高三数学模拟试题 (5)

高三数学模拟考试卷（附答案解析）一、单选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知p:sinx=siny，q:x=y，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±2xC. y=±2xD. y=±x3.函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且对于任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<1成立．如果f(m)>m，则实数m的取值集合是()A. {0}B. {m|m>0}C. {m|m<0}D. R4.已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an=n(n+3)，n∈N*，则an=()A. 2nB. 2n+2C. n+3D. 3n+1二、填空题（本大题共12小题，共54分）5.不等式|2x+1|+|x−1|<2的解集为______．6.函数f(x)=x+9x(x>0)的值域为______．7.函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的最小正周期为______．8.若an为(1+x)n的二项展开式中x2项的系数，则n→+∞lim ann2=______．9.在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为______．10.若实数x，y满足x+y≤4y≤3xy≥0，则2x+3y的取值范围是______．11.已知向量a,b满足|a|=2，|b|=1，|a+b|=3，则|a−b|=______．12.已知椭圆C：x29+y2b2=1(b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点．若△F1AB是等边三角形，则b的值等于______．13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，且a2+1为a1与a3的等差中项，S3=14.若数列{bn}满足bn=log2an，其前n项和为Tn，则Tn=______．14.已知A，B，C是△ABC的内角，若(sinA+i⋅cosA)(sinB+i⋅cosB)=12+32i，其中i为虚数单位，则C 等于______．15.设a∈R，k∈R，三条直线l1：ax−y−2a+5=0，l2：x+ay−3a−4=0，l3：y=kx，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为．16.设函数f(x)=x2−1,x≥a|x−a−1|+a,x<a，若函数f(x)存在最小值，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76分。

数学(理科)参考答案 第1 页(共9页)湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号123456789101112答案C C B B C D D C D A A B一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C ʌ命题意图ɔ本题考查元素与集合的关系,考查数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ因为U ={1,2,3,4,5},∁U A ={2,4},所以A ={1,3,5}.又∁UB ={3,4},所以B ={1,2,5}.所以3ɪA ,3∉B .故选C .2.C ʌ命题意图ɔ本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由i 3=a -b i (a ,b ɪR ),得-i =a -b i .所以a =0,b =1.所以a +b =1.故选C .3.B ʌ命题意图ɔ本题考查向量的投影,考查直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题知,向量b =a +b -a =(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a ㊃b =-2+12=10.又|b |=4+16=25.所以向量a 在向量b 方向上的投影为a ㊃b |b |=1025=5.故选B .4.B ʌ命题意图ɔ本题考查排列组合㊁古典概型,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C 13C 24C 222+C 14㊃C 33()㊃A 2234=3ˑ3+4()ˑ234=1427.故选B .5.C ʌ命题意图ɔ本题考查双曲线的标准方程,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ设双曲线C 1的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),因为C 1和C 2有相同的焦距,双曲线C 2:x 27-y 2=1的焦距为42,所以双曲线C 1的焦距2c =42.若C 1的焦点在x 轴上,将点(3,1)代入x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),得32a 2-12b2=1①.又a 2+b 2=c 2=8②,联立①②两式得a 2=6,b 2=2.所以双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1.若C 1的焦点在y 轴上,将点(3,1)代入y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),得12a2-32b2=1③.又a 2+b 2=c 2=8④,联立③④两式得a 2=9-73,b 2=73-1,所以双曲线C 1的标准方程为y 29-73-x 273-1=1.综上所述,双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1或y 29-73-x 273-1=1.故选C .6.D ʌ命题意图ɔ本题考查四个平均数的大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ方法一:a b ɤa +b 2()2=14(当且仅当a =b 时取等号),A 正确;易知a +b 2ɤa 2+b 22,则12ɤa 2+b 22,即a 2+b 2ȡ12(当且仅当a =b 时取等号),B 正确;由题得1a +1b +1=11-b +1b +1=21-b 2,1-b 2ɪ(0,1),故1a +1b +1>2,C 正确;易知a +b 2ɤa +b 2=12,即a +b ɤ2(当且仅当a =b 时取等数学(理科)参考答案 第2 页(共9页)号),D 错误.故选D.方法二(特殊情况):取a =b =12,则a +b =12+12=2,故D 错误.故选D.7.D ʌ命题意图ɔ本题考查程序框图,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ执行程序框图,第一次循环:1<5,M =12+12=2,b =2,a =0,n =2;第二次循环:2<5,M =02+22=4,b =1,a =2,n =3;第三次循环:3<5,M =22+12=5,b =3,a =3,n =4;第四次循环:4<5,M =32+32=18,b =4,a =16,n =5;第五次循环:5=5,M =162+42=272,b =17,a =270,n =6,此时6>5,退出循环,输出M =272.故选D .8.C ʌ命题意图ɔ本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ1y +x ()(x +3y )6=1y (x +3y )6+x (x +3y )6.(x +3y )6的展开式的通项为T r +1=C r 6x 6-r (3y )r =C r 63r x 6-r y r .因为1y (x +3y )6的展开式中没有x 4y 3项,x (x +3y )6的展开式中x 4y 3项为x ˑC 3633x 3y 3=540x 4y 3,所以1y+x ()(x +3y )6的展开式中x 4y 3的系数为540.故选C .9.D ʌ命题意图ɔ本题考查等差数列的基本运算,数列的前n 项和,考查数学抽象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则由a 1+a 8=2a 5-2,a 3+a 11=26,{得a 1+a 1+7d =2(a 1+4d )-2,a 1+2d +a 1+10d =26,{化简得7d =8d -2,2a 1+12d =26,{解得a 1=1,d =2.{所以a n =1+(n -1)ˑ2=2n -1.设数列a n ㊃c o s n π{}的前n 项和为S n ,则S 2022=-a 1+a 2-a 3+a 4- -a 2021+a 2022=(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+ +(a 2022-a 2021)=1011d =2022.故选D .10.A ʌ命题意图ɔ本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ在әP A Q 中,设A Q =x ,则P Q =x 2+(2)2=x 2+2.