1 第3节 函数的基本性质:奇偶性
知识点一 函数奇偶性
1.奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
2.函数奇偶性的定义
（1）偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
（2）奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
题型一、函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝1x；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝xx－1；(4)f(x)＝x2－1＋1－x2.
解 (1)f(x)＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝1－x＝－1x＝－f(x)，∴f(x)＝1x是奇函数．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
(3)f(x)＝xx－1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∵定义域不关于原点对称，∴f(x)＝xx－1既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)f(x)＝x2－1＋1－x2的定义域为{－1,1}．
∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，∴f(x)＝x2－1＋1－x2既为奇函数，又为偶函数．
反思感悟 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x；(2)f(x)＝1－x2x；(3)f(x)＝ x2＋x，x>0，x2－x，x<0. 2 解 (1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
第三节 函数的奇偶性与周期性
一、基础知
1．函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)❷，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)❷，那么函数f(x)是奇函数
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f－xfx＝1⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f－xfx＝－1⇔f(x)为奇函数．
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
周期函数定义的实质
存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
二、常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a>0)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
- 9 - 5函数的单调性
【知识要点】
1．单调性定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为E，如果对于定义域E内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
2．单调性的有关结论
（1）．在公共定义域内：增函数+增函数=增函数；
增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。 （2）．已知函数y＝g(x)和函数y＝f (x)的单调性，则复合函数y＝f [g(x)]的单调性。
“同增异减”，
即若f(x)与g(x)的单调性相同，则复合函数为增，
若f(x)与g(x)的单调性相反, 则复合函数为减。
（3）．奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反。
3．判断单调性的方法：图像法、定义法、复合函数法、导数法
题型一：判断函数的单调性
1.判断函数xxy4在在2,0上的单调性
2.写出函数的单调区间
（1）()3fxx （2）y=x∣x-2∣
（3）)34(log)(221xxxf的单调递减区间
（4）221()2xxfx的单调减区间 （5）223yxx
题型二：已知函数单调性的求解问题
1．设函数f(x)在R上为减函数，则下列正确的是 （ ）
①)2()(afaf ②)()(2afaf③)()(2afaaf ④)()1(2afaf
2.若f(x)是奇函数,且在（0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)〈0的解集为______
- 10 - 3.已知偶函数fx在0,单调递减，20f.若10fx，则x的取值范围是__________.
第九讲:函数的奇偶性
——单纯奇偶性问题比较简单，高考题中多把奇偶性与单调性、周期性、反函数及图象变换联系,综合命题
一．建构知识网络
1.函数的奇偶性的定义:
由定义知：定义域必关于原点对称;
2.奇偶函数的性质：
偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;这也是判奇偶函数的依据；
3.若奇函数f（ｘ)的定义域包含0，则ｆ(０）=0;
ｆ（x）为偶函数f(x）＝f(|x｜)
４.判断函数的奇偶性,先看定义域，再看是否f(-x)＝±f(ｘ 或等价形式:
()()0fxfx，()1()fxfx
５.设f(ｘ),g(x)的定义域分别是Ｄ1,D２，那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇奇＝偶,偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
6.若函数ｇ(x),f(x)，f[ｇ（ｘ)]的定义域都是关于原点对称的,则u＝ｇ(x)，y＝f(ｕ)都是奇函数时，ｙ=f[ｇ(x)]是奇函数；ｕ=g（ｘ)，ｙ=f（u)都是偶函数，或者一奇一偶时,y= f[g（ｘ)]是偶函数．
７.奇偶性与单调性
奇函数在对称区间(-b,-a）与(a，ｂ)上增减性相同。
偶函数在对称区间(-ｂ，-a）与(a，b)上增减性相反。
二．双基题目练练手
1.已知函数ｆ（x）=aｘ２＋ｂx＋ｃ(a≠0）是偶函数，那么g（x)=ax3+bｘ２+ｃx是( )
Ａ.奇函数 Ｂ.偶函数
C.既奇且偶函数 D．非奇非偶函数
2.（2005重庆)若函数f(ｘ)是定义在R上的偶函数，在]0,(上是减函数,且ｆ（2)０，则使得ｆ（ｘ）<0的ｘ的取值范围是 ( ）
A.(,2) B． （2,)
C. (,2）(2,) Ｄ. (2,2)
3.设f(ｘ)是定义在R上的增函数，又f(x)＝f（ｘ)-f(-x),那么Ｆ(x)一定是 ( )
A.奇函数，且在(-∞,+∞)上是增函数 Ｂ.奇函数，且在（-∞,+∞)上是减函数
