三阶积分终端滑模控制方法

终端滑模控制方法1.1终端滑模控制1.1.1基于终端滑模的非线性系统控制[1]控制系统设计的主要需求包括两个主要方面：控制（收敛）性能和控制鲁棒性，前者需要实现有限时间收敛控制，后者需要在不适用高增益开关的条件下实现鲁棒控制。

为提高动态系统的收敛性能，Zak提出了终端吸引子（terminal attractor）[2]的概念，并在神经网络学习中表现出较好的性能，其具有如下三次抛物线型式：(0-1)且平衡点位于原点，对其在初始时刻和平衡时刻间进行积分得到：(0-2) 由此可知，系统(0-1)将在有限时间内收敛到平衡点，收敛时间只取决于系统初始状态。

考虑如下二阶系统(0-3)其中为系统状态，为系统输入，跟踪误差，其中为期望轨迹。

设计如下控制律(0-4)其中，均为正奇数且。

将上式代入式(0-3)得到如下闭环系统：(0-5)并设计滑模面如下(0-6)其中表示初始条件。

那么式(0-5)和(0-6)确保了系统(0-3)在控制律(0-4)下的终端稳定性，定义滑模面为终端滑模子（terminal slider），并定义形如式(0-4)的控制律为终端滑模控制（terminal slider control）。

显然，式(0-4)所示的控制比全状态反馈线性化控制性能优越。

结合式(0-6)(0-4)得到如下控制律(0-7)那么考虑到控制量有界且误差有界，误差的指数必须为正，即(0-8)该条件进一步缩小了参数的设计范围。

但是以上分析设计基础是滑模面初始条件，那么对于不同的期望轨迹其初始值不同（也就是说式(0-6)不一定对仍以期望轨迹均能满足），因此需要对滑模控制器的参数进行重新设计。

传统滑模利用高增益开关切换来迫使系统从任意初始条件均可收敛到滑模面，文献[]提出建立初始条件和滑模面之间的动态系统来解决传统滑模的缺陷。

设计如下滑模控制律(0-9)并将其代入系统(0-3)中得到(0-10)上式表明对于任意初始条件，滑模变量均将在有限时间收敛到稳态值，之后系统跟踪误差将在滑模面(0-6)上有限时间内到达平衡点。

滑模控制滑模变结构理论⼀、引⾔滑模变结构控制本质上是⼀类特殊的⾮线性控制,其⾮线性表现为控制的不连续性,这种控制策略与其它控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定,⽽是可以在动态过程中根据系统当前的状态(如偏差及其各阶导数等)有⽬的地不断变化,迫使系统按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动。

由于滑动模态可以进⾏设计且与对象参数及扰动⽆关,这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、⽆需系统在线辩识,物理实现简单等优点。

该⽅法的缺点在于当状态轨迹到达滑模⾯后,难于严格地沿着滑模⾯向着平衡点滑动,⽽是在滑模⾯两侧来回穿越, 从⽽产⽣颤动。

滑模变结构控制出现于20世纪50年代,经历了 50余年的发展,已形成了⼀个相对独⽴的研究分⽀,成为⾃动控制系统的⼀种⼀般的设计⽅法。

以滑模为基础的变结构控制系统理论经历了 3个发展阶段.第1阶段为以误差及其导数为状态变量研究单输⼊单输出线性对象的变结构控制; 20世纪60年代末开始了变结构控制理论研究的第2阶段, 研究的对象扩⼤到多输⼊多输出系统和⾮线性系统;进⼊80年代以来, 随着计算机、⼤功率电⼦切换器件、机器⼈及电机等技术的迅速发展, 变结构控制的理论和应⽤研究开始进⼊了⼀个新的阶段, 所研究的对象已涉及到离散系统、分布参数系统、滞后系统、⾮线性⼤系统及⾮完整⼒学系统等众多复杂系统, 同时,⾃适应控制、神经⽹络、模糊控制及遗传算法等先进⽅法也被应⽤于滑模变结构控制系统的设计中。

⼆、基本原理带有滑动模态的变结构控制叫做滑模变结构控制(滑模控制)。

所谓滑动模态是指系统的状态被限制在某⼀⼦流形上运动。

通常情况下,系统的初始状态未必在该⼦流形上,变结构控制器的作⽤在于将系统的状态轨迹于有限时间内趋使到并维持在该⼦流形上,这个过程称为可达性。

系统的状态轨迹在滑动模态上运动并最终趋于原点,这个过程称为滑模运动。

滑模运动的优点在于,系统对不确定参数和匹配⼲扰完全不敏感。

1 指数型快速终端滑模控制考虑三阶SISO 非线性系统122322231222121cos 2sin 10(1)x x x x x x x x x x x x u⎧=⎪=⎨⎪=++++⎩ 按照指数型快速终端滑模的递推结构式，可以设计出相应的递推结构为11111111211111(1)(1)()k s k s k s q p s s e e e sign s k αβ−⎡⎤=+−+−⎣⎦ 00000000100000(1)(1)()k s k s k sq p s s e e e sign s k αβ−⎡⎤=+−+−⎣⎦01s x =参数选择02α=，01β=，09p =，07q =，00.06k = 11α=，10.5β=，15p =，13q =，10.05k = 21α=，21β=，25p =，23q =，20.02k =12x =，21x =，31x =，控制器为2221222120000221111122221()[cos 2sin ()10(1)()]d u t x x x x x x A B x dtdA B A B dtαβαβαβ=−+++++++++(1)()i i k si i i A e sign s k =− (1)()i ii i iik s k sq p i i i B ee sign s k −=−1111111111111111111111111()(1)(1)k sk s k s k s q p q p q d A B e se se e s dt p αβαββ−−−+=+−+−0000000000000000000000022000000000022120000000000001220000000000()()(1)(1)()(1)(1)()(1)(k s k s k s k s k s q p q p k sk s k sq p q p d A B k e s sign s e s dtq q q e k e ssign s e s p p p q e k s sign s ee k s sign s p αβααββββ−−−−−−−−+=++−−+−+−+− 0000000)(1)k s k sq p ee s β−+−2 仿真结果time/sx图 2-1 系统状态time/su图 2-2 控制量stime/s图 2-3 滑模函数3Matlab程序clearclcalpha0=2;beta0=1;p0=9;q0=7;k0=0.06;alpha1=1;beta1=0.5;p1=5;q1=3;k1=0.05;alpha2=1;beta2=1;p2=5;q2=3;k2=0.02;n=1;t=0;Dt=0.001;x1=2;x2=1;x3=1;for i=1:7000s0=x1;ds0=x2;dds0=x3;s1=ds0+(alpha0*(exp(k0*abs(s0))-1)+beta0*(1-exp(-k0*abs(s0)))^(q0/p0)*exp(k0*abs(s0)))*sign (s0)/k0;ds1=dds0+alpha0*exp(k0*abs(s0))*ds0+beta0*q0/p0*(1-exp(-k0*abs(s0)))^(q0/p0-1)*ds0+beta0 *(1-exp(-k0*abs(s0)))^(q0/p0)*exp(k0*abs(s0))*ds0;s2=ds1+(alpha1*(exp(k1*abs(s1))-1)+beta1*(1-exp(-k1*abs(s1)))^(q1/p1)*exp(k1*abs(s1)))*sign (s1)/k1;A2=(exp(k2*abs(s2))-1)*sign(s2)/k2;B2=(1-exp(-k2*abs(s2)))^(q2/p2)*exp(k2*abs(s2))*sign(s2)/k2;d1=alpha1*exp(k1*abs(s1))*ds1+beta1*q1/p1*(1-exp(-k1*abs(s1)))^(q1/p1-1)*ds1+beta1*(1-exp (-k1*abs(s1)))^(q1/p1)*exp(k1*abs(s1))*ds1;d2=alpha0*k0*exp(k0*abs(s0))*(ds0)^2*sign(s0)+alpha0*exp(k0*abs(s0))*dds0...+beta0*q0/p0*(q0/p0-1)*(1-exp(-k0*abs(s0)))^(q0/p0-2)*k0*exp(-k0*abs(s0))*(ds0)^2*sign(s0)+ beta0*q0/p0*(1-exp(-k0*abs(s0)))^(q0/p0-1)*dds0...+beta0*q0/p0*(1-exp(-k0*abs(s0)))^(q0/p0-1)*k0*(ds0)^2*sign(s0)+beta0*(1-exp(-k0*abs(s0)))^ (q0/p0)*exp(k0*abs(s0))*k0*(ds0)^2*sign(s0)+beta0*(1-exp(-k0*abs(s0)))^(q0/p0)*exp(k0*abs(s 0))*dds0;u=-1/(10*(x1^2+1))*(x1^2*cos(x2)+2*x2^2*sin(x2)+x1*x2+d2+d1+alpha2*A2+beta2*B2);Dx1=x2;Dx2=x3;Dx3=x1^2*cos(x2)+2*x2^2*sin(x2)+x1*x2+10*(x1^2+1)*u;x1=x1+Dx1*Dt;x2=x2+Dx2*Dt;x3=x3+Dx3*Dt;x_store(:,n)=[x1;x2;x3];u_store(n)=u;s_store(:,n)=[s1;s2];t=t+Dt;n=n+1;endfigure(1)plot((1:n-1)*Dt,x_store(1,:),(1:n-1)*Dt,x_store(2,:),(1:n-1)*Dt,x_store(3,:)) legend('x1','x2','x3')xlabel('time/s')ylabel('x')figure(2)plot((1:n-1)*Dt,u_store)xlabel('time/s')ylabel('u')figure(3)plot((1:n-1)*Dt,s_store(1,:),(1:n-1)*Dt,s_store(2,:))legend('s1','s2')xlabel('time/s')ylabel('s')。

