几何练习六
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培优试题61．如图，直线y 1=kx +b 过点A （0，2），且与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），则不等式组mx ＞kx+b ＞mx －2的解集是______________.2．如图，过原点的直线l与反比例函数1y x=-的图象交于MMN 的长的最小值是___________．3．如图，有一长为4cm ，宽为3cm 木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 24．如图，点A ，B 的坐标分别为（1， 4）和（4， 4）的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( )A ．－3B ．1C ．5D ．85．2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震后，湘江中学九年级（1）班的60名同学踊跃捐款．有15人每人捐30元、14人每人捐100元、10人每人捐70元、21人每人捐50元．在这次每人捐款的数值中，中位数是 ． 6．某同学利用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象时，列出的部分数据如下表：函数的解析式：____________________________. 7．如图，一个数表有7行7列，设ij a 表示第i 行第j 列上的数(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7).例如：第5行第3列上的数537a =.则 （1）23225253()()a a a a -+-= ；（2）此数表中的四个数,,,np nk mp mk a a a a 满足()()np nk mk mp a a a a -+-= .8．若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“可连数”，例如32是“可连数”，因为33+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23++24+25生产了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为_____.9．观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2010这个数在第 个三角形的 顶点处（第二空填：上，左下，右下）10．如图，菱形ABCD 中，AB =2 ，∠C =60°,菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为(结果保留π)．11．如图，矩形ABCD 中，平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）( ) A ．a B ．a 54C ．a 22 D ． a 23 12．在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点、半径等于5，那么这个圆上的格点有 个．13．将半径为4cm 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm ． 14．水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若 要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）, 需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中 所示的平面ABCD 时的∠ABC ,其中AB 为管道侧面母线的一 部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则α的余弦值为 .第14题第10题 lD15．如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A ，E 之间，连结CE 、CF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）①△CDF ≌△EBC ②∠CDF =∠EAF ③△ECF 是等边△ ④CG ⊥AEA ．只有①②B ．只有①②③C ．只有③④D ．①②③④ 16．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，BD ⊥DC ，BE =DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N ．下列结论：①BH =DH ；②CH=1)EH ；③ENH EBHS EHSEC=．其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．只有②③ C ．只有② D17．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为斜边并且在AB 的同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连结AE 交CD 于M ，连结BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：①AB MN //；②BC AC MN 111+=；③AB MN 41≤． 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =． 其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 19．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线交ED 于点P ．若1AE AP ==， PB =①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 ③EB ED ⊥；④1APD APB S S ∆∆+=4ABCD S =正方形AC D E M N 第17APEDC B其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④ ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤20．