矩阵分析教案

教案
教材版本：实验版. 学校： .
第一课时
第二课时
本讲教材答案：
例1：100块
例2：49块
例3：144块
例4：81人
大胆闯关答案：
1. 144只
2. 121只
3. （1）36块（2）16块
4. 96只
5. 49人
6. 361个
补充习题：
1.佳佳在摆放棋子，要把棋子摆成实心方阵。

最外层一共摆了104颗棋子。

问这个方阵最外层每边有多少颗棋子？这个方阵一共有多少颗棋子？
2.车展上，很多汽车排列成了一个3层中空方阵，最外层每边有12辆汽车，请问整个方阵一共有多少辆汽车？
3.小学的同学们做游戏，排列成了一个3层的中空方阵，一共有240名同学参加，请问最内层每边有多少位同学？
补充习题答案：
1.最外层每边：104÷4＋1＝27（颗）
一共：27×27＝729（颗）
2.方法1：12－2－2－2＝6（辆）
12×12－6×6＝108（辆）
方法2：（12－1）×4＝44（辆）
方阵的3层汽车数量各是：44辆、36辆、28辆
方阵汽车总量：44＋36＋28＝108（辆）
3.中层人数：240÷3＝80（人）
内层人数：80－8＝72（人）
内层每边人数：72÷4＋1＝19（人）。

第十二章系列4选讲考试内容等级要求矩阵的概念 A二阶矩阵与平面向量 B常见的平面变换 A变换的复合与矩阵的乘法 B二阶逆矩阵 B二阶矩阵的特征值与特征向量 B二阶矩阵的简单应用 B坐标系的有关概念 A简单图形的极坐标方程 B极坐标方程与直角坐标方程的互化 B参数方程 B直线、圆及椭圆的参数方程 B参数方程与普通方程的互化 B参数方程的简单应用 B不等式的基本性质 B含有绝对值的不等式的求解 B不等式的证明(比较法、综合法、分析法) B算术—几何平均不等式与柯西不等式 A利用不等式求最大(小)值 B运用数学归纳法证明不等式 B§12.1矩阵与变换考情考向分析矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换可以得出曲线的变换．二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系数法求矩阵或逆矩阵．三是特征值与特征向量．属于低档题．1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 12a 21a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB )C ＝A (BC )，AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换(1)恒等变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001； (2)伸压变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12；(3)反射变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100－1； (4)旋转变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1000，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 010； (6)切变变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1k 01(k ∈R ，且k ≠0)． 3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.4．特征值与特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量． 5．特征多项式 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ，称为A 的特征多项式．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .( √ )(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3－1 61.( √ )(3)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则(AB )－1＝B －1A －1.( × )(4)矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值为8和－3.( √ ) 题组二 教材改编 2．[P52例3]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345，则A 的逆矩阵A －1＝________. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1解析 因为det(A )＝2×5－3×4＝－2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 3242－22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.3．[P11习题T7]已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 21，其中a ∈R .若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，实数a 的值为________． 答案 3 解析由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4，解得a ＝3.4．[P39例1(1)]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，求AB . 解AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0. 题组三 易错自纠5．A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 01，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－110，则AB 的逆矩阵为________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0， ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 110. 6．设椭圆的方程为x 2＋y 2a ＝1，若它在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a ＝________. 答案 4解析 设P (x ，y )为椭圆上任意一点，变换后为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 12y，所以x ＝x ′，y ＝2y ′，代入椭圆的方程，得x ′2＋4y ′2a＝1.因为它表示圆，所以a ＝4.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 题型一 矩阵与变换1．已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1所对应的变换将直线x－y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.2．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在矩阵M 变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求直线l 的方程．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234. (2)设直线l 上任意一点P (x ，y )，在矩阵M 的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ， 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4， 整理得x ＋y ＋2＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解． 题型二 求逆矩阵例1已知矩阵det(A )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1. (1)求A 的逆矩阵A －1； (2)求矩阵C ，使得AC ＝B .解 (1)因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－2 1.(2)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 2－2 －3.思维升华求逆矩阵的方法 (1)待定系数法 设A是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ≠0，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. 跟踪训练1已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤22 1220212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤114012.∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20－2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540－1.题型三 特征值与特征向量例2已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 2. (1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－1323. (2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，求特征值和特征向量的步骤 (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；(2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－ax －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应特征的向量．跟踪训练2(2018·无锡期末)已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－4 4. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 32 4 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6 ＝λ2－7λ＋6.令f (λ)＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1562，求A 的特征值． 解 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 故A 的特征值为7和－4.2．(2018·南通、泰州模拟)设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 03，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 方法一 设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以a ＝－1,2a ＋6b ＝－2，c ＝0,2c ＋6d ＝3. 解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 012. 根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 方法二在A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1， 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 设A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6. 解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 3．(2019·徐州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2101，向量b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2.求向量a ，使得A 2a ＝b . 解 A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 30 1， 设a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，由A2a ＝b ，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4301 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.4．(2018·宿迁期中)已知变换T 把直角坐标平面上的点A (3，－4)，B (0,5)分别变换成点A ′(2，－1)，B ′(－1,2)，求变换T 对应的二阶矩阵M . 解设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1， 且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧5b ＝－1，5d ＝2.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝－15，c ＝15，d ＝25，所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －151525. 5．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1201的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 6．(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x1y0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 20. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.7．求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0，y ′＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′，y 0＝3y ′，所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1，所以围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.8．(2018·江苏省丰县中学质检)在平面直角坐标系xOy 中，A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)，设k ≠0，k ∈R ，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值． 解由题设得MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 10， 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 0 k 0 －2 －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2，即k ＝±2.9．(2018·高邮考试)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 解(1)∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3， ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3，∴a ＝－4. (2)∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－41，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3， 对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3， 属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2.10．设a >0，b >0，若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a00b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 (1)设点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 经过矩阵A 变换后对应点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by ，因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，又因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝ 3.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 003，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 33. 11．(2017·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解(1)因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2， 所以AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤021 0.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 21 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.12．(2018·江苏省镇江中学质检)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两个方程组，解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6 244. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M 的特征值λ＝2对应的一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤624 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝x ′，4x ＋4y ＝y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程化简，得x ′－y ′＋2＝0， 即x －y ＋2＝0.。