一类3阶非线性系统的非奇异终端滑模控制蒲明;蒋涛;刘鹏【摘要】Traditional nonsingular terminal sliding mode control cannot be used for 3-order systems. To solve this problem, a novel nonsingular terminal sliding mode control for a class of 3-order nonlinear systems with uncertainties and disturbances is proposed. Firstly, the dynamic surface of Backstepping control is combined with 2-order nonsingular termi-nal sliding mode control (TSMC) to construct the 3-order nonsingular terminal sliding modes. Then, the approximations of negative fractional exponential terms are obtained by higher-order sliding mode differentiator (HOSMD) to eliminate the singularity. Then, nonlinear disturbance observer (NDO) is used to approximate unknown uncertainties and disturbance. Terminal attractor is used as reaching law to avoid controller chattering. Based on finite time stability Lyapunov theorem, it is proved that the proposed scheme will force system states into an arbitrary small neighborhood including the origin in finite time. The proposed scheme has faster convergence speed than recursive linear sliding mode control (RLSMC) and other nonsingular TSMC (NSTSMC). In simulation, the total error of the proposed method decreased at least 18%compared with other sliding mode controllers. Overshoot and convergent time are also decreased significantly.%针对传统非奇异终端滑模控制方法不适用于3阶系统的问题,提出一类具有不确定和外干扰的3阶非线性系统的新型非奇异终端滑模控制方法.该方案首先结合backstepping控制中的动态面方法和传统2阶非奇异终端滑模控制构造非奇异3阶终端滑模面,首次提出采用高阶滑模微分器估计值代替控制器中的负指数项.采用非线性干扰观测器任意精度地估计不确定和干扰,设计控制器中的补偿项.采用终端吸引子函数做趋近律避免抖振的同时能保证有限时间趋近滑模面.基于有限时间稳定李雅普诺夫定理证明了被控状态将在有限时间内收敛到任意小的闭球内.所提出方案快于传统的递阶线性滑模控制和其他非奇异终端滑模控制.仿真中与其他滑模控制方案对比,总误差减小18%以上,超调及收敛时间也显著下降.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2017(034)005【总页数】9页(P683-691)【关键词】非奇异;滑模控制;微分器;非线性系统;动态面【作者】蒲明;蒋涛;刘鹏【作者单位】成都信息工程大学控制工程学院,四川成都610225;成都信息工程大学控制工程学院,四川成都610225;成都信息工程大学控制工程学院,四川成都610225【正文语种】中文【中图分类】TP273相比其他现代非线性控制方法,异端滑模控制器(terminalslidingmode control,TSMC)通过将滑模面和终端吸引子函数结合实现有限时间稳定控制,这是从渐近稳定控制、指数稳定控制到有限时间稳定控制的飞跃[1–2].而TSMC易于设计、运算量小的优点使其被广泛应用于磁轴承系统[3]、自动船舶系统[4]、电动汽车[5]等,并取得理想的控制效果.后续研究中进一步将线性项结合到TSMC中以加快远离原点阶段的收敛速度,得到快速TSMC(fast TSMC,FTSMC)[6–7]. FTSMC在全论域内均有较快的收敛速度.但不论TSMC还是FTSMC用于2阶系统及更高阶系统时均存在奇异性问题[8].该问题的本质在于状态或滑模面接近0点时,控制器中含有的负指数项使得控制器趋向于无穷大.相比之下,TSMC的抖振问题、非匹配不确定问题、抗干扰问题等均已有较理想的解决方案,而奇异性问题则仍然是TSMC 最难以解决的现存问题,严重阻碍了TSMC的发展和应用.其难点在于既要避免控制器出现负指数项,又要保证TSMC有限时间控制的能力.因此吸引了很多学者开展相关研究.其中最具标志性和开创性的是冯勇教授在文献[9]提出的2阶系统非奇异TSMC方案.他将终端吸引子指数倒置并置于1阶微分项中,使得滑模面一次微分后不会出现负指数项,而微分方程的动力学特性仍然具有有限时间收敛的能力,并在理论上证明了二维平面中仅在过原点的一条直线上不满足非奇异性,但进一步证明了该直线并非空间中的吸引区,因此并不影响整体的有限时间控制性能.文献[6,10]尝试将文献[9]的方案扩展到n阶系统,但控制器中的负指数项仍然存在.文献[11]虽然去除了负指数项避免了奇异性,但是控制器也失去了有限时间收敛的能力.文献[12]较为理想地解决了滑模面的奇异性,但控制器的奇异性仍然有待解决.文献[13–14]采用饱和函数限制控制器输出,是一种非常实用且工程化的方案,但是饱和函数会削弱系统的鲁棒性和使系统动态性能变差.因此用于高阶系统时,饱和函数层层限制控制器(含虚拟控制器)输出,也就层层削弱了控制能力.另外,该方法中被控系统状态有界性的理论证明也极其繁杂.所以3阶以及更高阶系统的非奇异TSMC仍然是极具挑战的问题.考虑到2阶系统的TSMC含滑模面1次微分,3阶系统TSMC含滑模面2次微分,所以3阶系统才是非奇异TSMC问题的分界点,是更高阶系统非奇异TSMC的代表.因此本文设计一类带有不确定和外扰动的3阶非线性系统的非奇异TSMC.第2节中首先给出TSMC的奇异性问题,并分析文献[9]的方法不能推广到3阶系统的原因.第3节受backstepping控制动态面方法的启发,采用文献[15]的高阶滑模微分器(higher-order slidingmode differentiator,HOSMD)设计了一类3阶单输入单输出(single inputsingle output,SISO)非线性系统的新型非奇异TSMC.第4节将该方法推广到具有不确定和外干扰的3阶多输入多输出(multiple inputmultiple output,M IMO)非线性系统,并采用非线性干扰观测器(nonlinear disturbance obsever,NDO)估计未知复合干扰.采用终端吸引子函数做趋近律,保证滑模面快速到达并避免抖振.使得提出方法广泛适用于一般3阶非线性系统.第5节仿真中定性及定量地证明了相对已有非奇异TSMC以及其他一些递阶滑模方法,本文提出方案在控制精度、收敛快速性、减小超调方面均有显著提高.第6节对全文所做工作和未来可能工作方向提出总结.本文的出发点是解决3阶系统的TSMC奇异性问题,但最重要贡献在于研究有限时间控制方法的融合.融合的意义和目的:一是改进各种有限时间控制的缺点,改善控制性能;二是尽量使得所得结论普适和可推广于各分支方法,如TSMC、有限时间backstepping、齐次控制、加幂积分控制等.这些方法之间是有共性和融合基础的,但当前又缺乏系统性的研究.以本文所涉及的两种方法为例,对于高阶非线性系统,常规的递阶TSMC在滑模面选取中已经暗含了步步反推的步骤,虚拟控制器集中体现在最后一层子系统的实际控制器之中.反之,常规backstepping控制每一层虚拟控制器的选择,则可看作基于线性滑模面而得到的.有限时间backstepping控制则对应终端滑模面.但backstepping与滑模控制结合的当前文献中,几乎所有方案均采用前n−1阶子系统用backstepping设计虚拟控制器,最后1阶系统用TSMC设计真实控制器,没有最大程度体现两种方法的优点.本文所设计的控制器,是反馈递推地设计每一步非奇异终端滑模面,这可看作是有限时间backstepping的发展,因为滑模面是层层反馈设计的,也可看成递阶非奇异TSMC的改进,因为既有term inal 滑模面,也有趋近律,且控制性能优于这两种传统的方法.实际上,提出控制方案是直接基于有限时间李氏稳定理论的.相对传统控制器设计思路,本文更致力于仅以某一控制指标(如有限时间收敛)作为唯一设计原则,而不拘泥或限制于某一种具体控制方法.因为越僵化的控制器设计步骤越不利于复杂高阶系统高性能控制器的灵活设计.终端吸引子函数sgn x在下文中简化为[16]基于有限时间稳定李雅普诺夫定理可知q和p均为正数且满足0＜q/p＜1.为将问题陈述清晰,先考虑简单的3阶SISO系统:控制目标是有限时间镇定x1.传统的递阶(Recursive TSMC,RTSMC)选择为上式:fr(s2)为TSMC的趋近律,可以选择为符号函数[17]、饱和函数[18–19]、终端吸引子函数[20]、或基于智能方法的函数[21–22].不论fr(s2)如何选择,当x1= 0或s1=0时总会因为是负指数项使控制器无限大而出现奇异性.这就是TSMC控制的奇异性问题.即使将文献[9]提出的方案用于3阶系统(2)也无法避免该问题.此时滑模面如下:在上述滑模面中不存在奇异性,因此文献[9]提出的(nonsingular term inalslidingmode control,NSTSMC)可以避免2阶系统的奇异性.但对于3阶系统,奇异性将出现在中:导出的控制器为控制器的奇异性仍然存在.sign for3-order SISO systems)基于以上分析可知消除控制器奇异性的关键是避免控制器出现负指数项.受backstepping控制动态面方法的启示[23–24],本节将HOSMD作为一种特殊的滤波器用于3阶系统(2)中的NSTSMC设计.首先给出几个引理.引理1[15] 对于n阶滑模微分器(6),若f(n)(x)具有有限的Lipschitz常数Lz,则总可以选择恰当参数hi＞0(i=1,2,…,n),0＜qz＜pz使得微分器估计误差ezi=zi−f(i)(x)(i=0,1,2,…,n)在有限时间内收敛到任意小闭球内且其半径满足式(7). 引理2[12,25–26]若V满足α＞0,0＜β＜1,则V从初始点V(0)收敛到原点的时间是从初始点收敛到Vt∈(0,V(0))的时间是其中的等号在时成立.引理3[27]对于任意正实数yi(i=1,2,…,n)以及0＜b≤1,如下不等式成立:在以上准备工作基础上,设计1阶子系统的滑模面如下:当s1=0时有根据引理2可知x1将在有限时间内收敛到0.设x2d为x2期望值,因此x2d应满足:下一步是设计合适的虚拟控制器使得x2跟踪上x2d.设跟踪误差为将式(9)代入上式有上式微分得到选择终端滑模面为并代入式(12)有设x3的希望值为式(13)是基于使e2有限时间内收敛到原点足够小邻域内这一目标而设计的,详见定理2证明.当q1/p1＞1/2时,x3d不含负指数项,因此x3d有界.再设若控制器u直接含有˙x3d,控制器中会出现负指数项.