【精选】浙江版高考数学一轮复习专题3.1导数概念及其几何意义练

专题3.1 导数概念及其几何意义【考纲解读】【知识清单】1．导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x0，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数称函数0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．对点练习： 求函数y =1x =处的导数. 【答案】12-2．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．对点练习：【2016四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A 【解析】【考点深度剖析】本节中导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为全国卷高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有： (1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用．【重点难点突破】考点1 利用导数的定义求函数的导数 【1-1】一质点运动的方程为283s t =-.（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1）63x --∆；（2）6-. 【解析】（1）∵283s t =-∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt -3(Δt)2,63sv t t-∆==--∆∆. （2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度00lim lim(63)6t t sv t t ∆→∆→∆==--∆=-∆求导法：质点在t 时刻的瞬时速度2()(83)6v s t t t ''==-=，当t=1时，v=-6×1=-6.【领悟技法】1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法：①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数, 【触类旁通】【变式一】若0()3f x '=-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．3-B ．12-C ．9-D ．6- 【答案】B法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为0000()()()lim3h f x h f x f x h→+-'==-，所以0000000()(3)()(3)lim4lim 4'()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===-（其中：00()(3)4x h x h h +--=），故选B.考点2 导数的几何意义【2-1】曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（ ） A ．)3,1( B ．)3,1(- C ．)3,1(和)3,1(- D ．)3,1(- 【答案】C.【解析】因2'()31f x x =-，令'()2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以(1,3)P 或(1,3)-，经检验，点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ．【2-2】【山西孝义二模】曲线2()f x x =过点(1,0)P -处的切线方程是_____________. 【答案】0440y x y =++=，【2-3】已知曲线31433y x =+， （1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2）求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3）求斜率为4的曲线的切线方程.. 【答案】（1）440.x y --=(2) 44020x y x y --=-+=或(3)440123200x y x y --=-+=和.【解析】（1）(2,4)P Q 在曲线31433y x =+上，且2y x '= ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=2|x y ='=4;∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即440.x y --=（2）设曲线31433y x =+与过点P(2, 4)的切线相切于点A （x 0，301433x +），则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为y -（301433x +）=20x （x -0x ），即23002433y x x x =-+g∵点P(2,4)在切线上，∴4=220x -302433x +，即3200340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴（x 0+1）(x 0-2)2=0 解得x 0=-1或x 0=2故所求的切线方程为44020x y x y --=-+=或. （3）设切点为（x 0,y 0）则切线的斜率为k=x 02=4, x 0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3）∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2) 即440123200x y x y --=-+=和. 【领悟技法】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =. 【触类旁通】【变式一】已知函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是4y x =+，则()()22f f '+= ．