第一章 量子力学的诞生
1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ???<<><∞=a
x a
x x x V 0,0,0,)(
试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2
=?
=n n a λ
n a /2=∴λ （1）
又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量
()
,3,2,12422/2/2
2222
222
22==?===n ma n a m n h m m p E πλ （3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有
()?==? ,3,2,1,
x x x
n h n dx p
即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=∴,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量 ???
? ??++=++=222222222
222)(21c n b n a n m
p p p m E z y x z y x n n n z
y x π ,3,2,1,,=z y x n n n
1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,
x V E m p n nh x d p -===??
)(x V
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221
()2
x a E V x m a ω===
。 a - 0 a x
由此得 2/2ωm E a =
， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
2222222
a
a
a
p dx dx m m a m a nh
ωπ
ωωπ++--?===?
==??
?
得ω
ωπm n
m nh a 22
=
=
（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,
==n n E n ω （4）
积分公式：
c a
u a u a u du u a ++-=-?
arcsin 2222
22
2
1.4设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用
,,2,1,20
==?
n nh d p π
?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2
?=。
解：平面转子的转角（角位移）记为?。
它的角动量.
??I p =（广义动量），?p 是运动惯量。按量子化条件
,3,2,1,220
===?
m mh p dx p ?
π
?π
mh p =∴
?，
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
==?，
,3,2,1=m
第二章 波函数与Schr?dinger 方程
2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V
中运动。 （a ）证明粒子的能量平均值为 ω?=?
r d E 3，
ψψψψωV m
**2
2+?= （能量密度）
（b ）证明能量守恒公式 0=??+??s t w ???
? ?????+???-=**22ψψψψt t m s （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）
V T r d V m E +=???
? ??+?-=?3
22*
2ψψ （1）
?=ψψV r d V *3 （势能平均值） （2）
()()()[]
?????-???-=????
???-=ψψψψψ
ψ**3222*
3
2)(2动能平均值r d m
m r d T 其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此
ψψ???=?
*322r d m T （3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2
ψψψψωV m
+???= （4） 且能量平均值 ?
?=ωr d E 3 。
（b ）由（4）式，得
...
2
**.....
2*22**.
.
2
222
*2222V V t m t t t t
V V m t t t t t t s V V t m t m s E ωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ
??
??*??*???=
???+???++?????????
?
??????*??*??*??? ? ?=
???+?-?+?++?? ? ??????????????????*?=-??+-?++-?+ ? ???????=-??+..*
t t ψψψψ???*? ?
+ ?????
ρt E s ??+?-?=
（ρ ：几率密度）
s
?-?= （定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）
所以
0=??+??s t
w
。 2.2考虑单粒子的Schr?dinger 方程
()()()()[]()t r r iV r V t r m
t r t i ,,2,2122
ψψψ++?-=?? （1） 1V 与2V 为实函数。
（a ）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b ）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为
()
???
?????+??-?-=τ
τψψψψψψψψ*
32*
**322r d V S d im r d dt d S
证：（a ）式（1）取复共轭， 得
()*21*
22*2ψψψiV V m
t i -+?-
=??- （2） ?*
ψ（1）-?ψ（2）,得
()()
()
ψ
ψψψψψψψψψψψψψ*2**2
2**22
*2*2222iV m
V i m
t i +?-???-=+?-?-=?? ()()()
ψψψψψψψψ*2***22
V im t +?-???-=??∴
（3） 即 022≠=??+??ρρ
V j t ， 此即几率不守恒的微分表达式。
（b ）式（3）对空间体积τ积分，得
()()()
()
ψψψψψψψψψψψψψψτ
τ
ττ*
23***233***32222rV d S d im rV d r d im r d t S ??????????????+??-?-=+?-???-=??
上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ的几率（S d j
?-=?? ） ，而第二项代表体积τ中“产
生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。
2.3 设1ψ和2ψ是Schr?dinger 方程的两个解，证明
()()0,,2
*13
=?
t r t r r d dt d ψψ。 证： 12
212ψψ???
? ??+?-=??V m t i （1） 22
222ψψ???