所以әP A Q 的周长为2+x +x 2+2ȡ1+2+3.所以x 2+2ȡ1+3-x ,不等式两边平方,得x 2+2ȡ4+23-2(1+3)x +x 2,解得x ȡ1,即A Q 的最小值是1.所以点A 到边B C 的距离为1.当A Q 取最小值时,因为在R t әA B Q 中,A B =2,所以øB A Q =60ʎ.又øB A C =60ʎ,所以C ,Q 两点重合,所以øA C B =90ʎ,即A C ʅB C .又P A ʅ平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以P A ʅB C .因为P A ɘA C =A ,所以B C ʅ平面P A C .因为P C ⊂平面P A C ,所以B C ʅP C .因为P B 是R t әP A B 和R t әP C B 的公共斜边,所以P B 为三棱锥P A B C 的外接球的直径,设外接球的半径为R ,则R =12P B =12P A 2+A B 2=12(2)2+22=62,所以三棱锥P A B C 的外接球的体积V =43πR 3=43πˑ62æèçöø÷3=6π.故选A .11.A ʌ命题意图ɔ本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象㊁数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ如图,不妨设点A 在x 轴上方,由抛物线的定义可知|A F |=|AM |,因为øF MD =30ʎ,所以øAM F =90ʎ-30ʎ=60ʎ,所以әAM F 是正三角形.由y 2=4x 可知F (1,0),D (-1,0),设A (x A ,y A ),B (x B ,yB ),因为øF M D =30ʎ,|D F |=2,所以|D M |=23,|M F |=|AM |=4.所以x A =4-1=3.所以点A 的坐标为(3,23),所数学(理科)参考答案 第3 页(共9页)以直线A B 的方程为y -230-23=x -31-3,整理得y =3x -3.由y =3x -3,y 2=4x ,{得3x 2-10x +3=0,解得x A =3,x B =13.将x B =13代入直线A B 的方程,得y B =3ˑ13-3=-233.所以点B 的坐标为13,-233æèçöø÷.所以S 四边形A M D B =S 四边形A M D F +S әB D F =12ˑ(2+4)ˑ23+12ˑ2ˑ233=2033.故选A .12.B ʌ命题意图ɔ本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔa =11+e 2=1-11e 2+1,b =1e =1e 2,c =l n 1+e 2e 2=l n 1e 2+1(),令f (x )=x -l n (x +1),0<x <1,则f '(x )=1-1x +1=x x +1>0,所以f (x )在(0,1)上单调递增.所以f (x )>f (0)=0,即x >l n (x +1).令g (x )=l n (x +1)-1+1x +1,0<x <1,则g '(x )=1x +1-1(x +1)2=x (x +1)2>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增.所以g (x )>g (0)=0,即l n (x +1)>1-1x +1.又当0<x <1时,x >x ,所以当0<x <1时,x >x >l n (x +1)>1-1x +1.所以当x =1e 2时,1e 2>1e 2>l n 1e 2+1()>1-11e 2+1,即b >c >a .故选B .二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14x -y -8=0 ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题得f '(x )=6x 2+8x ,所以曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f '(1)=14.又f (1)=6,所以曲线f (x )=2x 3+4x 2在点(1,f (1))处的切线方程为y -6=14ˑ(x -1),即14x -y -8=0.14.3(答案不唯一,答对即可得分) ʌ命题意图ɔ本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ因为圆心C (a ,1)到直线l 的距离d =|a -1|12+(-1)2=|a -1|2,所以r =d 2+|A B |2()2=|a -1|2æèçöø÷2+(2)2,即r 2=|a -1|22+2.由题意,得|a -1|22必为整数,且0<|a -1|2<r ,所以可取a =-1或a =3,此时r =2.因此a 的值可以取3.15.7或8(只答一个不得分) ʌ命题意图ɔ本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题可知a 4ʂ0,因为8a 7=a 4,所以q 3=a 7a 4=18,解得q =12.又S 6=252,所以a 11-12()6[]1-12=252,解得a 1=128.所以a n =128ˑ12()n -1.令a n =128ˑ12()n -1ɤ1,得n ȡ8.又a 8=128ˑ12()7=1,所以当n =7或8时,a 1a 2 a n 最大.16.15π ʌ命题意图ɔ本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题图知A =2.由f 3π4-x ()=f (x )知,函数f (x )的图象关于直线x =3π8对称.则由图象可知3π8--π8()=K 2T (K ɪN *),解得T =πK (K ɪN *).又π8<T 4,所以T >π2.所以K =1,最小正周期T =π.所以ω=2πT =2.所以f (x )=2s i n (2x +φ).因为函数f (x )的图象经过点-π8,-2(),所以f -π8()=数学(理科)参考答案 第4 页(共9页)2s i n -π4+φ()=-2,解得φ=-π4+2k π(k ɪZ ).又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f (x )=2s i n 2x -π4().设方程f (x )=1在(0,λ)上的8个根从小到大依次为x 1,x 2, ,x 8.令2x -π4=π2,则x =3π8.根据f (x )的图象的对称性,可得x 1+x 22=3π8.由f (x )的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8,x 5+x 62=3π8+2T =19π8,x 7+x 82=3π8+3T =27π8,所以ð8i =1x i =2ˑ3π8+11π8+19π8+27π8()=15π.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ʌ命题意图ɔ本题考查解三角形,三角形的面积与周长,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为3a s i n C +c c o s A =a +b ,所以由正弦定理得3s i n A s i n C +s i n C c o s A =s i n A +s i n B .1分…………………………………………………………………………………………………………………因为B =π-A -C ,所以s i n B =s i n (π-A -C )=s i n (A +C )=s i n A c o s C +c o s A s i n C ,所以3s i n A s i n C =s i n A c o s C +s i n A .3分……………………………………………………………………因为A ɪ(0,π),所以s i n A ʂ0,所以3s i n C =c o s C +1,即3s i n C -c o s C =1.4分………………………所以2s i n C -π6()=1,即s i n C -π6()=12.5分………………………………………………………………又C ɪ(0,π),所以C =π3.6分…………………………………………………………………………………(2)因为әA B C 的面积为3,所以12a b s i n C =3.由(1)知C =π3,所以a b =4①.8分……………………………………………………………………………由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C ,又c =2,所以a 2+b 2=8②.10分………………………………………………………………………………由①②解得a =b =2.11分………………………………………………………………………………………故әA B C 的周长为a +b +c =6.12分……………………………………………………………………………18.