【答案】7 【解析】【变式二】已知函数x x x f +=ln )(，则函数)(x f 点P （1，)1(f ）的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 . 【答案】41【解析】因为(1)1,f =切线斜率11(1)12,x kf x ='==+=所以切线方程为12(1)y x -=-，与两坐标轴的交点为1(0,1),(0,),2A B -因此围成的三角形的面积为1111.224⨯⨯=【易错试题常警惕】易错典例1：已知曲线31y x =+． （1）求曲线在1x =-处的切线方程； （2）求曲线过点(1,0)-的切线方程．易错分析：易于因为审题不严或理解有误，将两道小题混淆，特别是第（2）小题独立出现时．正确解析：（1）∵ 23y x '=， ∴曲线在1x =-处的斜率213(1)3x k y =-'==⨯-=．∵1x =-时，0y =，∴曲线在1x =-处的切线方程为3(1)y x =+， 即330x y -+=．温馨提醒：(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍.【学科素养提升之思想方法篇】————近似与精确、有限与无限——无限逼近的极限思想1.由0()()'()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.2.曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”⇒“割线→切线”.(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点． 【典例】322()13f x x x ax =-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】7(3,)2【解析】。

专题 3.1 导数概念及其几何意义A 基础巩固训练1.若曲线 y x 2 ax b 在点0,b处的切线方程是x y 1 0 ，则（）A ． a 1，b 1B ． a 1，b1C ． a 1，b 1D ． a1，b 1【答案】A 【解析】2.【2017四川成都摸底】曲线 y x sin x 在点 P (,0) 处的切线方程是（ ）A ． y x 2B ． y x 2C ． yx2D ． yx2【答案】A 【解析】y f xsin x ， f 'x sin x cos x ， f ' ，曲线 y x sin x在点 P (,0)处的切线方程是yxx 2 ，故选 A.3.已知 fx x x ， fx是 fx的导函数，即f ( ) '( )，1sincos2xf xn 1n13(x ) f '(x )*fx ()2n 1 n2017A ．sin x cos x B ．sin x cos xC ．sin x cos x D ．sin xcos x【答案】D1【解析】因为f 1 xsin x cos x ，所以f 2(x )f 1 '(x ) cos x sin x，f 3(x ) f 2 '(x )sin x cos x , f 4(x ) f 3 '(x )cos x sin x , f 5(x ) f 4 '(x ) sin xcos x可 知f n (x )的解 析 式 周 期 为 4， 因 为 2017 4504 1， 所 以fxf xxx ,故选 D.20171( ) sin cos 4.函数 yx ln x 的导数是【答案】 ln x1,【解析】根据乘法的导数法则[ f (x )g (x )] f (x )g (x ) f (x )g (x ) 及常见函数的导数公式1可得 y (x ln x ) ln x x 1 ln x 1(ln x ), x 1.xx5.【2017福建 4月质检】已知定义在 R 上的函数 fx满足 f1xf1x2 ，且当x 时，1f x x，则曲线 yf x在x 0 处的切线方程是__________． ex 2【答案】 yxB 能力提升训练1．曲线 y e x 在点 A (0,1) 处的切线为（ ） A.yx 1B. y1 C. yex 1D.1 1 yxln e【答案】A 【解析】函数 y f (x ) 在点 P (x , y )处的切线方程：y yf x x x .在本题中，( )()f(x)y e x，所以f(0)e01，所以切线为：y x1.本题属于容易题，但还是会出现以下错误：（1）f(0)e00，从而选B；将A(0,1)的纵坐标代入f(x)y e x求得斜率为f(1)e1e，从而选C.2| f (x ) f (x ) | 2．已知函数 f (x )4 x 2 ，则 1,2,12 ， 12x x R x x| xx |12的取值范围是 （ ）A ．[0,) B ．[0,1] C ． (0,1)D ．[0,1) 【答案】D 【解析f xf (x )y f (x )y f (x )( )3．设是函数的导函数，将 和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）,【答案】D 【解析】A 中曲线是原函数，直线是导函数；B 中递增的为原函数，递减的为导函数；C 中上面的为导 函数，下面的为原函数；D 中无论原函数是哪一个，导函数值都要有正有负.f xemx 的图象为曲线C ，若曲线C 不存在与直线 y1 xx平行的切4．已知函数1e线，则实数 m 的取值范围为．1【答案】e,【解析】f x e m ，因为曲线C 不存在与直线 y 1 x 平行的切线，所以方程1x无emxee31 1x x解，即m e g x e无解，设，则g x e x 0，所以g x单调递增，所以e eg x1，所以实数m的取值范围为,1ee.5．若存在过点(1,0)的直线与曲线y x3和2159y axx 都相切，求a的值.425【答案】a或a1．64C 思维拓展训练1.设曲线yxx11在点(3,2)处的切线与直线ax y 30有相同的方向向量,则a等于（）A．-12B．12C. -2D．2【答案】B【解析】x 12因为y f x 1x 1x1，f'x22x12，在点3,2处的切线与直线221ax y 有相同的方向向量，所以30f'31，a ，故选2a31242B.2．