如图，一个直角三角形纸片的顶点A 在∠MON 的边OM 上移动，移动过程中始终保持AB ⊥ON 于点B,AC ⊥OM 于点A.∠MON 的角平分线OP 分别交AB 、AC 于D 、E 两点.（1）点A 在移动的过程中，线段AD 和AE 有怎样的数量关系,并说明理由.（2）点A 在移动的过程中,若射线ON 上始终存在一点F 与点A 关于OP 所在的直线对称，判断并说明以A 、D 、F 、E 为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？ （3）若∠MON=45°，猜想线段AC 、AD 、OC 之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想.21.如图①，ABC 绕其直角顶点C 顺时针旋转α角()090α<<°°，得111A B C A C △，交AB 于点D ，11A B 分别交于BC AB 、于点E F 、，连接1.AB （1）求证：1;ADC A DF △∽△（2）若30α=°，求11AB A ∠的度数；（3）如图②，当45α=°时，将11A B C △沿C A →方向平移得22222A B C A C △，交AB 于点,G 22B C 交BC 于点,H 设(20,CC x x =<<ABC △与222A B C △的重叠部分面积为,S 试求S 与x 的函数关系式.FG22．在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：①量得3OA cm；②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．请完成下列问题：（1）写出抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式；（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A 的右边（如图2），直尺的两边交x 轴于点H 、G ，交抛物线于点E 、F ．求证：21(9)6EFGH S EF =-梯形．图 1图2· B1、1＜x＜2；2、3、π5.3；4、D；5、50；6.、243y x x=-+；7、（1）0 （2）0；8、24.；9、670，右下；10、（83+4）π；11、C；12、12；13、1；14、15、B ；16、B；17、D；18、①②④；19、D ．20.(1)AE=AD (2)菱形(法一)：连接DF、EF ∵点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，∴AE=FE,AD=FD . 由（1）得AE=AD ∴AE=FE=AD=FD∴四边形ADFE是菱形（法二）：连接AF交DE于点G,连接DF,EF.点F与点A关于直线OP对称可知：AF⊥DE, AE=FE, ∴AG=FG, 又∵AE=AD ∴DG=EG ∴四边形ADFE是平行四边形∵AF⊥DE ∴平行四边形ADFE是菱形（3）OC= AC+AD (法一)：证明：连接EF. ∵点F与点A关于直线OP对称, ∴AO=OF∵AC⊥OM,∠MON=45°∴∠OAC=90°∴∠ACO=∠MON=45°∴OF = AO = AC由（2）知四边形ADFE是菱形∴EF∥AB AD=EF∵AB⊥ON∴∠ABC=90°∴∠EFC=∠ABC =90°∵∠ACO=45∴FC = EF =AD 又∵OC=OF+FC∴（法2）证明：连接EF.∵AC⊥OM,∠MON=45°∴∠OAC=90°∴∠ACO =∠MON =45°∴由（2）知四边形ADFE是菱形∴EF∥AB AD=EF∵AB⊥ON∴∠ABC=90°∴∠EFC=∠ABC=90°∵∠ACO=45°∴∠FEC = ∠ACO =45°FC=FE=AD ∵∠AOE=∠FOE∵OE=OE, ∠OAC=∠OFE=90°∵△OAE≌△∴OA=OF∴OF=AC又∵OF+FC=OC∴（法3）证明：延长EA到G点，使AG=AE∵∠OAE=90°∴OA⊥GE ∴OG=OE∴∠AOG=∠EOA ∵∠AOC=45°,OP平分∠AOC∴∠AOE=22.5°∴∠AOG=22.5°∠G=67.5°∴∠COG=∠G=67.5°∴由（1）得AD=AE∵AD=AE=AG∴21．（1）证明：如图①，根据旋转变换的性质易知1CAD FA D∠=∠∵12∠=∠∴1ADC A DF△∽△（2）解：（法一）∵11CA CA CB CB====∴点11A AB B、、、均在以C∴1111301522AB Aα∠==⨯=°°（法二）如图①，∵1AC B C=∴43∠=∠∵113090ACB α=∠=°，°∴1120ACB ∠=° ∴11804302ACB -∠∠==°°∴11114453015AB A CB A ∠=∠-∠=-=°°°（法三）如图①，∵1AC B C =∴43∠=∠ ∵11CAB CB A ∠=∠∴1134CAB CB A ∠-∠=∠-∠即111B AB AB A ∠=∠ ∵1115BAB AB A ∠=∠+∠ ∴1152AB A ∠=∠∵1ADC A DF △∽△∴5α∠=∴111151522AB A α∠=∠==° （3）解：11A B C △在平移的过程中，易证得2222AC G HB E A FG G HC FBE △、△、△、△、△均是等腰直角三角形，四边形22AC B F是平行四边形∵2AB ==∴当45α=°时，112CE CD AB ===情形①：当01x <<时（如图②所示），222A B C △与ABC △的重叠部分为五边形2C HEFG（法一）22222Rt Rt AC G HB E C HEFG AC B F S S S S =--△△五边形平行四边形∵2C C x =∴221CH x AC x B E HE x ====-，，∴)221222AG C G AC x x ====-∴)2221AC B F S AC CE x x ===平行四边形··2222Rt 11111222224AC G S AG x x x ⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭△· ()2222Rt 2111112222HB E S B E x x x ==-=-+△·∴222111122422C HEFG S x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五边形=23142x x -++ （法二）222222Rt Rt Rt A B C A FG HB E C HEFG S S S S =--△△△五边形∵2C C x =∴221AC x B E x =-，∴)221C G AC x x ===222211A