ʌ命题意图ɔ本题考查独立性检验思想㊁离散型随机变量的分布列与数学期望,考查逻辑推理㊁数学运算㊁数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为套餐价格在[898,1498]内的频率为(0.00100+0.00050+0.00025)ˑ200=0.35,所以选择 尊享套餐 的客户有0.35ˑ200=70(名).2分………………………………………………………完善2ˑ2列联表如下:选择 尊享套餐 选择 普通套餐合计年龄不低于45岁5070120年龄低于45岁206080合计70130200K 2的观测值k =200ˑ(50ˑ60-70ˑ20)2120ˑ80ˑ70ˑ130ʈ5.861<6.635.4分……………………………………………所以没有99%的把握认为是否选择尊享套餐 与年龄有关.5分……………………………………………数学(理科)参考答案 第5 页(共9页)(2)由题设,年龄低于45岁的所有客户中,估计选择 普通套餐 的概率为6080=34,6分……………………易知ξ~B 3,34().7分……………………………………………………………………………………………所以P (ξ=0)=C 03ˑ34()0ˑ14()3=164,P ξ=1()=C 13ˑ34()1ˑ14()2=964,P (ξ=2)=C 23ˑ34()2ˑ14()1=2764,P ξ=3()=C 33ˑ34()3ˑ14()0=2764,9分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P1649642764276410分………………………………………………………………………………………………………………所以E (ξ)=3ˑ34=94.12分……………………………………………………………………………………19.ʌ命题意图ɔ本题考查面面垂直的证明㊁三棱柱的体积㊁二面角等,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)方法一(几何法):如图,作C E ʅA B 于点E ,E F ʊB B 1交A B 1于点F ,连接D F .因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分……………………………………………………………所以C E =A C ㊃B C A B =2ˑ313=61313.由勾股定理得A E =A C 2-C E 2=22-61313æèçöø÷2=41313,所以E F B B 1=A E A B =4131313=413=C D C C 1,所以E F =C D .3分………………………………………………………又E F ʊB B 1,C D ʊB B 1,所以E F ʊC D .所以四边形E F D C 是平行四边形,所以D F ʊC E .4分…………………………………………………………因为平面A B C ʅ平面A B B 1A 1,平面A B C ɘ平面A B B 1A 1=A B ,C E ʅA B ,所以C E ʅ平面A B B 1A 1.5分……………………………………………………………………………………所以D F ʅ平面A B B 1A 1.又D F ⊂平面A B 1D ,所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………方法二(向量法):因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分………………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设C C 1=a (a >0),则A (2,0,0),A 1(2,0,a ),B 1(0,3,a ),D 0,0,4a 13().数学(理科)参考答案 第6 页(共9页)所以A B 1ң=(-2,3,a ),A D ң=-2,0,4a 13(),A A 1ң=(0,0,a ).2分………设平面A B 1D 的法向量为m =(x ,y ,z ),由m ㊃A B 1ң=-2x +3y +a z =0,m ㊃A D ң=-2x +4a z 13=0,{得x =2a z 13,y =-3a z 13.ìîíïïïï令z =13,得平面A B 1D 的一个法向量为m =(2a ,-3a ,13).3分………设平面A B B 1A 1的法向量为n =(x ',y',z '),由n ㊃A B 1ң=-2x '+3y '+a z '=0,n ㊃A A 1ң=a z '=0,{得y '=23x ',z '=0.{令x '=3,得平面A B B 1A 1的一个法向量为n =3,2,0().4分…………………………………………………因为m ㊃n =6a -6a +0=0,所以m ʅn .5分……………………………………………………………………………………………………所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………………………………(2)因为直三棱柱A B C A 1B 1C 1的体积为392,所以12ˑ2ˑ3ˑC C 1=392,解得C C 1=132.所以C D =2,C 1D =92.7分………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B 10,3,132(),D (0,0,2),所以A B 1ң=-2,3,132(),A D ң=(-2,0,2).8分…………………………设平面A B 1D 的法向量为u =(x 1,y1,z 1),由u ㊃A B 1ң=-2x 1+3y 1+132z 1=0,u ㊃A D ң=-2x 1+2z 1=0,{得y 1=-32z 1,x 1=z 1.{令z 1=2,得平面A B 1D 的一个法向量为u =(2,-3,2).9分……………易知平面B B 1D 的一个法向量为v =(1,0,0),10分……………………设二面角A B 1D B 的大小为θ,则c o s θ=u ㊃v |u ||v |=(2,-3,2)㊃(1,0,0)17ˑ1=21717.易知θ为锐角,所以二面角A B 1D B 的余弦值为21717.12分………………………………………………………………20.ʌ命题意图ɔ本题考查椭圆的标准方程㊁直线与椭圆的位置关系㊁三角形的周长等,考查直观想象和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)依题意,әMN F 2的周长为|M F 2|+|MN |+|N F 2|=|M F 1|+|M F 2|+|N F 1|+|N F 2|=4a =12,解得a =3.1分……………………………………………………………………………………………………数学(理科)参考答案 第7 页(共9页)设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的离心率为23,所以e =c a =23,即c 3=23,解得c =2.2分……………………………………………………………………因为a 2=b 2+c2,所以b =a 2-c 2=32-22=5.3分…………………………………………………………………………所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1.4分……………………………………………………………………(2)由(1)知,F 1(0,2),A (0,3).易知直线l 的方程为y =k x +2(k ʂ0).5分…………………………………由y =k x +2,y 29+x 25=1,{消去y 得(5k 2+9)x 2+20k x -25=0,Δ>0.6分……………………………………………设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-20k 5k 2+9,x 1x 2=-255k 2+9.7分………………………………………所以k 1=y 1-3x 1=k x 1+2-3x 1=k x 1-1x 1,k 2=y 2-3x 2=k x 2+2-3x 2=k x 2-1x 2.8分………………………………所以k 1+k 2=k -1x 1+k -1x 2=2k -x 1+x 2x 1x 2=65k .k 1㊃k 2=k-1x 1()㊃k -1x 2()=k 2-k ˑx 1+x 2x 1x 2+1x 1x 2=-925.所以1k 1+1k 2=k 1+k 2k 1㊃k 2=-103k .11分……………………………………………………………………………所以1k 1k 1+1k 2()=-103,为定值.12分………………………………………………………………………21.ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)由f (x )=e x -s i n x -c o s x -12a x 2,得f '(x )=e x-c o s x +s i n x -a x .1分……………………所以曲线y =f (x )在点π4,fπ4()()处的切线的斜率为f 'π4()=e π4-π4a .2分…………………………所以e π4-π4a =e π4-π,解得a =4.4分…………………………………………………………………………(2)由(1)知,f'(x )=e x-c o s x +s i n x -a x ,所以不等式f '(x )ȡl n (1-x ),即e x-c o s x +s i n x -a x -l n (1-x )ȡ0对任意x ɪ(-ɕ,1)恒成立.5分…………………………………………………………………………………………………………………令g (x )=e x+s i n x -c o s x -a x -l n (1-x )(x <1),则g '(x )=e x+c o s x +s i n x -a +11-x .6分……………………………………………………………………因为g (x )ȡ0,g (0)=0,所以∀x ɪ(-ɕ,1),g (x )ȡg (0),即g (0)为g (x )的最小值,x =0为g (x )的一个极小值点.