曲线y ln(2x1)上的点到直线2x y30的最短距离是（）A. 5B.25C.35D.0【答案】A【解析】设直线l与曲线y ln(2x1)相切与点P(x,y)且与直线2x y30平行，由004k2 2x12 得 x 01，所以 P (1, 0) ，因此直线l : 2x y 2 0 ，直线l : 2x y 2 0 到52x y 30的距离为 d5 .所以曲线 y ln(2x 1) 上的点到直线 2x y 35的最短距离是 5 .f xax 2 a0 与 g x ln x 有两条公切线，则 a 的取值范围为（ ） 3.曲线1 A ． 0, e1 B ．0,2e1 C ．,+ e1 D ．,+ 2e【答案】D 【解析】yxeey x 3( x4．设点 P 、Q 分别是曲线 是自然对数的底数）和直线上的动点，则 P 、Q两点间距离的最小值为【答案】32 2【解析】y'e x xe x(1x)e x(1x)e x1e x1x e x x10，令，即，，令h(x)e x x1h(x)h(0)0e x x10x0，显然是增函数，且，即方程只有一解，5曲线y xe x在x 0处的切线方程为y x，两平行线x y0和x y 30间的距离为332d22.145．已知函数.f(x)x333（Ⅰ）求函数f(x)在点P(2,4)处的切线方程；（Ⅱ）求过点P(2,4)的函数f(x)的切线方程.【答案】（Ⅰ）4x y 40（Ⅱ）x y 20或4x y 4【解析】试题解析：（Ⅰ）∵,f'(x)x2∴在点P(2,4)处的切线的斜率k f'(2)4∴函数f(x)在点P(2,4)处的切线方程为y 44(x 2),即4x y 4140x3（Ⅱ）设函数f(x)与过点P(2,4)的切线相切于点A(x,)，则切线的斜率33k f'(x)x20014∴切线方程为0)x(x x)，即y 32(x0033y23x0xx2343∵点P(2,4)在切线上24∴42x x,即x324020330x0033∴(x01)(x2)20，解得01或0x x 26∴所求的切线方程为x y20或4x y40.7。

第三章导数及其应用考试要点考试内容1.导数的概念、几何意义及运算①了解导数概念的实际背景.②理解导数的几何意义.③会用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数,并能求简单的复合(仅限于形如f(ax+b)的复合函数的导数)函数的导数.2.函数的单调性了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.函数的极值与最值理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件;会用导数求函数的极大(小)值;会求闭区间上函数的最大(小)值.4.导数综合应用导数的综合应用包括利用导数证明不等式,解决方程根的分布问题,结合单调性与最值求参数的范围及解决恒成立问题、生活中的优化问题.§ 3.1导数的运算及导数的几何意义1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x处导数的定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率①limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→0ΔyΔx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f '(x)或y'|x=x,即 f '(x)=limΔx→0ΔyΔx=②limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的③ 切线的斜率 .相应地,切线方程为④ y-y 0=f '(x 0)(x-x 0) .(3)函数f(x)的导函数 称函数f '(x)=⑤ limΔx →0f (x+Δx )-f (x )Δx为f(x)的导函数.2.基本初等函数的导数公式原函数导数f(x)=C(C 为常数) f '(x)=⑥ 0 f(x)=x α(α∈Q *) f '(x)=⑦ αx α-1 f(x)=sin x f '(x)=⑧ cos x f(x)=cos xf '(x)=⑨ -sin x f(x)=a x (a>0,且a≠1) f '(x)=⑩ a x ln a f(x)=e xf '(x)= e x f(x)=log a x(a>0,且a≠1) f '(x)=1xlnaf(x)=ln x f '(x)= 1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ; (3)[f (x )g (x )]'=f '(x )g (x )-f (x )g '(x )[g (x )]2(g(x)≠0) .4.复合函数的导数复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x = y'u ·u'x ,即y 对x 的导数等于 y 对u 的导数与 u 对x 的导数的乘积.1.下列求导运算正确的是( )A.(x+1x )'=1+1x2B.(log2x)'=1xln2C.(3x)'=3x log3e D.(x2cos x)'=-2sin x1.答案 B2.(2018杭州模拟)函数f(x)=x2+1x的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( ) A.x-y+1=0 B.3x-y-1=0C.x-y-1=0D.3x-y+1=02.答案 A3.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为( )A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(-1,3)D.(1,-3)3.答案 C4.函数y=lnxe x的导函数为.4.答案y'=1-xlnxxe x5.(2018杭州模拟)已知函数f(x)=x 33-b2x2+ax+1(a>0,b>0),则函数g(x)=aln x+f '(x)a的图象在点(b,g(b))处切线斜率的最小值是.5.