三角函数图像的变换优秀课件

建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
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THANKS
感谢观看
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周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
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常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
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02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
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解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
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错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
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02 三角函数诱导公 式与变换
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诱导公式及其应用
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诱导公式的基本形式

解：由图及 A＞0，ω＞0 可知，A＝2，T＝2[π3 －－π6 ]＝π，
所以 ω＝2，y＝2sin(2x＋φ)，2×π3 ＋φ＝π2 ＋2kπ，k∈Z，φ＝－π6
＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜π2 ，所以
π φ＝－ 6 ，所以函数
f(x)的解析式为
f(x)＝2sin2x－π6 .
π 把 f(x) 的 图 象 向 右 平 移 12 个 单 位 长 度 得 到 函 数 g(x) ＝
变式 1
(1)(2018·浙江温州统考)已知函数
f(x)＝12sinωx＋
3 2
cosω
x(ω>0)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求 ω 的值，并在上面提供的直角坐标系中画出函数 y＝f(x)在区间 [0，π]上的图象；
(Ⅱ)函数 y＝f(x)的图象可由函数 y＝sinx 的图象经过怎样的变换得到？
解：(Ⅰ)函数可化为 f(x)＝sinωx＋π3 ，
再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得图象
的解析式为( )
A.y＝sin2x－51π2
B.y＝sin2x＋π 12
C.y＝sin2x－51π2
D.y＝sin2x－52π4
解：将函数 y＝sinx－π6 图象上所有的点向右平移π4 个单位长 度得函数 y＝sinx－π4 －π6 ＝sinx－51π2 ，再把图象上各点的横坐
π (2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< 2 )的部分图象
π 如图所示，现将此图象向右平移12个单位长度得到函数 g(x)的图
象，则函数 g(x)的解析式为( ) A.g(x)＝2sin2x
B.g(x)＝2sin2x－π6 C.g(x)＝2sin2x－π4 D.g(x)＝2sin2x－π3

cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。

应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 ↓
统一化成f（x）＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式 ↓
利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k 的形式，研究其性质
1．已知函数 f(x)＝cos2x－1π2＋sin2x＋1π2－1，则 f(x)(
)
A．是奇函数
＝79×－13－－4
9
2×2
3
2＝13.
本部分内容讲解结束
α ＝cos
α.
(变条件)若本例中式子变为
（1＋sin θ＋cos θ）sin
θ2－cos
θ
2
2＋2cos θ
(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？
2sin 解：原式＝
θ 2cos
θ2＋2cos2
θ
2
sin
θ2－cos
θ 2
4cos2
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2
θ 2
θ
cos
2
2sin2
α 2
α
2sin
2
αα
2 ＝－
2sin 2cos
sin
α
2
2.
因为 0＜α＜π，
所以 0＜α2＜π2.所以 sin α2＞0.
所以原式＝－2 2cos α2.
与三角函数性质有关的问题
已知函数 f(x)＝cos(π＋x)cos 32π－x－ 3cos2x＋ 23. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值；
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.

分析 : ( 1 )由图意知,最大温度差为 30 10 20
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4

振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。

4 (C)向左平移 个长度单位 2
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα

3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x

3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ

第一步：列表.
ωx＋φ 0
π 2
π
3π 2
x
－ωφ 2πω－ωφ
ωπ －ωφ
23ωπ －ωφ
f(x)
0
A
0
－A
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
2π 2ωπ－ωφ
0
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
[跟踪训练 1] 作出函数 y＝ 2sin2x－π4在 x∈π8， 34π上的图象． 解 令 X＝2x－π4，列表如下：
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第五章 三角函数
探究三 三角函数图象的伸缩变换 如何由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝12sin 2x 的图象？
解 方法一：y＝sin x横坐标变为―原―来的→12纵坐标不变 y＝sin 2x纵坐标变为―原―来的→12横坐标不变y＝12sin 2x. 方法二：y＝sin x纵坐标变为―原―来的→12横坐标不变y＝12sin x横坐标变为―原―来的→21纵坐标不变y＝12sin 2x.
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第五章 三角函数
[微体验] 把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得到________的图象． 答案 y＝6sin32x
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 “五点法”作函数图象及相关问题
的关系．
作出函数 y＝3sin2x＋π3，x∈R 的简图，并说明它与 y＝sin x 的图象之间
第五章 三角函数
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
第五章 三角函数

可得到y=CosX的图象。 3. 将y=Sin（X+ 4 ）的图象向左平移π/2个单位可 得到_________________________的图象。 Y=Sin(X+ + 纵标不变，横标伸长到原来的 9倍 4.由y=Sin3X的图象_________________________ 得到y=Sin（X/3）的图象。

左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),
例1
作函数 y = 3sin(2x+ )的简图 3
分析 ： 因为T=，所以用“五点法”先作长度为一个周期的 闭区
间上的简图 X 3 设：X 2 x 那么： 3 sin( 2 x ) 3 sin X 且 x 3 2 3
Y=Sin(X+ψ),
3. 周期变换：
Y=SinX
4. 平移变换：
Y=SinX
练习
1. 画出函数Y=Sin（2X+
Y

4 周期的闭区间上的简图。
1
）,X∈R在长度为一个
8
-1
O
8
3 8
5 8
7 8
X
左移π/2个单位长度 2.将y=SinX的图象_____________________
方法1:先平移后伸缩演示
y
3 2 1
y=3sin(2x+ )③ 3
y=sinx
3
5 6
o

5 3
2

3


6
x
-１
-2 -3
y=sin(x+ )① 3 y=sin(2x + )② 3

这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等，可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。