所以g '(0)=e 0+c o s 0+s i n0-a +11-0=0,解得a =3.7分…………………………………………………当a =3时,g (x )=e x+s i n x -c o s x -3x -l n (1-x )(x <1),所以g '(x )=e x +c o s x +s i n x -3+11-x =e x+2s i n x +π4()-3+11-x.8分……………………………数学(理科)参考答案 第8 页(共9页)令φ(x )=e x+11-x -3,h (x )=2s i n x +π4(),易知φ(x )在(-ɕ,1)上单调递增.①当0ɤx <1时,[φ(x )]m i n =φ(0)=-1,[h (x )]m i n =h (0)=1,所以g '(x )ȡg '(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),所以g (x )在[0,1)上单调递增.9分…………………………………………………………………………………………………………………②当x <0时,若-π2ɤx <0,则φ(x )<φ(0),h (x )<h (0),所以g '(x )<g '(0)=0;若x <-π2,则φ(x )<φ-π2()=e -π2+2π+2-3,h (x )ɤ2,所以g '(x )<e -π2+2-3+2π+2<12+32-3+2π+2<0.所以g (x )在(-ɕ,0)上单调递减.11分…………………………………………………………………………综上所述,g (x )在(-ɕ,0)上单调递减,在[0,1)上单调递增.所以当a =3时,g (x )ȡg (0)=0.12分…………………………………………………………………………(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.ʌ命题意图ɔ本题考查极坐标与参数方程,考查直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为直线l 的参数方程为x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数),所以消去参数t 可得直线l 的普通方程为x -3y =0.2分……………………………………………………因为曲线C 的极坐标方程为ρ=2s i n θ+π6(),即ρ=3s i n θ+c o s θ,所以ρ2=3ρs i n θ+ρc o s θ.由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,{得x 2+y 2-x -3y =0.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-x -3y =0.4分……………………………………………………(2)因为点P 的极坐标为23,π6(),所以点P 的直角坐标为(3,3).易得点P 在直线l 上,将直线l 的参数方程x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数)代入x 2+y 2-x -3y =0,6分………………………………化简得t 2-33t +6=0,Δ>0.设A ,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=33,t 1t 2=6,8分………………………………………所以t 1>0,t 2>0.所以1|P A |+1|P B |=1|t 1|+1|t 2|=1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=336=32.10分………………………………………23.ʌ命题意图ɔ本题考查绝对值不等式的求解,绝对值不等式恒成立问题,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.数学(理科)参考答案 第9 页(共9页)ʌ解析ɔ(1)当a =2时,f (x )=|x +4|+|x -4|,1分……………………………………………………………不等式f (x )ɤ13,即为|x +4|+|x -4|ɤ13.则x ɤ-4,-(x +4)-(x -4)ɤ13,{或-4<x <4,(x +4)-(x -4)ɤ13,{或x ȡ4,(x +4)+(x -4)ɤ13.{3分……………………解得-132ɤx ɤ-4或-4<x <4或4ɤx ɤ132.4分……………………………………………………………故不等式f (x )ɤ13的解集为-132,132[].5分…………………………………………………………………(2)f (x )=|x +4|+|x -2a |ȡ|x +4-(x -2a )|=|2a +4|(当且仅当(x +4)(x -2a )ɤ0时等号成立)6分…………………………………………………………………………………………………………………因为f (x )ȡa 2+5a 恒成立,所以|2a +4|ȡa 2+5a .7分………………………………………………………所以2a +4ȡa 2+5a ①或2a +4ɤ-(a 2+5a )②.8分…………………………………………………………由①解得-4ɤa ɤ1,由②解得-7-332ɤa ɤ-7+332.9分………………………………………………综上所述,-7-332ɤa ɤ1,故实数a 的取值范围是-7-332,1[].10分………………………………。

绝密★启用前长春市实验中学2022-2023学年高三下学期模拟考试（五）数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.第I 卷一､选择题：本题包括1至8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合{}{lg 1},2A xx B x x =<=≤∣∣，则A B ⋃=（ ） A.{02}x x <≤∣ B.{}2x x ≤∣ C.{10}x x <∣ D.R 2.i 为虚数单位，复数2i 12iz +=-，复数z 的共轭复数为z ，则z 的虚部为（ ） A.1- B.2- C.2i - D.i -3.已知{}n a 是无穷等差数列，其前项和为n S ，则“{}n a 为递增数列”是“存在*n ∈N 使得0n S >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在ABC 中，E 为AC 上一点，2AC AE =，P 为线段BE 上任一点，若AP xAB yAC =+，则21x y+的最小值是（ ）A.3+B.4+C.6D.85.声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素：音调，响度，音长和音色.这都与正弦函数的参数有关.我们一般听到的声音的函数是()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =++++，对于函数()f x ，下列说法正确的是（ ） A.π是()f x 的一个周期 B.()f x 关于2x π=对称C.0是()f x 的一个极值点D.()f x 关于(),0π中心对称6.将甲､乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲､乙二人去不同社区的概率为（ ） A.310 B.35 C.910 D.147.在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=︒，将B C D △绕对角线BD 所在直线旋转至BPD ，使得AP P ABD -的外接球的表面积为（ ）A.8π3B.20π3C.27D.25π3 8.已知函数()()221sin 1x x f x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()389389389389f f f f ''++---=（ ） A.2 B.2- C.3 D.3-二､多选题：本题包括9至12小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.9.某商店2022年1月至12月每月的收入､支出情况的统计如图所示，则下列说法中正确的有（ ）A.第二季度月平均利润为30万元B.收入的中位数和众数都是50C.下半年支出比上半年支出稳定D.利润最高的月份是2月份和11月份10.如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E .若圆柱底面圆半径为r ，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ，则下列对椭圆E 的描述中，正确的是（ ）A.短轴为2r ，且与θ大小无关B.离心率为cos θ，且与r 大小无关C.焦距为2tan r θD.面积为2cos r πθ11.如图所示，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点()1,0A ，以x 轴非负半轴为始边作锐角α，β，αβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点1P ，1A ，P ，则下列说法正确的是（ ）A.11A P AP =B.