受动态面方法启示,采用1阶滑模微分器(16)估计,再将估计值取代原控制器中的˙x3d项.其中z0和z1是微分器内部状态.参数选择满足基于式(16)有再基于式(13)可得为除x2=0和外,在整个空间Lipschitiz连续.基于引理1和式(18)有定理1如下.定理1 对于任意给定误差上界,总存在恰当设计参数hi＞0,0＜qzi＜pzi(i=1,2)使得1阶微分器(16)在论域内的估计误差ez0=z0−x3d,ez1=z1− ˙x3d在有限时间内收敛到该给定界以内.证设Ωx=Ωx1∪Ωx2∪Ωx3∪Ωx4,其中Ωx1,Ωx2,Ωx3,Ωx4有如下表达式:考虑式(18),中均满足引理1的条件因此定理1成立. 证毕.在有限时间tz0,tz1内,存在参数h0,h1,qz0,pz0, qz1,pz1使得在论域Ωx内下式成立: εz0,tz0,εz1,tz1是与参数h0,h1,qz0,pz0,qz1,pz1有关的任意小常数.根据式(16)–(17)有由于z0,x3d均已知,所以是可得的.所以进一步可得如下定理:定理2 基于1阶滑模微分器(16),若参数满足1/2＜q1/p1＜1,则3阶系统(2)的非奇异TSMC控制器(21)可在任意有限时间内使x1收敛到含原点的任意小闭球内: 证下述的推导证明过程中,用e3,ε3分别代表e3(t),ε3(h0,h1,qz0,pz0,qz1,pz1,k3,q3,p3)以简化过程.ez1,e2,e1,εx2,ε2,ε1有类似用法.由于式(21)中每一项都无负指数项且可得,所以控制器非奇异且可得.将式(21)代入有当x=[x1x2x3]T∈Ωx时,由引理2可知在有限时间段之后,e3将收敛到包含原点的某一闭球内,其半径取决于参数h0,h1,qz0,pz0,qz1,pz1,k3,q3,q3,p3,即∃ε3＞0满足因|ez1|任意小且k3可任意大,所以闭球的半径ε3可任意小.考虑式(11)–(14)(22)有当x2=0时,由式(22)有|e3|≥ε3.这说明x2=0不是吸引域.也即在稳态阶段满足|x2|≥ε2x,ε2x是任意小的正整数.因此e2持续收敛直至e2的收敛时间则为由于ε3任意小以及原点是唯一的平衡点,则对于任意给定的ε3总可以选择足够大的k2使足够小.基于式(23),x1可以滑动到以ε1=ε2/k1为半径的任意小闭球内.其收敛时间可以表示为综上所述,经过有限时间t=t1+t2+t3,x1在非奇异TSMC(21)作用下收敛到以ε1为半径的闭球内.证毕.注1 引理1是充分非必要结论.因此尽管在内Lipschitz条件并不满足,但滑模微分器的跟踪误差仍然是有界的.因为当x∈¯Ωx 时,存在正常数εH满足|z0−x3d|= εH.该误差将使得控制器偏离式(21)并驱使x在无限小的时间段后从¯Ωx进入Ωx.所以HOSMD输出始终有界.注2 在式(11)中,e2被设计为而不是e2=x2−x2d,否则存在负指数项则控制器设计中需要额外的HOSMD,增大了总体的运算量.注3 一个控制算法是否属于TSMC应当根据以下3个指标判断:1)含有终端吸引子函数;2)存在收敛的滑模面; 3)有限时间稳定或收敛.本节所提出的NSTSMC满足所有要求.将第3节提出的控制方案用于具有不确定和外干扰的3n阶M IMO非线性系统(24):其中:xi∈Rn,i=1,2,3;u∈Rn; f(x):R3n→Rn和g(x):R3n→Rn×n是x的已知函数;式(24)的输出是x1;d(x,t)∈Rn包含系统不确定和外部干扰;‖d(x,t)‖和‖˙d(x,t)‖上界存在且未知.设首先给出用于估计未知复合干扰项的NDO的相关结论如下:若满足则NDO(27)的估计误差eNDO=d−ˆd渐近稳定.其中zD是NDO的内部状态;P(x)为待设计矩阵;通常设计为正定对称矩阵.在引理1–4和定理2基础上,对于3n阶M IMO非线性系统(24)有如下定理.定理3 基于一组1阶滑模微分器(16),以及采用NDO(27)得到未知项d的估计值则总存在恰当参数kij＞0,i=1,2;j=1,2,…,n,使得g(x)可逆的3n阶M IMO非线性系统在非奇异TSMC控制器(28)作用下,系统输出x1在有限时间内收敛到包含原点的任意小半径闭球内.证步骤1 选择Lyapunov函数为由滑模面得到如果x2=x2d,考虑式(1)和式(25)有其中基于引理3,对于0＜p1+q1/2p1＜1,可化为其中:所以只要满足将在有限时间内收敛到原点.步骤2 设误差选择李氏函数为从而有第2层的终端滑模面选择为由其导出的虚拟控制器当x3=x3d时有所以x3d作用下的x1和e2的稳定性得证.下面证明V2是有限时间稳定.类似第3节中的证明,可知并非吸引域.再结合式(29)和式(30)有其中:设α12下面按V1,以及是否β1≥β2分6类情况证明总是存在常数使得成立,即V2是有限时间稳定的.成立.再根据引理3有下式:情况2 当时,因为根据引理3有下式:情况3 当V1≥1,V¯1,β1＜β2时,则V.下面要证明βA＞β1.在该情况下V1≥由于是x的增函数,故βC＞β1对于V1总成立.类似地有0＜βD＜β1和βD＜βE.当βA＞β1,上式第2个不等式+1也成立.至此β1＜βA使以上等式均成立.再选择∈(0,β1],显然,可使不等式+成立,也即总是存在＜1可使成立,即情况4 当时,此时的取值区间刚好分别是Case3中的取值区间.证明过程与式(33)证明完全相同,不再赘述.必然存在使得成立,即情况5 当V1＜1,≥1,β1＜β2时,≤成立,再根据引理3有情况6 当成立,再根据引理3有综合式(31)–(36)的结论可知,总是存在在任意情况下成立.所以若x3=x3d,V2将在有限时间内收敛到0.指数必然是如下6种可能值之一.步骤3 MIMO的1OSMD设计为其中:hi=diag{hi,1,hi,2, …,hi,n},i=0,1.z0,j(j=1,2,…,n)与z1,j(j= 1,2,…,n)是解耦的.所以可以选择参数hi和0＜qzi＜pzi(i=0,1)使1阶滑模微分器(37)的误差ez0=z0−x3d在有限时间内收敛到任意小闭球内.的定义类似2中的定义,不再重复.选择恰当参数ki,j(i=1,2,3;j=1,…,n)可以保证α123足够大.再由于e3(0)有界,所以e3有界.由引理1可知‖ez0‖任意小,进一步可得ζ1任意小.所以存在任意小的ζ2使V3在有限时间内满足V3＜ζ2.x1在控制器(28)作用下收敛到包含原点的足够小的闭球内.证毕.注4 若NDO的估计误差也可以通过选择L(x)使其任意小,并不改变定理3的结论. 注5 控制器(28)连续,所以是无抖振的.注6 为论述方便,本文假设u的维数和状态x3的维数都是n,g(x)逆存在.该假设不成立时,需使用g(x)的伪逆来求取控制器u的表达式,如文献[29].选择如下具有扰动的M IMO非线性系统作为被控对象:其中:xi=[xi1xi2]T,i=1,2,3.4种滑模控制器设计分别如下以验证本文方案的结论和改进效果.方案1 本文提出方案.根据定理3,NTSMC控制器设计为方案2 RLSMC方案.线性滑模面设计为el1= x2+k1x1,el2=+k2el1.对应的控制器为所取参数k1,k2,k3,x1(0),x2(0),x3(0)值与方案1中对应值完全相同.否则,容易出现选择参数大的方案控制效果更优的情况,从而使得方案间的比较不客观.为消除RLSMC的抖振,用双曲正切函数代替原来的符号函数sgn el2.方案3 RTSMC.滑模面设计为从而所得控制器为参数选择同前两种方案.方案4 文献[14]中的NSTSMC.滑模面和控制器设计为为了客观地比较,在该方案中采用NDO以克服干扰的影响.上述4种方案的仿真结果由图1中给出.本文提出方案NSTSMC相对其他方案具有更快的收敛速度.这一特性得益于每一层滑模面均具有TSMC的结构.方案4虽然避免了奇异性,但是超调时间明显较长.总误差为E∆=|x11(t)|2+|x12(t)|2,t∈[0,20].总误差包含了初期误差和稳态误差,是超调量和控制精度的综合体现.4种控制方案的总误差由表1给出.本文提出方案具有最小的总误差.相对其他3种方案减小18%以上.现代非线性控制器设计的思路是让控制器某些项精确抵消系统中不稳定或动态性能不够好的项,再使控制器剩下项驱使被控系统产生期望的运动.这一思路简洁有效,但在高阶系统中与有限时间稳定控制设计存在一定的矛盾,因而造成了TSMC最难解决的奇异性问题.本文尝试采用融合backstepping控制与TSMC的思路来解决这个问题.通过结合动态面方法和高阶滑模微分器,3阶非线性系统TSMC的奇异性问题可以得到较好解决,同时保留TSMC作用下系统状态有限时间收敛的优点和收敛的快速性.NDO显著增强了系统的鲁棒性,减小了保守性.基于反步递推的思路,每一层滑模面均为TSMC滑模面,保证了系统的收敛速度,这比仅设计总的系统为有限时间收敛的方法有更快的收敛速度.因为后者无法保证每一个子系统的收敛过程,可能会因为子系统间的耦合而存在反复振荡的现象,从而影响整体的性能.仿真证实了理论推导的结论.本文提出的方案区别于其他现有非奇异TSMC[30],并有希望推广到更一般的如下系统:蒲明 (1981–),男,讲师,目前研究方向为非线性控制、滑模控制、有限时间控制,E-mail:***************;【相关文献】[1]MU C,XUW,SUN C.On sw itchingmanifold design for term inalslidingmodecontrol[J].Journalofthe Franklin Institute Engineering and AppliedMathematics,2016,353(7):1553–1572.[2]GALIAS Z,YU X H.Dynam ical behaviors of discredited secondorder terminal slidingmode control systems[J].IEEE Transa ctions on Circuitsand SystemsⅡ:Express Briefs,2012,59(9):597–601.[3]BOONSATIT N,PUKDEBOON C.Adaptive fast terminal sliding mode control ofmagnetic levitation system[J].Journal ofControl Automation and Electrical Systems,2016,27(4):359–367.[4]YANG Y N,YAN Y.Neural network approximation based nonsingular term inal slidingmode control for trajectory tracking of robotic airships[J].Aerospace Science and Technology,2016,54:192–197.[5]GUO JH,LUO Y G,LIK Q.Dynam ic coordinated control forover actuated autonomouselectric vehicleswith nonholonom ic constraints via nonsingular term inal slidingmode technique[J].Nonlinear Dynamics,2016,85(1):583–589.[6]GUDEY SK,GUPTA R.Recursive fast term inal slidingmode control in voltagesource inverter fora low voltagemicrogrid system[J]. 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滑模控制方法文献学习1 / 4积分滑模控制方法1.1 积分滑模控制[1]滑模变结构控制的基本概念 对于一般的存在模型不确定性和外部扰动的非线性动态系统，滑模控制技术起源于变结构系统理论。

