基于终端滑模控制的混沌系统的同步(精)

滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步近年来，随着金融业的发展，金融系统的混沌性已成为一个研究热点。

随着日益复杂的金融环境，传统的控制策略不能有效地解决问题，从而导致混沌的出现。

时滞系统作为一种重要的连续系统，其实现混沌同步已成为一个重要的科学问题。

本文研究了滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步问题。

首先，将金融系统建模为时滞分数阶系统，利用线性分数阶微分方程的分析方法，计算出系统的稳定性以及系统的常量收敛性极限。

其次，引入滑模控制，设计出滑模控制器，改善金融系统的混沌行为。

然后，利用常规的Lyapunov函数以及复杂的绝对值函数，深入研究，证明了时滞分数阶金融系统的混沌同步问题。

最后，通过实验，说明了滑模控制对时滞分数阶金融系统混沌同步的有效性。

首先，讨论和分析时滞分数阶金融系统的稳定性。

金融系统是一种复杂且具有时滞性的系统，因此，控制金融系统的稳定性一直是重中之重。

时滞分数阶系统是一种复杂的时滞系统，使用线性分数阶微分方程的方法，可以描述时滞分数阶系统的稳定性和收敛性极限，从而实现金融系统的稳定性优化。

其次，探究采用滑模控制如何控制时滞分数阶金融系统的混沌行为。

滑模控制是一种重要的控制方法，它可以有效地控制金融系统的混沌行为，使金融系统恒定稳定，从而达到预期的控制效果。

将滑模控制与时滞分数阶金融系统结合起来，可以使系统更加容易控制，从而达到混沌同步的效果。

接下来，深入探讨时滞分数阶金融系统的混沌同步问题。

在设计控制器的过程中，可以使用常规的Lyapunov函数以及复杂的绝对值函数，通过分析Lyapunov函数可以判断系统的混沌同步是否可控，研究结果表明，滑模控制可以有效控制时滞分数阶金融系统的混沌性，从而实现混沌同步。

最后，通过实验，证明滑模控制对时滞分数阶金融系统混沌同步的有效性。

实验中，我们采用了两种不同的滑模控制器，即线性模型滑模控制器和非线性模型滑模控制器，分别对时滞分数阶金融系统进行控制，结果表明，滑模控制器能够有效控制时滞分数阶金融系统的混沌行为，彻底解决混沌同步问题。

永磁同步电机混沌运动的无抖振终端滑模控制李云峰【期刊名称】《陕西电力》【年(卷),期】2017(045)012【摘要】永磁同步电机在参数处于特定区域时会存在混沌现象,混沌的存在将使电机性能变差.为解决这个问题,结合滑模控制原理,提出了永磁同步电机混沌运动的无抖振终端滑模控制方法.该方法通过对转速外环和dq轴电流内环控制器的设计,可以确保电机的输出转速和电流在有限的时间内到达任意给定值.控制器的内部有低通滤波环节,能有效削弱传统滑模控制产生的抖振问题.仿真结果表明,该方法控制速度快,精度高,鲁棒性好.%Chaotic phenomena exists in permanent magnet synchronous motor(PMSM)when its parameters are within a certain range of value,degrading the performance of the motor drive system. Combined with sliding mode control theory,the paper proposes a chattering-free terminal sliding mode control method to solve the problem in PMSM. The method can ensure that the motor output speed and current reaches any given value in finite time by designing the outer-loop speed controller and inner-loop d-q axis current controller. There is low-pass filter inside the controller that can effectively weaken the chattering problem caused by traditional sliding mode control. The simulation results show that the control method is of high speed and precision as well as good robustness.【总页数】5页(P85-89)【作者】李云峰【作者单位】国网江苏省电力公司检修分公司,江苏南京 211100【正文语种】中文【中图分类】TM351【相关文献】1.低抖振非奇异终端滑模控制 [J], 张达科;胡跃明;胡战虎2.永磁同步电机混沌运动的无抖振终端滑模控制 [J], 李云峰;3.内置式永磁同步电机无抖振非线性滑模控制 [J], 邓维克;林立;朱虎;刘正奇4.Buck变换器的无抖振终端滑模控制 [J], 高巍;王洪航5.用于刚性机械手的无抖振快速终端滑模控制 [J], 冯勇;鲍晟;余星火因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