扇形11OA P 的面积为αβ-C.12sin2A P αβ=- D.当π3α=时，四边形11OAA P 的面积为1πsin 23β⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，点P 在l 上的射影为1P ，则下列说法正确的是（ ）A.若125x x +=，则7PQ =B.以PQ 为直径的圆与准线l 相交C.设()0,1M ，则1PM PP +≥D.过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题13.53(2)()x x y +-的展开式中，42x y 的系数是__________.14.若曲线()()sin 1f x x a x =++在点0x =处的切线方程是20x y b -+=，则a b +=______.15.如图，单位向量OA ，OB 的夹角为π2，点C 在以O 为圆心，1为半径的弧AB 上运动，则CA CB ⋅的最小值为______.16.过曲线221x y -=与曲线23x y =+的交点的圆的方程为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：22n n S a =-，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s 2c o s c o s a C b A c A =-. （1）求A ；（2）若a =b c -的取值范围.19.新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.对前所未知､突如其来､来势汹汹的疫情，习近平总书记亲自指挥､亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争､总体战､阻击战.当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[)70,80内的学生获三等奖，得分在[)80,90内的学生获二等奖，得分在[]90,100内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，获得了如下频数分布表.（2）若该市所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()264,15N ，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望.20.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB 是ABC 外接圆的直径，PC 垂直于圆所在的平面，D ､E 分别是棱PB ､PC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAC ；（2）若二面角A DE C --为π3，4AB PC ==，求AE 与平面ACD 所成角的正弦值. 21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，A ，B 是其左､右顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的动点，且34MA MB k k ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为直线4x =上一点，P A ，PB 分别与椭圆交于C ，D 两点.①证明：直线CD 过椭圆右焦点2F ；②椭圆的左焦点为1F ，求1CF D 的内切圆的最大面积.22.已知函数()()()212e 2x f x x ax ax a =--+∈R . （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若0a >，讨论函数()f x 的单调性；（3）当2x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.。

2024年高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合AB 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为 A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞ D ．(),0-∞ 2．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ）A ．11B ．37C ．210D ．434．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,x ππ⎡⎤∈-⎢⎥，则()f x 的最小值为（ ）6．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.87．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12 9．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．919 B ．1009 C ．1189 D ．127910．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ） A ．—1B ．—3C ．1D ．2 11．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）12．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A ．25,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学模拟试卷（满分150 分）一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1．已知全集 U={1,2,3,4,5} ，会集 M ＝{1,2,3} ， N ＝ {3,4,5} ，则 M ∩ ( e U N)＝（）A. {1,2}B.｛ 4,5｝C.｛ 3｝D.｛ 1,2,3,4,5｝ 2. 复数 z=i 2(1+i) 的虚部为（）A. 1B. iC.- 1D. -i3．正项数列 { a } 成等比， a +a =3， a +a =12,则 a +a 的值是（）n1 23445A. - 24B. 21C.24D. 484．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为 2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（）A.2 34B.3C.2 3 4 54 3 4 3+D.2735．双曲线以一正方形两极点为焦点，另两极点在双曲线上，则其离心率为（ ）A. 2 2B.2 +1C.2D. 1uuur uuur6． 在四边形 ABCD 中，“ AB =2 DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（）A. 充足不用要条件B. 必要不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件7．设 P 在 [0,5] 上随机地取值，求方程x 2+px+1=0 有实根的概率为（ ）A. 0.2B. 0.4C.0.5D.0.6y8． 已知函数 f(x)=Asin( ωx +φ)(x ∈ R, A>0, ω>0, |φ|<)5f(x)的解析式是（2的图象（部分）以下列图，则）A ．f(x)=5sin( x+)Ｂ． f(x)=5sin(6 x-)O256 66xＣ． f(x)=5sin(x+)Ｄ． f(x)=5sin(3x- )366－ 5二、填空题：（每题 5 分，共30 分）9. 直线 y=kx+1 与 A （ 1,0）， B （ 1,1）对应线段有公共点，则 k 的取值范围是 _______. 10．记 (2x1)n 的张开式中第 m 项的系数为 b m ，若 b 32b 4 ，则 n =__________.x311 ． 设 函 数 f ( x) xx 1x 1、 x 2、 x 3、 x 41 2的 四 个 零 点 分 别 为 ， 则f ( x 1 +x 2 +x 3 +x 4 )；12、设向量 a(1，2)， b (2，3) ，若向量a b 与向量 c (4， 7)共线，则x 111. lim______ .x 1x 23x 414. 对任意实数 x 、 y ，定义运算 x* y=ax+by+cxy ，其中a、 b、c 常数，等号右的运算是平时意的加、乘运算 .已知 2*1=3 ， 2*3=4 ，且有一个非零数m，使得任意数x，都有 x* m=2x， m=.三、解答：r r15．（本 10分）已知向量 a =(sin(+x), 3 cosx)，b =(sin x,cosx),f(x)=⑴求 f( x)的最小正周期和增区；2⑵若是三角形 ABC 中，足 f(A)=3，求角 A 的．216．（本 10 分）如：直三棱柱（棱⊥底面）ABC — A 1B1C1中，∠ ACB =90°， AA 1=AC=1 ， BC= 2，CD ⊥ AB, 垂足 D.C1⑴求： BC∥平面 AB 1C1;A1⑵求点 B 1到面 A 1CD 的距离 .PCA D r r a ·b .B 1B17．