滑模在变结构系统理论中起主要作用，变结构系统控制算法的核心思想在于enforcing this type of motion in some mainfolds in system space 。

传统地，这些mainfolds 由状态空间的超平面相交构成，通常称为开关平面。

当系统状态到达开关平面后，反馈控制系统结构自适应变化为趋势系统状态沿着开关平面滑动，因此，系统响应将取决于开关平面的梯度并保持对系统参数变化和外部扰动的不敏感性，这种运动成为滑模。

滑模运动阶段运动方程的阶数为，其中为状态空间维数，为控制输入的维数。

但是，在趋近阶段（滑模阶段到达之前），系统不具备这种不敏感特性，因此，传统滑模控制不能保证对全局响应的不敏感性。

通常可通过高增益反馈控制提高趋近阶段的鲁棒性，但是不可避免会引入稳定性问题。

积分滑模的基本思想 积分滑模的思想集中于实现全局状态空间的鲁棒运动，运动方程的阶数与状态空间的维数相同。

因此，积分滑模控制方法可以保证从初始时刻开始的状态空间全局鲁棒性。

积分滑模控制的设计步骤为在已知非线性系统和合理设计的反馈控制基础上，在控制律中加入不连续控制项以抵消未知动态和外部扰动。

另外，利用积分滑模设计扰动估计器可实现连续控制，并消除抖振，同时保证滑模控制的强鲁棒性和高精度。

积分滑模的基本原理 对于如下状态空间形式动态系统(0-1) 其中。

假设存在连续或者非连续反馈控制律使得系统(0-1)稳定（如在给的的精度范围内，系统状态轨迹可跟踪参考轨迹）。

定义该理想闭环控制系统如下：(0-2) 其中为理想系统在控制律下的状态轨迹。

但是系统(0-1)往往存在参数变化、未建模动态和外部扰动等不确定性，因此，实际控制系统可表示为(0-3) 其中表示系统总的摄动并且满足如下匹配条件（matching condition ）(0-4) 或者亦可表示如下(0-5)。

1 滑模控制概述变结构系统，广义地说，是在控制过程(或瞬态过程)中，系统结构(或模型)可发生变化的系统。

这种控制方法的特点就在于系统的“结构力不是固定的，而是可以在动态过程中，随着系统的变化，根据当前系统状态，系统的各阶导数和偏差等，使系统按照设计好的“滑动模态”的状态轨迹运动。

由于滑动模态可以进行设计并且与对象参数及扰动无关，这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点。

这种方法的缺点是当系统状态运行到滑模面后，难于严格地沿着滑模面向平衡点滑动，而是在滑模面两侧来回穿越，从而产生抖动。

滑模变结构控制是一种先进的控制方法，文献[34-51]讲述了这种控制方法是20世纪50年代，前苏联学者Emelyanov 首先提出了变结构控制的概念之后，UtkinE 等人进一步发展了变结构理论。

具有滑动模态的变结构系统不仅对外界干扰和参数摄动具有较强的鲁棒性，而且可以通过滑动模态的设计来获得满意的动态品质。

在这种控制方法的初始阶段研究的对象为二阶及单输入的高阶系统，采用的分析方法为相平i 酊法来分析系统特性。

20世纪70年代以来研究对象转变为状态空问的线性系统，使得变结构控制系统设计思想得到了不断丰富，并逐渐成为一个相对独立的研究分支，成为自动控制系统的一种设计方法，适用于线性与非线性系统、连续与离散系统、确定性与不确定性系统、集中参数与分布参数系统、集中控制与分散控制等。

并且在实际工程中逐渐得到推广应用，如电机与电力系统控制、机器人控制、飞机控制、卫星姿态控制等。

这种控制方法通过控制量的切换使系统状态沿着滑模面滑动，使系统在受到参数摄动和外干扰时具有不变性，正是这种特性使得变结构控制方法得到了越来越广泛的应用。

2 滑模控制的基本思想考虑一般的情况，在系统)(.x f x = nR x ∈的状态空间中，有一个切换面是0),,,()(321=⋯⋯=n x x x x s x s 它将状态空间分成上下两部分S>0及S<0。