答案 2解析因为a>0,b>0, f '(x)=x2-bx+a,所以g(x)=aln x+x 2-bx+aa,g'(x)=ax+2x-ba,则g'(b)=ab +2b-ba=ab+ba≥2,当且仅当a=b=1时取等号,所以斜率的最小值为2.考点一 导数的运算典例1 求下列函数的导数: (1)y=x 2sin x; (2)y=ln x+1x ; (3)y=cosx e x;(4)y=xsin (2x +π2)cos (2x +π2); (5)y=ln(2x-5).解析 (1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x)'=2xsin x+x 2cos x. (2)y'=(lnx +1x )'=(ln x)'+(1x )'=1x -1x 2. (3)y'=(cosx e x)'=(cosx )'e x -cosx (e x )'(e x )2=-sinx+cosxe x.(4)∵y=xsin (2x +π2)cos (2x +π2) =12xsin(4x+π)=-12xsin 4x,∴y'=-12sin 4x-12x·4cos 4x=-12sin 4x-2xcos 4x. (5)令u=2x-5,y=ln u, 则y'=(ln u)'u'=12x -5·2=22x -5. 方法指导导数运算的原则与方法 (1)原则:先化简解析式,再求导. (2)方法:1-1 求下列各函数的导数: (1)y=(3x3-4x)(2x+1);(2)y=-sin x2(1-2cos2x4);(3)y=ln(x+1)x2+1.解析(1)∵y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x, ∴y'=24x3+9x2-16x-4.(2)∵y=-sin x2(1-2cos2x4)=-sin x2·(-cos x2)=12sin x,∴y'=(12sinx)'=12(sin x)'=12cos x.(3)y'=[ln(x+1)]'(x 2+1)-(x2+1)'·ln(x+1) (x2+1)2=(x+1)'x+1·(x2+1)-2x·ln(x+1)(x2+1)2=x 2+1-2x(x+1)ln(x+1)(x+1)(x2+1)2.考点二导数的几何意义命题方向一求切线方程典例2 函数f(x)=14x2的图象在点(2, f(2))处的切线方程为. 答案y=x-1解析 由f(x)=14x 2,得f(2)=1, f '(x)=12x,故f '(2)=1,所以函数f(x)=14x 2的图象在点(2, f(2))处的切线的斜率为1,故所求切线方程为y=x-1.◆探究 求函数f(x)=14x 2的图象过点(4,74)的切线的方程.解析 设函数f(x)的图象过点(4,74)的切线与函数图象的切点坐标为(x 0,14x 02),由f(x)=14x 2得f '(x)=12x,故f '(x 0)=12x 0,所以函数f(x)的图象过点(4,74)的切线方程为y-14x 02=12x 0(x-x 0), 将(4,74)代入上述方程并整理得x 02-8x 0+7=0,解得x 0=1或x 0=7.所以函数f(x)的图象过点(4,74)的切线方程为y=12x-14或y=72x-494. 方法指导若已知曲线过点P(x 0,y 0),求曲线过点P(x 0,y 0)的切线方程,则需分点P(x 0,y 0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x 0,y 0)是切点时,切线方程为y-y 0=f '(x 0)(x-x 0). (2)当点P(x 0,y 0)不是切点时可按以下步骤解题: 第一步:设切点为P'(x 1, f(x 1));第二步:写出过P'(x 1, f(x 1))的切线方程y-f(x 1)=f '(x 1)(x-x 1); 第三步:将点P 的坐标(x 0,y 0)代入切线方程,求出x 1;第四步:将x 1的值代入方程y-f(x 1)=f '(x 1)(x-x 1),可得过点P(x 0,y 0)的切线方程. 易错警示导数的运算及切线应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.2-1 曲线f(x)=x 3+92x 2-3在点(1, f(1))处的切线斜率为 .答案12命题方向二求切点坐标典例3 在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.答案(e,1)解析设A(x0,y),由y'=1x,得k=1x0,所以在点A处的切线方程为y-ln x0=1x0(x-x).因为切线经过点(-e,-1),所以-1-ln x0=1x0(-e-x).所以ln x=ex0,令g(x)=ln x-ex(x>0),则g'(x)=1x +ex2,则g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.又g(e)=0,∴ln x=ex有唯一解x=e.∴x=e.∴点A的坐标为(e,1).规律方法已知斜率k,求切点(x1, f(x1)),即解方程f '(x1)=k.2-2 设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为.答案(1,1)解析函数y=e x的导函数为y'=e x,设曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率为k1,则k1=e0=1.设P(x0,y)(x>0),函数y=1x 的导函数为y'=-1x2,设曲线y=1x (x>0)在点P处的切线的斜率为k2,则k2=-1x02,由题意知k1k2=-1,即1·(-1x02)=-1,解得x02=1,又x0>0,∴x=1.∵点P在曲线y=1x(x>0)上,∴y=1,故点P的坐标为(1,1).命题方向三求参数的值(取值范围) 典例4 曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .答案-3规律方法根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点P(x0,y)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.2-3 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,h(x)=6ln x-4x,设两曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同,则m等于( )A.