不等式

基本不等式全部公式1.三角不等式：对于任意实数a和b，有，a+b，≤，a，+，b2. Cauchy-Schwarz 不等式：对于任意实数 a1, a2,...,an 和 b1, b2,...,bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)3. 二次平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn，有√((x₁² + x₂² + ... + xn²)/n) ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)4. 广义平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn 和实数 p ≠ 0，有(x₁ᵖ + x₂ᵖ + ... + xnᵖ)/n ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)ᵖ5. AM-GM 不等式：对于任意非负实数 x₁, x₂,...,xn，有(x₁x₂...xn)^(1/n) ≤ (x₁ + x₂ + ... + xn)/n6. Jensen 不等式：设 f 是凸函数，则对于非负实数 x₁, x₂, (x)和非负实数权重 w₁, w₂,...,wn，有f(w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wnxn) ≥ w₁f(x₁) + w₂f(x₂) + ... +wnfn(xn)7. Hessemberg 不等式：对于非负实数 x₁, x₂,...,xn，有(x₁ + t)ⁿ ≤ x₁ⁿ + nx₁ⁿ⁻¹t + n(n-1)x₁ⁿ⁻²t²/2 + ... + tⁿ8. Bernoulli 不等式：对于实数x ≥ -1 和正整数 n，有(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx9. Muirhead 不等式：对于非负实数 a₁, a₂,...,an 和 b₁,b₂,...,bn 满足 a₁ + a₂ + ... + an = b₁ + b₂ + ... + bn，有a₁ᵖ₁a₂ᵖ₂...anᵖₙ + permutations ≥ b₁ᵖ₁b₂ᵖ₂...bnᵖₙ + permutations10. 反柯西不等式：对于任意非负实数 a₁, a₂,...,an，有(a₁/a₂ + a₂/a₃ + ... + an-₁/an + an/a₁) ≥ n以上是一些常见的基本不等式公式。

关于不等式的公式
不等式的基本公式包括但不限于以下几种：
1. 加法公式：如果a > b，则a + c > b + c。

2. 减法公式：如果a > b，则a - c > b - c。

3. 乘法公式：如果a > b，并且c > 0，则ac > bc；如果c < 0，则ac < bc。

4. 除法公式：如果a > b，并且c > 0，则a/c > b/c；如果c < 0，则a/c < b/c。

5. 平方不等式定理：对于任意实数a，如果a > 0，则a² > 0；如果a < 0，则a² > 0。

6. 平方根不等式公式：对于任意实数a，如果a > 0，则√a > 0；如果a < 0，则√a不存在。

7. 基本不等式公式：a+b≥2√(ab)。

常用的不等式公式还有
√((a²+b²)/2)>(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)√ab≤(a+b)/2，a²+b²>2ab，ab≤(a+b)²/4等。