《2.1.2 逆矩阵的性质》教案1教学目标1. 理解变换、矩阵的逆变换和逆矩阵；2. 掌握逆矩阵的两个性质。

教学重点逆变换和逆矩阵的概念。

教学难点逆矩阵的两个性质。

教学过程1. 逆变换和逆矩阵1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。

2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。

注意：有些二阶矩阵是不可逆的。

2. 逆矩阵的性质1.二阶矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的。

2.设二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=【随堂练习】对于伸缩变换12''x k x y k y =⎧⎨=⎩(0)k ≠，对应的变换矩阵A=12 00 k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是否存在变换矩阵B ， 使得连续进行两次变换（先T A 后T B ）的结果与恒等变换的结果相同？思路分析：利用伸缩变换计算公式解决。

答案：由题意知，进行第二次变换121'1'x x k y y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，对应的变换矩阵，121 010 k B k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 从而可知，AB BA E ==，技巧点拨：本题主要考查利用伸缩变换的思想求逆矩阵。

例题分析例题1 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由.()011;10A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()102.10B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦思路分析：根据题设条件找出对应的变换矩阵，从而判断逆矩阵是否存在。

答案：(1) 矩阵 A 为反射变换矩阵,它对应的几何变换为以直线 y=x 为反射轴的反射变换,因此,它存在逆矩阵,即为其本身,故 101.10A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2) 矩阵 B 为投影变换矩阵,它对应的几何变换为将平面上所有的点沿垂直于 x 轴方向投影到直线 y=x 上,这个变换把多个向量变为同一个向量,因此,它不存在逆变换,即矩阵 B 不存在逆矩阵.技巧点拨：求逆矩阵是否存在的关键是找出相应的变换，通过几何变换来确定并找出逆矩阵。