-3B.1C.3D.5答案 D 设曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点(x0,y)处的切线相同.∵f(x)=x2-m,h(x)=6ln x-4x, ∴f '(x)=2x,h'(x)=6x-4,∴{f(x0)=h(x0),f '(x0)=h'(x0),即{x02-m=6ln x0-4x0, 2x0=6x0-4,∵x0>0,∴x=1,m=5,故选D.考点三 两条曲线的公切线典例5 若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .答案 1-ln 2解析 直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由y=ln x+2得y'=1x ,由y=ln(x+1)得y'=1x+1,∴k=1x 1=1x2+1,∴x 1=1k ,x 2=1k -1,∴y 1=-ln k+2,y 2=-ln k, 即A (1k ,-lnk +2),B (1k -1,-lnk), ∵A、B 在直线y=kx+b 上,∴{2-lnk =k ·1k +b ,-lnk =k ·(1k -1)+b ⇒{b =1-ln2,k =2. 规律方法求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解. (2)利用公切线得出关系式.设公切线l 在y=f(x)上的切点为P 1(x 1,y 1),在y=g(x)上的切点为P 2(x 2,y 2),则f'(x 1)=g'(x 2)=f (x 1)-g (x 2)x 1-x 2.3-1 曲线f(x)=e x 在x=0处的切线与曲线g(x)=ax 2-a(a≠0)相切,则过曲线g(x)的切点且与该切线垂直的直线方程为 .答案 x+y+1=0解析 曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1.设其与曲线g(x)=ax 2-a(a≠0)相切于点(x 0,a x 02-a), 则g'(x 0)=2ax 0=1,且a x 02-a=x 0+1.解得x 0=-1,a=-12,故切点坐标为(-1,0).所以过切点且与该切线垂直的直线方程为 y=-1×(x+1),即x+y+1=0.A 组 基础题组1.曲线y=xe x-1在点(1,1)处的切线的斜率等于( ) A.2e B.eC.2D.11.答案 C2.函数f(x)=(2πx)2的导数为( ) A.f '(x)=4πx B.f '(x)=4π2x C.f '(x)=8π2x D.f '(x)=16πx2.答案 C3.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P 0的坐标为( ) A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1) C.(1,0)D.(-1,-4)3.答案 A4.已知函数f(x)=ax n (a,n∈R)的图象在点(1,2)处的切线方程是y=4x-2,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)是偶函数且有最大值B.函数f(x)是奇函数且有最大值C.函数f(x)是偶函数且有最小值D.函数f(x)是奇函数且有最小值4.答案 C 对函数f(x)求导得f '(x)=anx n-1,则由题意得{f (1)=a ·1n =2,f '(1)=an ·1n -1=4,解得{n =2,a =2,则函数为二次函数f(x)=2x 2,其图象开口向上,有最小值,且为偶函数.故选C.5.曲线f(x)=xln x在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为( )A.π6B.π4C.π3D.π25.答案 B 因为f(x)=xln x,所以f '(x)=ln x+x·1x=ln x+1,所以f '(1)=1,所以曲线f(x)=xln x在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为π4.6.若曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.36.答案 D7.曲线y=e x在点A处的切线与直线x+y+3=0垂直,则点A的坐标为( )A.(-1,e-1)B.(0,1)C.(1,e)D.(0,2)7.答案 B 与直线x+y+3=0垂直的直线的斜率为1,所以切线的斜率为1,对y=e x求导得y'=e x,令y'=e x=1,解得x=0,此时y=e0=1,即点A的坐标为(0,1),选B.8.(2018宁波调研)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为( )A.2B.-1C.1D.-28.答案 C 对y=x3+ax+b求导得y'=3x2+a,则{13+a+b=3,3×12+a=k,k+1=3,解得{a=-1,b=3,k=2,所以2a+b=1,故选C.9.已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.9.答案 310.已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f '(x)为f(x)的导函数.若f '(1)=3,则a的值为.10.答案 311.已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e -x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 11.答案 y=2x解析 当x>0时,-x<0, f(-x)=e x-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=e x-1+x(x>0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f '(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f '(1)·(x -1),即y=2x.12.