（本 10 分）旅游公司 4 个旅游供应 5 条旅游路，每个旅游任其中一条.（ 1）求 4 个旅游互不一样样的路共有多少种方法;（2）求恰有 2 条路被中的概率 ;（3）求甲路旅游数的数学希望.18.（本 10 分）数列 { a n} 足 a1+2a2 +22a3+⋯+2n-1a n=4 n.⑴求通a n；⑵求数列 { a n} 的前 n 和S n.19．（本 12 分）已知函数f(x)=alnx+bx,且 f(1)= - 1， f′(1)=0 ，⑴求 f(x)；⑵求 f(x)的最大；⑶若 x>0,y>0, 明： ln x+lny≤xy x y 3.220．（本 14 分） F 1, F 2 分 C :x2y 21(a b 0) 的左、右两个焦点，若 Ca 2b 2上的点 A(1,3124.)到 F ， F 两点的距离之和等于2⑴写出 C 的方程和焦点坐 ；⑵ 点 P （ 1，1）的直 与 交于两点 D 、 E ，若 DP=PE ，求直 DE 的方程 ;4⑶ 点 Q （ 1，0）的直 与 交于两点 M 、N ，若△ OMN 面 获取最大，求直 MN 的方程 .21. （本 14 分） 任意正 数 a 1、 a 2、 ⋯ 、an ；求1/a 1+2/(a 1 +a 2)+⋯ +n/(a 1+a 2+⋯ +a n )<2 (1/a 1+1/a 2+⋯ +1/a n )9 高三数学模 答案一、 :. ACCD BAD A二、填空 ：本 主要考 基 知 和基本运算．每小 4 分，共 16 分 .9.[-1,0] 10.5 11.19 12. 2 13.1 14. 35三、解答 ：15．本 考 向量、二倍角和合成的三角函数的公式及三角函数性 ，要修业生能运用所学知 解决 ．解：⑴ f(x)= sin xcosx+3 + 3 cos2x = sin(2x+ )+ 3⋯⋯⋯2 23 2 T=π， 2 k π - ≤ 2x+≤ 2 k π +， k ∈ Z,232最小正周期 π， 增区[ k π -5, k π + ], k ∈ Z.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1212⑵由 sin(2A+ )=0 , <2A+ <7 ,⋯⋯⋯⋯⋯33 或533∴ 2A+ =π或 2π，∴ A=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33616．、本 主要考 空 、 面的地址关系，考 空 距离角的 算，考 空 想象能力和推理、 能力， 同 也可考 学生灵便利用 形， 建立空 直角坐 系， 借助向量工具解决 的能力． ⑴ 明：直三棱柱ABC — A 1B 1C 1 中， BC ∥ B 1C 1,又 BC 平面 A B 1C 1，B 1C 1 平面 A B 1C 1，∴ B 1C 1∥平面 A B 1C 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑵（解法一）∵ CD ⊥ AB 且平面 ABB 1A 1⊥平面 AB C,C 11 1 1∴ CD ⊥平面 ABBA ，∴ CD ⊥AD 且 CD ⊥A D ,∴∠ A DA 是二面角 A 1— CD —A 的平面角，1A 1B 1在 Rt △ ABC,AC=1,BC= 2 ,PC∴ AB= 3 , 又 CD ⊥ AB ，∴ AC 2=AD × ABADB∴ AD=3， AA1131=1，∴∠ DA 1B 1=∠ A DA=60 °，∠ A 1 B 1A=30°，∴ A B 1 ⊥A D又 CD ⊥ A 1D ，∴ AB 1⊥平面 A 1CD ， A 1D ∩ AB 1=P, ∴ B 1P 所求点 B 1 到面 A 1CD 的距离 . B P=A 1 B 1cos ∠ A 1 B 1A= 33cos30 =° .12即点 B 1 到面 A 1 CD 的距离 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21 × 3 1 z （ 2）（解法二） 由 V B 1- A 1CD =V C - A 1B 1D =C 132×6 = 2，而 cos ∠ A 1 CD= 2 × 6 = 3 ,AB13 6 2 3 31△A 1CD1 ×2 ×6 ×6 =2,B 1 到平面CS=3 332A ByA 1CD 距离 h, 1×22, 得 h= 3所求 .Dx h=33 6 2⑶（解法三）分 以CA 、CB 、CC 1 所在直 x 、y 、z 建立空 直角坐 系（如 ）A （ 1，0， 0）， A 1（ 1， 0， 1），C （0， 0， 0）， C 1（ 0， 0， 1），B （0，2 ， 0）， B 1（ 0， 2 ， 1），uuurr∴ D （ 2 ， 2， 0） CB =（ 0， 2 ， 1）， 平面 A 1CD 的法向量 n =（ x ， y ， z ），3 31r uuur3n CD2x2y 0rruuur，取 n=（ 1， -2 ， - 1）n CA 1 x z 0r uuur点 B 1 到面 A 1CD 的距离d= n CB 13r⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n217．本 主要考 排列，典型的失散型随机 量的概率 算和失散型随机 量分布列及希望等基 知 和基本运算能力．解：（ 1） 4 个旅游 互不一样样的 路共有：A 54=120 种方法； ⋯（2）恰有两条 路被 中的概率 ：P 2 C 52 (2 42) 28=54⋯125（3） 甲 路旅游 数ξ， ξ～ B(4, 1)14⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5∴希望 E ξ=np=4×=5 5答 : （ 1） 路共有120 种，（2）恰有两条 路被 中的概率 0.224, （ 3）所求希望 0.8 个数 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18．本 主要考 数列的基 知 ，考 分 的数学思想，考 考生 合 用所学知 造性解决 的能力．解：（ 1） a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n - 1a n =4n ，∴ a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n a n+1=4n+1，相减得 2n a n+1=3× 4n , ∴ a n+1=3× 2n ,4(n1) 又 n=1 a 1=4，∴ 上 a n =2n 1所求；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3(n 2)⑵ n ≥2 ， S n=4+3(2 n- 2), 又 n=1 S 1=4 也建立， ∴ S n =3× 2 n - 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．本 主要考 函数、 数的基本知 、函数性 的 理以及不等式的 合 ，同 考 考生用函数放 的方法 明不等式的能力．解：⑴由 b= f(1)= - 1, f ′(1)= a+b=0, ∴ a=1, ∴f(x)=ln x- x 所求； ⋯⋯⋯⋯⋯⑵∵ x>0,f ′(x)=1- 1=1x ,xxx 0<x<1x=1 x>1 f (′x) +0 - f(x)↗极大↘∴ f (x)在 x=1 获取极大 - 1，即所求最大 - 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⑶由⑵得 lnx ≤x- 1 恒建立， ∴ln x+ln y=ln xy+ ln x ln y ≤ xy 1 + x 1 y 1 = xy x y 3建立⋯⋯⋯22 22220．本 考 解析几何的基本思想和方法，求曲 方程及曲 性 理的方法要求考生能正确分析 ， 找 好的解 方向， 同 兼 考 算理和 推理的能力， 要求 代数式合理演 ，正确解析最 ．解：⑴ C 的焦点在 x 上，由 上的点A 到 F 1、F 2 两点的距离之和是 4，得 2a= 4，即 a=2 .；3134 1.得 b 2=1，于是 c 2=3 ；又点 A(1,) 在 上，因此222b 2因此 C 的方程x 2y 2 1,焦点 F 1 ( 3,0), F 2 ( 3,0). ，⋯⋯⋯4⑵∵ P 在 内，∴直DE 与 订交，∴ D( x 1,y 1),E(x 2,y 2)，代入 C 的方程得x 12+4y 12- 4=0, x 22+4y 22- 4=0,相减得 2(x 1- x 2 )+4× 2× 1 (y 1- y 2)=0 , ∴斜率 k=-11 4∴ DE 方程 y- 1= - 1(x-), 即 4x+4y=5; ⋯⋯⋯4(Ⅲ )直 MN 不与 y 垂直，∴MN 方程 my=x- 1，代入 C 的方程得（ m 2+4) y 2+2my- 3=0,M( x 1,y 1 ),N( x 2 ,y 2), y 1+y 2=-2m 3 ,且△ >0 建立 .m 2 4, y 1y 2=-m 2 4又 S △ OMN = 1|y 1- y 2|= 1 ×4m212(m 24) = 2 m23， t=m 2 3 ≥ 3 ,2 2m 2 4m 24S△OMN =2,(t+1t1tt ) ′=1 - t-2>0t≥ 3 恒建立，∴t=3t+1获取最小， S△OMN最大，t此 m=0, ∴ MN 方程 x=1⋯⋯⋯⋯⋯。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（天津卷）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高。