基于滑模控制分数阶统一混沌系统的函数投影同步耿彦峰;王立志【摘要】研究分数阶统一混沌系统的混沌特性.基于滑模控制理论设计了一种自适应函数投影同步的控制方案.选取合适的控制器以及自适应控制律,证明分数阶误差系统为渐近稳定的,驱动-响应系统最终实现自适应修正函数投影同步,且可以对驱动系统的不确定参数进行估计.最后利用Adams-Bashforth-Moultom算法进行数值仿真,仿真结果表明该方法是有效可行的.【期刊名称】《天津师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(039)003【总页数】5页(P23-26,42)【关键词】分数阶;统一混沌系统;滑模控制;数值仿真【作者】耿彦峰;王立志【作者单位】忻州师范学院数学系,山西忻州034000;忻州师范学院数学系,山西忻州034000【正文语种】中文【中图分类】O1931 引言和预备知识随着对混沌系统同步控制的深入研究，相关学者提出了多种混沌同步的概念[1-4].文献[4]提出了混沌系统的修正函数投影同步的概念，该同步控制的驱动系统通过函数比例因子和响应系统实现同步，是一种更为广义的同步，其在工程领域中有着广阔的应用前景[4-5].实现混沌控制同步的主要方法有线性反馈控制法、自适应控制法和滑模控制法等[6-9].其中滑模控制方法适用系统范围广，能够得到快速响应，且具有很强的鲁棒性和抗干扰能力.对于分数阶混沌系统的修正函数投影同步，文献[5]基于分数阶微积分理论研究了一类不确定分数阶混沌系统的同步控制问题，文献[10]结合分数阶微分不等式研究了基于忆阻器分数阶时滞混沌神经网络的修正投影同步，文献[11]通过构造适当的响应系统针对一类分数阶超混沌系统设计了一种自适应广义投影同步的控制方案.本文研究分数阶统一混沌系统的自适应修正函数投影同步，基于滑模控制理论设计了一种自适应函数投影同步的控制方案.通过构造响应系统的补偿器，进而由响应系统得到误差系统；然后构造一个分数阶积分滑模面，给出合适的自适应控制器，并选取合适的自适应滑模控制律，最终实现自适应修正函数投影同步控制；最后通过数值算例及其仿真验证了所提控制方案的有效性和可行性.对于分数阶微积分的概念[12]，Caputo 定义的初始条件有明确的物理意义，因此广泛应用于许多实际问题的建模，本文采用Caputo 定义.函数f（t）的q 阶Caputo 导数为以下用代表定义1[4] 对于分数阶混沌系统和若存在函数对角矩阵M（t）=diag（m1（t），m2（t），…，mn（t）），使得则称这2 个系统获得函数投影同步.其中：mi（t）为连续可微有界函数，且mi（t）≠0，i=1，2，…，n.引理1[13] 对于自治系统Rn，若矩阵A 的任意特征值满足则该系统是渐近稳定的.引理2[14] 设x（t）为可微向量函数，则有其中：0 ＜q ＜1，P 为正定矩阵.引理3[15] 设为分数阶混沌系统f（x，t）的平衡点，若存在分数阶Lyapunov 函数V（t，x（t））与K 类函数γi（i=1、2、3），使得（1）γ1（‖x‖）≤V（t，x（t））≤γ2（‖x‖）；（2）则当0 ＜q ＜1 时，该分数阶系统是渐近稳定的.统一混沌系统相应的分数阶系统[16]为当α∈[0，1]，系统（2）均呈混沌态.本文只讨论0 ＜q ＜1的情形.2 主要结果系统（2）的矩阵形式为式（3）可表示为如下形式的混沌系统其中：A、B∈Rn×n 为已知常数矩阵，设‖A‖=N；f（x）为非线性向量函数；α 为单参数，α∈[0，1].以系统（4）作为驱动系统，构造响应系统其中：为α 的参数估计；U 为待设计的控制器.系统（4）和系统（5）的同步误差为为了得到分数阶误差系统，将参考信号的分数阶微分设计在补偿器中.因此对于响应系统（5），控制器U 设计为其中：v 为待设计的控制器；补偿器u 为则有将式（8）整理后可得误差系统设向量函数f（·）满足Lipschitz 条件，即‖f（y）-f（Mx）‖≤l‖y-Mx‖，其中l 为正常数.设计积分滑模面其中a ＞0.对式（10）求分数q 阶导得当系统进行滑模运动时，s=0，则即有由引理1 知系统（12）是渐近稳定的设计控制器及自适应律其中：Q=diag（q1，q2，…，qn）为正定阵，设q′＝min{q1，q2，…，qn}；为控制增益；λ、μ 均为正常数.定理对于驱动系统（4）和响应系统（5），设计积分滑模面（10），采用控制器（13）及自适应律（14），则系统（4）和系统（5）可实现修正函数投影同步.证明构造分数阶Lyapunov 函数设k 为正常数，且k≥N+l+a.对V 取分数q 阶导数，并由引理2 可得由引理3 知系统（11）是渐近稳定的，即s→0，故在滑模面s=0 上有e→0，所以系统（4）和（5）最终实现修正函数投影同步，且有证毕.3 数值仿真为了验证上述同步方案的正确性和有效性，采用Adams-Bashforth-Moultom 算法进行数值仿真.例1 对于分数阶统一混沌系统（3），取α=0.8，q = 0.98，此时系统为分数阶Lü 混沌系统.取M =则响应系统可写为通过补偿器u，由响应系统可得误差系统为积分滑模面、控制器与自适应律分别按式（10）、式（13）和式（14）取得，取Q 为单位矩阵，步长h=0.01，系统（3）和（15）的初值取为x（0）=[3.5，7.5，-6]T，y（0）=[4，-3.5，3.2]T，（0）＝3.4.仿真结果见图1 和图2.由图1 可知驱动-响应系统最终实现同步，图2 表明参数趋于定值0.8.图1 例1 的e（t）-t 曲线Fig.1 Curve of e（t）-t for example 1图2 例1 的（t）-t 曲线Fig.2 Curve of （t）-t curve for example 1例2 对于系统（3），取a=1，q=0.9，此时系统为分数阶Chen 混沌系统，取响应系统按式（15）取得，则可得误差系统为积分滑模面、控制器与自适应律分别按式（10）、式（13）和式（14）取得，取Q 为单位矩阵，步长为h =0.01，驱动系统、响应系统的初值分别取为x（0）=[-3.5，-6，6]T，y（0）= [7.8，-3.5，13]T，（0）＝3.2.仿真结果见图3 和图4. 图3 例2 的e（t）-t 曲线Fig.3 Curve of e（t）-t for example 2图4 例2 的（t）-t 曲线Fig.4 Curve of （t）-t curve for example 2由图3 可知驱动-响应系统最终实现同步，图4 表明参数趋于定值1.