? ??+?-=??V m t i （2） 取（1）之复共轭： *12
2*12ψψ???
? ??+?-=??-V m t i （3） ?2ψ（3）?-*1ψ（2）,得
()()
22*1*1222
2*12ψψψψψψ?-?-=??-m
t i 对全空间积分：
()()[]
?
??-?-=-22
*1*122322*132,,ψψψψψψr d m t r t r r d dt d i
()()()()()[]
????+???-?-???-=2*
1*122*1*12322ψψψψψψψψr d m
()[]
??-???-=2*1*1232
2ψψψψr d m
()
022*1*122=??-?-=?S d m
ψψψψ，（无穷远边界面上，0,21→ψψ） 即 ()()
0,,.2*
13=?t r t r r d dt
d ψψ。
2.4）设一维自由粒子的初态()
/00,x ip e
x =ψ， 求()t x ,ψ。
解： () /2200,???
?
??-=t m p x p i e t x ψ
2.5 设一维自由粒子的初态()()x x δψ=0,，求()2
,t x ψ。
提示：利用积分公式
()()2sin cos 2
2
πξξξξ=
=??+∞
∞
-+∞
∞
-d d
或 []
[]4exp exp 2ππξξi d i =
?
+∞
∞
-。
解：作Fourier 变换： ()()?+∞
∞
-=
dp e p x ipx
?πψ210,， ()()
πδπ?π?21)(210,21==
=
?
?+∞
∞
--+∞
∞
--dx e x dx e
x p ipx ipx ，
()()()?
+∞
∞
--=
∴
dp e p t x Et px i
/21,?πψ （m p E 22=） ?∞+∞
-???
?
??--=
dp e px t m
p i 22
21
π （指数配方）
?+∞
∞-??????????? ??--=
dp t mx p m it e t
imx
2
22ex p 21
2
π 令 2
2
2??
?
??-=t mx p m t ξ，则
()?????????? ?
?-=
??
=?=
-+∞
∞
--?42exp 2221
221,24/2222
2ππππξπψπξt mx i t m
e e t
m d e t m e
t x i t imx i t
imx
()t
m
t x πψ2,2
=
。
2.6 设一维自由粒子的初态为()0,x ψ，证明在足够长时间后，
()[]??
?
??????????-=t mx t imx i t m t x ?πψ2exp 4exp ,2
式中 ()()?+∞
∞
--=
dx e
x k ikx
0,21ψπ
?是()0,x ψ的Fourier 变换。
提示：利用 ()x e e x
i i δπ
ααπα=-∞
→2
4/lim
。 证：根据平面波的时间变化规律
()t kx i ikx e e ω-→ ， m k E 22 ==ω，
任意时刻的波函数为
()()()dk e k t x m
tk
kx i 2/2
21, -+∞
∞
-?
=
?πψ
()???
?
??????? ??--?=
?
∞
+∞
-2
2/2ex p 212t mx k m t i k dk e
t
imx ?π
（1）
当时间足够长后（所谓∞→t ） ，上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取
m t 2 =α ， ??
?
??
-
=t mx k u ， （2） 参照本题的解题提示，即得
()()?+∞
∞
--??? ??
-?≈
k d t mx k k e t m e
t x i t
imx δ?ππ
ψπ4/2221,2 ??
?
??=
-t mx e e t m t imx i ?π2/4/2 （3） ()
2
2
,??
? ??≈t mx t m t x ?ψ （4） 物理意义：在足够长时间后，各不同k 值的分波已经互相分离，波群在x 处的主要成分为t mx k =，即
m kt x =，强度()2
k ?∝，因子t m 描述整个波包的扩散，波包强度t 12
∝ψ
。
设整个波包中最强的动量成分为0k ，即0k k =时()2
k ?最大，由（4）式可见，当t 足够大以后，2
?的最大值出现在0k t mx = 处，即m t k x 0 =处，这表明波包中心处波群的主要成分为0k 。
2.7 写出动量表象中的不含时Schr?dinger 方程。
解：经典能量方程 ()r V m
p E
+=22 。 在动量表象中，只要作变换p p →，dp
d
i r
→ 所以在动量表象中，Schr?dinger 为：
()()p E p dp d i V m
p ψψ=???