其中，a >0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立。

此外还有绝对值不等式等，不等式具有多种类型和变种。

建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士获取更多信息。

等式与不等式在数学中，等式与不等式是两种不同的数学表达方式。

等式是指两个数或者表达式之间相等的关系，通常用等号（=）表示；而不等式则表示两个数或者表达式之间不相等或者大小关系的一种数学形式。

本文将对等式和不等式进行详细介绍，包括其定义、性质以及在数学中的应用。

一、等式的定义与性质等式是指数学表达式中两个数或者表达式之间相等的关系。

等式使用等号（=）进行表示，左右两边的数或表达式具有相等的值。

例如：2 +3 = 5在这个等式中，左边的表达式2 + 3与右边的数5具有相等的值，因此该等式成立。

等式具有以下性质：1. 反身性：任何数与自身相等，即a = a。

2. 对称性：如果a = b，则b = a。

3. 传递性：如果a = b且b = c，则a = c。

4. 替换性：在等式的两边同时加上（或减去）相同的数或者表达式，等式仍然成立。

表达式，等式仍然成立。

等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解方程、证明等各个领域。

二、不等式的定义与性质与等式相比，不等式表示的是两个数或者表达式之间不相等或者大小关系。

常见的不等式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等符号。

例如：3 +4 > 7这个不等式表示左边的表达式3 + 4大于右边的数7，因此该不等式成立。

不等式具有以下性质：1. 反身性：任何数与自身不相等，即a ≠ a。

2. 对称性：如果a > b，则b < a；如果a ≥ b，则b ≤ a。

3. 传递性：如果a > b且b > c，则a > c；如果a ≥ b且b ≥ c，则a ≥ c。

4. 替换性：在不等式的两边同时加上（或减去）相同的正数，不等式的大小关系保持不变；在不等式的两边同时加上（或减去）相同的负数，不等式的大小关系发生改变。

等式的大小关系保持不变；在不等式的两边同时乘以（或除以）相同的负数，不等式的大小关系发生改变，并且需要反转不等号的方向。

不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种数学关系，它描述了两个数之间的大小关系。

在解决实际问题中，经常需要研究不等式的基本性质和解法。

本文将介绍不等式的基本性质以及解决不等式的方法，并且给出一些例子来说明。

一、不等式的基本性质1. 加减性性质：对于两个不等式，如果它们的左右两边分别相加或相减，那么它们的不等关系不变。

例如：对于不等式 2x < 6 和 3x > 9，我们可以将两个不等式的左右两边分别相加得到 2x + 3x < 6 + 9，即 5x < 15。

不等式的不等关系保持不变。

2. 乘除性性质：对于不等式，如果两边都乘以一个正数，则不等关系保持不变；如果两边都乘以一个负数，则不等关系发生改变。

例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时乘以一个正数 3，我们得到 3 * 2x < 3 * 6，即 6x < 18，不等关系保持不变。

但如果两边同时乘以一个负数 -3，我们得到 -3 * 2x > -3 * 6，即 -6x > -18，不等关系发生改变。

3. 反号性质：对于不等式，如果两边同时取负号，不等关系发生改变。

例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时取负号，我们得到 -2x > -6，不等关系发生改变。

4. 绝对值性质：对于不等式，如果绝对值符号"|" 出现在不等式中，我们需要分别讨论绝对值大于零和绝对值小于零的情况。

例如：对于不等式|2x - 4| < 6，我们可以将其分为两个部分来讨论。

当 2x - 4 > 0 时，不等式简化为 2x - 4 < 6，解得 x < 5；当 2x - 4 < 0 时，不等式简化为 -(2x - 4) < 6，解得 x > -1。

二、不等式的解法1. 图像法：对于一些简单的一元不等式，我们可以使用图像法来解决。

将不等式转化为图像表示，通过观察图像来确定不等式的解集。

不等式的定义与性质不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数、变量或数与变量之间的大小关系。

在代数学和几何学中，不等式具有重要的作用，而理解不等式的定义与性质对于解决各种数学问题至关重要。

一、不等式的定义在数学中，不等式是指通过不等号（<，>，≤，≥）来表示两个数或表达式之间的大小关系。

一个基本的不等式方程形式为：a > b，其中a和b是两个数或表达式。

不等式的表示方式可以分为两种形式：严格不等式和非严格不等式。

严格不等式使用大于号（>）或小于号（<）来表示，表示不等式两边的值不相等；非严格不等式使用大于等于号（≥）或小于等于号（≤）来表示，表示不等式两边的值可以相等。

二、不等式的性质1. 反身性质：对于任意实数a，a≥a或a≤a是成立的，即任何数与自身相等或小于等于自身。

2. 传递性质：如果a>b且b>c，则a>c。

也就是说，如果一个数大于另一个数，而这个数又大于另一个数，那么第一个数一定大于最后一个数。

3. 相加性质：对于任意实数a，b和c，如果a>b，则a+c>b+c。

也就是说，对不等式两边同时加上相同的数，不等式的大小关系保持不变。

4. 相乘性质：对于任意实数a，b和c，如果a>b且c>0，则ac>bc。

也就是说，如果一个数大于另一个数，而且还与一个正数相乘，那么乘积的大小关系保持不变。

以上性质在解决不等式问题时经常会使用，可以帮助我们推导和证明不等式的结果。

三、解不等式的方法解不等式是求解满足给定条件的变量范围。

常用的解不等式的方法包括移项法、分段法和因式法等。

1. 移项法：将含有未知数的项移到一边，常用于解一元一次不等式。

例如，对于不等式3x+5>7，我们可以通过将5移到不等式的右边，得到3x>2，再将不等式两边同时除以3，得到x>2/3。

2. 分段法：将不等式根据不同的条件范围进行分段，进而分别求解不等式。

不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。

不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。

本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。

这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。

2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。

这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。

3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。

这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。

4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。

这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。

二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。

2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。

均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。

3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。

4个基本不等式不等式是数学中的一种重要概念，用于描述数值之间的相对大小关系。

在数学中，我们常常会遇到各种各样的不等式，其中最基本的有四个，被称为”四个基本不等式”。

这四个基本不等式分别是：加法不等式、减法不等式、乘法不等式和除法不等式。

在本文中，我们将详细介绍这四个基本不等式及其应用。

1. 加法不等式加法不等式是最简单也是最容易理解的一种不等式。

它用于描述两个数相加后与另一个数的大小关系。

加法不等式的性质：•如果 a > b，则 a + c > b + c （对任意实数 c 成立）•如果 a > b 且 c > d，则 a + c > b + d加法不等式的应用：加法不等式常常被用于解决实际问题。