若曲线y=e -x 在点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P 的坐标是 . 12.答案 (-ln 2,2)解析 令f(x)=y=e -x ,则f '(x)=-e -x .设P(x 0,y 0),则 f '(x 0)=-e -x 0=-2,解得x 0=-ln 2,所以y 0=e -x 0=e ln 2=2,所以点P 的坐标为(-ln 2,2).13.在平面直角坐标系xOy 中,若曲线y=ax 2+bx (a,b 为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b 的值是 . 13.答案 -3 解析 ∵y=ax 2+bx , ∴y'=2ax -bx 2,由题意可得{4a +b2=-5,4a -b 4=-72,解得{a =-1,b =-2.∴a+b=-3. B 组 提升题组1.已知f(x)=14x 2+sin (π2+x), f '(x)为f(x)的导函数,则f '(x)的大致图象是( )1.答案 A ∵f(x)=14x 2+sin (π2+x)=14x 2+cos x,∴f '(x)=12x-sin x,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又f ″(x)=12-cos x,当-π3<x<π3时,cos x>12,∴f ″(x)<0,故函数y=f '(x)在区间(-π3,π3)上单调递减,故排除C.故选A.2.已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 . 2.答案 y=-2x-1解析 令x>0,则-x<0, f(-x)=ln x-3x,又f(-x)=f(x),∴f(x)=ln x -3x(x>0),则f '(x)=1x -3(x>0),∴f '(1)=-2,∴曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.3.已知曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则a= . 3.答案 8解析 令f(x)=y=x+ln x,则f '(x)=1+1x , f '(1)=2,又f(1)=1,∴曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax 2+(a+2)x+1的切点为P(x 0,y 0),则y'|x=x 0=2ax 0+a+2=2,得a(2x 0+1)=0,∴a=0或x 0=-12,又a x 02+(a+2)x 0+1=2x 0-1,即a x 02+ax 0+2=0,当a=0时,此方程显然不成立,∴x 0=-12,此时a=8.4.已知函数f(x)=ae x +x 2,g(x)=cos πx+bx,直线l 与曲线y=f(x)相切于点(0, f(0)),且与曲线y=g(x)相切于点(1,g(1)),则a+b= ,直线l 的方程为 . 4.答案 -2;x+y+1=0解析 f '(x)=ae x +2x,g'(x)=-πsin πx+b, f(0)=a,g(1)=cos π+b=b -1, f '(0)=a,g'(1)=b,由题意可得f '(0)=g'(1),则a=b, 又b -1-a 1-0=a,则a=b=-1,a+b=-2,直线l 的方程为x+y+1=0.5.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件:(i)直线l 在点P(x 0,y 0)处与曲线C 相切;(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C.下列命题正确的是 (写出所有正确命题的序号). ①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x 3; ②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2; ③直线l:y=x 在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x; ④直线l:y=x 在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x; ⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x. 5.答案 ①③④解析 ①直线l:y=0在P(0,0)处与曲线C:y=x 3相切,且曲线C 在点P(0,0)附近位于直线l 的两侧,①正确;②直线l:x=-1不是曲线C:y=(x+1)2在P(-1,0)处的切线,②错;③中y'=cos x,cos 0=1,因此曲线C:y=sin x 在P(0,0)处的切线为l:y=x,设f(x)=x-sin x,则f '(x)=1-cos x≥0,即f(x)是增函数,又f(0)=0,从而当x<0时, f(x)<0⇒x<sin x,当x>0时, f(x)>0⇒x>sin x,即曲线C:y=sin x 在P(0,0)附近位于直线l 的两侧,③正确;④中y'=(sinxcosx )'=1cos 2x ,1cos 20=1,因此曲线C:y=tan x 在P(0,0)处的切线为l:y=x,设g(x)=x-tan x,则g'(x)=1-1cos 2x ≤0(-π2<x <π2),即g(x)在(-π2,π2)上是减函数,且g(0)=0,同③得④正确;⑤中y'=1x ,11=1,因此曲线C:y=ln x 在P(1,0)处的切线为l:y=x-1,设h(x)=x-1-ln x(x>0),则h'(x)=1-1x =x -1x,当0<x<1时,h'(x)<0,当x>1时,h'(x)>0,因此当x=1时,h(x)min =h(1)=0,因此曲线C 在P(1,0)附近位于直线l 的一侧,故⑤错误.因此答案为①③④.1.(2019课标全国Ⅲ理,6,5分)已知曲线y=ae x +xln x 在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e -1,b=1D.a=e -1,b=-1答案 D ∵y'=ae x +ln x+1,∴y'|x=1=ae+1,∴2=ae+1,∴a=e -1.