??????? ??+ 22。
第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
?
??∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为
m
E y
x n n 222π =
)(2
22
2b n a n y
x +
,2,1, ,sin
sin
2==
y x y x n n n n b
y
n a
x
n ab
y
x
ππψ
若b a =，则 )(2222
22y x n n n n ma
E y
x +=π a
y n a x n a y x n n y
x
ππψsin sin 2
=
这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11'
'
==y x n n ）
3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即
??
?∞<<<<<<=其余区域
,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为
)(2222
222
22c
n b n a
n m n n n E z
y
x
z
y x +
+=π ,
,3,2,1,, ,sin sin sin 8
==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z
y x πππψ
当c b a ==时，
)(2222222z y x
n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin
sin sin 22
3
??
? ??= z y x n n n ==时，能级不简并；
z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
如 ???→++=++→++=++)
9,6,3()10,5,1(20
86161210)
11,3,1()9,7,1(10438652
22222
2
22222
3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，
??
?><∞<<=a
x 0, ,0 ,0),(x a x y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子
)61(12)x -(x ,22222π
n a a x -==
讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。
证：设粒子处于第n 个本征态，其本征函数
x a
n a x n πψsin 2)(=
. 2
sin 2022
0a xdx a n x a dx x x a a
n 分部??=
=πψ （1） 4
)(2
2
2
2
2
2
a dx x x x x x n
a
-=-=-?ψ
4
)2cos 1(212202a dx a x n x a a --?=?π )61(12222π
n a -= （2） 在经典情况下，在()a ,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x x dx →+范围的几率为a
dx ，故
2
a
a dx x x a
=?
=? ， （3） 3
20
2
2
a a dx x x a
=?=?
，
4
3)(2
22
2
2
a a x x x x -=-=- （4）
当∞→n 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。
3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，
?
?
?<∞<=2 ,2
,0),(a x a x y x V 处于基态)1(=n ，求粒子的动量分布。
解：基态波函数为 a
x
a πψcos 21=
, （参P57，（12））
2cos
22cos 12cos
112121121
)(2
11
cos 221)(2
2223
222222
)()(2
2
22pa
p a q pa p a pa p a a e e p a i e e p a i a dx e e
a
dx e e e
a dx a
x a e p a p a i a p a i a p a i a p a i a
a p a i p a i a x
i a x i a
a ipx
a
a ipx
-=
??????????????+
+-=???????
??????
??????
???-???? ??+-+????????-???? ??-=??
????+=
+?=?
=
∴??? ??+??
? ??+-??? ??--??? ??--+-------?
?
?ππππππππππππφππππππππ
动量的几率分布()
2cos 4)()(2
2
2222
3
2
pa p a a p p -=
=π
π?ρ 3.5）设粒子处于半壁高的势场中
??
?
??><<-<∞=a
x a x V x V ,00,
x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出eq s .:
a
x ,0)()(a x 0 ,0)()(22
"2
12'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2）
其中 ()'2
202
2
22, k E
k V E μ
μ=
+=
（3）
方程的解为
kx
kx
x ik x ik De
Ce x Be Ae x --+=+=)()(21'
'
ψψ （4）
根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则
0=C
当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是
a
x , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kx
De x a x k F x ψψ （5）
在a x =处，波函数及其一级导数连续，得
ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6）
上两方程相比，得 k
k a k tg '
'
-= （7）
即 ()E E V E V a
tg +--=??
????+002
2 μ
（7’） 若令 ηξ==a a k k ,'
（8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
22
202( 9)(10)
2 ctg V a ηξξμξη=-??
?+=??
（10）式是以a V r 202 μ=为半径的圆。对于束缚态来说，00<<-E V ，
结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点可决定束缚
态能级。当2π≥r ，即
222
πμ≥a V ，亦即 82220 πμ≥a V （11）
时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。
3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即20V E <<，
()ψψ E V m dx
d -=∴22
2 当±∞→x 时，0→ψ，故有
()()()()???