例如，假设小明去商场购买商品，他手上有100 元钱，并且他想要买一件价格为 x 元的商品。

如果 x 小于或者等于 100 元，则小明能够购买这件商品；反之，如果 x 大于 100 元，则小明将无法购买该商品。

2. 减法不等式减法不等式是加法不等式的一种推广，它用于描述两个数相减后与另一个数的大小关系。

减法不等式的性质：•如果 a > b，则 a - c > b - c （对任意实数 c 成立）•如果 a > b 且 c > d，则 a - c > b - d减法不等式的应用：减法不等式同样常常被用于解决实际问题。

例如，假设小明和小红参加了一次数学竞赛，他们分别得到了 x 分和 y 分。

如果小明得分比小红多 10 分以上，则可以说小明在这次竞赛中获胜；反之，如果小明得分比小红少于或者等于 10 分，则可以说小红在这次竞赛中获胜。

3. 乘法不等式乘法不等式是描述两个数相乘后与另一个数的大小关系的一种不等式。

乘法不等式的性质：•如果 a > b 且 c > 0，则 ac > bc•如果 a > b 且 c < 0，则 ac < bc （注意：当乘以一个负数时，不等号方向会发生改变）乘法不等式的应用：乘法不等式同样经常被应用于解决实际问题。

不等式的运算法则及公式一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种关系式，用于表示两个数之间的大小关系。

不等式的基本形式为：a < b（表示a小于b）、a > b（表示a大于b）、a ≤ b（表示a小于等于b）、a ≥ b（表示a大于等于b）。

其中，符号“<”称为小于号，符号“>”称为大于号，符号“≤”称为小于等于号，符号“≥”称为大于等于号。

二、不等式的运算法则1. 加减法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：(1) 如果a < b，那么a + c < b + c；(2) 如果a > b，那么a + c > b + c；(3) 如果a ≤ b，那么a + c ≤ b + c；(4) 如果a ≥ b，那么a + c ≥ b + c；(5) 如果a < b，那么a - c < b - c；(6) 如果a > b，那么a - c > b - c；(7) 如果a ≤ b，那么a - c ≤ b - c；(8) 如果a ≥ b，那么a - c ≥ b - c。

2. 乘法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：(1) 如果a < b，且c > 0，那么ac < bc；(2) 如果a < b，且c < 0，那么ac > bc；(3) 如果a > b，且c > 0，那么ac > bc；(4) 如果a > b，且c < 0，那么ac < bc；(5) 如果a ≤ b，且c > 0，那么ac ≤ bc；(6) 如果a ≤ b，且c < 0，那么ac ≥ bc；(7) 如果a ≥ b，且c > 0，那么ac ≥ bc；(8) 如果a ≥ b，且c < 0，那么ac ≤ bc。

3. 除法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则（其中c≠0）：(1) 如果a < b，且c > 0，那么a/c < b/c；(2) 如果a < b，且c < 0，那么a/c > b/c；(3) 如果a > b，且c > 0，那么a/c > b/c；(4) 如果a > b，且c < 0，那么a/c < b/c；(5) 如果a ≤ b，且c > 0，那么a/c ≤ b/c；(6) 如果a ≤ b，且c < 0，那么a/c ≥ b/c；(7) 如果a ≥ b，且c > 0，那么a/c ≥ b/c；(8) 如果a ≥ b，且c < 0，那么a/c ≤ b/c。

不等式的定义不等式的定义是：一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“<”“>”“≤”“≥”及“≠”。

严格来说不等式的定义是：用“>"“<”连接的不等式叫做严格不等式。

非严格不等式的定义是：用“≤”和“≥”连接的不等式叫做非严格不等式。

特别提醒：a=b，a>b中，只要有一个成立，就有a≥b。

扩展资料不等式的性质：（1）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bb＜a。

（2）如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b ＞ca＞c。

（3）如果a＞b，那么a+c＞b+c。

（4）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc。

（5）如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d。

（6）如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd。

（7）如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）。

（8）如果a＞b＞0，那么（n∈N，n≥2）。

不等关系与不等式的区别：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“<…>…≤”“≥”来表示，也可以用语言表述；而不等式则是用来表示不等关系的式子，可用“a>b”‘a<b”“a≥b a≤b”等式子来表示，不等关系是通过不等式来体现的。

