不等式选讲之不等式证明与数学归纳法一轮复习专题练习(二)带答案人教版高中数学

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．证： 因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|． ………………………………………5分由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y |≤1． ………………………………………10分4．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.5．已知x 、y 是正实数，求证：31132x y x y+++≥.6．设0x y <<，求证：2222()()()()x y x y x y x y +->-+.7．设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明22212x y z a b c R ++≤++.8．证明：对于任意实数,x y ，有4421()2x y xy x y +≥+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．22．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3．4．解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(, |20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.5．证：∵ x 、y 是正实数，∴112x y xy+≥.…………………………………(4分) ∴3322332x y x y xy xy ++≥⋅⋅⋅=.....................................(10分) 6． 2222()()()()x y x y x y x y +---+ (2)分222()[()]x y x y x y =-+-+()(2)x y xy =--， ………………8分 ∵ x y <， ∴ 0x y -<，又0x <，0y <， ∴20xy -<，∴ ()(2)0x y xy -->， ………………12分 ∴ 2222()()()()x y x y x y x y +->-+. ………………14分7．（选修4—5：不等式选讲）设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明22212x y z a b c R++≤++. 证：由柯西不等式得， 111x y z ax by cz a b c ++=++111ax by cz a b c≤++++，…3分 记S 为ABC ∆的面积，则2242abc abc ax by cz S R R ++===， ……6分 122abc ab bc ca x y z ab bc ca R abc R ++++≤=++22212a b c R ≤++， 故不等式成立． 8．。

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《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过
关检测
经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______. 2．若,,x y z 为正实数，则222
xy yz x y z +++的最大值是22. 提示：2222112222
x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分
二、解答题
3．【题文】[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+． 4．
2．（汇编年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—5:不等式选讲
已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+.
(Ⅰ)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;。

2021届高考数学一轮复习第十三篇不等式选讲第2节证明不等式的基本方法训练理新人教版知识点、方法题号用比较法证明不等式 1用综合法、分析法证明不等式 2用反证法、放缩法证明不等式 3证明不等式方法的综合应用 41.(2021·揭阳二模)已知函数f(x)=|2|x|-1|.(1)求不等式f(x)≤1的解集A;(2)当m,n∈A时,证明:|m+n|≤mn+1.(1)解:由|2|x|-1|≤1,得-1≤2|x|-1≤1,即|x|≤1,解得-1≤x≤1,因此A=[-1,1].(2)证明:|m+n|2-(mn+1)2=m2+n2-m2n2-1=-(m2-1)(n2-1),因为m,n∈A,故-1≤m≤1,-1≤n≤1,m2-1≤0,n2-1≤0,故-(m2-1)(n2-1)≤0,|m+n|2≤(mn+1)2.又明显mn+1≥0,故|m+n|≤mn+1.2.(2021·四川宜宾二诊)已知函数f(x)=m-|x-2|, m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-3,3].(1)解不等式: f(x)+f(x+2)>0;(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证: ++≥3.(1)解:因为f(x+2)=m-|x|, f(x+2)≥0等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-3,3],故m=3.因此f(x)+f(x+2)>0可化为: 3-|x-2| +3-|x|>0,因此|x|+|x+2|<6.①当x≤-2时, -x-x-2<6,因此x>-4,因此-4<x≤-2;②当-2<x≤0时, -x+x+2<6,因此2<6,因此x∈R,又-2<x≤0,因此-2<x≤0;③当x>0时, x+x+2<6,因此x<2,又x>0,因此0<x<2.综上①②③得不等式f(x)+f(x+2)>0的解集为:{x|-4<x<2}.(2)证明: a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3,因为+++(a+b+c)=(+a)+(+b)+(+c)≥2(++) =2(a+b+c)(当且仅当a=b=c=1时,取“=”),因此++≥a+b+c,即++≥3.3.导学号 38486241已知函数f(x)=|x+b2|-|-x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b|,其中a,b,c均为正实数,且ab+bc+ac=1.(1)当b=1时,求不等式f(x)≥1的解集;(2)当x∈R时,求证f(x)≤g(x).解:(1)由题意,当b=1时,f(x)=当x≤-1时,f(x)=-2<1,不等式f(x)≥1无解;当-1<x<1时,f(x)=2x≥1,解得x≥,因此≤x<1.当x≥1时,f(x)=2≥1恒成立,因此f(x)≥1的解集为[,+∞).(2)当x∈R时,f(x)=|x+b2|-|-x+1|≤|x+b2+(-x+1)|=|b2+1|=b2+1;g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|≥|x+a2+c2-(x-2b2)|=a2+c2+2b2.而a2+c2+2b2-(b2+1)=a2+c2+b2-1= (a2+b2+b2+c2+c2+a2)-1≥ (2ab+2bc+2ac)-1=ab+bc+ac-1=0.当且仅当a=b=c=时,等号成立,即a2+c2+2b2≥b2+1,因此,当x∈R时,f(x)≤b2+1≤a2+c2+2b2≤g(x),因此,当x∈R时,f(x)≤g(x).4.导学号 38486242(2021·陕西咸阳二模)已知函数f(x)=m- |x+4|(m>0),且f(x-2)≥0的解集为[-3,-1].(1)求m的值;(2)若a,b,c差不多上正实数,且++=m,求证: a+2b+3c≥9.(1)解:依题意f(x-2)=m-|x+2|≥0,即|x+2|≤m⇔-m-2≤x≤-2+m,因此m=1.(2)证明:因为++=1(a,b,c>0)因此a+2b+3c=(a+2b+3c)( ++)=3+(+)+(+)+(+)≥9,当且仅当a=2b=3c,即a=3,b=,c=1时取等号.。