??-=<<=<<+-=<=-
E V m k x a e A mE k a x kx A E V m k x e A x
k x k 222
1112,,2,0,
sin 2,0,
21πδδψ 由
dx d ψ
ln 在0=x 、
a x =处的连续条件，得
()δδ+-==ka kctg kctg k 21k , （1）
由（1a ）可得 1
2sin mV k =
δ （2）
由于k k k ,,21皆为正值，故由（1b ），知δ+ka 为二，四象限的角。 因而 ()2
2sin mV k ka ±
=+δ （3）
又由（1），余切函数()ctg 的周期为π，故由(2)式，
1
1
12sin mV k n -+=πδ (4)
由(3)，得 21
2sin mV k n ka --=+πδ (5)
结合(4),(5)，得 1
112122sin 2sin mV k n mV k n ka -----=ππ
或 2
1
1
1
2sin 2sin mV k mV k n ka ----=π （6）
,3,2,1=n
一般而言，给定一个n 值，有一个解n k ，相当于有一个能级：
m
k E n
n 22
2 = （7）
当12V V ≠时，仅当
1
2
1
2
sin 2
2V V mV a --≥
π
才有束缚态 ，故21,V V 给定时，仅当 ???
? ??-≥
-1212sin 22V V mV a π
（8） 时才有束缚态（若V V V ==21，则无论V 和a 的值如何，至少总有一个能级） 当a V V ,,21给定时，由(7)式可求出n 个能级（若有n 个能级的话）。相应的波函数为:
()()()()()????
?
????-=>-<<+-=<=---
E V m k a x e mV k A a x x k A E V m k x e mV k A n a x k n n n
n n n n x
k n
n n n 22221
111
2,
, 21,0
, sin 2, 0, 22δψ
其中 ()n n n k k a A 21112++=
3—7）设粒子（能量0>E ）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。 解：势阱为 ??
?><-=.
0,0,
0,)(0x x V x V
在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故
()
mE k Ce E V m k Be Ae x
ik x ik x ik 2,2,220112
1
1
==+=+=-ψψ 由)0()0(21ψψ=，得 C B A =+。 由)0()0('
2'
1ψψ=，得 ()C k B A k 21=-。
从上二式消去c, 得 ()()B k k A k k 2121+=-。
反射系数 ()()
2
212
21222
k k k k A B r R +-=== 将21,k k 代入运算，可得
()
?
?
?<<->>=++=
000
2204
20,41,16V E V E V E E V E
E V
V R
3—8）利用Hermite 多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系
()()()()[]
)(21)(12)(121
)()(21
)(21)(222
21
1x n n x n x n n x x x n x n x x n n n n n n n +-+-+++++-=??????++=
ψψψαψψψαψ
并由此证明，在n ψ态下， 2 ,0n E V x == 证：谐振子波函数 )()(2
2
2x H e A x n x n n αψα-= （1）
其中，归一化常数 ωαπαm ,!
2=??=
n A n
n （2）
)(x H n α的递推关系为 .0)(2)(2)(11=+--+x nH x xH x H n n n αααα （3）
[]
()()??
????++=
??+?
+???
+???
-???
=
?????+
?????=+=?=
?=∴+-+-+---+----+---)(21
)(21)(2
1!
121
)(2
!
121
)
(!
221)(!
21
)(2)(21)(221
)()(1
112
112112
12
112
22
22222
22
22
2222
2x n x n x H e n n x H e n n x H e n x nH e n x nH x H e A x x xH e A x xH e A x x n n n x n n x n n x n
n x n
n n x n n x n n x n n ψψααπαα
απα
α
απαα
απαα
αααααα
αψααα
α
α
αα
()()()()[]
)(21)(12)(121)(22)(2121)(2)(2121)(21
)(21)(222
2
221
12x n n x n x n n x n x n n x n x n n x x n x x n x x n n n n n n n n n n +-+-+-+++++-=????????????????+++++??????+-=??
????++=
∴ψψψα
ψψψψαψψαψ
0)(21
)(21)(11**
=??
