(完整版)《双曲线》单元测试题

《双曲线》单元测试题

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)

1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是( A )

A.17

B.15

C.174 D.154

2．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( A )

A．在x轴上 B．在y轴上

C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上

3．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为( B )

A.3 B.62 C.63 D.33

4．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m等于(D)

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MFMFMFMFuuuuruuuuruuuuruuuurgg则该双曲线的方程是( A )

A.x29－y2＝1 B．x2－y29＝1 C.x23－y27＝1 D.x27－y23＝1

6．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( C )

A．42 B．83 C．24 D．48

7． P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PFuuur·2PFuuuur＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( B )

A．4 B．7 C．6 D．5

8．设F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( C ) A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0

9．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( C )

A．28 B．14－82

C．14＋82 D．82

10．我们把离心率为e＝5＋12的双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x2－2y25＋1＝1是黄金双曲线；

②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；

③若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；

④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确的是( D )

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题后的横线上．)

11．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为__

e1

12．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1uuur·PF2uuuur的最小值为___－2_____．

13．已知点P是双曲线x2a2－y2b2＝1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝__ b2______.

14．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是___(1，2＋1)_____

15．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，则当它们的实、虚轴都在变化时，e21＋e22的最小值是___4_____．

三、解答题：(本大题共4小题，共45分．) 16.(本题满分10分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线方程；(2)求证：MF1uuuur·MF2uuuur＝0；(3)求△F1MF2面积．

解：(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.

∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，

∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，

∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，

kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23.

∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，

故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.

∴MF1uuuur·MF2uuuur＝0.

法二：∵MF1uuuur＝(－3－23，－m)，MF2uuuur＝(23－3，－m)，

∴MF1uuuur·MF2uuuur＝(3＋23)×(3－23)＋m2

＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，

∴MF1uuuur·MF2uuuur＝0.

(3)△F1MF2的底|F1F2|＝43，由(2)知m＝±3.

∴△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.

17．(本题满分10分)已知曲线C：y2λ＋x2＝1.

(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足3FPEPuuuruuur，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆吗？请说明理由； (2)如果直线l的斜率为2，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又92MAMBuuuruuurg，求曲线C的方程．

解：(1)设E(x0，y0)，P(x，y)，则F(x0,0)，∵3,FPEPuuuruuur，

∴(x－x0，y)＝3(x－x0，y－y0)．∴00,2.3xxyy 代入y20λ＋x20＝1中，得4y29λ＋x2＝1为P点的轨迹方程．当λ＝49时，轨迹是圆．

(2)由题设知直线l的方程为y＝2x－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程组222,21.yxyx消去y得：(λ＋2)x2－42x＋4－λ＝0.

∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0，

∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x1·x2＝4－λλ＋2，

而MAMBuuuruuurg＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋2x1·2x2＝3x1x2＝3(4－λ)λ＋2，

∴4－λλ＋2＝－32，解得λ＝－14.∴曲线C的方程是x2－y214＝1.

18．(本题满分12分)如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：x2a2－y2b2＝1上的一点，已知12120,||2||.PFPFPFPFuuuruuuuruuuruuuurg且(1)求双曲线的离心率e；

(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1、P2两点，若121227,20.4OPOPPPPPuuuruuuruuuruuurg.求双曲线C的方程．

解： (1)由120,PFPFuuuruuuurg得12PFPFuuuruuuur，即△F1PF2为直角三角形．设21||,||PFrPFuuuuruuur＝2r，于是有(2r)2＋r2＝4c2和2r－r＝2a，也就是5×(2a)2＝4c2，所以e＝5.

(2)ba＝e2－1＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，则12OPOPuuuruuurg＝x1x2－4x1x2＝－274，所以x1x2＝94.①由2112212()2,22(2)0xxxxPPPPxyxyuuuruuur得即x＝2x1＋x23，y＝2(2x1－x2)3；又因为点P在双曲线x2a2－y2b2＝1上，所以(2x1＋x2)29a2－4(2x1－x2)29b2＝1，又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝98a2②，由①②得a2＝2，b2＝8，故所求双曲线方程为x22－y28＝1.

19．(本题满分13分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23. (1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；

(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．

解：(1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．

由已知得：a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，

∴双曲线C的方程为x23－y2＝1.

(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，

得：(1－3k2)x2－62kx－9＝0.

由题意知 1－3k2≠0，Δ＝361－k2>0，xA＋xB＝62k1－3k2<0，xAxB＝－91－3k2>0，解得33

∴当33

(3)由(2)得：xA＋xB＝62k1－3k2，

∴yA＋yB＝(kxA＋2)＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22＝221－3k2.

∴AB的中点P的坐标为32k1－3k2，21－3k2.

设直线l0的方程为：y＝－1kx＋m，

将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝421－3k2.

∵33