第28卷㊀第3期2024年3月㊀电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报Electri c ㊀Machines ㊀and ㊀Control㊀Vol.28No.3Mar.2024㊀㊀㊀㊀㊀㊀积分型非奇异终端滑模PMSM 无传感器控制系统郑诗程,㊀刘志鹏,㊀赵卫,㊀王宇,㊀郎佳红(安徽工业大学电气与信息工程学院,安徽马鞍山243000)摘㊀要:针对永磁同步电机中高速情况下传统的滑模观测器估算精度低且存在较强抖振的问题,提出一种基于改进型滑模观测器的PMSM 矢量控制方法㊂基于非线性滑模面理论分析,构建一种积分型非奇异终端滑模面,有效降低了抖振现象,提高了系统的观测精确度;并设计了一种自适应反电动势滤波器,使反电动势能随观测器自适应调节,且谐波含量低,进一步提升动态精度;最后,利用正交锁相环原理调制出电机转子位置信息,将提出的新型控制方法应用到永磁同步电机调速系统,与传统滑模控制进行对比㊂仿真和实验表明,提出的基于新型滑模观测器的永磁同步电机控制系统跟踪精度高㊁鲁棒性强,动㊁静态响应好㊂关键词:反电动势滤波器;永磁同步电机;无传感器控制;滑模观测器;调速系统DOI :10.15938/j.emc.2024.03.017中图分类号:TM341;TP273文献标志码:A文章编号:1007-449X(2024)03-0169-10㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2022-11-23基金项目:安徽省重点研发计划(202104a05020022)作者简介:郑诗程(1972 ),男,博士,教授,研究方向为电力电子与电机驱动控制技术㊁新能源发电技术等;刘志鹏(1996 ),男,硕士研究生,研究方向为电力电子与电机驱动控制技术;赵㊀卫(1997 ),男,硕士研究生,研究方向为电力电子与电机驱动控制技术;王㊀宇(1997 ),男,硕士研究生,研究方向为电力电子与电力传动;郎佳红(1972 ),男,博士,副教授,研究方向为新能源技术开发㊁电能质量管理等㊂通信作者:郑诗程Integral non-singular terminal sliding mode PMSM sensorlesscontrol systemZHENG Shicheng,㊀LIU Zhipeng,㊀ZHAO Wei,㊀WANG Yu,㊀LANG Jiahong(School of Electronic Information and Engineering,Anhui University of Technology,Maanshan 243000,China)Abstract :In order to solve the problem of low estimation accuracy and strong chattering of the traditional sliding mode observer at medium and high speeds of permanent magnet synchronous motors,a vector con-trol method of PMSM based on an improved sliding mode observer was proposed.Based on the theoretical analysis of the nonlinear sliding mode surface,in the method an integral non-singular terminal sliding mode surface was constructed,which effectively reduces chattering phenomenon and improves the obser-vation accuracy of the system.An adaptive back electromotive force filter was designed to make the back electromotive force adjust adaptively with the observer,and its harmonic content is low,which further im-proves the dynamic accuracy.Finally,the rotor position information of the motor was modulated using the principle of quadrature phase-locked loop,and the proposed novel control method was applied to the speed control system of the permanent magnet synchronous motor to compare it with the traditional sliding mode control.Simulations and experiments show that the proposed permanent magnet synchronous motor control system based on a new sliding mode observer has high tracking accuracy,strong robustness,fastconvergence speed and good dynamic and static responses.Keywords:back EMF filter;permanent magnet synchronous motor(PMSM);sensorless control;sliding mode observer;speed control system0㊀引㊀言永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor,PMSM)具有功率密度大㊁电磁转矩脉动小等突出优势,因而被广泛应用于电机控制领域㊂近年来,有关于PMSM无传感器控制系统的研究有了实质性的进展,国内外众多学者提出了许多不同的控制方法㊂目前常用的控制算法主要有:滑模观测器法㊁磁链积分估算法㊁高频信号注入法㊁线性观测法等㊂文献[1-3]主要对模型参考自适应法进行了研究,此方法结构简单易分析,利于数学推导,但对参数波动敏感㊂文献[4-6]采用了卡尔曼滤波器法,在PMSM调速系统中对扰动负载具有强的鲁棒性,但引入了大量矩阵,求解过程计算量较大㊂文献[7-9]对处于零低速域内的调速系统中引入了高频信号注入法,该方法仅适用于具有凸极效应的PMSM控制系统中,在隐极式电机中无法使用此控制策略,具有一定的局限性㊂根据滑模控制理论方面的研究可知[10-12],滑模观测器(sliding mode observer,SMO)不依赖电机模型精度,且其计算简单,系统内部参数波动对其影响小,且对系统外部具有较强的抗干扰性,被广泛应用于PMSM控制系统[13-20]㊂文献[21-23]改进了奇异观测器算法,建立一种积分型非奇异终端滑模观测器(non-sigular terminal sliding mode observer, NTSMO),有效避免了微分函数所带来的噪声,但系统中存在高频切换信号,仍会产生较大的抖振,鲁棒性和稳定性能较低㊂在上述控制策略基础上,本文提出一种新型非奇异快速终端滑模面(non-sigular fast terminal slid-ing mode,NFTSM)算法,有效抑制抖振,并在后级输出侧设计相应的自适应反电动势滤波器(adaptive back electromotive force filter,adaptive back-EMF),实现系统自适应调节,同时消除了相位滞后的问题,得到的反电动势观测值更为平滑㊂最后,根据正交锁相环(phase-locked loop,PLL)理论,预测出电机转子位置与转速信息㊂针对所设计新型SMO数学模型构造相应的Lyapunov函数,利用稳定判据理论以此证明此系统的稳定性㊂仿真与实验结果表明,本文所提出的积分型NFTSMO具有跟踪精度高㊁鲁棒性强等特点㊂1㊀表贴式永磁同步电机数学模型三相PMSM经过坐标变换后重构电机电压数学模型,得到电流状态方程为:d iαd t=-R sL s iα+1L s(uα-eα);d iβd t=-R sL s iβ+1L s(uβ-eβ)㊂üþýïïïï(1)式中:iα㊁iβ为αβ轴电流;uα㊁uβ为αβ轴电压;R s为定子电阻;L s为电机等效电感;eα㊁eβ为αβ轴反电动势,且表达式为:eα=-ψfωe sinθe;eβ=ψfωe cosθe㊂}(2)式中:ψf为转子磁链;ωe为电角速度;θe为转子位置电角度㊂由式(1)与式(2)可知,电机转子位置的反馈量与反电动势信号存在一定的数学关系,如若须实现电机调速系统的无感控制,应精确地提取出相应的扩展反电动势信号㊂2㊀传统滑模观测器设计结合滑模变结构控制理论,为了精确获取扩展反电动势值,可构造传统SMO表达式为:d i^αd t=-R sL s i^α+1Ls(uα-vα);d i^βd t=-R sL s i^β+1Ls(uβ-vβ)㊂üþýïïïï(3)式中:i^α㊁i^β为定子电流的观测值;vα㊁vβ为SMO控制律函数㊂由式(3)减式(1)得到定子电流动态误差状态方程:d i-αd t=-R sL s i-α+1L s(eα-vα);d i-βd t=-R sL s i-β+1L s(eβ-vβ)㊂üþýïïïï(4)式中i-α=i^α-iα㊁i-β=i^β-iβ为电流观测值与实际值的误差值㊂将i-α㊁i-β定义为状态变量,且选择滑模面为s=sαsβ[]=i-αi-β[]T㊂(5)071电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀设计SMO 的控制律为v =v αv β[]=k sgn s αk sgn s β[]T ㊂(6)式中k 为控制律函数中的切换增益值,且满足k >max(|e α||e β|)㊂容易证明该传统SMO 具有稳定性㊂当系统状态量运动轨迹到达滑模面时,此阶段的运动状态为滑动模态阶段,此阶段的状态量满足s =s ㊃=0,即i =i -㊃=0,推导式(4)可得:v α=e α=k sgn s α;v β=e β=k sgn s β㊂}(7)由式(7)可知,由于扩展反电动势存在高频切换函数,反电动势估算值存在较高的谐波含量㊂须引入低通滤波器对其进行滤波处理:e ^α=ωcs +ωc v α;e ^β=ωcs +ωcv β㊂üþýïïïï(8)式中:ωc 为截止角频率;e ^α,e ^β为反电动势观测值㊂但低通滤波器的存在导致相位偏移问题,因此须对其相位进行补偿㊂由此可得出电机相应反馈量的表达式为:ω^e =e ^2α+e ^2β/ψf ;θ^e =arctan(-e ^αe ^β)+arctan(-ω^e ωc )㊂üþýïïïï(9)以上分析可知,扩展反电动势的高频切换信号降低了系统的观测精度,引入的低通滤波器产生相位滞后问题,对转子位置角进行相应的相位补偿增加了系统的复杂度㊂3㊀改进型滑模观测器设计为了提高系统的观测精度,准确估计电机位置和速度,同时使系统状态观测快速收敛至滑模面,提出了一种基于adaptive back-EMF 的NFTSMO 的控制算法,有效改善系统抖振,同时消除了由低通滤波器产生的相位偏移问题㊂3.1㊀积分型非奇异滑模面的构建为了实现以i -为状态变量的SMO 的快速收敛,将NFTSM 面设计为s (t )=i -(t )+σʏt 0i-(ξ)d ξ+γʏt|i -(ξ)|λsigmoid(i -(ξ))d ξ㊂(10)式中:σ,γ>0;1<λ<p /q <2,且p >q 均为正奇数;定义为i -(ξ)=i -α(ξ)i -β(ξ)[]㊂当状态量进入滑动模态时,有s =s ㊃=0,即i -(t )+σʏti -(ξ)d ξ+γʏt|i -(ξ)|λsigmoid(i -(ξ))d ξ=0㊂(11)式(11)经过变换后可得i -㊃=-σi --γ|i -|λsigmoid(i -)㊂(12)在任意初始化状态i -(0)ʂ0下,状态变量经过一定时间t s 做滑模运动后,最终收敛于滑模面所期望的平衡点或其允许领域内㊂以i -α为例,对微分方程式(11)求解,由此可得i -α(ts α)的收敛时间为t s α=1σ(1-λ)ln(σ|i (0)|1-λ+γγ)㊂(13)由式(11)可知,线性项σi -(ξ)和非线性项γ|i -(ξ)|λsigmoid(i -(ξ))分别在系统不同的运动阶段起主导作用,因此能够有效实现全局快速收敛㊂其中,构造滑模面时引入积分项,不存在微分状态,同时避免了奇异现象㊂3.2㊀自适应反电动势滤波器设计为精确地获取反电动势,需要设计相应的NFTSMO 的控制律v ㊂选取的滑模面函数如式(10)所示,针对式(4)可求解出控制律函数如下:v =v eq +v sw ;v eq =R i --L (σi -+γ|i -|λsigmoid i -);v sw=-k |s |μh (s )-εs ㊂üþýïïïï(14)分析式(14)可知,针对式(4),依据滑模控制理论可取s ㊃=0,以此推导出等效控制项v eq ,保证状态变量始终在滑模面上㊂在该控制系统中,将快速幂次趋近律结合终端吸引子函数,得到切换控制项v sw ,实现对外部扰动及系统参数不确定性的鲁棒控制㊂滑模控制律函数可表示为v =R i --L (σi -+γ|i -|λsigmoid i -)-k |s |μh (s )-εs ㊂(15)在控制原理中,证明一个系统的稳定性问题,一般通过构造相应的Lyapunov 函数,即对于平衡点s ,若存在一个连续函数V 