G A C C G x x ⎛⎫=-==+ ⎪ ⎪⎝⎭∴22222Rt 2211122A B C S A C ===△2222Rt2113211222224A FGS A G x x x⎫-==+=++⎪⎪⎭△()2222Rt2111112222HB ES B E x x x==-=-+△22232111132422C HEFGS x x x x⎛⎫-⎛⎫=-++--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五边形=23142x x-+（法三）222Rt Rt Rt RtABC AC G C HC FBEC HEFGS S S S S=---△△△△五边形∵2C C x=21AC x CH x BE==，，)221AG C G AC x x====∴22Rt11122ABCS AC===△2222Rt11111222224AC GS AG x x x⎛⎫==-=-+⎪⎪⎝⎭△222Rt21122C HCS C C x==△)22Rt11122FBES BE===△∴2221113122422C HEFGS x x x⎛⎫-=--+--⎪⎪⎝⎭五边形=2314x x-+情形②：当1x≤，222A B C△与ABC△的重叠部分为直角梯形22C B FG（法一）22C B FGS直角梯形=222Rt AC GC B FAS S-△平行四边形=2212AC CE AG-·211224x x x⎛⎫--+⎪⎪⎝⎭=2111422x x⎛⎫-+-⎪⎪⎝⎭（法二））22C B FGS直角梯形=2222Rt RtA B C A FGS S-△△=23211224x x⎛⎫--++⎪⎪⎝⎭=211142x x⎫-+-+⎪⎪⎝⎭22．（1）32x=（2）设抛物线的解析式为：(3)y ax x=-，当32x=时，94y a=-，即39(,)24B a-；当92x=时，274y a=，即927(,)24C a，依题意得：279() 4.544a a--=，解得：12a =．∴抛物线的解析式为：21322y x x =-． （3）方法一：过点E 作ED FG ⊥，垂足为D ，设23(,)122m E m m -，23(,)122n F n n -，得：22221313131()()()(3)222()(22)22n n m m n m n m n m n DF m =------=-+=- ① 2222131()31(3()()2222)22E n n m m n G nF m m H --+-+=++= ②又3n m -=，得3n m =+，分别代入①、②得：3DF m =，2EH m FG += ∴2222223(399)m F DE m E DF =+=+=+得：222113(9)9662EF m m -=⨯=又2133()22EFGH S EH FG m =⨯⋅+=梯形∴21(9)6EFGH S EF =-梯形方法二：过点E 作ED FG ⊥，垂足为D ，设23(,)122x E xx -，则2132(3,)2F x x x ++，得：22222222133[()()132222]99x x x EF DE DF x x +=+==+-+-22213132333()[()()]222222EFGH S EH x x G x x F x -+=+=⋅+=梯形∵222113(9)9662EF x x -=⨯=∴21(9)6EFGH S EF =-梯形厦门24.（本题满分10分）设111A B C △的面积是1S ，222A B C △的面积为2S (12S S <)，当11122A B C A B C △∽△，且120.30.4S S ≤≤时，则称111A B C △与222A B C △有一定的“全等度”，如图7，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，30B ∠=°，∠60BCD =°，连结AC .（1）若，求证：DAC △与ABC △有一定的“全等度”；（2）你认为：“DAC △与ABC △有一定的‘全等度’”正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.24．（本题满分9分） （1）证明：图7..60AD DC DAC DCA AD BC DAC ACB BCD =∴∠=∠∴∠=∠∠=，∥，°，30DCA ACB ∴∠=∠=°.3030B DAC B ∠=∴∠=∠=°，°.DAC ABC ∴△∽△过点D 作DE AC ⊥于点E . AD DC =， 2.AC EC ∴= 在Rt DEC △中，30cos EC DCA DCA DC ∠=∠==°，.DC ∴=DC AC ∴= 0.3DEC AOCSS≤≤0.4，DAC ABC ∴△与△有一定的“全等度”.（2）解：DAC ABC △与△有一定的“全等度”不正确.反例：若40ACB ∠=°，则DAC ABC △与△不具有一定的“全等度”.3060110B BCD BAC AD BC ∠=∠=︒∴∠=°,，°.∥，120D ∴∠=°.DAC ABC ∴△与△都是钝角三角形，且两钝角不相等. DAC ABC ∴△与△不相似△与△不具有一定的“全等度”.∴若40∠=°，则DAC ABCACB25.（本题满分12分）问题探究（1）请你在图①中作一条．．直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图②，点M是矩形ABCD内一定点.请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分.问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中644DC OB OB BC CD∥，，，.开发区综合===服务管理委员会（其占地面积不计）设在点(42)P，处.为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分.你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由.25.解：（1）如图①，作直线DB，直线DB即为所求.（所求直线不唯一，只对称中心的直线均可） ·············································································（2分）（2）如图②，连接AC、DB交于点P，则点P为矩形ABCD的对称中心.