地震作用下边坡动力系数有限元分析
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2 动力有限元分析
2. 1 力学理论 动力分析与静力分析的不同点表现在两个方
面: 第一个不同点是, 动力问题具有随时间而变化 的性质, 由于荷载和反应随时间而变化, 显然动力 问题不象静力问题那样具有单一的解, 而必须建立 相应于反应时程中感兴趣的全部时间的一系列解 答, 因此, 动力分析 显然要比静力分析消耗时间。 第二个不同点, 也是更重要的区别, 动力分析时动 力反应( 位移) 与反应速度( 有阻尼时) 及反应加速 度三者相互联系[ 6] 。
关键词: 地震; 动力系数; 一致边界; 有限元分析
中图分类号: T U457 文献标识码: A
文章编号: 1673 0836( 2008) 06 1006 05
Finite Element Analysis on Dynamic Coefficient for Slopes Subjected to Earthquake Load
本文在作边坡动力分析时, 首先作了边坡模态 分析, 提取出边坡前五阶的固有频率 w1~ 5 , 并按工 程经验在 0. 09~ 0. 14 间选取相应的阻尼比 #1~ 5 , 计算出比例系数 != 1. 85, = 0. 0041, 以此确定出 边坡动力分析时阻尼矩阵[ C] 。 2. 3 一致边界
* 收稿日期: 2008 08 15( 修改稿) 作者简介: 许年春( 1977 ) , 男, 安徽安庆 人, 工 学博士, 主 要从 事边坡 动力 学与边 坡支 护研 究。E mail: x x j101294@ sina. co m. cn
2008 年第 6 期
许年春, 等 : 地震作用下边坡动力系数有限元分析
系统在动荷载作用下的动力平衡方程( 动力 响应方程) 为:
[ M ] { } + [ C] { u} + [ K ] { u} = { F( t ) } ( 1) 式中: [ M ] 为结构 的整体质量矩阵; [ C] 为结构的 阻尼矩阵; [ K] 为结构的整体 刚度矩阵; 为结构 的加速度矢量; u 为结构的速度矢量; { u} 为结构的 位移矢量; { F( t ) } 为结构的整体节点力矢量。
解决! 箱效应∀的方法是在边界采用一致边界 条件, 一致边界的原理是在边界上设置弹簧- 阻尼 器来吸收能量和平衡位移, 使其不发生再次反射。
纵波使质点沿波传播方向前后运动, 剪切波使 质点沿垂直波传播方向上下运动, 因此在每个边界 节点处法向切向均需设置弹簧- 阻尼器, 如图 2 所 示。
K BT
=
( 5)
2[ =
( 1/ ∃i ) ∃i#i - n ( #i / ∃i ) ] ( 6)
( 1/ ∃i 2 ) ∃2i - n2
式中: n 为参与计算阶次数。 阻尼比可通过实验得到, 文献[ 8] 通过动三轴
实验得出某粉质粘土剪应变 0. 04% ~ 0. 12% 时相 映的阻尼比为 0. 05~ 0. 25。
100 7
方掩埋, 新县城也因基础失稳而大量垮塌。 地震作用下边坡稳定性一直是岩土工程界最
关心的问题之一[ 1, 2, 3] , 在动力作用 下坡体内会产 生水平方向的加速度, 相当于施加一个水平方向的 力作用, 虽然加速度方向不断变化, 但坡体屈服后 向外滑移量却是不断累积, 当滑移量累加到一定程 度时, 边坡失 稳破坏, 这就是 New mark 滑块位移 法的原理[ 4, 5] 。
3. Chongqing S ur v ey I nstitute, Chong qing 400020, China) Abstract: Earthquake has g reat effect on the stability o f slopes, the seismic wav e will be amplified in the slo pe and t he dy namic coefficient par ticular ly susceptible to the slo pe shape. In this paper, F EM is used to car ry out dynamic analysis fo r slo pes, the damping matrix is go t based on the natur al frequency and damping ratio of the material, generalized consist ent bo undary conditio n is set and t he EI centr o ear thquake recor ds was input to the base bo undary as seismic acceleration. T he r esult of the dynamic analysis show s that with the incr