????++?==+-+∞
∞-+∞∞-??dx x n x n x dx x x n n n
n n
ψψαψψψ
()()22121122121)(122121)()(21)(2222*
22*
n n n n n E n n m dx
x n m x dx
x x m x V =???
??+=+??=+???=??=??+∞
∞
-ωα
ωψα
ωψψωψ
3—9）利用Hermite 多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））
()()()()[
]
222
2
211211212)(21
2)(+-+-+++
+--=??????+-=n n n n
n n n n n n n n x dx d n n x dx d ψψψαψψψαψ
证：A3.式（12）：)(2dx
)
(dH
),(2)(1n 1'
x H n x nH H n n n αααξξ--==
(
)
[]
?
?
????+-=?+??
????++-=+-=?+-?=+--+-----)(21)(2)
(2)(21)(2)
(2)()(2)()(1111112122222222x n x n x n x n x n x n x x x H n e x H e x A x dx
d
n n n n n n n n x n x n n ψψαψαψψααψψαααααψαα
()()()()[]
222
2
222211212
2221212212)(+-+-+++
+--=
???
?????????????+-+?+-??????--?=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x dx d ψψψαψψαψψααψ
()021211*
*=??
????+-
?-=??? ??-=??+-dx n n i dx dx d i p n n n n n ψψαψψψ ()()()()[]
()()2
2121124124211212
2222*
22222
*2222*2
n
n n n n n n n n E n n m m dx n m dx n n n n n m dx dx d m m p T =??? ??+=+??=+?=++++--?-=???? ??-?==???+-ωωψψαψψψαψψψ
3—10）谐振子处于n ψ态下，计算
()
2
1
2
??????-=?x x x ，()
21
2
?
?
????-=?p p p ，?=???p x 解：由题3—6），ωω
ωm n m E m V x x n ??? ??
+====212 ,02
22
由题3—7），ω m n mE T m p p n ??
?
??+
====212 ,02
()
(
)
()
(
)
??? ?
?
+=????
?
???????
??+=-=?
?
????
-=???
?
????
?? ??+=-=?
?
????-=?2121212
1
2
1
2
2
2
1
22
12
1
2
2
2
1
2
n p x m n p
p p p p m n x
x x x x ωω
对于基态，2,0 =???=p x n ，刚好是测不准关系所规定的下限。
3—11）荷电q 的谐振子，受到外电场ε的作用，
x q x m x V εω-=
222
1
)( （1） 求能量本征值和本征函数。
解： x q H x q x m m p H εεω-=-+=
022221
2 （2） 0H 的本征函数为 )(2
2
2x H e A n x n n αψα
-=，
本征值 ()
ω ??
? ??+
=210n E n 现将H 的本征值记为n E ，本症函数记为)(x n ?。 式（1）的势能项可以写成 ()[]
2
2022
1)(x x x m x V --=
ω 其中 2
0ωεm q x = （3） 如作坐标平移，令 0'
x x x -= （4）
由于 ''p dx
d
i dx d i p =-=-=
（5） H 可表成 2022,22'2
1212x m x m m p H ωω-+=
（6） （6）式中的H 与（2）式中的0H 相比较，易见H 和0H 的差别在于变量由x 换成'
x ，并添加了常数项
??
?
??-20221x m ω，由此可知 ()2
202
1x m E E n n ω--= （7） )()()(0'x x x x n n n -==ψψ? （8）
即
,2,1,0 ,22121212
2
22
22=-??
? ??
+=???
???-??? ??+=n m q n m q m n E n ωεωωεωω （9）
??
?
?????? ??-
=?
?
? ??--22
2
22)(ωεα?ωεαm q x H e
A x n m q x n n (10) 其中 ωαπαm ,!
2=??=
n A n n (11)
3—12）设粒子在下列势阱中运动，
???
??><∞=.0,2
1,0,)(2
2x x m x x V ω 求粒子能级。
解：既然粒子不能穿入0
() ,2,1,0 ,232=+=k k E k ω
3—13）设粒子在下列势阱中运动，
()??
?>--<∞=.
