初三相似知识点及典型习题
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精品 .ABDEABDEBCEFACDF或等初三相似
（一） 合比性质、等比性质：
合比：若，则或abcdabbcddabacdc
等比：若……（若……）abcdefmnkbdfn0
则…………acembdfnabmnk
例一
. （）若，则1572323abcdefacebdf
（）和中，，且的周长335111111111111ABCABCABABBCBCACACABC为，求的周长。50cmABC
（）若，则4abcbaccabkk
ABCD....12112132或
（）若，且，则。35328abcabca
(二)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.
例. 已知l1∥l2∥l3,
A D l1
B E l2
C F l3
可得
精品 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
由DE∥BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)
4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三．．角形三边．．．．对应成比例.
5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。
例一，如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是：____________
AADABAEACBCECFEAFB..
CDEBCADBDDEFABCFCB..
例二，（2013•新疆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（ ）
（1）是“A”字型
（2）是“8”字型
经常考，关键在于找 精品
重要结论：梯形，在AD、BC、EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。
例二，已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F
求证：OE=OF
（三）相似三角形
相似三角形的判定：三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型 斜三角形 直角三角形
全等三角形的判定 SAS SSS AAS（ASA） HL
相似三角形
的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例
相似三角形的性质：
1. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。
2. 相似三角形周长的比等于相似比。
3. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
例一，（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ） 精品 A． 2：5 B． 2：3 C． 3：5 D． 3：2
例（）如图，在中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点2ABCEFGHEFBCG、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高AD=10cm，求正方形的面积。
A
H M G
B E D F C 1
射影定理（要记住）
例一，如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，
求证：AG2=AF·FC
常用到的性质：
※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
例一，（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ） 精品 A． 11 B． 10 C． 9 D． 8
例二，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
例三，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB45，
（1）求证：CE=EF
（2）求EG的长
※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的
直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： 精品 ①勾股定理：222cba（注意区分斜边与直角边）
②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）
※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义）
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO）
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 A
C
B O
图1 图2 O A
C
B D
E F 精品 ※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
例一，（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A． 1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：2
例二，（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=
..
40、（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B 精品 （1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
例一，（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x=6时，求线段FG的长．
精品 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※ 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例一，（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
64、（2013•娄底压轴题）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