直线MP即为所求. ···················································································（5分）（3）如图③，存在符合条件的直线l. ···················································（6分）过点D作DA OB⊥于点A，则点(42)P，为矩形ABCD的对称中心. ···················································（6分）∴过点P的直线只要平分DOA△的面积即可.易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将DOA△面积平分.从而，直线PH平分梯形OBCD的面积.即直线PH为所求直线l. ···········································································（9分）设直线PH的表达式为y kx b=+，且点(42)P，，24k b∴=+．即2424b k y kx k=-∴=+-．．直线OD的表达式为2y x=．∴242y kx ky x=+-⎧⎨=⎩，．解之，得242482kxkkyk-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，．∴点H的坐标为244822kk k--⎛⎫ ⎪--⎝⎭，．PH与线段AD的交点F的坐标为(222)k-，，02241k k∴<-<∴-<<．．()14222DHFS k∴=-+△·2411224222kk-⎛⎫-=⨯⨯⨯⎪-⎝⎭．解之，得k k⎛⎫==⎪⎪⎝⎭83b∴=∴直线l的表达式为8y x =+- ········································· （12分） 26. 已知：抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的图象经过点B （12，0）和C （0，-6），对称轴为2x =．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D 在线段AB 上且AD =AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线1x =上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在请说明理由．26. 解：方法一：∵抛物线过(06)C -，∴6c =-， 即26y ax bx =+-由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-061214422b a a b解得：a =161，14b =-∴该抛物线的解析式为2116164y x x =--方法二：∵A 、B 关于2x =对称∴(80)A -， 设(8)(12)y a x x =+-C 在抛物线上 ∴－6=a ×8×（－12） 即a =161∴该抛物线的解析式为：2116164y x x =--（2）存在，设直线CD 垂直平分PQ ，在Rt △AOC 中，AC =2268+=10=AD∴点D 在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC =∠QDC ， 由已知∠PDC =∠ACD ∴∠QDC =∠ACD ∴DQ ∥AC 201010DB AB AD =-=-=∴DQ 为△ABC 的中位线 ∴DQ =215AC =1055AP AD PD AD DQ =-=-=-=∴515t =÷= （秒） ∴存在5t =（秒）时，线段PQ 被直线CD 垂直平分 在Rt BOC △中， BC =22126+=65 ∴CQ =35∴点Q 的运动速度为每秒553单位长度. （3）存在．过点Q 作QH x ⊥轴于H ，则39QH PH ==，在Rt PQH △中，PQ =2239+=310 ①当MP MQ =，即M 为顶点，设直线CD 的直线方程为：y kx b =+（0k ≠），则：⎩⎨⎧+==-b k b 206 解得：⎩⎨⎧=-=36k b ∴36y x =-当1x =时，3y =- ∴M 1（1，3-） ②当PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且P 为顶点.设直线1x =上存在点M （1，y ） ，由勾股定理得：22490y += 即y =±74∴2M （1，74） 3M （1，－74） ③当PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且Q 为顶点.过点Q 作QE y ⊥轴于E ，交直线1x =于F ，则F （1，3-） 设直线1x =存在点M （1，y ）， 由勾股定理得：22(3)590y ++=即3y =-±65∴M 4（1，3-＋65） M 5（（1，3-－65） 综上所述：存在这样的五点：M 1（1，3-）， M 2（1，74）， M 3（1，－74）， M 4（1，3-＋65）， M 5（1，3-－65）18．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为62323=⨯=A ．一般地，从n 个不同元素中选取m 个元素的排列数记作mn A ，)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m n )(n m ≤例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：6034535=⨯⨯=A ．材料2：从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为 ．一般地，从n 个不同元素中选取m 个元素的组合数记作mn C ，12)1()1()1(⨯⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅-=m m m n n n C m n例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：2012345636=⨯⨯⨯⨯=C ．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？ （2）从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？18、解：（1）5612367838=⨯⨯⨯⨯=C 种； ………………………………4分 （2）840456747=⨯⨯⨯=A 种.……………………………7分3122323=⨯⨯=C )(n m ≤再次提醒：所有的答案都填（涂）到答题卡上，答在本卷上的答案无效。
