冀教版2019-2020年八年级数学下册同步练习：22.4 第1课时 矩形的性质3

22.4 矩形第1课时矩形的性质1．矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．对角线相等2．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等B．四个角相等C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．对角线互相垂直平分3、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，AB＝OA＝4 cm，求BD与AD的长.4、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是______.5、已知：△ABC的两条高为BE和CF，点M为BC的中点.求证：ME＝MF6、如左下图，矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分∠BAD,若∠EAO＝15°,求∠BOE的度数．7、把一张长方形的纸片按右上图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的读度为（）A．85°B．90°C．95°D．100°8、如右图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC=_______，∠FCA=________．9、如右图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对10、如图4，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD•的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．28411、如左下图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为36 cm，求此矩形的面积。

12、如图，折叠矩形，使AD边与对角线BD重合，折痕是DG，点A的对应点是E，若AB=2，BC=1，求AG.G ED CB A13、如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长．15、【提高题】如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E .（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.（2）若AB =8，DE =3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG +PH 的值，并说明理由.答案1、【答案】 D2、【答案】 D3、【答案】BD ＝8 cm ，AD ＝34 (cm)4、【答案】 45、【提示】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

22.4.2矩形的判定1．在▱ABCD中，∵∠ABC＝________°，∴▱ABCD是矩形．2．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：图15甲：1.以点C为圆心，AB长为半径画弧；2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图15)．图16乙：1.连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图16)．对于两人的作业，下列说法正确的是( )A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图17，在△ABC中，D是BC边上的点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：BD＝CD；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．图174．在四边形ABCD中，∵∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝________°，∴四边形ABCD是矩形．5．如图18所示，已知在▱ABCD中，各个内角的平分线相交于点E，F，G，H.(1)猜想EG与FH之间的数量关系；(2)试证明你猜想的正确性．图186．如图19，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )图19A．AO＝OC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．BD平分∠ABC7．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( ) A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＋∠BCD＝180°，AC⊥BDD．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD7．如图20，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形.图209．如图21，E，F分别为△ABC的边BC，AB的中点，延长EF到点D，使得DF＝EF，连接DA，DB，AE.(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AB＝AC，试说明四边形AEBD是矩形．图2110．如图22，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A．AD＝BC B．AB＝CDC．∠DAB＝∠ABC D．∠DAB＝∠DCB图22 图2311．如图23，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为________．12．如图24，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.求证：四边形EFNM是矩形．图2413．如图25所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若E，F是AC上的两动点，分别从A，C两点以1 cm/s 的速度同时向点C，A运动．(1)四边形DEBF是平行四边形吗？请判断并说明理由；(2)若BD＝12 cm，AC＝16 cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形？图2514．如图26，矩形ABCD的面积为20 cm2，对角线AC，BD相交于点O；以AB，AO为邻边作▱AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边作▱AO1C2B对角线交于点O2；…；依此类推，则▱AO4C5B的面积为( )图26A.54cm2 B.58cm2 C.516cm2 D.532cm215．如图27，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E，连接AE，AD.(1)求证：OE＝OD；(2)当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？请说明理由．图271．902. A [解析] 由甲同学的作业可知，CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠ABC ＝90°，∴▱ABCD 是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM ＝AM ，MD ＝MB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC ＝90°，∴▱ABCD 是矩形．所以乙的作业正确．3．解：(1)证明：由题意，得AF ∥BC ， ∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AEF 和△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF ＝DC . ∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD . (2)四边形AFBD 是矩形．理由：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°. ∵AF ＝BD ，AF ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形．又∵∠ADB ＝90°，∴四边形AFBD 是矩形． 4．905．解：(1)EG ＝FH .(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ＝180°.又∵AF ，BH 分别平分∠BAD ，∠ABC ，∴∠DAE ＝∠BAE ＝12∠DAB ，∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∴∠BAE ＋∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝90°，∴∠FEH ＝90°. 同理可证∠EFG ＝90°，∠EHG ＝90°， ∴四边形EFGH 为矩形，∴EG ＝FH . 6．B8．C [解析] 如图，∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AC ＝BD ，∴▱ABCD 是矩形，∴A 选项正确；∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠BAD ＝90°，∴▱ABCD 是矩形，∴B 选项正确；∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥DC .∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，而AC ⊥BD 不能判定▱ABCD 是矩形，∴C 选项不正确；∵∠BAD ＝∠ABC ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABC ＝180°，∴AD ∥BC .在Rt △ABC 和Rt △BAD中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴Rt△ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠BAD ＝90°，∴▱ABCD 是矩形，∴D 选项正确．故选C.8．答案不唯一，如EB ＝DC [解析] 添加EB ＝DC .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴DE ∥BC .又∵DE ＝AD ，∴DE ＝BC ，∴四边形DBCE 为平行四边形．又∵EB ＝DC ，∴▱DBCE 是矩形．故答案可以是EB ＝DC .9．解：(1)证明：∵E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AB 的中点， ∴EF ∥AC ，EF ＝12AC .∵DF ＝EF ，∴EF ＝12DE ，∴AC ＝DE .又∵EF ∥AC ， ∴四边形ACED 是平行四边形． (2)∵DF ＝EF ，AF ＝BF ， ∴四边形AEBD 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，AC ＝DE ，∴AB ＝DE ， ∴四边形AEBD 是矩形．9．B [解析] A 项，当AD ＝BC ，AD ∥BC 时，四边形ABCD 是平行四边形，再依据AC ＝BD ，可得四边形ABCD 是矩形；B 项，当AB ＝CD ，AD ∥BC 时，四边形ABCD 不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形；C 项，当∠DAB ＝∠ABC ，AD ∥BC 时，∠DAB ＝∠CBA ＝90°，再根据AC ＝BD ，可得Rt △ABD ≌Rt △BAC ，进而得到AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠DAB ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形；D 项，当∠DAB ＝∠DCB ，AD ∥BC 时，∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，再依据AC ＝BD ，可得四边形ABCD 是矩形．11．2.4 [解析] 连接AP .∵∠BAC ＝90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠AEP ＝ ∠AFP ＝90°，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF ＝AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可．当AP ⊥BC 时，AP 最小．在Rt △BAC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝4，AB ＝3，由勾股定理得BC ＝5，由三角形面积公式得12×4×3＝12×5×AP ，∴AP ＝2.4，即EF＝2.4.12．证明：如图，过点E ，F 分别作AD ，BC 的垂线，垂足分别是G ，H .∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG ⊥AD ，EM ⊥CD ，EM ′⊥AB ， ∴EG ＝ME ，EG ＝EM ′， ∴EG ＝ME ＝EM ′＝12MM ′.同理可证FH ＝NF ＝N ′F ＝12NN ′.∵CD ∥AB ，MM ′⊥CD ，NN ′⊥CD ， ∴MM ′＝NN ′， ∴ME ＝NF .又∵MM ′∥NN ′，MM ′⊥CD ， ∴四边形EFNM 是矩形．13．解：(1)是．理由：在▱ABCD 中，有OD ＝OB ，OA ＝OC .∵E ，F 两点移动的速度相同，且同时开始运动，即AE ＝CF ，∴OE ＝OF ， ∴四边形DEBF 是平行四边形． (2)∵四边形DEBF 是平行四边形， ∴当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形． ∵BD ＝12 cm ，∴EF ＝12 cm ，∴OE ＝OF ＝6 cm.∵在▱ABCD 中，AC ＝16 cm ，∴OA ＝OC ＝8 cm ， ∴AE ＝2 cm 或AE ＝14 cm. ∵动点的速度是1 cm/s ， ∴t ＝2 s 或t ＝14 s.故当运动时间t 为2 s 或14 s 时，四边形DEBF 是矩形． 14．B [解析] 设矩形ABCD 的面积为S .∵O 为矩形ABCD 的对角线的交点，∴▱AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的一半， ∴▱AOC 1B 的面积＝12S .∵▱AOC 1B 的对角线交于点O 1，∴▱AO 1C 2B 的边AB 上的高等于▱AOC 1B 底边AB 上的高的一半，∴▱AO 1C 2B 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×S ＝S 22，…， 依此类推，▱AO 4C 5B 的面积为S 25＝2025＝58(cm 2)．故选B.15．解：(1)证明：∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠DBC . ∵ED ∥BC ，∴∠ODB ＝∠DBC ＝∠ABD ， ∴OB ＝OD . 在Rt △EBD 中，∵∠ABE ＋∠ABD ＝∠ODB ＋∠BED ＝90°， ∴∠ABE ＝∠BED ， ∴OB ＝OE ，∴OE ＝OD . (2)当O 为AB 的中点时， 四边形BDAE 为矩形． 理由：∵O 为AB 的中点， ∴OA ＝OB .由(1)知OE ＝OD ， ∴四边形BDAE 为平行四边形． ∵BE ⊥BD ，∴∠EBD ＝90°， ∴四边形BDAE 是矩形．。

