初等函数-课件PPT

(2)∵π4 ∈0，π2 ，∴fπ4 ＝－tanπ4 ＝－1， ∴ffπ4＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
解决分段函数求值问题的方法： (1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段 函数分段解决．
【解】(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
基本初等函数、导数及其应用
• 2015高考导 航
知识点
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1.了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定义
函数及 其表示
域和值域；了解映射的概念． 2．在实际、 情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义． 2．理解函数最大值、最小值及其几何意义.
求函数的解析式
(1)已知 fx2＋1＝lg x，求 f(x)；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋ 17，求 f(x)的解析式； (3)定义在(－1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式． [课堂笔记]
奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
知识点
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解指数函数模型的实际背景．
指数与 指数函
数
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义， 掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指 数函数图象图象所过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型.
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将
A．±1
B．－1
C．－2 或－1
D．±1 或－2
2x3，x<0， (2)(2013·高考福建卷)已知函数 f(x)＝－tan x，0≤x<π2，则 ffπ4＝___－__2___．
[课堂笔记]
【解析】(1)当 a≥0 时，f(a)＝12×a－1＝a，a＝－2，不合题 意，舍去；当 a＜0 时，f(a)＝1a＝a，a＝－1(a＝1 舍去)，故 选 B.
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
分类讨论思想在分段函数中的应用
已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，<x1， ≥1.若 f(1 －a)＝f(1＋a)，则 a 的值为__－__34____． [解析] 首先讨论 1－a，1＋a 与 1 的关系，当 a<0 时，1－ a>1，1＋a<1，所以 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋ a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
1．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是 (B) A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1 C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
2．已知 a，b 为实数，集合 M＝ba，1，N＝{a，0}，f：x→x
表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x，则 a＋b 等于
均相同，所以 f(x)与 g(t)表示同一函数；对于(4)，由于 f12＝ 12－1－12＝0，∴ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判
断是(2)，(3)．
分段函数
(1)(2014·湖北武汉模拟)设函数 f(x)＝
21x－1（x≥0）
1x（x＜0）
，若 f(a)＝a，则实数 a 的值为( B )
对应关系 f：A→B
应关系f，使对于集合A 中的__任__意__一个数x， 在集合B中都有唯一确
关系f，使对于集合A中的 _任___意__一个元素x，在集
合B中都有唯一确定的元
定的数f(x)和它对应 素y与之对应
名称
函数
映射
称__f：__A__→__B_为从集 称对应f：A→B为从
合A到集合B的一个 集合A到集合B的一
(B) A．－1
B．1
C．0
D．±1
x，x≥0，
3．设函数 f(x)＝
若 f(a)＋f(－1)＝2，则 a＝
－x，x＜0，
( D) A．－3
B．±3
C．－1
D．±1
4．(2014·安徽省“江南十校”联考)函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的定
义域为____(_－__∞_，__－__1_)_∪__(－__1_，__0．)
函数解析式的四种求法： (1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)， 可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此 时要注意新元的取值范围；
一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简
对数与 对数函
数
化运算中的运用． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌 握对数函数图象所过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数 (a＞0，且a≠1).
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1.了解幂函数的概念． 幂函数 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
1＜x＜2
x≥2
y
1
2
3
(3)f1：y＝2x；f2：如图所示．
[课堂笔记]
【解】(1)不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定 义域为 R. (2)同一函数．x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同，它 们是同一函数的不同表示方式．
(3)同一函数．理由同(2)．
两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关 系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同 时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用 x 表示， 但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m) ＝2m－1 均表示同一函数．
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1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般 不超过三次)． 导数的 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 应用 会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般 不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对 多项式函数一般不超过三次)． 3．会利用导数解决某些实际问题.
【解】(1)(换元法)令 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1，∴f(t)＝lgt－2 1，
即 f(x)＝lgx－2 1(x＞1)．
(2)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即
ax
＋
(5a
＋
b)
＝
2x
＋
17
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1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．
变化率 与导 数、导 数的运 算
2．能根据导数定义求函数 y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝1x，y＝ x的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如
f(ax＋b)的复合函数)的导数.
函数
个映射
记法 y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个 映射
温馨提醒：(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与 集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B 的映射． (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若 不 是 数集，则这个映射便不是函数．
2．函数的有关概念 (1)函数定义中，集合A、B分别是定义域、值域吗？ 提示：由定义可知,集合A是定义域，而值域是集合B的子集 (2)函数三要素是什么？ 提示：定义域、值域、对应关系 (3)函数的三种常用表示法是什么？ 提示：解析法、图象法、列表法
象，了解它们的变化情况.
函数的 图象
会运用函数图象理解和研究函数的性质.
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的 函数与 关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
方程 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程 的近似解.
知识点
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1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知 道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增 函数模 长的含义． 型及其 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、 应用 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广 泛应用.
5．已知函数
f(x)＝xx－＋62，则
1 f(f(4))＝___9_____；若
f(a)＝2，
则 a＝___1_4____．
函数的基本概念
以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？ 为什么？
(1)f1：y＝xx；f2：y＝1；
1，x≤1， (2)f1：y＝2，1＜x＜2，
3，x≥2；
f2：
x
x≤1
(4)消去法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据