小学矩阵数学教案教学目标：1.了解矩阵的定义和表示方法。

2.掌握矩阵的加法和乘法运算。

3.能够应用矩阵解决实际问题。

教学内容：1.矩阵的定义和表示方法。

2.矩阵的加法和乘法运算。

3.矩阵的应用。

教学重点和难点：1.矩阵的加法和乘法运算。

2.矩阵的应用。

教学过程：一、导入新知识教师通过展示一些矩阵的例子，让学生了解矩阵的定义和表示方法。

二、讲解矩阵的加法和乘法运算1. 矩阵的加法：教师讲解矩阵的加法规则，并通过示例演示。

2. 矩阵的乘法：教师讲解矩阵的乘法规则，并通过示例演示。

三、练习与巩固1. 让学生在黑板上做一些矩阵加法和乘法的练习。

2. 布置一些相关的作业。

四、课堂小结与拓展教师对本节课的内容进行复习回顾，并展示一些与矩阵相关的实际问题，让学生尝试用矩阵解决。

五、作业布置布置一些练习题，让学生巩固所学内容。

教学方法：1.讲授法：教师通过讲解和示范来教授知识。

2.练习法：让学生通过练习巩固所学内容。

3.实践法：让学生通过实际问题的解决来运用所学知识。

教学资源：1.教科书：包含矩阵相关内容的教科书。

2.黑板和粉笔：用于教师讲解和学生练习。

3.习题册：用于布置作业。

评价方法：1.观察学生在课堂上的表现，包括参与讨论和练习的情况。

2.批改学生的作业，检查学生对矩阵的理解和掌握程度。

教学反思：教师可以根据学生的反馈和表现调整教学方法，确保学生能够充分理解和掌握矩阵相关知识。

同时，要注重引导学生应用所学知识解决实际问题，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。

《2.1.2 逆矩阵的性质》教案2教学目标1. 了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法；2. 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件并运用行列式求逆矩阵教学重点二阶行列式的定义，存在可逆矩阵的充要条件教学难点熟练掌握求逆矩阵的方法。

教学过程1. 二阶行列式的概念 如果矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作a b c d ，即a bc d＝ad bc -，ad bc -也称为行列式a bc d的展开式。

符号记为：detA 或|A| 注意：ad bc -为主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积2. 可逆矩阵的充要条件 定理：二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时 1det det det det db A A Ac a A A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭与此相反，若detA=ad bc -=0，则二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭不存在逆矩阵。

3.二阶矩阵和二阶行列式的区别：二阶矩阵是一个数表，而二阶行列式是一个数。

例题分析例题1 矩阵A ＝3142⎛⎫⎪⎝⎭，求|A|。

思路分析：根据二阶行列式概念求得。

答案：|A|＝313214242=⨯-⨯=例题2判断矩阵1627⎛⎫=⎪⎝⎭M 是否存在逆矩阵，若存在，求出它的逆矩阵，并利用定义验证 思路分析：根据可逆矩阵的充要条件判断可逆矩阵的存在，再利用二阶行列式求解。

答案：判断矩阵1627⎛⎫= ⎪⎝⎭M 的行列式1617625027=⨯-⨯=-≠所以矩阵M 存在逆矩阵-1M ,且17676555521215555--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪--==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M验证：176161055E 27210155-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭MM 176161055E 21270155-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭M M 技巧点拨：求解该类问题属程序化知识，需要牢记行列式。

矩阵的主子阵与秩教案一、引言在线性代数领域中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。

矩阵的主子阵与秩是矩阵理论中非常重要的概念和性质。

本文将通过介绍矩阵的主子阵和秩的基本概念、性质以及教学案例的方式，让读者更好地理解和应用矩阵的主子阵与秩。

二、矩阵的主子阵1. 主子阵的定义和特点主子阵是指从原矩阵中选取一些行和列组成的子矩阵，且所选取的行和列是原矩阵的连续行和列。

主子阵通常用矩阵的子式表示，具有以下特点：（1）主子阵是原矩阵的一部分，保留了原矩阵的某些重要信息；（2）主子阵的行和列是原矩阵中连续的行和列，形成了矩阵的一个子块；（3）主子阵的大小可以根据具体需求进行选取。