ease of the slo pe g radient the dynamic co efficient incr eases t oo. T he coefficient is var iable in the slope, this means that the maximum v alue is at the cr est and minimum value at the toe. It is rational if we defined the dy namic coeffi cient at the g ravity center of the w edg e o ver the sliding plane as the slo pe dynamic coefficient, and fo r relat ively steep slo pes in engineer ing the value is 1. 6 to 1. 8. Keywords: earthquake; dynamic coefficient; co nsistent boundary ; F EA
摘 要: 地震对边坡稳定性有重要影响, 地震波在坡体内会产生动力放大效应, 动力系数 受边坡形态的影响。采用有限元方法作边坡动力分析时, 根据边坡固有频率和坡体阻尼比确 定出阻尼矩阵, 选取合理的计算域宽度, 边界采用人工一致边界, 地震加速度输到基底。动力 分析结果表明, 坡度越大, 边坡动力系数越大, 动力系数沿坡高方向是变化的, 坡脚处最小, 坡 顶处最大, 以滑裂面以上楔体重心处的动力系数作为地震作用下边坡的动力系数值较合理, 对 于工程上较陡的边坡来说, 动力系数在 1. 对于 平面 问题 可分 别取 为 1. 0 和 0. 5[ 10] 。
第4卷 第6期 2008 年 12 月
地下空间与工程学报 Chinese Jo urnal o f U nderg ro und Space and Eng ineering
V ol. 4 D ec. 2008
地震作用下边坡动力系数有限元分析*
许年春1, 石维力2, 石东虹3
( 1. 重庆科技学院建筑工程学院, 重庆 401331; 2. 浙江省水利水电勘测设计院, 浙江 310002; 3. 重庆市勘测院, 重庆 400020)
定要求又具有较高的精度。详细可参见文献[ 4] 。
2. 2 阻尼矩阵 结构的阻尼矩阵[ C] 是一个需作重 点研究的
矩阵, 一般来讲, 阻尼在结构振动的过程中, 是时刻 存在着的, 任何一种结构的自由振动都将在阻尼的 作用下衰减并最终停止, 在分析式( 1) 、( 2) 时, 阻尼 是不可缺少的一个重要方面, 但是阻尼的机理很复 杂 , 它与结构的粘性、内摩擦损耗等联系在一起, 显然要完全反映结构的阻尼机理, 需要很复杂的物 理关系。
1877 年 Rayleigh 将线性阻尼的观点引入了弹 性体的振动方程, 通过进一步的简化, 通常采用如 下的形式的粘形阻尼矩阵[ 7] :
[ C] = ![ ∀ ] + [ K ]
( 3)
这种阻尼矩阵称为比例阻尼矩阵, 其中 !、 是
比例系数, 把阻尼写成式( 3) 的形式还有一个优点
就是阻尼阵同质量阵、刚度阵一样有关于振型的正
图 1 模型单元划分图 Fig . 1 T he meshed model
地震波沿基底向上传播, 到达边坡表面后产 生反射, 反射波向四周传播, 在半无限空间中反射 波可全部透射出边界, 但在边界处 施加位移约束 后, 反射波不能自由透射, 再次发生反射 , 如此 地震波在坡体内往返反射, 形成! 箱效应∀导致模拟 结果失真。
边界条件在动力有限元模拟中是一个关键问 题, 边坡有限元分析时是从半无限空间中选取一定 宽度的面域作分析, 如图 1 所示, 对 h= 5. 0m 高的 边坡作有限元分析, 下边界取至坡 底以下 1 倍坡
10 08
地下空间与工程学报
第4卷
高, 左边界取至坡脚向外 1. 5 倍坡高, 右边界取至 坡顶向外 2. 5 倍坡高, 边界条件为: 左、右边界施加 水平位移约束, 下边界施加竖向位移约束。一般认 为静力分析时这样选取的分析域和确定的边界条 件有足够的精度, 但动力分析时如果边界条件仍象 静力分析这样简单处理的话, 将不能模拟出边坡的 实际动力反应。
!T
G R
A
CBT = %C sA
( 8)
式中: G 为坡体剪切模量, KBN 、K BT 分别为法向和 切向弹簧刚度; CBN 、CBT 分别为法向和切向阻尼器
的阻尼系数; R 为波源至人工边界点的距离; A 为
人工边界结点在边界上的等效面积; cp 、cs 为介质 的 P 波和 S 波波速; !N 、!t 为法向与切向人工边界
1 前言
5. 12 汶川地震中北川县遭受地震灾害最为严 重, 老县城 80% 、新县城 60% 以上建筑垮塌, 2 万
人口的县城死伤人口高达 1 万 5 千, 这一方面是由 于北川距震中较近, 另一方面是由北川特殊的地理 位置和地质构造决定的, 北川县城四面环山, 坡体 由碎裂岩石组成, 地震作用下老县城被巨大山体塌