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =∈-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<≤B ．{}34x x -≤<C ．{}4x x ≥D ．{}45x x ≤<【答案】D【解析】由2120x x --<，得34x -<<，所以{}34A x x =-<<；由()2log 51x -<，得052x <-<，解得35x <<，所以{}35B x x =<<.所以{R 3A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 45A B x x ⋂=≤<ð.故选：D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则“0d >”是“81092S S S +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为8109810991091092220S S S S S S a a a a a d +>⇔+-=+-=-=>，所以“0d >”是“81092S S S +>”的充要条件.故选：C.3．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()3xf x =B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可知，()y f x =的图象不关y 轴对称,而()()cos cos ()33x xf x f x --===，()()cos cos 11()33x xf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy =为单调递增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，由sin y x =的图象可知存在一个极小的值00x >，使得sin y x =在区间()00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x =在区间()00,x 上单调递增，sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x =符合题意，故选：A .4．已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A5．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξ、η满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A 、B 相互独立，则()(|)P A B P A =D ．若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强【答案】D【解析】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D6的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）A ．322+B ．32C ．322+D ．322+【答案】D【解析】由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1．由于鸡蛋（球）的半径为12=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1312222++=+．故选：D ．7．已知函数()()ππ2sin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点【答案】C【解析】 函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，π2π2sin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ,Z 3k k ϕ∴+=∈，即2ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又ππ22ϕ-<<，π3ϕ∴=，则()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，πsin 2,13x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(2f x⎤∴∈⎦，故A 错误；将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故B 错误；令2223πππππ,22k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，当0k =时，π51212πx -≤≤，∴函数()g x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；令π2π,3x k k -=∈Z ，得ππ62k x =+，k ∈Z ，∴函数()g x 在区间[]π,π-内的零点有5π6x =-，ππ2π,,363x x x =-==，共4个，故D 错误．故选：C.8．记双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）虚轴的两个端点分别为M ，N ，点A ，B 在双曲线C 上，点E在x 轴上，若M ，N 分别为线段EA ，EB 的中点，且60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3D【答案】C【解析】由题意得，M ，N 关于x 轴对称，则,A B 也关于x 轴对称且4AB b =，不妨设点A 在双曲线C 的右支上且在第一象限，其纵坐标为2b ，又因为260AEB AEO ∠=∠=︒，所以30AEO ∠=︒，所以4AE BE b ==，则ABE 为等边三角形，故),2Ab ，代入22221x y a b-=中，得2253b a =，则双曲线C的离心率c e a ===C 正确.故选:C.9．已知函数()()()eln 010xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+⎣⎦-⎤=⎡有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A．()1,1-B．)1,1C．()2,1D．()1,2+【答案】C【解析】令()eln xh x x =，则()()2e 1ln x h x x-'=，令()0h x '=，解得e x =，故当0e x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，当e x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()max e 1h x h ==，且当1x >时，()0h x >，当01x <<时，()0h x <，结合绝对值函数的图象可画出函数()f x的大致图象，如图所示：令()t f x =，则方程()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦，即方程()210t at a -+-=*，()22Δ4144a a a a =--=+-，①当Δ0<时，()*式无实数根，直线y t =和()f x 的图象无交点，原方程无实数根；②当Δ0=时，()*式有两个相等的实数根，直线y t =和()f x 的图象最多有4个交点，因此要使()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦有8个不相等的实数根，则()*式有两个不相等的实数根，不妨设为12,t t ，且12t t <，则1201t t <<<.则22Δ440012101110a a a a a a ⎧=+->⎪⎪<<⎪⎨⎪->⎪-⨯+->⎪⎩，解得21a <<.故选：C.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。