∴切点为(1,1), 将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b, ∴b=-1,故选D.2.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-xC.y=2xD.y=x答案 D ∵f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax 为奇函数,∴a -1=0,解得a=1,∴f(x)=x 3+x, ∴f '(x)=3x 2+1,∴f '(0)=1,故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D. 3.(2019课标全国Ⅰ理,13,5分)曲线y=3(x 2+x)e x 在点(0,0)处的切线方程为 . 答案 y=3x解析 ∵y'=3(x 2+3x+1)e x ,∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y'|x=0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.4.(2018课标全国Ⅱ,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 . 答案 y=2x解析 因为y'=2x+1,所以y'|x=0=2,又(0,0)为切点, 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.。

第 01 节导数观点及其几何意义班级 __________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1. 【 2018 年新课标I 卷】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()A. B. C. D.【答案】 D【分析】剖析：利用奇函数偶此项系数为零求得，从而获得的分析式，再对求导得出切线的斜率，从而求得切线方程.详解：由于函数是奇函数，因此，解得，因此，，因此，因此曲线在点处的切线方程为，化简可得，应选 D.2．【 2018 届山西省榆社中学模拟】若曲线的一条切线经过点，则此切线的斜率为（）A. B. C.或 D.或【答案】 C3【 2018 届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（二）】已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为( )A. B. C. D.【答案】 D【分析】剖析：求导，利用函数 f （ x）在x=1 处的倾斜角为得 f ′（ 1） =﹣1，由此可求 a 的值 .详解 :函数（x＞0）的导数，∵函数 f （x）在 x=1 处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+ =﹣ 1，∴ a=﹣ 1．应选： D．4．设曲线y=在点 (3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a 等于()A. 2B.- 2C.D.-【答案】B【分析】函数的导函数为y′＝，因此函数在(3,2)处的切线斜率为k＝－，直线ax ＋y＋ 3＝ 0 的斜率为－a，因此－ a·( －) ＝－ 1，解得a＝－ 2，选B．5. 【 2018 届相阳教育“黉门云”等值模拟】设函数，若曲线在点处的切线方程为，则（）A. 0B.C. 1D. 2【答案】A【分析】将代入直线方程得, 故切点为, 直线斜率为,,. 应选A.6.已知曲线y 1 x22 上一点，P(1,3 ) ，则过点P 的切线的倾斜角为（）22A.30°B.45°C.135°D.165°【答案】B【分析】 y ' f ' x x ，因此 f ' 1 1 .由导数的几何意义可得在点P 处切线的斜率为1，设此切线的倾斜角为，即 tan1，由于0180 ，因此45 .故B正确.7. 【 2018 届湖南省株洲市检测（二）】设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象一部分能够是( )A. B.C. D.【答案】 A【分析】剖析：求出函数的导数，获得切线的斜率的函数的分析式，而后判断函数的图象即可．详解：由可得：即，函数是奇函数，清除选项B，D；当时，，清除选项C．应选： A．8. 【 2018 届云南省曲靖市第一中学 4 月监测卷（七）】若抛物线在处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】剖析：求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式进行求解．详解：由于，因此，则该切线的斜率，则.应选 A ．9.【 2018 届四川省绵阳市三诊】若曲线 y lnx 1的一条切线是 yax b ，则 4a e b 的最小值是（）A.2B.22C.4D.42【答案】 C10. 若曲线 C 1 : yax 2 (a 0) 与曲线 C 2 : y e x 存在公共切线，则 a 的取值范围为（）A ． e 2,B ． 0,e 2C ． e 2,D ． 0,e 288 4 4【答案】 C【分析】试题剖析：依据题意，函数与函数在e x则 f x设f x2 x0，+上有公共点，令 ax 2 e x 得： ae xx 2x 2e x 2xe xx 2由 f x 0当 0x 2得：时，x 2fx 0 ，函数 f xe x 在区间 0,2上是减函数，x2当 x 2时， f x0 ，函数 f xe x 在区间 2,上是增函数，x2因此当 x2 时，函数 f xe x 在0，+ 上有最小值 fe 2 x 2 24因此 a e2，应选 C. 4二、填空题：本大题共7 小题，共36 分．11. 【 2018 年全国卷 II】曲线在点处的切线方程为 __________ ．【答案】【分析】剖析：先求导数，再依据导数几何意义得切线斜率，最后依据点斜式求切线方程.