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法证明不等式课后练习新人教A版选修4-5一、选择题1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n〉n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（)A．2 B．3C．5 D．6解析：使2n>n2＋1，经过计算知应选C。

答案：C2．设p（k）：1＋错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!＋k(k∈N），则p(k＋1)为（)A．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!≤错误!＋k＋1B．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!≤错误!＋k＋1C．1＋12＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!＋k＋1D．上述均不正确解析：分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A。

答案：A3．用数学归纳法证明:1＋a＋a2＋…＋a n＋1（a≠1），在验证n＝1时,左端计算所得的项为（）A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案：C4．用数学归纳法证明“1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈n(n∈N＊，n>1)”时，由n＝k(k〉1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（)A．2k－1B．2k－1C．2k D．2k＋1解析：由k到k＋1，则左边增加了错误!＋错误!＋…＋错误!共2k项．答案：C二、填空题5．用数学归纳法证明：1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈n（n∈N＋，n〉1），第二步证明从“k 到k＋1”,左端增加的项数是________．答案：2k6．设a，b均为正实数(n∈N＋），已知M＝(a＋b）n，N＝a n＋na n－1b,则M，N的大小关系为________（提示:利用贝努利不等式，令x＝ba ）．解析：由贝努利不等式（1＋x）n〉1＋nx，令x＝错误!，∴错误!n>1＋n·错误!,∴错误!n〉1＋n·错误!,即(a＋b)n>a n＋na n－1b.故M〉N.答案：M〉N三、解答题7．求证：(n＋1)（n＋2)…（n＋n)＝2n·1·3·5·…·（2n－1)（n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2,∴等式成立．（2)假设n＝k（k∈N＋）等式成立，即（k＋1）（k＋2)…（k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立．那么n＝k＋1时，（k＋2)（k＋3)…（k＋k）(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1）（k＋2)(k＋3)…（k＋k）(2k＋1）＝2k＋1×1×3×5×…×(2k－1)[2（k＋1）－1]．即n＝k＋1时等式成立．由(1）(2）可知，对任何n∈N＋等式均成立．8．设f(n)＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!，由f(1）＝1〉错误!，f(3）〉1，f（7）〉错误!，f(15)〉2，…。