不等式的分类：①按成立的条件分：a．绝对不等式：不等式中的字母取任意实数值都恒成立的不等式叫做绝对不等式；b．条件不等式：不等式中的字母取某些允许值才能成立的不等式叫做条件不等式；c．矛盾不等式：不等式中的字母不论取何实数值都不能成立的不等式叫做矛盾不等式；②按不等号开口方向分：a．同向不等式：不等号方向相同的两个不等式；b．异向不等式：不等号方向相反的两个不等式。

经典(超越)不等式一、结论(1)对数形式:x ≥1+ln x (x >0),当且仅当x =1时,等号成立.(2)指数形式:e x ≥x +1(x ∈R ),当且仅当x =0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：e x >x +1>x >1+ln x (x >0且x ≠1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：e x=1+x +x 22!+⋯+x n n !+e θx(n +1)!x n +1；ln (1+x )=x -x 22+x 33-⋯+(-1)n x n +1n +1+o (x n +1)；截取片段：e x ≥x +1(x ∈R )ln (1+x )≤x (x >-1)，当且仅当x =0时,等号成立；进而：ln x ≤x -1(x >0)当且仅当x =1时,等号成立二、典型例题1(2023·陕西咸阳·校考模拟预测)已知a =25,b =e -35,c =ln5-ln4，则()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a【答案】C【详解】f (x )=e x -1-xf (x )=e x -1，则x ∈0,+∞ ,f (x )>0,x ∈-∞,0 ,f (x )<0，故函数f (x )在-∞,0 单调递减，0,+∞ 单调递增，则f (x )≥f (0)=0则e x -1-x ≥0，即e x ≥1+x 由e x ≥1+x ，∴e -35>25，故b >a 同理可证ln (1+x )≤x又∵ln (1+x )≤x ，∴ln5-ln4=ln 1+14 <14，则b >a >c 故选：C .【反思】对于指数形式:e x ≥x +1(x ∈R ),当且仅当x =0时,等号成立，该不等式是可以变形使用的：e x≥x +1(x ∈R )-x 替换xe -x≥-x +1,即1ex ≥1-x 当x <1 e x ≤11-x当x >1e x ≥11-x注意使用时x 的取值范围；同样的还可以如下处理：e x ≥x +1(x ∈R )两边同时取对数：x ≥ln (x +1)(x >-1)，同样可以变形使用：x ≥ln (x +1)(x >-1)"x -1"替换"x "x -1≥ln x (x >0)左右两边同乘以“-1”1-x ≤-ln x (x >0)；1-x ≤-ln x (x >0)⇔1-x ≤ln 1x(x >0)用“1x ”替换“x ”1-1x ≤ln x ⇔x -1x≤ln x 注意使用时x 的取值范围.另外，选择填空题中，涉及到超越不等式可以直接使用，但是注意，解答题中一定要先证后用.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x -x -1.(1)证明：f (x )≥0；(2)证明：1+121+122⋯1+12n<e ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】(1)f x =e x -1，令f x >0，得x >0；令f x <0，得x <0，所以f x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所f x 的最小值为f 0 =0，所以f (x )≥0.(2)由(1)知，当x ∈(0,+∞)时，f (x )>f (0)=0，即e x -x -1>0，即e x >x +1，即x >ln x +1 ，令x =12n ，得ln 1+12n<12n ，所以ln 1+121+122 ⋅⋅⋅1+12n=ln 1+12 +ln 1+122 +⋯+ln 1+12n<12+122+⋯+12n =121-12n 1-12=1-12n <1，故1+121+122⋅⋅⋅1+12n<e ．【反思】注意在解答题中e x ≥1+x ，x ≥1+ln x (x >0)等超越不等式，及其变形式，不能直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式.三、针对训练举一反三一、单选题1.(2023春·浙江·高三校联考开学考试)设a =12022，b =tan 12022⋅e 12022，c =sin 12023⋅e 12023，则()A.c <b <aB.c <a <bC.a <c <bD.a <b <c【答案】B【详解】设f x =e x -x +1 ，则f x =e x -1，在(0,+∞)时，f (x )>0，在(-∞,0)时，f (x )<0，所以f (x )min =f (0)=0，即e x -x +1 ≥0，所以e x ≥x +1对任意x ∈R 均成立.取x =12022，有e12022>12022+1=20232022，所以12023e 12022>12022.