin x 在点
π 1 A6，2的切线方程；
解析：
y′＝(sin x)′＝cos x，
π 3 ∴y′|x＝ ＝ ， 6 2 3 ∴切线斜率 k＝ 2 ， 1 3 π ∴切线方程为 y－ ＝ x－6， 2 2 化简得：6 3x－12y＋6－ 3π＝0.
1 cos2x
. . . .
f(x)＝tan x
原函数 f(x)＝cot x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
导函数 f′(x)＝ f′(x)＝ f′(x)＝ 1
1 －sin2x
. . .
axlna(a>0)
ex
xlna(a>0 且 a≠1) 1 x
f′(x)＝
f′(x)＝
.
.
10 10－1
＝10x ；
9
1 －2 －2－1 －3 (4)y′＝( 2)′＝(x )′＝－2x ＝－2x . x
(2011· 江西卷， 4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A．1 C．e B．2 1 D.e
)
解析： 由 y′ ＝ ex ，得在点 A(0,1) 处的切线的斜率 k ＝ y′|x ＝ 0 ＝ e0 ＝ 1 ， ∴选A. 答案： A

解释f′100的意义
10
[精解详析] 当 x 从 100 变为 100＋Δx 时，函数值 y 关于 x 的
平均变化率为
f100＋Δx－f100 Δx
＝100＋Δx＋
100＋Δx＋3－100＋ 10Δx
100＋3
＝110＋10
1 100＋Δx＋10
当 x 趋于 100 时，即 Δx 趋于 0 时，平均变化率趋于 0.105，
问题 1：fx1＋ΔΔxx－fx1是函数 f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平 均变化率，有什么几何意义？
提示：函数 y＝f(x)图像上 A，B 两点连线的斜率．
6
问题 2：Δx 趋于 0 时，函数 y＝f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均 变化率即为函数 y＝f(x)在 x1 点的瞬时变化率，能否看成函数 y＝ f(x)在(x1，f(x1))处的切线斜率？
§ 2
导
数
第
的 概
三念
章及
其
几
何
意
义
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二 考点三
1
§2
导数的概念及其几何意义
2
导数的概念
在高台跳水运动中，如果我们知道运动 员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的 时间 t(单位：s)存在关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时 间内的平均速度－v ，通过平均速度－v 来描述运动员的运动状态， 但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．
即 f′(100)＝0.105，
11
f′(100)＝0.105 表示当建筑面积为 100 平方米时，成本增加的 速度为 1 050 元/平方米，也就是说当建筑面积为 100 平方米时，每 增加 1 平方米的建筑面积，成本就要增加 1 050 元．

0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
= lim
．
典例剖析：
0 +Δ − 0 −Δ
2Δ
Δ→0
若′ 0 = ，则 lim
A.−2
B.2
)
D.–
C.
0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
解析：∵′ 0 = lim
= ，
0 +Δ − 0 −Δ
2Δ
1 − 0
1 −0
1 →0
′ 0 = lim
0 +Δ − 0
Δ
Δ→0
= lim
．
2.求导数的一般步骤：
①求函数的改变量Δ = 0 + Δ − 0 ；
Δ
②求平均变化率
Δ
=
0 +Δ − 0
Δ
③取极限，得导数′ 0 =
；
Δ
lim ．
A．0>f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)<f′(xB)<0
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)>f′(xB)>0
答案：B
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0.
故选B.
)
1.导数的概念：设函数 = ，当自变量从0 变到1 时，函数值y从 0 变到
Δ
Δ
1 ，函数值y关于x的平均变化率为
=
1 − 0
1 −0
=
0 +Δ − 0
Δ
当1 趋于0 ，即Δ趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函

）
什么叫函数的导数?
割线的斜率
如右图,直线AB称为曲 线y=f(x)在点A处的一条 y 割线.则割线AB的斜率 f(x2) 为:
f(x1)
O
y=f(x)
B f(x2)-f(x1)=△y
A
x2-x1=△x
x1
x2 x
问题
y=f(x)
y
B割
线
切
线
A
o
x
变化过程演示
2.求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的变化率 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
，得到曲线
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
练习:如图已知曲线
,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
y
4
3
P
2
1 x
即点P处的切线的斜率等于4.
-2 -1 O -1
-2
12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-
16=0.
小结:
1.导数的几何意义是什么?
例题讲解
4 3 2 1
-2 -1 O 1 2
L
例6:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
yQ
y = x 2 +1
Dy
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
P
M
Dx
1j
x
-1 O 1
求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求