2. 主子阵的应用主子阵在实际问题中有广泛的应用。

例如，在图像处理中，可以通过选取图像的某些行和列来提取感兴趣的部分；在网络流中，可以通过选取网络中某些节点和边来简化网络模型。

主子阵的应用可以帮助我们减少计算量、降低复杂度，并提高算法的效率。

三、矩阵的秩1. 秩的定义和性质矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大个数，用r(A)表示。

秩具有以下性质：（1）秩的值小于等于矩阵的行数和列数中的较小值；（2）对于任意的矩阵A，有r(A) = r(A^T)，即矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等；（3）对于任意的矩阵A和矩阵B，有r(A+B) ≤ r(A) + r(B)，即矩阵之和的秩不大于各矩阵秩之和。

2. 秩的计算方法计算矩阵的秩可以使用多种方法，如高斯消元法、行列式方法等。

其中，高斯消元法是一种常用且有效的计算秩的方法。

通过将矩阵进行初等行变换，将矩阵化为阶梯形或行最简形矩阵，然后计算非零行的个数即可得到矩阵的秩。

四、教学案例分析以矩阵的主子阵与秩为主题，我们可以设计以下教学案例：在教学案例中，首先可以通过简单的实例引导学生理解主子阵的概念和特点，并帮助学生掌握主子阵的选取方法和应用技巧。

然后，引入秩的概念，通过具体的计算例子让学生了解秩的定义和性质，掌握计算秩的方法和技巧。

第十章、矩阵位移法授课题目：第一节概述第二节单元坐标系中的单元刚度方程和单元刚度矩阵教学目的与要求：1．掌握整体刚度矩阵中的位移矩阵和结点力矩阵 2．掌握局部坐标系中刚度矩阵教学重点与难点：重点：结构的离散化，自由式杆件的单元刚度矩阵难点：无教学方法：讲授法教学手段：多媒体、板书教学措施：理论分析与实际工程相结合讲解讲授内容:第十章、矩阵位移法第一节概述结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学领域而产生的一种方法。

它是以传统结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。

1.结构的离散化由若干根杆件组成的结构称为杆件结构.使用矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散”为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。

为方便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料改变点等成为连接各个单元的结点。

只要确定了杆件结构中的全部结点,结构中各结点间的所有单元也就随之确定了。

(a)(b)2。

结点位移和结点力由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件的轴向变形,因此，对于平面刚架中的每个刚结点而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线位移分量u，竖直方向的线位移分量v，和结点的转角位移分量q。

对于这三个分量，本章约定线位移与整体坐标系方向一致为正,转角以顺时针转向为正,反之为负.结点荷载是指作用于结点上的荷载.本章约定结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时为正，反之为负。

结点集中力偶和支座反力偶以顺时针转向为正，反之为负.()()N 1Q 23N 4Q 56e e i i e i i ee j j j j Ff F f M f F f F f M f ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦F F F()()123456e e i i e i i ee j j j j u v u v δδθδδδθδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦δδδ3。

矩阵分析课程设计一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握矩阵分析的基本概念、理论和方法，包括矩阵的线性空间、矩阵的秩、特征值和特征向量等，培养学生运用矩阵分析解决实际问题的能力。

1.理解矩阵的基本概念和运算规则。

2.掌握矩阵的线性空间和线性变换。

3.理解矩阵的秩及其计算方法。

4.掌握特征值和特征向量的计算方法及其应用。

5.能够运用矩阵分析解决线性方程组问题。

6.能够运用矩阵分析解决最小二乘法问题。

7.能够运用矩阵分析解决线性变换问题。

情感态度价值观目标：1.培养学生对数学的兴趣和好奇心。

2.培养学生严谨、逻辑严密的思维方式。

3.培养学生合作、交流的学习态度。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括矩阵的基本概念、矩阵的线性空间、矩阵的秩、特征值和特征向量等。