2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩 形，需要添加的条件是( ) D A．AB＝CD
B．AD＝BC C．∠AOB＝45° D．∠ABC＝90°
*3.【中考·菏泽】在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，连 接AC，BD，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正 确的有( )
①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°； ③AC⊥BD；④AC＝BD．
JJ版八年级下
第二十二章四边形
22.4矩 形 第1课时矩形及其性质
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1B 2D 3B 4A
5A 6C 7C 8A
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9B 10 4cm2或12cm2 11 见习题 12 见习题
13 见习题 14 见习题
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1．下列说法不正确的是( B ) A．矩形是平行四边形 B．矩形不一定是平行四边形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【点拨】当▱ABCD 的面积最大时，四边形 ABCD 为矩形，得出 ∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AC＝BD，根据勾股定理求出 AC，即可得出正确结论．
【答案】B
4．如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点， 且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列 结论中不正确的是( ) A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【点拨】如图，设 AC 与 EF 交于点 O，连接 AE，由线段垂 直平分线的性质得出 OA＝OC，AE＝CE，易证△AFO≌△ CEO，得出 AF＝CE＝5，从而得出 AE＝CE＝5，BC＝BE ＋CE＝8，由勾股定理求出 AB＝ AE2－BE2＝4，再由勾股 定理求出 AC 即可．

10．如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O， BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.
求证：BD＝BE. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC＝BD，AB∥CD. 又∵BE∥AC， ∴四边形 ABEC 是平行四边形． ∴AC＝BE. ∴BD＝BE.
02 中档题
11．(2019·石家庄正定县期末)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，
A．8 个 C．4 个
B．6 个 D．2 个
8．(2018·邢台柏乡县期末)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC＝8 cm， ∠AOD＝120°，则 AB 的长为 4 cm.
9．(2019·徐州)如图，在矩形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，M， N 分别为 BC，OC 的中点．若 MN＝4，则 AC 的长为16．
BC＝4，将矩形沿 AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为(B )
A．12 C．8
B．10 D．6
12．(2018·邢台柏乡县期末)如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 点 E，且∠ADE∶∠EDC＝3∶2，则∠BDE 的度数为( B )
A．36° C．27°
B．18° D．9°
13．【转化思想】(2018·遵义)如图，点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EF∥BC，分别交 AB，CD 于点 E，F，连接 PB， PD.若 AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为(C )
(1)求证：AE＝CF； (2)若 AB＝6，∠COD＝60°，求矩形 ABCD 的面积．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°.
∵BE＝DF，∴OE＝OF.