4第四章 水文统计基础知识

反应系列 总水平
定义模比系数： 则：
Ki
xi x
1
1 n
n i 1
Ki
K1 K2 Kn n
⒉ 均方差σ、变差系数Cv：
反映系列中各变量值集中或离散的程度
n
(xi x)2
i1
n
Cv
n
(Ki 1)2
i 1
n
例4-2： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
⒊偏态系数（Cs）: 反映系列在均值两边对称程度
n
( Ki 1)3
Cs i1 nCv3
正态曲线或正态分布： 密度函数：
密度曲线：
例4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、 偏态系数。
样本 1 2 3 4 5
系列 300 200 185 165 150
例如:
T 1 1 P
当某一洪水的频率为P=1%时，则T=100年，称此洪
水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100
年会遇到一次。
对于p=80%的枯水流量，则 T=5 年，称作以五年一
遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的
流量平均5年会遇到一次。说明具有80%的可靠程度。
第五节 P—Ⅲ型分布参数估计
经验频率 （5） 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线
二、理论频率曲线： 1、皮尔逊Ⅲ型分布曲线（ P-Ⅲ)
一端有限，一端无限 的不对称单峰曲线
形状、尺度和 位置参数
可以推证：
4 CS2

P-Ⅲ型概率密度曲线的 特点：
（1）单峰型； （2）与x轴有一交点，对应水文 变量的最小值； （3）后端与x轴不相交
P-Ⅲ 型曲线的应用
将P-Ⅲ型曲线的方程式进行一定的积分演算，就可以得到频率曲 线纵坐标值 的计算公式，即频率曲线的方程式（分布函数）为： P
x
xP (Cv 1) x K P x
3、偏态系数
偏态系数是反映随机变量系列中各随机变量对其均 值对称性的参数。 对于总体
Cs
Cs
( xi x) 3
i 1
n
n x C v3
3
对于样本
Cs
( xi x) 3
i 1
n
(n 3) x Cv3
3
频率曲线的三个参数，其中均值（ x ）一般直接采用矩 法计算值；变差系数（Cv）可先用矩法估算，并根据适线拟 合最优的准则进行调整；偏态系数（Cs）一般不进行计算， 而直接采用倍比，我国绝大多数河流可采用 Cs=(2~3)Cv。
Ki
2）.中值 x
xi x
中值的大小能反映系列中间项和密度曲线的位置。
3）.众值
x
众值的大小能反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。
4）.均值、中值、众值的位置关系
y y
y
o
xxx a)
x 0
xxx b)
x 0
xxx
c)
x
a）正偏态；
b）正态； 密度曲线图
c）负偏态
水文现象为不对称分布，年洪峰流量频率分布多为正偏。
频率曲线（ P-Ⅲ 型曲线） 设计洪水水位 设计洪水流量
工程设计标准
设计洪水频率 （洪水重现期） 经验频率曲线
公式4-18~公式4-20

m P 100% （4-6） n 1 2. 频率与重现期的关系
重现期——随机事件平均的重现时间间隔T，如100年 一遇，指平均每100年遇到1次，并非每隔100年一定遇 到1次
·对于暴雨洪水（防洪，设计频率 P≤50%）
1 1 T （年） P P ( x p )
三峡：P=0.01%，Q0.01%=91100m3 /s，指平均每 10000 年遇到
1．经验频率公式 （1）纯经验频率公式
P
m 100% n
P—— x m 的经验频率；m——变量 xi 从大—→小排列的序号 n——观测资料的总项数
（2）数学期望公式
对于纯经验频率公式，当m=n时，p=100%，即样本的 末项就是总体的最小值，显然不合理。为了由样本比 较好的估计总体概率，我国采用数学期望公式
（五） x 、CV、CS对频率曲线的影响
1．C V、C S 固定， x 改变 如 x 2 x1 ， x 增大， 频率曲线位置抬高，且变陡。
2．x 、C S 固定， C V 变大，使频率曲线顺时针旋转 V
3．x 、CV固定，CS变大，使频率曲线上端变陡，中间曲率变大， 下端趋于水平，CS2>CS1
曲线相关
④以两变量的变化步调分
正相关
负相关
3．相关分析的内容
（1）判断变量之间是否存在相关
（2）确定相关关系的数学形式和相关的密切程度
（3）插补延长倚变量，并作误差分析。
二、简直线相关（一元线性回归）
（一）相关图解法 x、y 同期（同步）观测资料，点绘在图上，根据相关 点的分布趋势，绘出相关线，使相关点均匀分布在相 关线的两旁。可近似看出相关类型及程度 （二）相关分析法 1．建立回归方程 第一步：确定线型——直线，如图 x1，x2，…，xn y1，y2，…，yn

f(x)()(xa0)e(xa0) （密度分布图）
其中：
4 ； 2 ；
Cs
XCsCv
a0
X(1 2Cv Cs
)
三个参数： X，Cs，Cv
分布函数：
F(Xxp) xp f(x)dx
x p X X (C v 1 ) K pX
查值表K； p值表
如何求 X，Cs，Cv 在以后介绍
@COPY RIGHT 扬大陈平
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
图XX XXX站年雨量频率曲线
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
四、三参数对曲线的影响规律
前面配线时，如果配合不好，则改变参数，继 续求Xp值，第二次配线。
参数有3个，改变哪一个呢？无从下手。 这就需要弄清3参数对曲线的影响规律。
第四节 统计参数估计
一、样本与总体 1.总体：随机变量所有可能取值的全体。 水文总体往往是无限的。 2.样本：从总体中任意抽取的一部分。 3.样本容量：样本中包含的项数。n 4.总体与样本的关系：样本来自总体； 样本的分布基本上反映总体的分布规律。 水文的总体是无限的，所以采用样本来估计总 体；样本（实测资料）的分布反映总体分布规律。
@COPY RIGHT 扬大陈平
二、样本统计参数的估算
1.矩法估计
X 1 n
X
；
i
(Xi X)2
n
离差系数：
Cv
X
； 偏态系数：
Cs
(Ki 1)3 (n3)Cv3
2.无偏估计
X
1 n
Xi
1
CvX
(XiX)2 (ki1)2