1.矩阵的基本概念：矩阵的定义、矩阵的运算规则、矩阵的行列式。

2.矩阵的线性空间：线性空间的定义、线性空间的性质、线性空间的基底和维数。

3.矩阵的秩：矩阵秩的定义、矩阵秩的计算方法、矩阵秩的应用。

4.特征值和特征向量：特征值和特征向量的定义、特征值和特征向量的计算方法、特征值和特征向量的应用。

三、教学方法本课程的教学方法包括讲授法、讨论法、案例分析法和实验法。

1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握矩阵分析的基本概念、理论和方法。

2.讨论法：通过分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

3.案例分析法：通过分析实际案例，使学生掌握矩阵分析在实际问题中的应用。

4.实验法：通过上机实验，培养学生的动手能力和实际操作能力。

四、教学资源本课程的教学资源包括教材、参考书、多媒体资料和实验设备。

1.教材：选用《矩阵分析与应用》作为主教材，辅助以《线性代数》等参考书。

2.参考书：提供矩阵分析相关的参考书籍，供学生自主学习和深入研究。

3.多媒体资料：制作课件、教案等多媒体资料，丰富教学手段，提高教学质量。

4.实验设备：配备计算机、投影仪等实验设备，进行上机实验和教学演示。

矩阵论教案矩阵论教案一、教学目标1.了解矩阵的概念和性质，掌握矩阵运算的方法。

2.掌握矩阵的行列式和特征值、特征向量的计算方法及其应用。

3.了解矩阵的逆、转置、求解线性方程组等基本操作，能够运用这些方法解决实际问题。

4.培养学生的数学思维和计算能力，提高其分析和解决问题的能力。

二、教学内容1.矩阵的定义和基本性质。

2.矩阵运算：加法、数乘、乘法。

3.矩阵的行列式和特征值、特征向量的计算方法。

4.矩阵的逆、转置、求解线性方程组等基本操作。

5.应用：线性方程组、矩阵的相似、二次型等。

三、教学重难点1.矩阵运算方法的掌握和应用。

2.行列式和特征值、特征向量的计算和应用。

3.矩阵的逆、转置、求解线性方程组等基本操作。

四、教学方法1.理论讲授与实践相结合，通过具体的例子引导学生深入理解概念。

2.举一反三，通过变形等方式让学生得到更深层次的思考。

3.启发式教学，引导学生独立思考和发现规律，激发学生学习数学的兴趣。

五、教学手段黑板、彩色粉笔、投影仪、课件等。

六、教学过程设计1.导入（10分钟）介绍矩阵的定义和基本概念，引出矩阵的用途和重要性。

2.讲解矩阵的基本运算（40分钟）（1）矩阵的加法、数乘及其性质。

（2）矩阵的乘法及其性质。

（3）矩阵的转置、逆矩阵及其性质。

3.讲解矩阵的行列式和特征值、特征向量（60分钟）（1）行列式的定义、计算方法和性质。

（2）特征值、特征向量的定义、计算方法和性质。

（3）应用：求解线性方程组和矩阵的相似。

4.讲解矩阵的应用（40分钟）（1）线性方程组的解法。

（2）矩阵的相似及其应用。

（3）二次型及其标准型的求解。

5.课堂练习及课后作业（20分钟）通过课堂练习和课后作业巩固学生的知识和技能，提高其数学分析和解决问题的能力。

七、教学评估1.课堂练习成绩。

2.课后作业成绩。

3.期中考试成绩。

4.期末考试成绩。

八、教学反思在教学过程中要重视引导学生发现问题，提高学生的模型分析和解决问题的能力，同时要注意课堂气氛和教学效果，不断改进教学方法和手段，提高教学质量和效果，培养学生的学习兴趣和求知欲。