详解：点睛：求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差别，过点 P 的切线中，点P 不必定是切点，点 P 也不必定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点 .12．【 2018 届天津市部分区质量检查（二）】曲线的切线方程为，则实数的值为_______.【答案】 2【分析】剖析：依据题意，设直线与曲线的切点坐标为利用导数求出切线的方程，与比较剖析可得且，解可得，即可得切点的坐标，将切点坐标代入曲线方程，剖析可得答案．详解：依据题意，设曲线与的切点的坐标为其导数，则切线的斜率，又由切线方程为，即则则切线的方程为又由，则切线方程为，即则有，解可得，则切点的坐标为，则有，；故答案为2．13. 已知直线y x 1与曲线y ln x a 相切，则 a 的值为___________．【答案】 2【分析】试题剖析：依据题意y '1，求得 x 1 a ，从而求得切点为(1 a,0) ，该点在切x1a线上，从而求得 0 1 a1，即 a 2 .14．若点P是曲线y x2ln x 上随意一点，则点P到直线 y x 4的最小距离为 _______.【答案】 2 215. 【 2016 高考新课标 3 理数】已知 f x 为偶函数，当 x 0 时，f (x)ln( x)3x ，则曲线 y f x 在点(1, 3)处的切线方程是_______________．【答案】 y2x1【分析】当x 0 时，x 0 ，则 f ( x)ln x 3x ．又由于 f (x) 为偶函数，因此1f ( x) ln x 3x 因此 f ( x) 3 ，则切线斜率为 f (1) 2 ，因此切线方程为 xy 32(x 1) ，即 y2x 1．16.【 2018 届重庆市綦江区 5 月展望】曲线在点处的切线的倾斜角为，则_____【答案】 5【分析】剖析：对函数求导，可得切线斜率即, 利用同角三角函数之间的关系可得结果 .详解：由于，因此,,即,因此，故答案为.17．【2018 届福建省漳州市 5 月测试】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为 ______________.【答案】【分析】剖析：先利用函数的奇偶性求出函数在区间的分析式，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，从而写出切线方程．详解：设，则，因此，由于函数为奇函数，因此，则，又，则切线方程为，即．三、解答题：本大题共 5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．求函数【答案】1y的在 x 1处的导数.x12【分析】y1 1 11xx11x1x,1x 11xy1，x1x1 1 xlim y lim[1 1 .x 0 x x 0 1 x 1 1 x2y|x 1 1 .219. 已知函数f (x)x2ax 的图像在点A(l,f(1))处的切线 l 与直线 x 十 3y ＋ 2＝0 垂直，若数列{1的前 n 项和为S n，求S2014的值 .}f (n)2014【答案】S2014201520. 已知点M是曲线y＝1x3－2x2＋3x＋1上随意一点，曲线在M处的切线为 l ，求：3(1)斜率最小的切线方程；(2)切线 l 的倾斜角α的取值范围.【答案】 (1)3 x＋ 3y－ 11＝ 0.(2)0，π3π2∪4，π22【分析】 (1) y′＝x－4x＋ 3＝ ( x－ 2) －1≥－ 1，3∴斜率最小的切线过点 2，5k＝－1，，斜率3∴切线方程为 3x＋ 3y－ 11＝ 0.(2) 由 (1) 得k≥－ 1，∴ tanα≥－ 1，又∵α ∈ [0，π )，∴ α ∈π0，2∪3π，π4.π3π故α 的取值范围为0，2∪4，π.b21．设函数 f ( x)＝ ax－ x，曲线y＝ f ( x)在点(2， f (2))处的切线方程为7x－4y－ 12＝0.(1) 求f ( x) 的分析式；(2) 证明：曲线y＝ f ( x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线 y＝ x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．3【答案】 (1) f ( x) ＝x－x.(2) 证明看法析，定值为 6.(2) 证明：设(0，0)为曲线上的任一点，由y ′＝ 1＋32知曲线在点(0， 0)处的切线方P x y x P x y 301＋2(0程为 y－ y ＝x0x－ x )，3 3即 y－ x0－＝1＋2( x－x0)．x0x066令 x＝0得 y＝－x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－x0.切线与直线 y＝ x 的交点坐标为(2 x0,2x0) ．因此点 P( x0，y0)处的切线与直线 x＝0， y＝x 所围成的三角形面积为16| 2x0| ＝6. 2－x0故曲线 y＝f ( x)上任一点处的切线与直线x＝0， y＝ x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.22. 已知函数f ( x) 1 x34.33（Ⅰ）求函数 f ( x) 在点P(2,4) 处的切线方程；（Ⅱ）求过点 P( 2,4) 的函数 f (x) 的切线方程 .【答案】（Ⅰ） 4xy 4 0 （Ⅱ） x y 2 0 或 4x y 4 0试题分析：（Ⅰ）∵f ' ( x) x 2∴在点 P(2,4) 处的切线的斜率 kf ' ( 2)4∴函数 f (x) 在点 P(2,4) 处的切线方程为 y4 4(x 2), 即 4x y4 0（ Ⅱ ） 设 函 数 f (x) 与 过 点 P(2,4)的切线相切于点A( x 0 , 1 34) ，则切线的斜率3 x 03k f ' (x 0 )x 0 2∴切线方程为y ( 1x 034) x 0 2 (x x 0 ) ，即 yx 0 2 x2x 0343 333∵点 P(2,4) 在切线上∴ 4 2x 022x 034, 即 x 0 3 3x 0 2 4 033∴(x 0 1)( x 02)20 ，解得 x 01或 x 02∴所求的切线方程为x y 2 0 或 4x y4 0 .。