2. 1 力学理论 动力分析与静力分析的不同点表现在两个方
面: 第一个不同点是, 动力问题具有随时间而变化 的性质, 由于荷载和反应随时间而变化, 显然动力 问题不象静力问题那样具有单一的解, 而必须建立 相应于反应时程中感兴趣的全部时间的一系列解 答, 因此, 动力分析 显然要比静力分析消耗时间。 第二个不同点, 也是更重要的区别, 动力分析时动 力反应( 位移) 与反应速度( 有阻尼时) 及反应加速 度三者相互联系[ 6] 。
关键词: 地震; 动力系数; 一致边界; 有限元分析
中图分类号: T U457 文献标识码: A
文章编号: 1673 0836( 2008) 06 1006 05
Finite Element Analysis on Dynamic Coefficient for Slopes Subjected to Earthquake Load
本文在作边坡动力分析时, 首先作了边坡模态 分析, 提取出边坡前五阶的固有频率 w1~ 5 , 并按工 程经验在 0. 09~ 0. 14 间选取相应的阻尼比 #1~ 5 , 计算出比例系数 != 1. 85, = 0. 0041, 以此确定出 边坡动力分析时阻尼矩阵[ C] 。 2. 3 一致边界
* 收稿日期: 2008 08 15( 修改稿) 作者简介: 许年春( 1977 ) , 男, 安徽安庆 人, 工 学博士, 主 要从 事边坡 动力 学与边 坡支 护研 究。E mail: x x j101294@ sina. co m. cn
2008 年第 6 期
许年春, 等 : 地震作用下边坡动力系数有限元分析
系统在动荷载作用下的动力平衡方程( 动力 响应方程) 为:
[ M ] { } + [ C] { u} + [ K ] { u} = { F( t ) } ( 1) 式中: [ M ] 为结构 的整体质量矩阵; [ C] 为结构的 阻尼矩阵; [ K] 为结构的整体 刚度矩阵; 为结构 的加速度矢量; u 为结构的速度矢量; { u} 为结构的 位移矢量; { F( t ) } 为结构的整体节点力矢量。
解决! 箱效应∀的方法是在边界采用一致边界 条件, 一致边界的原理是在边界上设置弹簧- 阻尼 器来吸收能量和平衡位移, 使其不发生再次反射。
纵波使质点沿波传播方向前后运动, 剪切波使 质点沿垂直波传播方向上下运动, 因此在每个边界 节点处法向切向均需设置弹簧- 阻尼器, 如图 2 所 示。
K BT
=
( 5)
2[ =
( 1/ ∃i ) ∃i#i - n ( #i / ∃i ) ] ( 6)
( 1/ ∃i 2 ) ∃2i - n2
式中: n 为参与计算阶次数。 阻尼比可通过实验得到, 文献[ 8] 通过动三轴
实验得出某粉质粘土剪应变 0. 04% ~ 0. 12% 时相 映的阻尼比为 0. 05~ 0. 25。
100 7
方掩埋, 新县城也因基础失稳而大量垮塌。 地震作用下边坡稳定性一直是岩土工程界最
关心的问题之一[ 1, 2, 3] , 在动力作用 下坡体内会产 生水平方向的加速度, 相当于施加一个水平方向的 力作用, 虽然加速度方向不断变化, 但坡体屈服后 向外滑移量却是不断累积, 当滑移量累加到一定程 度时, 边坡失 稳破坏, 这就是 New mark 滑块位移 法的原理[ 4, 5] 。
3. Chongqing S ur v ey I nstitute, Chong qing 400020, China) Abstract: Earthquake has g reat effect on the stability o f slopes, the seismic wav e will be amplified in the slo pe and t he dy namic coefficient par ticular ly susceptible to the slo pe shape. In this paper, F EM is used to car ry out dynamic analysis fo r slo pes, the damping matrix is go t based on the natur al frequency and damping ratio of the material, generalized consist ent bo undary conditio n is set and t he EI centr o ear thquake recor ds was input to the base bo undary as seismic acceleration. T he r esult of the dynamic analysis show s that with the incr ease of the slo pe g radient the dynamic