数值代数中的矩阵计算与算法分析-教案一、引言1.1矩阵计算与算法分析的重要性1.1.1矩阵计算在科学研究和工程应用中的广泛应用1.1.2算法分析对于提高计算效率和精度的关键作用1.1.3矩阵计算与算法分析在数值代数中的核心地位1.1.4课程目标与学习意义1.2课程内容概述1.2.1矩阵的基本概念与性质1.2.2矩阵的运算及其几何意义1.2.3常用矩阵算法及其应用1.2.4算法分析的基本方法与技巧1.3学习方法与要求1.3.1理论学习与实践操作相结合1.3.2掌握矩阵计算的基本方法与技巧1.3.3理解算法分析的基本原理与方法1.3.4学会运用矩阵计算与算法分析解决实际问题二、知识点讲解2.1矩阵的基本概念与性质2.1.1矩阵的定义及其表示方法2.1.2特殊矩阵（如对角矩阵、单位矩阵等）及其性质2.1.3矩阵的行列式及其性质2.1.4矩阵的秩及其计算方法2.2矩阵的运算及其几何意义2.2.1矩阵的加法、减法与数乘运算2.2.2矩阵的乘法及其几何意义2.2.3矩阵的逆及其求解方法2.2.4矩阵的转置及其性质2.3常用矩阵算法及其应用2.3.1高斯消元法及其在求解线性方程组中的应用2.3.2LU分解及其在矩阵求逆中的应用2.3.3QR分解及其在最小二乘问题中的应用2.3.4特征值与特征向量及其在模式识别中的应用三、教学内容3.1矩阵的基本概念与性质3.1.1通过实例引入矩阵的概念，讲解矩阵的表示方法3.1.2介绍特殊矩阵及其性质，如对角矩阵、单位矩阵等3.1.3讲解矩阵的行列式及其性质，如行列式的计算方法、性质等3.1.4讲解矩阵的秩及其计算方法，如通过高斯消元法求矩阵的秩3.2矩阵的运算及其几何意义3.2.1通过实例讲解矩阵的加法、减法与数乘运算3.2.2讲解矩阵的乘法及其几何意义，如线性变换等3.2.3讲解矩阵的逆及其求解方法，如高斯-若尔当法等3.2.4讲解矩阵的转置及其性质，如转置矩阵的性质等3.3常用矩阵算法及其应用3.3.1讲解高斯消元法及其在求解线性方程组中的应用3.3.2讲解LU分解及其在矩阵求逆中的应用3.3.3讲解QR分解及其在最小二乘问题中的应用3.3.4讲解特征值与特征向量及其在模式识别中的应用四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1理解矩阵的基本概念与性质4.1.2掌握矩阵的运算及其几何意义4.1.3学会常用矩阵算法及其应用4.1.4能够运用矩阵计算与算法分析解决实际问题4.2过程与方法目标4.2.1通过实例引入，培养学生观察、分析问题的能力4.2.2通过讲解与练习，培养学生逻辑思维与推理能力4.2.3通过小组讨论，培养学生合作与交流能力4.2.4通过实际应用，培养学生解决实际问题的能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对矩阵计算与算法分析的兴趣与热情4.3.2培养学生严谨、求实的科学态度4.3.3培养学生创新意识与批判精神4.3.4培养学生团队协作与沟通能力五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1矩阵的乘法及其几何意义5.1.2矩阵的逆及其求解方法5.1.3特征值与特征向量的计算及应用5.1.4算法分析的基本原理与方法5.2教学重点5.2.1矩阵的基本概念与性质5.2.2矩阵的运算及其几何意义5.2.3常用矩阵算法及其应用5.2.4矩阵计算与算法分析在实际问题中的应用六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体设备（如投影仪、电脑等）6.1.2白板或黑板、粉笔、板擦等6.1.3教学课件或讲义6.1.4实验或演示工具（如计算器、矩阵计算软件等）6.2学具准备6.2.1笔记本、草稿纸、计算器等6.2.2矩阵计算与算法分析相关教材或参考书6.2.3小组讨论或合作学习所需材料6.2.4实际应用案例或问题七、教学过程7.1导入新课7.1.1通过实例引入矩阵的概念，激发学生学习兴趣7.1.2提问或讨论，引导学生回顾相关知识点7.1.3明确教学目标与学习内容，激发学生学习动机7.2讲解与演示7.2.1讲解矩阵的基本概念与性质，通过实例加深理解7.2.2演示矩阵的运算及其几何意义，引导学生观察、思考7.2.3讲解常用矩阵算法及其应用，通过实际案例讲解算法原理7.2.4演示算法分析的基本方法与技巧，引导学生掌握算法分析的方法7.3练习与讨论7.3.1安排课堂练习，巩固所学知识点7.3.2小组讨论或合作学习，培养学生合作与交流能力7.3.3解答学生疑问，引导学生深入理解知识点7.4应用与拓展7.4.1通过实际应用案例，培养学生解决实际问题的能力7.4.2引导学生进行拓展学习，提高学生自主学习能力7.4.3安排课后作业或实验，巩固所学知识点7.4.4引导学生参与学科竞赛或研究项目，培养学生的创新能力八、板书设计8.1矩阵的基本概念与性质8.1.1矩阵的定义及其表示方法8.1.2特殊矩阵（如对角矩阵、单位矩阵等）及其性质8.1.3矩阵的行列式及其性质8.1.4矩阵的秩及其计算方法8.2矩阵的运算及其几何意义8.2.1矩阵的加法、减法与数乘运算8.2.2矩阵的乘法及其几何意义8.2.3矩阵的逆及其求解方法8.2.4矩阵的转置及其性质8.3常用矩阵算法及其应用8.3.1高斯消元法及其在求解线性方程组中的应用8.3.2LU分解及其在矩阵求逆中的应用8.3.3QR分解及其在最小二乘问题中的应用8.3.4特征值与特征向量及其在模式识别中的应用九、作业设计9.1基础练习题9.1.1矩阵的基本概念与性质相关的练习题9.1.2矩阵的运算及其几何意义相关的练习题9.1.3常用矩阵算法相关的练习题9.1.4矩阵计算与算法分析在实际问题中的应用练习题9.2拓展练习题9.2.1矩阵计算与算法分析在科学研究中的应用练习题9.2.2矩阵计算与算法分析在工程应用中的练习题9.2.3矩阵计算与算法分析在数据科学中的应用练习题9.2.4矩阵计算与算法分析在金融数学中的应用练习题9.3实践项目9.3.1基于矩阵计算的图像处理实践项目9.3.2基于矩阵算法的社交网络分析实践项目9.3.3基于矩阵计算的机器学习算法实践项目9.3.4基于矩阵算法的金融风险管理实践项目十、课后反思及拓展延伸10.1课后反思10.1.2对教学方法的反思与改进10.1.3对学生学习情况的反思与评价10.1.4对教学效果的反思与提升10.2拓展延伸10.2.1引导学生参与学科竞赛或研究项目10.2.2鼓励学生参加学术讲座或研讨会10.2.3提供相关的学习资源与参考文献10.2.4鼓励学生进行跨学科的学习与研究重点关注环节及其补充和说明：1.教学难点与重点：需要重点关注矩阵的乘法及其几何意义、矩阵的逆及其求解方法、特征值与特征向量的计算及应用、算法分析的基本原理与方法。