满足如式(16)所示条件下,对其求导后为负定值,则系统将在平衡点s =0处稳定㊂选取Lyapunov 函数为V =12S 2=12S 2α+12S 2β㊂(16)171第3期郑诗程等:积分型非奇异终端滑模PMSM 无传感器控制系统对式(16)的Lyapunov 函数V 进行求导,有V ㊃=SS ㊃=S αS ㊃α+S αS ㊃β㊂(17)分别判定αβ轴滑模控制系统的稳定性,可求得:S αS ㊃α=S α[-R s i -α+V α+e α+γ|i -α|λsigmoid i -α];S βS ㊃β=S α[-R s i -β+V β+e β+γ|i -β|λsigmoid i -β]㊂}(18)化简得V ㊃=S x /L s (e x -k |S x |μh (S x )-εS x )㊂(19)在{|S x |ɤmin (|e x |/k )1/μ,|e x |/ε,x =α,β}之内,V ㊃是负定的,在理论上则可以证明此系统是稳定的㊂为了更加精确地获得电机转子位置信息,本文构造了adaptive back-EMF,进一步优化了反电动势观测信号,得到更为精确的反电动势值,由此可有效提高系统的观测精度㊂图1为自适应反电动势滤波器在时域内的结构框图㊂图1㊀自适应滤波器结构框图Fig.1㊀Adaptive back-EMF structure对式(2)进行求导得:d e αd t =d ωe d t ψf sin θe +ω2e ψf cos θe ;d e βd t =d ωe d tψf sin θe -ω2e ψf cos θe ㊂üþýïïïï(20)当电机处于稳态运行时,此系统的采样频率远远高于速度变化频率,在一个运行周期内所计算出的估算值基本保持不变,因此可以把d ωe /d t 近似等于零看待,即d ωe /d t =0㊂对式(19)化简得:d e αd t =ω2e ψf cos θe =-ωe e β;d e βd t=ω2e ψf sin θe =ωe e α㊂üþýïïïï(21)由式(21)便可推导得到adaptive back-EMF 的数学模型为:d e ^αd t =-ω^e e ^β-k k (e ^α-e α);d e ^βd t=ω^e e ^α-k k (e ^β-e β);d ω^e d t=(e ^α-e α)e ^β-(e ^β-e β)e ^α㊂üþýïïïïïïïï(22)式中:e ^α㊁e ^β为扩展反电动势观测值;k k 为自适应反电动势滤波器函数的滤波增益㊂传统SMO 构建的定子电流观测方程中,只有v α㊁v β实现单反馈控制,当电机在初始响应阶段,无法精确地观测反电动势㊂因此,将本文构造的adap-tive back-EMF 引入至新型NFTSMO 中,有效提升了低速域内的观测精度㊂新型滑模观测器的表达式为:d i ^αd t =-R s L s i ^α+1L s (u α-v α)-le ^α;d i ^βd t =-R s L s i ^β+1L s(u β-v β)-le ^β㊂üþýïïïï(23)通过上述数学模型的推导,可设计出新型SMO 的原理结构框图如图2所示㊂图2㊀新型滑模观测器结构框图Fig.2㊀Block diagram of NFTSMO structure图2中:u α㊁u β为控制系统中观测器的电压输入量;e ^α㊁e ^β为经过自适应反电动势滤波器后的预测值反馈至观测器中,使得系统实现参数自适应调节,提高了位置辨识精度㊂从图中可知,以电机数学模型为基础,电流误差值i -为状态变量,设计了积分型NFTSM 面㊂通过分析滑模变结构控制理论,针对式(4)所示的电流动态误差方程,结合式(10)设计相应的滑模控制律函数如式(14)所示㊂滑模控制律v 为设计的adaptive back-EMF 的输入量,推导出adaptive back-EMF 的数学模型㊂由式(22)可知,e ^α㊁e ^β与v α㊁v β同时作为观测器的反馈值实现闭环控制调节㊂3.3㊀基于PLL 理论估算转子位置信息在PMSM 无传感器控制系统中,求解电机转子位置信息时,常用方法是反正切函数㊂从理论分析271电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀可得知,该估算方法简单易行,但反正切函数会将抖振进一步放大,从而影响对位置与转速的估算㊂本文将引入锁相环结构,其系统结构原理图如图3所示㊂由图3可知,此结构主要由鉴相器PD㊁环路滤波器LF㊁压控振荡器VCO 三部分所组成,此系统主要能实现对输入信号的频率和相位实时跟踪,以确保输出信号同频同相位于输入信号㊂图3㊀锁相环结构原理图Fig.3㊀Schematic diagram of PLL structurePLL 的表达式可表示为Δe =-e ^αcos θ^e -e ^βsin θ^e ㊂(23)式中Δe 为反电动势误差校正值㊂仅考虑反电动势的基波分量,可将式(2)代入式(23)中,经三角函数变换可得Δe =ωc ψf (sin θe cos θ^e -cos θe sin θ^e )㊂(24)当式|θe -θ^e |<π/6时,由三角函数原理可知sin(θe -θ^e )=θe -θ^e 成立,即Δe =ωe ψf sin(θ-θe )=ωe ψf (θ-θe )㊂(25)4㊀仿真分析与实验验证为分析本文所提出的新型NFTSMO 的观测性能,在相应的仿真软件中搭建仿真模型,对正确性进行仿真验证㊂保证系统初始参数一致性,对基于SMO 无感控制系统的仿真波形进行比较㊂首先,须对整个PMSM 无感调速系统的结构框图进行阐述,在此基础上合理地搭建系统模型,如图4所示为此调速系统的控制框图㊂图4㊀PMSM 无传感器控制系统框图Fig.4㊀PMSM sensorless control system diagram其中,ASR㊁ACR 分别为系统的转速与电流调节器调节和电流调节器㊂由图4可看出,PMSM 无传感器控制系统采用ASR 外环,ACR 双内环的控制策略,系统中的给定值i ∗d ㊁i ∗q 实现了对励磁与转矩分量的解耦控制,通过SVPWM 调制技术实现对电机的直接驱动控制㊂由此得到的调速系统中的反馈量i d ㊁i q ㊁u d ㊁u q 作为新型NFTSMO 的状态变量与输入信号,实现PMSM 调速系统的无感控制㊂在对整个系统进行建模仿真之前,须设置系统的初始变量及PMSM 的初始参数㊂本文所采用的电机本体参数如表1所示㊂表1㊀PMSM 主要参数Table 1㊀PMSM parameters㊀㊀参数数值电机极对数4定子电阻R s /Ω0.258定子电感L s /mH 0.827转子磁链ψf /Wb 0.057阻尼系数/(N㊃m㊃s)0转动惯量/(kg㊃m 2)0.00654.1㊀仿真分析基于图4所示的PMSM 无感控制系统框图,在Simulink 软件中搭建相应的仿真模型㊂电机的初始状态为空载启动,设定转速为800rad /min,电机运行至0.1s 时,系统转速突变至1000rad /min,当电机稳定运行后,当电机运行至0.2s 时,施加一定负载转矩为10N㊃m 负载扰动,同时PWM 开关频率设置为f pwm =10kHz,采用仿真固定步长1e -7,且选用定步长ode45算法,仿真时间为0.3s㊂传统滑模观测器中转速及其误差波形如图5与图6所示,对应的转子位置信息如图7所示㊂由图5和图6可知,不论整个电机控制系统转速在800rad /min 或1000rad /min 的任何一个阶段,都能以较快的响应速度达到给定值,但都存在一定超调,超调量为10%㊂由图6响应波形可知,电机预测转速与实际转速存在一定的误差,在电机启动的低速阶段误差最大,最大误差达20rad /min,当电机在转速突变或施加负载扰动后,系统稳态运行时,电机的转速依然存在的误差范围为[-8rad /min 10rad /min],其值接近于转速给定值,存在的抖振波动大约在1.8%左右㊂可见,在电机加速及稳态371第3期郑诗程等:积分型非奇异终端滑模PMSM 无传感器控制系统运行状态下,系统的动㊁静态性能较差㊂图5㊀传统SMO 转速波形Fig.5㊀Traditional SMO speedwaveform图6㊀传统SMO 转速误差值Fig.6㊀Conventional SMO speederror图7㊀传统SMO 转子位置波形Fig.7㊀Traditional SMO rotor position waveform分析图7可知,电机启动处于低速域阶段,此算法不能准确估算转子实际位置㊂在中高速阶段,观测精度增强,但由于传统SMO 采用低通滤波器滤除等效反电动势中的高频分量,会造成一定的相位滞后,与实际转子位置滞后角度0.065rad,在电机稳态运行阶段,位置的相位误差为0.05rad㊂在相同的假设与初始条件下,采用NFTSMO 的电机转速和误差仿真响应曲线结果如图8和图9所示㊂图8㊀NFTSMO 转速波形Fig.8㊀NFTSMO speedwaveform图9㊀NFTSMO 转速误差值Fig.9㊀NFTSMO speed error由图8㊁图9可知,观测的转速在0.0025s 达到系统设定的1000rad /min 转速,能够以较快的速度达到给定值;在对电机突变转速和施加负载扰动时,转速的误差值较小维持在ʃ0.5rad /min,系统抗干扰能力强,估算精度高㊂对比SMO 的转速误差存在明显的抖振,本文设计的NFTSMO 对抖振有明显的抑制,整个控制系统有较强的鲁棒性㊂图10为机械传感器实测和预测的电机转子位置信息㊂根据图10可知,电机的转子位置估算由于不存在低通滤波器的相位滞后的现象,电机在动态响应过程中,转子位置误差达到最大为0.052rad,在系统进入稳态运行时,能够快速㊁准确地跟踪实际转子位置,估算精度得到了明显的改善㊂根据图11和图12可知,不论电机空载启动后突加转速还是在0.2s 给系统施加10N㊃m 的扰动471电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀负载,较传统的SMO 而言,新型NFTSMO 的观测效果更好,抖振有明显的改善㊂仿真结果表明此新型NFTSMO 能在全局范围内提高观测器的估算精度,施加外部扰动后动态性能的鲁棒性也有所提升㊂在新型NFTSMO 控制系统中针对扩展反电动势进行二次滤波所设计的adaptive back-EMF 得到滤波前后的仿真波形如图13和图14所示㊂图10㊀NFTSMO 转子位置波形Fig.10㊀Traditional SMO rotor positionwaveform图11㊀传统SMO 电流观测值Fig.11㊀Ttraditional SMO currentobservation图12㊀NFTSMO 电流观测值Fig.12㊀NFTSMO current observation对比图13和图14,采用自适应反电动势滤波器,较未引入adaptive back-EMF 常规NTFSMO 中,谐波含量较少,使NFTSMO 得到光滑的反电动势电压估算值,提高了系统的估算精度,同时消除了相位偏移,能够快速㊁准确地跟踪系统的给定值㊂图13㊀滤波前反电动势电压Fig.13㊀Back electromotive force beforefiltering图14㊀滤波后反电动势电压Fig.14㊀Back electromotive force after filtering4.2㊀实验验证为了验证上述理论与仿真的正确性,本文采用了一款超紧凑功率变换器硬件在环实时仿真器PocketBench㊂在该半虚拟实验平台上,可验证控制电路与算法的有效性㊂搭建的实验平台如图15所示㊂从图15可以看出,此实验是在半实物模拟实验平台中完成相应控制算法可行性的验证㊂此实验仅由DSP28335控制板与PocketBench 模拟功率变换器构成,并不涉及到整个实验电机㊁驱动电路㊁采样电路的实物模型㊂在此基础上的实验结果波形如图16~图19所示㊂571第3期郑诗程等:积分型非奇异终端滑模PMSM 无传感器控制系统图15㊀Pocket Bench 实验环境Fig.15㊀Pocket Bench experimentenvironment图16㊀传统SMO 预测转速与转子位置Fig.16㊀SMO predicts speed and rotorposition图17㊀传统SMO 电流观测值Fig.17㊀SMO current observation设定电机给定值为1000rad /min,图16和图17为传统SMO 下的电机转速和转子位置以及电流响应波形㊂由图中分析可知,电机在经过一定时间后能够达到给定值并保持稳定,相应的三相电流在如图17所示,在电机启动响应阶段,电流存在一定时间的不稳定状态,不能很好地预测出电流模型,当转速达到稳定状态时,由于传统SMO 存在较大抖振问题,导致电流的谐波较大㊂在上述相同的实验条件下,将本文设计的新型滑模观测器控制算法应用于此系统中,在CCS6软件环境下所编写的滑模观测器程序并对相应的半虚拟实验平台进行调试,得到的转子位置与转速信息相应曲线如图18所示㊂图18㊀NFTSMO 预测转速与转子位置Fig.18㊀NFTSMO predicting speed and rotor position由图18和图19可知,在相同的初始参数设定条件下,仅改变控制算法,与图16比较可知,电机能够以较快的速度达到给定值,转子位置也不存在相位滞后的问题,相应的电流波形在稳定后由于加入了自适应反电动势滤波器,得到更为光滑的反电动势,电流存在的谐波含量较小㊂图19㊀NFTSMO 电流观测值Fig.19㊀NFTSMO current observation从半实物模拟实验的波形图中可看出,电机转子电气转速为500rad /min /div,在转速波形稳定的情况下纵坐标占据2div,此条件下电机的转速为1000rad /min㊂同理,转子电气角度为2rad /div,三相电流纵坐标数值为1A /div㊂5㊀结㊀论针对传统SMO 控制系统中存在抖振与相位偏移等问题,本文设计了一种积分型滑模面,结合终端吸引子概念构造出相应的滑模控制律函数㊂通过仿真与实验,基本验证了基于此控制策略的PMSM 调速系统的可行性㊂671电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀较常规的滑模观测器,本文所提出的积分型NFTSMO能实现对系统固有抖振的削弱,且有效避免了低通滤波器的使用,无需对系统中存在的相位偏移问题进行补偿,简化系统结构㊂在NFTSMO控制系统中采用控制律,其中引入的积分项能够有效减小反电动势预测值的谐波含量,同时加快了状态变量的收敛速度,且系统具有了全局鲁棒性㊂本文所设计的adaptive back-EMF对反电动势进行二次滤波处理,实现了对扩展反电动势自适应调节,由此可得到更为平滑的反电动势预测值,提升了电机转速和转子位置的跟踪精度㊂参考文献:[1]㊀柳志飞,杜贵平,杜发达.