【相关文献】[1]HUANG T W，LI C D，LIU X Z.Synchronization of chaotic systems with delay using intermittent linear state feedback[J].Chaos:An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science，2008，18（3）：1-8.[2]WU Q J，ZHOU J，XIANG L，et al.Impulsive control and synchronization of chaotic Hindmarsh-Rose models for neuronal activity[J].Chaos，Solitons and Fractals，2009，41（5）：2706-2715.[3]YU J，HUA C，JIANG H J，et al.Projective synchronization for fractional neural networks[J].Neural Networks，2014，49（2）：87-95.[4]DU H Y，ZENG Q S，WANG C H.Modified function projective synchronization of chaotic systems[J].Chaos，Solitons and Fractals，2009，42（4）：2399-2404.[5]孟晓玲，程春蕊.一类分数阶混沌系统的修正函数投影同步[J].湖北大学学报（自然科学版），2018，40（3）：232-236.MENG X L，CHENG C R.Modified function projective synchronization of a class of fractional-order chaotic system[J].Journal of Hubei University （Natural Science），2018，40（3）：232-236（in Chinese）.[6]ZHANG K，WANG H，FANG H.Feedback control and hybrid projective synchronization of a fractional-order Newton-Leiplink system[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17（1）：317-328.[7]吴学礼，到刘杰，张建华，等.基于不确定性变时滞分数阶超混沌系统的滑模自适应鲁棒的同步控制[J].物理学报，2014，63（16）：7-13.WU X L，LIU J，ZHANG J H，et al.Synchronizing a class of uncertain and variable time-delay fractional-order hyper-chaotic systems by adaptive sliding robust mode control[J].Acta Physica Sinica，2014，63（16）：7-13（in Chinese）.[8]李特，袁建宝，吴莹.一类不确定分数阶混沌系统同步的自适应滑模控制方法[J].动力学与控制学报，2017，15（2）：2235-2239.LI T，YUAN J B，WU Y.A method of adaptive slidingmode control for synchronization of one class of uncertain fractional-order chaotic systems[J].Journal of Dynamics and Control，2017，15（2）：2235-2239（in Chinese）. 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基于主动滑模控制的混沌系统函数投影同步刘金桂;黄立宏;盂益民【摘要】研究了一类混沌系统的函数投影同步问题.基于Lyapunov稳定性理论和主动滑模控制方法,设计了主动滑模控制器,实现混沌系统的函数投影同步.数值仿真验证了该控制器的有效性和正确性.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2011(028)003【总页数】3页(P6-8)【关键词】主动滑模控制;混沌系统;函数投影同步【作者】刘金桂;黄立宏;盂益民【作者单位】湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙 410082;淮阴工学院数理学院,江苏淮安 223001;湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙 410082;湖南女子学院,湖南长沙 410000;湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙 410082【正文语种】中文【中图分类】O231.2自Pecora和Carroll[1]提出混沌同步原理以来,混沌同步问题引起了人们的广泛关注,并获得了大量的研究成果.在同步问题的研究中,提出了许多同步的方式,如完全同步[1]、相同步[2]、滞后同步[3]、广义同步[4]、投影同步[5]和函数投影同步[6]等.由于函数投影同步的思想是驱动系统和响应系统按一定的比例函数进行同步,并且比例函数的选择具有一定的灵活性,因此将函数投影同步运用到保密通信中可更好地加强保密通信中信息的安全,从而引起了越来越多的学者的广泛兴趣[7-9].目前,许多学者关于混沌同步问题提出了行之有效的控制方法,如PC同步法、反馈控制法、自适应控制法、主动控制法和滑模控制法等.由于滑模控制对系统干扰和摄动具有完全的鲁棒性而引起了学者们的关注.本文基于Lyapunov稳定性理论和主动滑模控制方法,设计了实现混沌系统的函数投影同步控制器,并进行了稳定性分析.数值仿真验证了该控制器的有效性和正确性. 