1. 根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法．
2. 求函数 y＝f(x)在 x0 处的导数的步骤：
(1)求函数值的改变量Δ y＝f(x0＋Δ x)－f(x0)；
(2)求平均变化率ΔΔ
y＝f（x0＋Δ x
x）－f（x0）； Δx
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝
Δ Δ
y x.
3. 注意导数的实际意义、几何意义．
题目类型一、求函数的导数例1ຫໍສະໝຸດ 求函数y＝f(x)＝
1在 x
x＝1
处的导数．
【思路探究】 先计算函数值的改变量，再代入公式计
算，注意Δy 需要化简整理．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋1 Δx－1
＝1－1＋1＋ΔΔx x＝
－Δx 1＋Δx（1＋
1＋Δx），
∴Δ Δyx＝－
1 1＋Δx（1＋
【解析】 ∵Δy＝1＋Δx＋1＋1Δx－1－11 ＝Δx－1＋Δx1＋1＝（ΔΔx＋x）1 2. ∴Δ Δyx＝ΔΔx＋x 1， ∴y′|x＝1＝ ΔΔx＋x 1＝0. 【答案】 0
4. 求曲线 y＝f(x)＝x2＋1 在点 P(1，2)处的切线方程．
解：因为点 P(1，2)在曲线上，所以切线的斜率即为：
(1)f（x1＋Δ
x）－f（x1）是函数 Δx
f(x)在(x1，x1＋Δ
x)上的
平均变化率，有什么几何意义？
(2)Δ x 趋于 0 时，函数 y＝f(x)在(x1，x1＋Δ x)上的平均变 化率即为函数 y＝f(x)在 x1 点的瞬时变化率，能否看成函数 y ＝f(x)在(x1，f(x1))处的切线斜率？
确． 【答案】 C
2. 曲线 y＝－2x2＋1 在点(0，1)处的切线的斜率是( )

解析答案
易错易混 因对“在某点处”“过某点”分不清致误 例5 已知曲线y＝f(x)＝x3上一点Q(1,1)，求过点Q的切线方程.
防范措施
解析答案
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12345
1.下列说法中正确的是( D ) A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线 B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线 C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点 D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点 解析 y＝sin x，x∈R 在点(π2，1)处的切线与 y＝sin x 有无数个公共点.
解析 设切线的倾斜角为α，
则 tan α＝ lim
Δx→0
fx0＋Δx－f1 Δx
＝ lim
Δx→0
131＋Δx3－1＋Δx2＋5－31－1＋5＝ lim
Δx
Δx→0
13Δx3－Δx Δx
＝Δlxi→m0[13(Δx)2－1]＝－1. ∵α∈[0，π)，
∴α＝34π. ∴切线的倾斜角为34π.
解析答案
(2)曲线y＝1 和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积 x
3
是__4__.
解析
联立y＝1x， y＝x2，
解得xy＝＝11，，故交点坐标为(1,1).
曲线 y＝1x在点(1,1)处切线方程为 l1：x＋y－2＝0，
曲线y＝x2在点(1,1)处切线方程为l2：2x－y－1＝0. 从而得 S＝12×2－12×1＝34.
解析答案
课堂小结
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，
即 k＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的

本文档深入探讨了北师大版选修1-1中导数的引入。首先，从导数的概念出发，解释了函数在某点处的导数定义及其几何题，展示了如何计算函数在某点处的导数，并指出导数即为函数在该点的瞬时变化率。此外，文档还强调了导数的几何意义，即函数在某点处的导数是该点处切线的斜率，进一步通过例题演示了如何利用导数求解切线方程。为了加深理解，文档还提供了小组合作型的应用题，通过实际问题求解导数，并解释其实际意义。最后，通过再练一题的环节，巩固了导数的计算和实际应用。整个文档内容丰富，逻辑清晰，旨在帮助学生全面理解导数的引入及其应用。