有限集模型预测控制在电力电子系统中的研究现状和发展趋势[J].电工技术学报,2017,32(22):58.LIU Zhifei,DU Guiping,DU Fada.Research status and develop-ment trend of finite control set model predictive control in power e-lectronics[J].Transactions of China Electrotechnical Society, 2017,32(22):58.[2]㊀潘峰,秦国锋,王淳标,等.电动汽车用永磁同步电机模型预测MRAS无速度传感器控制[J].电机与控制应用,2019,46(10):104.PAN Feng,QIN Guofeng,WANG Chunbiao,et al.Model predic-tion of MRAS speed sensorless control of PMSM for electric vehi-cles[J].Electric Machines&Control Application,2019,46(10): 104.[3]㊀PIIPPO A,LUOMI J.Adaptive observer combined with HF signalinjection for sensorless control of PMSM drives[C]//2005IEEE International Conference on Electric Machines and Drives,May 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[4]㊀钟臻峰,金孟加,沈建新.基于分段PI调节器的模型参考自适应永磁同步电动机全转速范围无传感器控制[J].中国电机工程学报,2018,38(4):1203.ZHONG Zhenfeng,JIN Mengjia,SHEN Jianxin.The model based on the segmented PI regulator refers to the sensorless control of the full speed range of the adaptive PMSM[J].Proceedings of the CSEE,2018,38(4):1203.[5]㊀周娟,孙啸,刘凯,等.联合扩展卡尔曼滤波的滑模观测器SOC估算算法研究[J].中国电机工程学报,2021,41(2):692.ZHOU Juan,SUN Xiao,LIU Kai,et al.Research on SOC estima-tion algorithm of sliding mode observer with joint extended Kalman filter[J].Proceedings of the CSEE,2021,41(2):692. 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[11]㊀梁戈,黄守道,李梦迪,等.基于高阶快速终端滑模扰动观测器的永磁同步电机机械参数辨识[J].电工技术学报,2020,35(S2):395.LIANG Ge,HUANG Shoudao,LI Mengdi,et al.A high-orderfast terminal sliding-mode disturbance observer based on mechan-ical parameter identification for PMSM[J].Transactions of ChinaElectrotechnical Society,2020,35(S2):395. [12]㊀于永进,朱昱豪,周封,等.基于模糊滑模与新型扩张状态观测器的SPMSM无速度传感器控制[J].电机与控制学报,2022,26(7):133.YU Yongjin,ZHU Yuhao,ZHOU Feng,et al.SPMSM speedsensorless control based on fuzzy sliding mode and new expandedstate observer[J].Electric Machines and Control,2022,26(7):133.[13]㊀申永鹏,刘安康,崔光照,等.扩展滑模观测器永磁同步电机无传感器矢量控制[J].电机与控制学报,2020,24(8):51.SHEN Yongpeng,LIU Ankang,CUI Guangzhao,et al.Sensor-less filed oriented control of permanent magnet synchronous motorbased on extend sliding mode observer[J].Electric Machinessand Control,2020,24(8):51.[14]㊀GONG C,HU Y,GAO J,et al.An improved delay-suppressed771第3期郑诗程等:积分型非奇异终端滑模PMSM无传感器控制系统sliding-mode observer for sensorless vector-controlled PMSM[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2020,67(7):5913.[15]㊀DING H,ZOU X,LI J.Sensorless control strategy of permanentmagnet synchronous motor based on fuzzy sliding mode observer[J].IEEE Access,2022(10):36743.[16]㊀孙恺英,李冬辉,姚乐乐,等.基于新型超螺旋滑模自适应观测器的永磁同步电机转速估计策略[J].高电压技术,2020,46(11):3771.SUN Kaiying,LI Donghui,YAO Lele,et al.Speed estimationstrategy of permanent magnet synchronous motor based on novelsupercoil sliding mode adaptive observer[J].High Voltage Engi-neering,2020,46(11):3771.[17]㊀LIANG D,LI J,QU R,et al.Adaptive second-order sliding-mode observer for PMSM sensorless control considering VSI non-linearity[J].IEEE Transactions on Power Electronics,2018,33(10):8994.[18]㊀刘计龙,肖飞,沈洋,等.永磁同步电机无位置传感器控制技术研究综述[J].电工技术学报,2017,32(16):76.LIU Jilong,XIAO Fei,SHENG Yang,et al.Survey on sensor-less control technology of permanent magnet synchronous motor[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2017,32(16):76.[19]㊀李贵彬,李永东,郑泽东,等.多相电机统一SVPWM调制及无速度传感器控制实现方法研究[J].电机与控制学报,2018,22(1):61.LI Gubin,LI Yongdong,ZHENG Zedong,et al.Realization ofuniform SVPWM modulation and speed sensorless control formulti-phase motors[J].Electric Machines and Control,2018,22(1):61.[20]㊀ZHANG X,HOU B,MEI Y.Deadbeat predictive current controlof permanent-magnet synchronous motors with stator current anddisturbance observer[J].IEEE Transactions on Power Electron-ics,2017,32(5):3818.[21]㊀AN Q,ZHANG J,AN Q,et al.Frequency-adaptive complex-co-efficient filter-based enhanced sliding mode observer for sensor-less control of permanent magnet synchronous motor drives[J].IEEE Transactions on Industry Applications,2020,56(1):335.[22]㊀YE S,YAO X.An enhanced SMO-based permanent-magnet syn-chronous machine sensorless drive scheme with current measure-ment error compensation[J].IEEE Journal of Emerging and Se-lected Topics in Power Electronics,2021,9(4):4407. 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第29卷第12期中国电机工程学报 V ol.29 No.12 Apr. 25, 20092009年4月25日 Proceedings of the CSEE ©2009 Chin.Soc.for Elec.Eng. 41 文章编号：0258-8013 (2009) 12-0041-06 中图分类号：TM 464 文献标志码：A 学科分类号：470·40新型Buck逆变器3阶滑模控制策略许飞，马皓，何湘宁(浙江大学电气工程学院，浙江省杭州市 310027)Novel Three-order Sliding Mode Control Strategy for Buck InverterXU Fei, MA Hao, HE Xiang-ning(College of Electrical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, Zhejiang Province, China)ABSTRACT: In order to increase the precision, a novel third-order sliding mode control strategy was proposed for the Buck DC/AC inverter composed of two symmetrical current bi-directional Buck converters. Base on the equivalent circuit of Buck inverter, the analysis and design of the third-order sliding mode controller was done according to Lie derivative method. The selection method of the sliding surface coefficients was given. To simplify the analysis, three- dimensional trajectory was transformed into two-dimensional one through mapping transformation. The sliding domain and sliding motion were described by phase trajectory. Experimental results show the proposed control strategy can improve the steady performance of the system and has good dynamic performances.KEY WORDS: Buck inverter; third-order sliding-mode control strategy; Lie derivative; sliding domain; sliding motion摘要：为提高滑模控制变换器的稳态精度，针对一种由两组独立对称的双向Buck变换器组合的新型DC/AC逆变器拓扑提出了3阶滑模控制策略。