重庆市巴蜀中学校2023届高三上学期适应性月考（五）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集是实数集R ，集合{}{}2|2,|4120A x x B x x x =>=-->，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{2}x x >∣B ．{22}xx -≤≤∣C ．{2}xx ≤∣D ．{2xx <-∣或2}x >2．已知复数12,z z 是方程210z z -+=的两个虚数根，则12,z z 在夏平面内对应的点关于（）A ．原点对称B ．直线y x =对称C ．y 轴对称D ．x 轴对称3．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)2f =-，且2()(3)=-+h x x f x 为奇函数，则(3)f -=（）A ．4B ．2-C ．0D ．24．圆台上､下底面圆的圆周都在一个半径为5的球面上，其上､下底面圆的周长分别为8π和10π，则该圆台的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．5．已知{}n a 为递增等差数列，等比数列{}n b 以12,a a 为前两项且公比为3，若5m b a =，则m =（）A ．13B ．41C ．57D ．866．化简4sin160tan 20︒︒+=（）AB ．C ．D ．37．如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且 ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-8．已知实数,,(0,1)m n p ∈，且ln 2,ln 3,ln 3223=+=+=+m n pm n p ，则（）A ．p n m <<B ．n m p <<C ．m p n<<D ．n p m<<二、多选题9．已知双曲线2221y x b-=，若过点(2,2)作该双曲线的切线有且仅有一条，则该双曲线离心率e 可能为（）AB ．2C D 10．重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照．如图所示，现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为解放碑的最顶端，B 为基座（即B 在A 的正下方），在步行街上（与B 在同一水平面内）选取,C D 两点，测得CD 的长为100m ．小组成员利用测角仪已测得6ACB π∠=，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度AB 的是（）A ．∠∠BCD BDC 、B ．∠∠ACD ADC 、C ．∠∠BCD ACD、D ．∠∠BCD ADC、11．在分层随机抽样中，已知总体划分为两层，抽取的样本量分别为m 和n ，第一层的样本数据为1x ，2x ，, n x ，第二层的样本数据为12,,,n y y y ，各层的样本平均数和样本方差分别为2212,;,x s y s ．记总的样本平均数为ω，总的样本方差为2s ，则下列说法正确的是（）A ．ω=+++m nx y m n m nB ．()()()()()()222222212121⎡⎤=-+-++-+-+-++-⎣⎦+ m n s x x x x x x y y y y y y m n C ．()()()()()()222222212121ωωωωωω⎡⎤=-+-++-+-+-++-⎣⎦+ m n s x x x y y y m n D ．2222212()()ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦++m n s s x s y m n m n12．如图甲，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为DC 的中点．将CBE △沿直线BE 翻折至1C BE △的位置，F 为1AC 的中点，如图乙所示，则（）A ．翻折过程中，四棱雉1C ABED -必存在外接球，不一定存在内切球B ．翻折过程中，不存在任何位置的1C ，使得1BE AC ⊥C ．当二面角1C BE A --为120︒时，点F 到平面1C BE的距离为4D ．当四棱雉1C ABED -的体积最大时，以1AC 为直径的球面被平面1C BE 截得的交线长为π三、填空题13．已知平面向量,a b 满足2a =，b =a b += ，则a 与b的夹角为_____．14．做出如下统计，3位志愿者随机选择到三个不同的核酸检测点进行服务，每个检测点可接纳多位志愿者，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是______．（结果用最简分数表示）15．已知函数()()223,log 1,1xx af x x x a ⎧->⎪=⎨+-<≤⎪⎩且*a ∈N ，记()()g x f x t =+，若存在实数t 使得()g x 有两个不同的零点，则正整数a 的最大值为_______．四、双空题16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，该抛物线上存在两点M ，N ，M 在第一象限且||||OM ON =，其中O 为坐标原点．若OMN 的重心为F ，则直线OM 的斜率为________；若OMN 的内心为F ，则直线MN 的方程为__________（用p 表示）．五、解答题17．已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①a =2b =；③sin sin sin ++=-B C a c A b c ；④21cos sin sin 24-⎛⎫-= ⎪⎝⎭B C B C ．(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC 的面积．18．随着对新能源汽车的大力推广，其使用量逐年增加，加大了对新能源汽车充电基础设施的建设，统计该市近5年新能源汽车充电桩的数量（单位：千个），得到如下表格：年份20172018201920202021年份代号t12345新能源汽车充电桩数址y（千个）1719232630(1)若y 与t 成线性相关关系，求y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+；(2)预测2024年该新能源汽车充电桩的数量．参考公式：()()()121ˆˆˆ,ni i i nii tt y y ba y bt tt==--==--∑∑．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60,1∠== BCD AB ，4,BC =PA M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥．(1)证明：PM ⊥平面ABCD ；(2)求直线AN 与平面PCD 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足22113,2221++==+-++n n n a a a n n ．(1)求证：22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n na n 是等差数列；(2)令2⎡⎤=⎢⎣⎦n n n a b （[]x 表示不超过x 的最大整数．提示：当a ∈Z 时，[][]a x a x +=+），求使得12100n b b b ++≤+L 成立的最大正整数n 的值．21．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F P 是双曲线C 上的一点，且1212,⊥ F P F P PF F 的面积为4．(1)求双曲线C 的方程；(2)12,A A 分别是双曲线C 的左､右顶点，T 是双曲线C 上异于12,A A 的一个动点，直线12,TA TA 分别与直线12x =交于12,Q Q 两点，问以12Q Q 为直径的圆是否过定点？若是，求出此定点；若不是，请说明理由．22．若函数()(1)ln ,=--∈R f x x x ax a 有两个零点．(1)求证：0a <；(2)设0x 为函数()f x 的极大值点，1x 为函数()f x 的零点，且10x x <，求证：012+>x x ．。

英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A.()2,3− B.(),3−∞ C.()2,2− D.()0,2（2022.广州二模）2.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A.12xy =B.2yx x =−C.1y x =− D.1y x x=−3.已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A.1086B.1229C.980D.10604.2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）A.5%B.3%C.2%D.1%（2022.苏北七市三模） 5.函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（）的AB.C. D.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 117. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2.为10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为811. 已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0xe x +=D. 12121x x x x −+<12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 14. 函数()1293xxf x −=+的最小值是___________.15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =.16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 最大值.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a.的。