考虑如下形式的驱动-响应混沌系统其中x(t),y(t)∈R n表示系统的状态变量,A∈R n×n是系统矩阵,ΔA表示系统不确定性参数矩阵,满足‖ΔA‖≤M,M>0.非线性向量函数f: R n→R n连续可微,且满足Lipschitz条件:定义误差e=y-α(t)x,则系统(1)和系统(2)的误差系统为其中α(t)是连续有界的可微函数,称α(t)为比例函数.假设对于若对任意初始值x0,y0,有e=y-α(t)x→0 (t→），则称系统(1)和系统(2)达到函数投影同步(FPS).本文的目的就是设计控制器u(t),使误差系统(3)渐近稳定,即系统(1)和系统(2)达到函数投影同步.若r>M,则有(t)<0,由Lyapunov稳定性理论,可以得到系统(3)的零解渐近稳定,即系统(1)和系统(2)达到函数投影同步.证毕.为了验证本文设计的控制器的有效性和正确性,本节采用了经典的四阶Runge-Kutta法进行仿真.选择Lo renz系统作为驱动系统和响应系统.Lorenz系统的动力学方程为其中a,b,c是系统参数,当a=10,b=28,c=-8/3时,系统是混沌的.不确定性参数Δa=0.1sin t,驱动系统和响应系统的初始值分别取为[-1,1,2]T和[9,8,10]T,比例函数α(t)=sin t+3.选取仿真步长为0.001,r=2,q=0.1.为了验证控制器的作用,本文在t=10秒时对系统施加了控制.仿真结果如图1,2所示.可见,随着时间t的增加,误差信号渐近地趋近于零,仿真结果表明系统按照给定的比例函数趋于同步.本文讨论了一类参数不确定混沌系统的函数投影同步问题.基于主动滑模控制策略和Lyapunov稳定性理论,设计了主动滑模控制器,并且分析了系统的稳定性.最后给出了数值仿真结果,验证了该控制器的有效性和正确性.【相关文献】[1] L M PECORA,T L CARROLL.Synchronization in chaotic systems [J].Physical Review Letters,1990,64(8):821-824.[2] M GROSENBLUM,A SPIKOVSKY,J KURTHS.Phase synchronization of chaotic oscillators[J].Physical Review Letters,1996,76 (11):1804-1807.[3] M G ROSENBLUM,A S PIKOVSKY,J KURTHS.From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators[J].Physical Review Letters,1997,78(22):4193-4196.[4] N F RULKOV,M M SUSHCHIK,L S TSINGRING.Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic cystems[J]. Physi-cal Review E,1995,51(2):980-994.[5] R MAIN IERI,J REHACEK.Projective synchronization in three-dimensional chaotic systems[J].Physical Review Letters,1999,82 (15):3042-3045.[6] Y CHEN,X LI.Function projective synchronization between two identical chaotic systems[J].International Journal of Modern Physics C,2007,18(5):883-888.[7] Y CHEN,H L AN,ZB LI.The function cascade synchronization approach with uncertain parameters or not for hyperchaotic Systems [J].Applied Mathematicsand Computation,2008,197(1):96-110.[8] H Y DU,Q S ZENG,C H WANG,et al.Fun-ction projective Synchronization in coupled chaotic systems[J].Nonlinear Analysis:Real World Application,2010,11(2):705-712.[9] 王健安,刘贺平.不同超混沌系统的自适应修正函数投影[J].物理学报,2010,59(4):2265-2271.[10]EW BA I,K E LONNGREN.Synchronization of two Lorenz systems using activecontrol[J].Chaos,Solitons&Fractals,1997,8(1):51-58.[11]H N AGIZA,M T YASSEN.Synchronization of Rossler and Chen chaotic dynamical systems using active control[J].Physics Letters A, 2001,278(4):191-197.[12]M FEKI.Slidingmode control and synchronization of chaotic systems with parametric uncertainties[J].Chaos,Solitons&Fractals,2009, 41(3):1390-1400.[13]J Y HUNG,W B GAO,J C HUNG.Variable structure control:A survey[J].IEEE Trans on IndElectron,1993,40(1):2-22.[14]V IUTKIN.Variable structure systemswith sliding modes[J].IEEE Trans Autom Control,1977,22(2):212-222.[15]V IUTKIN.Sliding Modes in Control and optimization[M].Berlin, New Yo rk:Springer.。

