双曲线试题及答案
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双曲线试题及答案
圆锥曲线同步测试——双曲线
1.选择题
1.若θ是第三象限角，方程x^2+y^2sinθ=cosθ表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线。
2.“ab<0”是“方程ax^2+by^2=c表示双曲线”的充分不必要条件。
3.一动圆与两圆：x^2+y^2=1和x^2+y^2-8x+12=0都外切，则动圆心的轨迹为双曲线的一支。
4.过点P(2,-2)且与-y=1有相同渐近线的双曲线方程是2y^2-x^2=24.
5.过双曲线x^2/4-y^2/9=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，这样的直线有2条。
6.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为3. 7.设双曲线a^2x^2-b^2y^2=1（0 8.到两定点F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是双曲线。 9.若k 10.双曲线x^2/169-y^2/25=1左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是22. 11.已知双曲线方程为x^2/4-y^2/9=1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数共有2条。 12.已知双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，实轴长为23，且两条渐近线的夹角为60°，则双曲线方程为x^2/27-y^2/16=1. 对于上面的选择题，需要注意一些符号的表示，如___表示平方，/表示分数线，还有一些缺少符号的问题。同时，需要将题目和选项分开，方便阅读。 另外，需要删除题目中明显有问题的段落，比如第9题缺少部分内容，无法判断正确答案。 最后，对于每段话可以进行小幅度的改写，比如将数字和符号写全，避免歧义。 二、填空题 13.双曲线的方程为 x^2/9 - y^2/16 = 1，圆心到双曲线中心的距离为 5. 14.圆的方程为 (x-3)^2 + (y-1)^2 = 9，双曲线的方程为 y^2/16 - x^2/9 = 1，|PA|+|PF|的最小值为 2+√13. 15.双曲线的离心率为 2. 16.k的取值范围为 (-1/4.1/4)。 三、解答题 17.双曲线的方程为 x^2/4 - y^2/3 = 1. 18.设 A 点坐标为 (x。y)，则 B 点坐标为 (x+6.y)。由于在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒，所以有 √(x^2+y^2)/1000 - (x+6)/1000 = 4，解得 x^2 + y^2 = ，即 A、P 两地的距离为 160米。 19.设双曲线的焦点为 F1、F2，离心率为 e，AB=2CD=x，CE=y，则有 F1F2=2x，F1C=F2D=ex，F1E=F2E=a，其中 a^2=b^2+x^2，e^2=1+(b^2/x^2)，y^2/x^2 - (b^2/x^2+1) = 1-e^2.由于双曲线以 A、B 为焦点，所以有 2a=x，代入前面的方程组中解得 e=√3/2. 20.直线 y=kx+m 与双曲线 x^2/2 - y^2/2 = 1 的公共点必须满足 k^2x^2 - 2y^2 + 2 = 0，即有 Δ = 8k^2-8 ≥ 0，解得 k ∈ (-∞。-1/√2] ∪ [1/√2.+∞)。 21.(1) 由于 QB ⊥ PB，QA ⊥ PA，所以 PQ 为双曲线 C1 的法线，即 C2 的方程为 y = ±(a^2/b)。又因为 AQ 与 BQ 在 C1 上，所以有 AQ^2 - BQ^2 = a^2-b^2，即 (x-2a)^2 - (x+2a)^2 + 4b^2 = a^2-b^2，简化得 x = -a^2/2a = -a/2.因此，C2 的轨迹方程为 y = ±(a^2/b)。 2) 当 e1 ≥ 2 时，有 b^2 = a^2(e1^2-1) ≥ a^2，因此 e2^2 = 1+(b^2/a^2) ≥ 2，即 e2 ≥ √2.又因为 C2 的焦点为 A、B，所以 e2^2 = 1+(2a^2/b^2) = 1+4a^4/(a^2(e1^2-1)) = 1+4a^2/(e1^2-1) ≥ 2，解得 e1 ≤ √3.因此，当 e1 ≥ 2 且 e2 的取值范围为 [√2.∞)。 设点P(x,y)，Q(x,y)和A(-a,0)，B(a,0)满足QB垂直于PB，QA垂直于PA。通过计算得到以下方程组： y/y1 = -(x+a)/(a-x)。(1) y/y2 = -1/(x-a)。(2) 将方程(1)和(2)相乘得到： y^2/(x-a) * y^2/(a-x) = -1 解出Q点的轨迹方程为：a^2x^2 - b^2y^2 = a^4，其中b^2 = a^2 - e^2a^2，e为椭圆的离心率。需要注意的是，当x不等于正负a时，点(-a,0)和(a,0)不符合题意。 通过计算得到C点的方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中b^2 = c^2 - a^2，c为椭圆的焦距。计算得到椭圆的离心率e为2/(a+c)。 根据计算得到的离心率公式，可以得到e的最大值为1，因此e^2 <= 1.将e^2代入计算得到e^2 <= 1 - (b^2/a^2)，因此1 <= e^2 + (b^2/a^2) <= 2.
