1 §2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
学习目标
1．理解并掌握双曲线的几何性质．
学习过程
一、课前准备：
（预习教材理P56~ P58，文P49~ P51找出疑惑之处）
复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①3,4ab，焦点在x轴上；
②焦点在y轴上，焦距为8，2a．
复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、新课导学：
※ 学习探究
问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221xyab的几何性质?
范围：x： y：
对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．
顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为
；虚轴，其长为
．
离心率：1cea．
渐近线：
双曲线22221xyab的渐近线方程为：0xyab．
问题2：双曲线22221yxab的几何性质?
图形： 范围：x： y：
对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．
顶点：（ ），（ ）实轴，其长为
；虚轴，其长为
．
离心率：1cea．
渐近线：
双曲线22221yxab的渐近线方程为： ．
新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫
双曲线．
※ 典型例题
例1求双曲线2214925xy的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．
变式：求双曲线22916144yx的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
例2求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵离心率2e，经过点(5,3)M；
⑶渐近线方程为23yx，经过点9(,1)2M．
※ 动手试试
练1．求以椭圆22185xy的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．
.
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 2.3.2 双曲线的几何性质
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)
2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)
3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别. 1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养．
2.借助性质的应用，提升数学运算素养.
1．双曲线的简单几何性质
标准方程 x2a2－y2b2＝1
(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1
(a＞0，b＞0)
性质 图形
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 2c
范围 x≤－a或x≥a，
y∈R y≤－a或y≥a，
x∈R
对称轴 x轴，y轴
对称中心 原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝ca∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±bax y＝±abx
2．等轴双曲线
(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝2； .
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 ②等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直．
思考：(1)渐近线一样的双曲线是同一条双曲线吗？
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？
[提示]
(1)渐近线一样的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值一样．
(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．
1．双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±23x B．y＝±49x
C．y＝±32x D．y＝±94x
C [双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，因此渐近线方程为y＝±32x.]
2．双曲线x216－y2＝1的顶点坐标是( )
A．(4,0)，(0,1) B．(－4,0)，(4,0)
选修2-1 2.3.2 双曲线的简单几何性质（学
案）
（第1课时）
【知识要点】
1．双曲线的范围；
2．双曲线的对称性，双曲线的中心；
3.双曲线的顶点、实轴和虚轴；
4.双曲线的渐近线；
5.双曲线的离心率.
【学习要求】
1. 知道双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线及离心率等性
质；
2. 初步解决生活中与双曲线有关的问题.
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第56页～第 59页）
标准方程
图 象
性焦点
焦距
质
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
、、关系
【基础练习】
1.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为
（ ）.
（A） （B） （C） （D）2.双曲线的渐近线方程为 .
3．双曲线的顶点坐标是（ ）.
（A） （B）或（C） （D）或
4.双曲线的离心率是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
【典型例题】
例1已知双曲线的两条渐近线的夹角为，离心率为，求证：.
变式训练1：设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离
为，求双曲线的离心率.
例2 求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近
线方程.
变式训练2：求双曲线的顶点坐标，焦点坐标，实半轴长、虚半轴长、
离心率和渐近线方程.
1.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
2.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条
渐近线方程为，则它的离心率为（ ）.
（A） （B）（C） （D）
3.双曲线的实轴长于虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标
为，则双曲线的标准方程为（ ）.
（A）（B）（C） （D）
4.双曲线（ ）.
（A）实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为，离心率为
（B）实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为，离心率为
（C）实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为，离心率为
（D）实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为，离心率为
5.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方
《双曲线的简单几何性质》教学案
教学目标
了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2)通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．
教学重点与难点
重点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；
难点：通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．
教学过程
(1)复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过56P的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．
(2)新课讲授过程
(i)通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
(ii)双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，222210yxba，进一步得：xa，或xa．这说明双曲线在不等式xa，或xa所表示的区域；