基于滑模PID神经网络控制的混沌同步杨文光;高艳辉;隋丽丽【摘要】对于多输入多输出(multiple inputs multiple outputs,简称MIMO)混沌系统的同步问题,设计了基于误差比例-积分微分(proportional integral derivative,简称PID)改进下的滑模径向基函数神经网络(radial basis function,简称RBF)控制方法,实现了主从统一混沌系统的同步.设计自适应RBF滑模控制器,将其用于初值不同的不确定主从统一混沌系统的同步控制中,证明了控制的Lyapunov稳定性.最后结合MATLAB仿真实验验证了所提方法的可行性与有效性.%For the synchronization of multiple inputs multiple outputs (MIMO) chaotic systems,a sliding mode radial basis function neural network (RBF) control method based on error proportional integral derivative (PID) control was proposed,and the synchronization of master-slave unified chaotic system with the same and different structure was received.An adaptive RBF sliding mode controller was designed,which was used for the synchronization control of uncertain master-slave unified chaotic systems with different initial values,and the Lyapunov stability of the control wasproved.Finally,the feasibility and effcctiveness of the proposed method was verified by MATLAB simulation.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(041)002【总页数】5页(P72-76)【关键词】统一混沌系统;同步;PID;滑模控制;RBF【作者】杨文光;高艳辉;隋丽丽【作者单位】华北科技学院基础部,北京101601;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100191;华北科技学院基础部,北京101601;华北科技学院基础部,北京101601【正文语种】中文【中图分类】O415在混沌系统的研究初期，由于混沌系统具有极端的复杂性、初值的极端敏感性、运行的无规则性等特点，混沌同步被认为是十分困难的.直到1990年Pecora等[1]提出混沌同步方法，并在电路中首次观察到了混沌同步现象，才为混沌系统的开发利用带来了发展机遇.同年，参数微扰控制方法由Ott等[2]首次提出，驱动混沌系统控制同步从此成为混沌研究领域的热点问题.随着计算机技术与信息通信技术的交叉融合，混沌同步在混沌保密通信中发挥了越来越重要的作用[3-6].在混沌控制与混沌系统分析领域，吕金虎等[7]在2002年提出了统一混沌系统.由于统一混沌系统会受参数摄动而呈现出不同的混沌状态，于是成为不同混沌系统联系的纽带.统一混沌系统有机地连接了Lorenz吸引子和Chen吸引子，并使得Lü系统成为它的特例[8-9].在理论分析中，经典的控制方法通常采用直接或者间接抵消掉响应系统的非线性项来达到系统同步的目的，由于一些非线性项难于测量而不便应用于实际.RBF(radial basis function)神经网络作为一种具有良好逼近性能的神经网络得到了非常广泛的应用[10-11].滑模变结构控制因其有目的地迫使被控系统按照预定的滑模面运动，而表现出极强的快速响应、无需在线辨识与实现简单的特点，受到广泛关注[12-14].笔者为了实现多输入多输出混沌系统的同步，努力减弱受控系统的非线性动力学行为，利用PID(proportional integral derivative)控制思想设计滑模函数，结合RBF神经网络与滑模控制技术生成多个并行控制器，实现了在线优化RBF神经网络权值与同步跟踪性能.