第54卷第6期2020年6月电力电子技术Power ElectronicsVol.54, No.6June 2020积分型终端滑模PMSM 无传感器控制优化沐俊文、王仲根\聂文艳2(1.安徽理工大学，电气与信息工程学院，安徽淮南232001; 2.淮南师范学院，机械与电气工程学院，安徽淮南232001)摘要：针对永磁同步电机（P M S M )无位置矢量控制时的转子位置和转速估计精度低的问题，提出一种基于快速 幂次趋近律的新型终端滑模观测器（S M 0)。

首先，设计一个非奇异快速终端滑模面，在避免观测器存在奇异问 题的前提下，不仅使电流观测误差快速收敛到零，还能有效地抑制抖振；然后，结合快速幂次趋近律设计终端S M 0的控制律；最后，使用锁相环（P L L )系统来提取转子的位置信息和转速信息。

仿真实验结果表明，与传统积分型滑模面的非奇异快速终端S M O (N F T S M O )相比，所设计的新型终端S M 0可以有效地提高P M S M 转速估计的 精度，并且转子位置的估计误差小，系统动、静态响应好。

关键词：永磁同步电机；无传感器控制；滑模观测器；锁相环中图分类号：T M 351文献标识码：A文章编号：1000-100X (2020)06-0026-04Integral Terminal Sliding Mode PMSM Sensorless Control OptimizationM U Jun -wen 1, WANG Zhong -gen 1, NIE Wen -yan 2(l.A n h u i University o f Science and Technology, Huainan 232001, China)Abstract ： Aiming at the accurate estimation of rotor position and speed of permanent magnet synchronous motor (P M S M )for the sensorless vector control system,a novel terminal sliding m o d e observer(SMO) based on fast approach law is pro­posed. Firstly ,a non-singular fast terminal sliding m o d e surface i s constructed, which m a k e s the observation error of currents converge to zero quickly and avoids the singular problem as well as effectively suppress chattering.Then, the control law of terminal S M O i s designed with the fast power approach law.Finally, the information of rotor position and speed is extracted from the phase-locked loop (PLL). C o m pared with the nonsingular fast terminal S M O (N F T S M O ) with traditional integral sliding m o d e surface,the simulation results sho w that the n e w terminal S M O can effectively improve the estimation accuracy of P M S M speed.And the estimation of the rotor position is accurate, the system has good dynamic and static performances.Keywords ： permanent magnet synchronous motor ； sensorless control ； sliding m o d e observer ； phase-locked loop Foundation Project ： Supported by National Natural Science Foundation of China( No.61401003 )； Natural Science F o ­undation of Anhui Province (No. 1808085M F 166)PMSM 具有结构简单、运行可靠、体积小、质量轻、损耗小、效率高，以及电机的形状和尺寸可 以灵活多样等显著优点。