co efficient incr eases t oo. T he coefficient is var iable in the slope, this means that the maximum v alue is at the cr est and minimum value at the toe. It is rational if we defined the dy namic coeffi cient at the g ravity center of the w edg e o ver the sliding plane as the slo pe dynamic coefficient, and fo r relat ively steep slo pes in engineer ing the value is 1. 6 to 1. 8. Keywords: earthquake; dynamic coefficient; co nsistent boundary ; F EA
摘 要: 地震对边坡稳定性有重要影响, 地震波在坡体内会产生动力放大效应, 动力系数 受边坡形态的影响。采用有限元方法作边坡动力分析时, 根据边坡固有频率和坡体阻尼比确 定出阻尼矩阵, 选取合理的计算域宽度, 边界采用人工一致边界, 地震加速度输到基底。动力 分析结果表明, 坡度越大, 边坡动力系数越大, 动力系数沿坡高方向是变化的, 坡脚处最小, 坡 顶处最大, 以滑裂面以上楔体重心处的动力系数作为地震作用下边坡的动力系数值较合理, 对 于工程上较陡的边坡来说, 动力系数在 1. 对于 平面 问题 可分 别取 为 1. 0 和 0. 5[ 10] 。
第4卷 第6期 2008 年 12 月
地下空间与工程学报 Chinese Jo urnal o f U nderg ro und Space and Eng ineering
V ol. 4 D ec. 2008
地震作用下边坡动力系数有限元分析*
许年春1, 石维力2, 石东虹3
( 1. 重庆科技学院建筑工程学院, 重庆 401331; 2. 浙江省水利水电勘测设计院, 浙江 310002; 3. 重庆市勘测院, 重庆 400020)
定要求又具有较高的精度。详细可参见文献[ 4] 。
2. 2 阻尼矩阵 结构的阻尼矩阵[ C] 是一个需作重 点研究的
矩阵, 一般来讲, 阻尼在结构振动的过程中, 是时刻 存在着的, 任何一种结构的自由振动都将在阻尼的 作用下衰减并最终停止, 在分析式( 1) 、( 2) 时, 阻尼 是不可缺少的一个重要方面, 但是阻尼的机理很复 杂 , 它与结构的粘性、内摩擦损耗等联系在一起, 显然要完全反映结构的阻尼机理, 需要很复杂的物 理关系。
1877 年 Rayleigh 将线性阻尼的观点引入了弹 性体的振动方程, 通过进一步的简化, 通常采用如 下的形式的粘形阻尼矩阵[ 7] :
[ C] = ![ ∀ ] + [ K ]
( 3)
这种阻尼矩阵称为比例阻尼矩阵, 其中 !、 是
比例系数, 把阻尼写成式( 3) 的形式还有一个优点
就是阻尼阵同质量阵、刚度阵一样有关于振型的正
图 1 模型单元划分图 Fig . 1 T he meshed model
地震波沿基底向上传播, 到达边坡表面后产 生反射, 反射波向四周传播, 在半无限空间中反射 波可全部透射出边界, 但在边界处 施加位移约束 后, 反射波不能自由透射, 再次发生反射 , 如此 地震波在坡体内往返反射, 形成! 箱效应∀导致模拟 结果失真。
边界条件在动力有限元模拟中是一个关键问 题, 边坡有限元分析时是从半无限空间中选取一定 宽度的面域作分析, 如图 1 所示, 对 h= 5. 0m 高的 边坡作有限元分析, 下边界取至坡 底以下 1 倍坡
10 08
地下空间与工程学报
第4卷
高, 左边界取至坡脚向外 1. 5 倍坡高, 右边界取至 坡顶向外 2. 5 倍坡高, 边界条件为: 左、右边界施加 水平位移约束, 下边界施加竖向位移约束。一般认 为静力分析时这样选取的分析域和确定的边界条 件有足够的精度, 但动力分析时如果边界条件仍象 静力分析这样简单处理的话, 将不能模拟出边坡的 实际动力反应。
!T
G R
A
CBT = %C sA
( 8)
式中: G 为坡体剪切模量, KBN 、K BT 分别为法向和 切向弹簧刚度; CBN 、CBT 分别为法向和切向阻尼器
的阻尼系数; R 为波源至人工边界点的距离; A 为
人工边界结点在边界上的等效面积; cp 、cs 为介质 的 P 波和 S 波波速; !N 、!t 为法向与切向人工边界
1 前言
5. 12 汶川地震中北川县遭受地震灾害最为严 重, 老县城 80% 、新县城 60% 以上建筑垮塌, 2 万
人口的县城死伤人口高达 1 万 5 千, 这一方面是由 于北川距震中较近, 另一方面是由北川特殊的地理 位置和地质构造决定的, 北川县城四面环山, 坡体 由碎裂岩石组成, 地震作用下老县城被巨大山体塌