在同步跟踪中只需要知道不确定主从统一混沌系统的状态信息，而无需知道其他任何非线性不确定信息，就使得响应系统的动力学行为不受其影响.最后结合MATLAB仿真实验验证了所提方法的可行性与有效性.统一混沌系统既是一种经典的混沌系统，同时也是联系多个不同混沌系统的桥梁，实现主从统一混沌系统的同步，对于实现其他混沌系统的同步具有很好的借鉴意义.如果统一混沌系统中含有不确定项与非线性项，那么其混沌特性将更符合客观实际和应用需求.下面将从主从混沌系统描述与说明、滑模PID神经网络同步控制器的设计两个方面加以阐述.1.1 系统描述与说明选择统一混沌系统[7]的驱动系统(主系统)为选择统一混沌系统[7]的响应系统(从系统)为将公式(1)、(2)分别简记为其中：α,β为系统参数时系统呈现混沌状态.x,y为系统状态向量，且特别地，主从混沌系统:当α=β=0时，均为Lorenz系统；α=β=1时，均为Chen系统；α=β=0.8时，为Lü系统[7-9]；α,β∈[0,0.8)时，为广义的Lorenz系统；α,β∈(0.8,1]时，为广义的Chen系统.在考虑参数摄动与外部干扰的情况下，统一混沌系统就成为了不确定统一混沌系统.为了实现两个不确定统一混沌系统的同步，需要在统一混沌从系统中加入控制输入得到其中：A,B均为3阶的线性定常的方阵；△Ax,△By为线性干扰项；为非线性向量项；为非线性扰动项；为外部干扰项.控制输入向量假设与均是有界的.公式(3)表示不确定主统一混沌系统，公式(4)表示不确定从统一混沌系统.1.2 滑模PID神经网络控制器设计与稳定性分析为了实现主从统一混沌系统的同步，设计出3个单输入单输出的RBF神经网络，使用PID控制思想改进的滑模控制中的滑模函数，实现神经网络的在线学习能力与滑模变结构控制技术结合共同优化设计使得‖‖=0，其中为了减弱受控系统的非线性动力学行为，下面利用RBF神经网络与PID控制思想结合设计出动态滑模面其中：k1i,k2i,k3i>0，且k1i,k2i,k3i的选择取决于满足Hurwitz稳定的多项式：即的全部特征值都分布在复平面的左半平面内，i=1,2,3. 动态滑模面的设计集成了误差、误差变化率与误差的积分，体现了PID控制思想，同时充分兼顾了同步系统的过去、现在与未来的差异性.RBF神经网络是一种具有良好逼近性能且仅包含输入层、隐含层与输出层的简单神经网络，其中输入层包括1个神经元，隐含层包括m个神经元，输出层包括1个神经元. 论文将作为第i个RBF神经网络的输入，其输出为第i个状态变量的控制量则可表示为其中：pi是比例因子，pi>0,i=1,2,3.对于第i个状态变量xi与yi，选择误差函数表达式为当误差时，有则所以选择公式(7)作为RBF神经网络的误差函数，用于动态调整网络的隐含层到输出层权值wij，i=1,2,3，j=1,2,…,m.定理1 对于不确定的统一混沌系统(3)与(4)，若中的控制分量采用公式(6)的形式，RBF神经网络的误差函数选择为公式(7)的形式，则权值wij的在线调整律为且控制系统是渐进稳定的.证明由于RBF神经网络属于前向神经网络，所以学习算法采用误差反向传播算法，有其中：ηi为学习率；h为采样步长；i=1,2,3；j=1,2,…,m.对于第i个RBF滑模PID控制器取Lyapunov函数为有因为RBF神经网络采用的是误差反向传播学习算法，故误差函数的导数所以，有.由此可知控制系统是渐进稳定的.下面利用MATLAB编程进行仿真，利用上面建立的滑模PID神经网络控制，实现主从统一混沌系统的同步.仿真实验中，统一混沌系统同步时主从系统的参数取值分别为k12=1,k22=0.1,k32=0.1,k13=1,k23=0.1,k33=2,η1=η2=η3=100,同步时，主系统的初值为从系统的初值为神经网络的结构为1-7-1形式.统一混沌系统的同步结果见图1，各个状态输出与同步误差见图2～4，图5给出了同步的控制输入.论文利用PID控制思想设计了滑模函数，生成了多输入多输出(MIMO)混沌系统的多个RBF神经网络，每个RBF神经网络均为单输入单输出结构，以滑模函数作为输入，提高了滑模控制的控制精度，减弱了控制抖振.通过Lyapunov稳定性理论分析证明了所设计的滑模PID神经网络控制的渐进稳定性.最后，结合MATLAB 仿真，实现了初始值不同的两个不确定统一混沌系统同结构与异结构同步.仿真结果表明，论文所建立的控制器对于存在外部干扰与参数扰动的不确定的MIMO混沌系统的控制是有效的，控制器的设计仅仅依靠主从混沌系统的状态输出，便于实际应用.