再取x =-12023，可得e -12023>1-12023=20222023，两边取倒数，即e 12023<20232022，所以12023e 12023<12022，又当x ∈0,π2时，设F (x )=x -sin x ，G (x )=tan x -x ，则F(x )=1-cos x >0，G(x )=sin x cos x -1=1-cos 2x cos 2x =sin 2x cos 2x >0，即F (x )和G (x )在0,π2 均递增，所以F (x )>F (0)=0，G (x )>G (0)=0，即x ∈0,π2时，sin x <x <tan x ，所以sin12023⋅e 12023<12023e 12023<12022<12023e 12022<tan 12023⋅e 12022，由tan x 在x ∈0,π2 单调递增，可得tan 12023⋅e 12022<tan 12022⋅e 12022，即c <a <b .故选：B2.(2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末)a =e 0.2，b =log 78，c =log 67，则()A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b【答案】C 【详解】令f (x )=ln (x +1)ln x(x >0)则f (x )=x ln x -(x +1)ln (x +1)x (x +1)ln 2x，显然f (x )<0即f (x )单调递减，所以ln7ln6>ln8ln7，即log 67>log 78，c >b .令g (x )=e x -x -1(x ≥0)则g (x )=e x -1≥0，即g (x )在[0,+∞)上单调递增所以g (x )≥g (0)=0，即e x ≥x +1，所以e 0.2>0.2+1=65令h (x )=x 6-ln xln6则h (x )=16-1x ln6当h (x )>0时，x >6ln6，即h (x )在6ln6,+∞ 上单调递增又h (6)=0，所以当x >6时，h (x )>h (6)=0所以h (7)>h (6)=0，即76-ln7ln6>0即log 67<76，又76<65，所以log 67<76<65<e 0.2，即c <a .综上：a >c >b .故选：C.3.(2023·云南曲靖·统考一模)已知a=e-2，b=1-ln2，c=e e-e2，则()A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b【答案】D【详解】令f(x)=x-1-ln x,x>0，则f(e)=e-1-ln e=e-2=a，f(2)=2-1-ln2=1-ln2=b，∵f (x)=1-1x =x-1x，∴当x>1时，f (x)>0，f(x)单调递增，∴f(e)>f(2)，即a>b，令g(x)=e x-x，则g (x)=e x-1，∴当x>0时，g (x)>0，g(x)单调递增，∴g(e)>g(2)，即e e-e>e2-2，所以e e-e2>e-2，即c>a．综上，c>a>b．故选：D．4.(2023·全国·高三专题练习)已知a=e sin1-1,b=sin1,c=cos1，则()A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b【答案】C【详解】解：当x∈π4,5π4,sin x>cos x，又1∈π4,5π4，所以sin1>cos1，故b>c记f x =e x-x-1，所以f x =e x-1，令f x <0，得x<0，令f x >0，得x>0，所以f x 在-∞,0单调递减，在0,+∞单调递增.所以f x ≥f0 =0，即e x-x-1≥0，当x=0时取等号.所以a=e sin1-1>sin1-1+1=sin1=b，所以c<b<a.故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知a>b+1>1则下列不等式一定成立的是()A.b-a>b B.a+1a>b+1bC.b+1a-1<e bln aD.a+ln b<b+ln a【答案】C【详解】取a=10,b=8，则b-a<b，故A选项错误；取a=3，b=13，a+1a=b+1b，则B选项错误；取a=3，b=1，则a+ln b=3，b+ln a=1+ln3<1+ln e2=3，即a+ln b>b+ln a，故D选项错误；关于C选项，先证明一个不等式：e x≥x+1，令y=e x-x-1，y =e x-1，于是x>0时y >0，y递增；x<0时y <0，y递减；所以x=0时，y有极小值，也是最小值e0-0-1=0，于是y=e x-x-1≥0，当且仅当x=0取得等号，由e x≥x+1，当x>-1时，同时取对数可得，x≥ln(x+1)，再用x-1替换x，得到x-1≥ln x，当且仅当x=1取得等号，由于a>b+1>1，得到e b>b+1，ln a<a-1，∴a-1ln a>1>b+1e b，即b+1a-1<e bln a，C选项正确.故选：C.6.