0,,0,
)(x a x r x x V δ ()0,>a r (1) 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。
解：S.eq: ()ψψδψE a x r dx d m =---
2
2
22 (2) 对于束缚态（0 β (3) 则 ()0222 22=-+-ψδψβψa x mr dx d (4) 积分 ? +-ε ε a a dx ,+→0ε,得'ψ跃变的条件 )(2)()(2''a mr a a ψψψ - =--+ (5) 在a x ≠处，方程(4)化为 02 22=-ψβψdx d (6) 边条件为 ()束缚态0)( ,0)0(=∞=ψψ 因此 ? ??><≤=-.,, 0,)(a x Ae a x x sh x x ββψ (7) 再根据a x =点)(x ψ连续条件及)(' x ψ跃变条件(5)，分别得 )(a Ae a sh a ψββ==- (8) )(22a mr a ch Ae a ψββββ - =--- (9) 由（8）（9）可得（以)(a a ψ-乘以（9）式，利用（8）式） 2 2coth mra a a a = +βββ (10) 此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。 当势阱出现第一条能级时，- →0E ，所以+ →0a β, 利用 1lim coth lim 00 ==→→a th a a a a a ββββββ, （10）式化为 + +=+=01coth 22 a a a mra βββ , 因此至少存在一条束缚态能级的条件为 122 ≥ mra （11） 纯δ势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为0)(≡x ψ，对0≤x ）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯δ势阱的特征长度mr L 2 = 。 条件（11）可改写为 2L a ≥ （12） 即要求无限高势垒离开δ势阱较远（2L a ≥）。才能保证δ势阱中的束缚态能存在下去。显然，当∞→a （即 2L a >>），∞→a β时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1coth →a β，式（10）给出 22 mr =β 即 2 2 2222 mr m E =-=β （13） 与势阱)()(x r x V δ-=的结论完全相同。 令ηβ=a ， 则式（10）化为 ()22coth 1 mra = +ηη （14） 由于()1coth 1≥+ηη，所以只当122 ≥ mra 时，式（10）或（14）才有解。解出根η之后，利用 mE a a 2-==βη，即可求出能级 2 2 22ma E η -= （15） 第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则 ()BA AB +21 和()BA AB i -21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=?? ? ???++++++ 21212121 ()BA AB +∴2 1 为厄米算符。 ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=?? ? ???-+++++ 21212121 ()BA AB i -∴21 也为厄米算符。 ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===+ + + + ， 且定义 ()()+++-=+= F F i F F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+ -++ +==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 -++=iF F F 4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =??-= 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ == ,),(n m n m mn p x C p x F 。 证： （1）先证[ ][] 11 , ,,--=-=n n m m p ni p x x mi x p 。 [][][][][ ] [][ ] []()() []()1 111 11 3 3 1 3 32312 2211 1 1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m x mi x i x i m x x p x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i x x p x p x x p 同理， [][][][][] [ ]1 2 2 1 22211 1 ,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n n p ni p p x p i p p x p p x p p i p p x p x p p x 现在， [][] ()∑∑∑∞ =-∞ =∞=-= =??????=0 ,1 ,0,,,,n m n m mn n m n m mn n m n m mn p x mi C p x p C p x C p F p 而 () ∑∞ =--=??-0 ,1n m n m mn p x mi C x F i 。 []F , x i F p ?? -=∴ 又 [][] () ∑∑∑∞ =-∞ =∞== =??????=0 ,1 ,0,,,,n m n m mn n m n m mn n m n m mn p ni x C p x x C p x C x F x 而 ( ) ∑∞ =-=??0 ,1n m n m mn p ni x C p F i []F , p i F x ??=∴ 4.3）定义反对易式[]BA AB B A +=+,，证明 [][][][][][] + + + + -=-=C A B C B A BC A B C A C B A C AB ,,,,,, 证： [][][]()()[][]B C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC B C A C B A C AB ++-=+-+=-+-=-=,,,,, [][][]()()[][] + + -=+-+=-+-=+=C A B C B A CA AC B C BA AB BCA BAC BAC ABC C A B C B A BC A ,,,,, 4.4）设，，为矢量算符，和的标积和矢积定义为 () ∑∑=?=?αβγ βααβγα ααεB A B A ,
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