【相关文献】[1] PECORA L M, CARROLL T L. Synchronization in chaotic systems[J]. Phys Rev Lett，1990, 64 (8): 821-824.[2] OTT E, GREBOGI C, YORKE J A. Controlling chaos[J]. Phys Rev Lett, 1990, 64 (11): 1196-1199.[3] 王兴元. 混沌系统的同步及在保密通信中的应用[M]. 北京：科学出版社, 2012.[4] 李震波，唐驾时. 参数扰动下的混沌同步控制及其保密通信方案[J]. 控制理论与应用, 2014, 31(5): 592-600.[5] 李雄杰，周东华. 一种基于强跟踪滤波的混沌保密通信方法[J]. 物理学报, 2015, 64 (14): 140501.[6] 于娜，丁群，陈红. 异结构系统混沌同步及其在保密通信中的应用[J]. 通信学报, 2007, 28 (10):73-78.[7] LUE J H, CHEN G, CHENG D, et al. Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12 (12): 2917-2926.[8] LUE J, CHEN G. A new chaotic attractor coined[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12 (3): 659-661.[9] LUE J, ZHOU T, CHEN G, et al. Generating chaos with a switching piecewise-linear controller[J]. 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分数阶混沌系统的终端滑模同步控制邵克勇;韩峰;郭浩轩;王婷婷【摘要】The study on terminal sliding mode synchronization control over different fractional order chaotic systems with uncertainties and perturbations was implemented, including having Lyapunov stability theory, sliding mode control theory and finite time definition based to design a terminal sliding mode finite time con-troller to realize synchronization of two fractional order chaotic systems; meanwhile, a new nonsingular frac-tional order terminal sliding surface was designed in the process of building the controller and it can converge to the zero point within a limited time.The simulation results verify the effectiveness and feasibility of this ter-minal sliding mode controller.%研究了带有不确定项和扰动的不同分数阶混沌系统的终端滑模同步控制问题.基于Lyapunov稳定性理论、滑模控制理论和有限时间定义,设计终端滑模有限时间控制器,实现了两个分数阶混沌系统的同步.同时,在控制器构建过程设计了一个新的非奇异分数阶终端滑模面,该滑模面可以在有限时间内收敛到零点.数值仿真验证了该终端滑模控制器的准确性和可行性.【期刊名称】《化工自动化及仪表》【年(卷),期】2018(045)004【总页数】4页(P298-301)【关键词】分数阶混沌系统;滑模控制;有限时间控制;Lyapunov原理【作者】邵克勇;韩峰;郭浩轩;王婷婷【作者单位】东北石油大学电气信息工程学院;东北石油大学电气信息工程学院;东北石油大学电气信息工程学院;东北石油大学电气信息工程学院【正文语种】中文【中图分类】TP13分数阶微积分已经有几百年的历史了，但是它在物理学和工程学领域中的应用是在最近几年才开始的[1]。

