高考数学专题复习1 函数的性质及应用

高考数学专题复习1 函数的性质及应用★★★高考在考什么【考题回放】1．设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（C ） A.0 B.1 C.2 D.32.函数y=f (x )的图象与y=2x的图象关于y 轴对称，若y=f -1(x )是y=f (x )的反函数，则y=f -1(x 2-2x )的单调增区间是（ D ）A.[1，+∞]B.（2，+∞）C.（-∞，1 ）D.（-∞，0）3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1,x 2(x 1 x 2)， |f (x 1)-f (x 2)|<|x 2-x 1|恒成立”的只有(A ) A.1()f x x=B.()||f x x =C.()2xf x =D.2()f x x =4.已知函数()1,1xf x a z =-+，若f (x )为奇函数，则a =________。

21 5.对a,b ∈R ,记max|a,b|=,,a a b b a b≥⎧⎨⎩＜函数f （x ）＝max ||x +1|,|x -2||(x ∈R)的最小值是___.326.对定义域是D f 、D g 的函数y =f (x )、y =g (x )，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f gf gf Dx D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(。

（1）若函数1()1f x x =-，g (x )=x 2，写出函数h (x )的解析式； （2）求问题（1）中函数h (x )的值域；（3）若g (x )= f (x )，其中 是常数，且 [ ]，请设计一个定义域为R 的函数y=f (x )，及一个 的值，使得h (x )=cos 4x ，并予以证明。

【专家解答】：(1)2,x (-,1)(1,)h(x)=11,x=1x x ⎧∈∞⋃+∞⎪-⎨⎪⎩(2) 当x≠1时, h(x)= 21x x -=x -1+11x -+2,若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=4π 则g(x)=f(x+α)= sin2(x+4π)+cos2(x+4π)=cos2x-sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令α=2π,g(x)=f(x+απ于是h(x)= f(x)·f(x+α★★★高考要考什么【考点透视】1.了解映射的概念，理解函数的概念。

2.了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。

4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质.掌握指数函数的概念、图像和性质。

5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质。

6.能够运用函数的性质，特别是指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

【热点透析】1. 直接通过具体函数考查某些性质2. 以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查3. 函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题。

★★★高考将考什么【范例1】已知函数)(log )(log 212ax x a y a a ⋅=)42(≤≤x 的最大值是0，最小值是81-，求a 的值。

解：)(log )(log 212ax x a y a a ⋅=)log 1)(log 2(21x x a a ++= =81)23(log 212-+x a ， ∵42≤≤x ，且o y ≤≤-81∴当23log -=x a 即23-=a x 时，81min -=y∴3221a -≥> ∴10<<a ，又y 最大值是0，，∴01log 02log =+=+x x a a 或 即a x a x 112==或 ， ∴ )41(212==aa 或 ∴21=a 【点晴】（1）注意挖掘隐含条件“10<<a ”；（2）掌握复合函数最值问题的求解方法。

【文】函数y=a 2x +2a x -1(a>0,a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a 的值。

解：令u=a x ,y=(u+1)2-2.因为-1≤x ≤1当a>1时),,1[],1[+∞-⊆∈a au )(5312142舍或-==⇒-+=∴a a a a当0<a<1时，舍）或(5131112114),,1[]1,[2-==⇒-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴+∞-⊆∈a a a a a a u综上得，331==a a 或 【范例2】设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 解:（1）由已知得f (-1)=f (2-3)=f (2+3)=f (5) 0，故f (-1) f (1), 从而知函数y= f (x ) 非奇非偶函数不是奇函数；(2)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-⇒ f (x )= f (x +10),从而知函数y= f (x )的周期为T=10由f (7-x )=f (7+x )得，f (x )的图象关于x=7对称，且在闭区间[0，7]上，只有f (1)=f (3)=0. ∴在［0，10］上，只有f (1)=f (3)=0， ∴10是f (x )的最小正周期，∵在［0，10］上，只有f (1)=f (3)=0，∴在每一个最小正周期内f (x )=0只有两个根， ∴在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是802．【点晴】本题关键是通过抽象函数的对称性研究其周期性 【文】已知奇函数)(x f 满足)18(log ,2)(,)1,0(),()2(21f x f x x f x f x则时且当=∈-=+的值为 。

解：())4()2()()2(+=+-=∴-=+x f x f x f x f x f892)89(log )89log ()98(log )18log 4()18log ()18(log 89log 22222212-=-=-=-==-=-=f f f f f f 【范例3】设a 为实数，函数2()||1,.f x x x a x R =+-+∈（1）讨论f (x )的奇偶性；（2）求f (x )的最小值.解：（1）当20,()()||1(),()a f x x x f x f x =-=-+-+=时函数此时为偶函数.当220,()1,()2||1,a f a a f a a a ≠=+-=++时)()(),()(a f a f a f a f -≠-≠-.此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.（2）（i ）当2213,()1().24x a f x x x a x a ≤=-++=-++时函数 若1,()(,]2a f x a ≤-∞则函数在上单调递减，从而，函数()(,]f x a -∞在上的最小值为.1)(2+=a a f若12a >，则函数()(,]f x a -∞在上的最小值为131(),()().242f a f f a =+≤且 （ii ）当x a ≥时，函数.43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f 若1131,()[,)(),()().2242a f x a f a f f a ≤-+∞-=--≤则函数在上的最小值为且若21,()[,),,()[,)() 1.2a f x a f x a f a a >-+∞+∞=+则函数在上单调递增从而函数在上的最小值为 综上，当13,().24a f x a ≤--时函数的最小值是当.1)(,21212+≤<-a x f a 的最小值是函数时当.43)(,21+>a x f a 的最小值是函数时，。

【点晴】要重视分类讨论的思想和逻辑思维能力的培养。

【文】已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数。

（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；解：（1）因为f (x )是奇函数，所以f (x )=0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++（2）解法一：由（Ⅰ）知11211()22221x x x f x +-==-+++，易知f (x )在(,)-∞+∞上为减函数。

又因f (x )是奇函数，从而不等式： 22(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因f (x )为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-解法二：由（Ⅰ）知112()22xx f x +-=+．又由题设条件得：2222222121121202222t tt kt t t k ---+-+--=<++，即 ：2222212212(22)(12)(22)(12)0tk tttt tk-+--+-+-++-<，整理得 23221,tt k-->因底数2>1,故:2320t t k -->上式对一切t R ∈均成立，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-【范例4】已知f(x)=222+-x ax (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数.（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设关于x 的方程f (x )=x1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设 (x )=x 2－ax －2，①(1)=1-a-20(-1)=1+a-20ϕϕ≤⎧⇔⎨≤⎩⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A={a |－1≤a ≤1}.（2）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根， x 1+x 2=a ，∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=－2，∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立， 即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一：g(－1)=m 2－m －2≥0， ② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m=0时，②显然不成立； 当m ≠0时，m>0， m<0， ②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}. 【点晴】利用导数研究函数的单调性和最值.在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决.【文】设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数n m ,，总有)()()(n f m f n m f =+，且当0>x 时，1)(0<<x f（1）证明：1)0(=f ，且0<x 时1)(>x f （2）证明：函数在R 上单调递减（3）设{})1()()(|),(22f y f x f y x A >={}R a y ax f y x B ∈=+-=,1)2(|),(，若Φ=⋂B A ，确定a 的取值范围。