(2023·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c满足ac=b2，且a+b+c=ln a+b，则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a【答案】A【详解】设f x =ln x-x+1，则f x =1x-1=1-xx，当x∈0,1时，f x >0，f x 单调递增，当x∈1,+∞时，f x <0，f x 单调递减，∴f x ≤f1 =0，即ln x≤x-1，所以ln a+b≤a+b-1，所以a+b+c≤a+b-1，即c≤-1，又ac=b2>0，所以a<0，由a+b>0，所以b>-a>0，所以b2>a2，即ac>a2，所以c<a，所以c<a<b.故选：A.7.(2023·全国·高三专题练习)若正实数a，b满足ln a+ln b2≥2a+b22-2，则()A.a+2b=2+14B.a-2b=12-22 C.a>b2 D.b2-4a<0【答案】B到各不等式取等号的条件，解得a,b的值，然后逐一检验即可做出正确判断.【详解】先证明熟知的结论：x-1≥ln x恒成立，且当且仅当x=1时取等号.设f x =x-1-ln x,则f x =1-1 x ,在(0,1)上，f x <0,f x 单调递减;在(1,+∞)上，f x >0,f x 单调递增.故f x min=f1 =1-1-0=0,∴f x =x-1≥ln x恒成立，且当且仅当x=1时取等号.由2a+b22-2≥22a×b22-2=2ab2-1≥2ln ab2=ln a+ln b2,由已知ln a+ln b2≤2a+b22-2，∴ln a+ln b2=2a+b22-2，且2a=b22ab2=1，解得a=12b=2 ,经检验只有B正确，故选：B.8.(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4【答案】B【详解】令f(x)=x-ln x-1,则f (x)=1-1x，令f(x)=0,得x=1，所以当x>1时，f (x)>0，当0<x<1时，f (x)<0，因此f(x)≥f(1)=0,∴x≥ln x+1，若公比q>0，则a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3)，不合题意；若公比q≤-1，则a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0,但ln(a1+a2+a3)=ln[a1(1+q+q2)]>ln a1>0，即a1+a2+a3+a4≤0<ln(a1+a2+a3)，不合题意；因此-1<q<0,q2∈(0,1)，∴a1>a1q2=a3,a2<a2q2=a4<0，选B.二、填空题9.(2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中)已知对任意x，都有xe2x-ax-x≥1+ln x，则实数a的取值范围是.【答案】(-∞,1]【详解】根据题意可知，x>0，由x⋅e2x-ax-x≥1+ln x，可得a≤e2x-ln x+1x-1x>0恒成立，令f x =e2x-ln x+1x-1，则a≤f x min，现证明e x≥x+1恒成立，设g x =e x-x-1，g x =e x-1，当g x =0时，解得：x=0，当x<0时，g x <0，g x 单调递减，当x>0时，g x <0，g x 单调递增，故x=0时，函数g x 取得最小值，g0 =0，所以g x ≥g0 =0，即e x-x-1≥0⇔e x≥x+1恒成立，f x =e2x-ln x+1x -1=x⋅e2x-ln x-1x-1，=e ln x+2x-ln x-1x -1≥ln x+2x+1-ln x-1x-1=1，所以f x min=1，即a≤1.所以实数a的取值范围是-∞,1.故答案为：-∞,1三、解答题10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =e x-a.(1)若函数f(x)的图象与直线y=x-1相切，求a的值；(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.【答案】(1)a=2(2)证明见解析(1)解：f(x)=ex-a，∴f′(x)=ex，令f′(x)=1，得x=0，而当x=0时，y=-1，即f(0)=-1，所以f0 =e0-a=-1，解得a=2.(2)证明　∵a≤2，∴f(x)=ex-a≥ex-2，令φ(x)=ex-x-1，则φ′(x)=ex-1，令φ′(x)=0⇒x=0，∴当x∈(0，+∞)时，φ′(x)>0；当x∈(-∞，0)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，∴φ(x)min=φ(0)=0，即φ(x)≥0，即ex≥x+1，∴ex-2≥x-1，当且仅当x=0时等号成立，令h(x)=ln x-x+1，则h′x =1x-1=1-xx，令h′(x)=0⇒x=1，∴当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，+∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，∴h(x)max=h(1)=0，即h x ≤h1 =0，即ln x≤x-1，∴ln x≤x-1，当且仅当x=1时等号成立，∴ex-2≥x-1≥ln x，两等号不能同时成立，∴ex-2>ln x，即证f(x)>ln x.。