本科毕业论文题目：滑模控制方法在混沌同步中的应用院系：专业：班级：学生姓名：指导老师：论文提交日期： 2013年 6月日论文答辩日期： 2013年 6月日摘要非线性科学是当今学术界普遍关注的前沿课题和学术热点，混沌运动是非线性动力学系统中的一种特有运动形式。

混沌信号具有类噪声、非周期、连续宽带频谱、遍历性等特性，特别适用于保密通信领域，但现在针对低维混沌信号的加密破译方法已经出现。

超混沌系统和混沌系统相比，有更为复杂的动力学行为，系统的随机性和不确定性都极大地增加了，在混沌应保密通信中一些针对低维混沌信号的破译方法如非线性预测、回归映象、相空间重构等方法都很难破译超混沌加密的信号。

因此设计合适的控制器来实现超混沌同步，并将其应用于保密通信具有重要的工程应用意义。

本文选取滑模变结构的控制器来实现超混沌同步控制。

主要内容包括：1.介绍混沌和超混沌系统的定义、基本特征和各种分析方法，同时对混沌、超混沌同步的基本方法、概念作简单阐述。

2.根据超混沌Lorenz系统的微分方程搭建数值仿真模型，对所搭建的模型进行仿真；为了便于硬件电路的实现，对典型的超混沌Lorenz系统进行坐标变换，对变换后的系统进行数值仿真。

3.根据变换后的系统的微分方程设计了硬件电路，在Multisim中对该电路进行仿真，并给出了超混沌电路的实验结果——各种状态下的相空间图；通过对实际电路参数的计算以及模型参数的理论分析，验证了实验结果与计算机仿真结果的一致性；该超混沌电路结构简单、参数容易调节，系统的动力学特性丰富，易于观察，利于了解混沌、超混沌系统的特性，为超混沌在工程中的应用提供了很好的信号源。

4.在了解了几种常见的超混沌同步的控制方法后，通过比较本文设计了滑模变结构控制器，并根据Lyapunov函数的稳定性理论证明了所设计的控制器的可行性。

该控制器的优点在于，不仅能实现超混沌同步，还能很好的消除抖动现象。

最后在Simulink中搭建控制器仿真图并进行仿真，验证了滑模控制方法在超混沌同步中的应用的可行性。

滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步
滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步就是利用滑模控制技术
来对金融系统中出现的混沌进行同步。

它主要使用了分数阶微积分方
法来精确描述时滞存在的金融系统。

借助滑模控制，可以用一个适当
的控制功能来改变金融系统中混沌特性的各个阶段，从而有效地实现
混沌同步。

滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术中，首先需要对金
融系统建立一个时滞分数阶微积分模型。

然后，构建一个合适的控制器，在不同的时期调整金融系统中的混沌特性。

分数阶微积分相比传
统的积分微分数学模型，具有更好的精确度，能够更好地反映时滞存
在的金融系统的变化趋势。

在滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术中，控制器的设
计非常重要，因此，控制器的设计通常结合了Lyapunov技术、鲁棒滑
模技术、Fuzzy技术等一系列技术方法，将复杂的金融系统变成一个简
单的可控制系统。

利用这种技术，可以用一系列精心设计的控制器来
调整金融系统中混沌特性，从而实现混沌同步。

滑模控制的时滞分数阶金融系统混沌同步技术在金融系统中的应
用非常广泛，能够有效的解决复杂的金融系统问题，提高金融系统的
可靠性和可靠性。

这一技术可以为复杂的金融系统设计提供新的思路，为金融系统的高效运营提供支持。