矩阵的初等变换教案一、教学目标1.理解矩阵的初等变换的概念和背后的数学原理；2.学会应用矩阵的初等变换解决线性方程组和矩阵的行列式问题；3.培养学生抽象思维和逻辑分析能力。

二、教学准备1.教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪；2.教学材料：教科书、课本、习题集。

三、教学过程1.导入（5分钟）通过举一个实际问题引导学生思考：如何用较少的步骤将一副扑克牌从一个排列变换到另一个排列？2.提出问题（10分钟）介绍矩阵的初等变换的概念和定义，然后提问：通过初等变换，能否将一个矩阵变换到另一个矩阵？如果可以，有哪些限制条件？3.讲授知识点（20分钟）根据学生提出的问题，介绍矩阵的初等变换的具体做法和步骤，包括行交换、行倍乘以非零常数、将其中一行的k倍加到另一行上。

然后讲解初等变换的数学原理和作用。

4.解答疑问（10分钟）根据学生提出的问题，解答矩阵的初等变换的相关疑问，强调初等变换的性质和应用。

5.练习训练（30分钟）给学生发放练习题，让学生通过矩阵的初等变换解答线性方程组和矩阵的行列式问题。

监督学生的解题过程，及时给予指导和回答疑问。

6.知识总结（10分钟）总结矩阵初等变换的基本步骤、应用及数学原理，帮助学生理清思路和掌握关键概念。

7.课堂小结和作业布置（5分钟）对本节课的教学内容进行小结，并布置相关作业，以便学生巩固和扩展所学内容。

四、教学反思通过本节课的教学，学生能够初步掌握矩阵的初等变换的概念和基本步骤。

但是教学时间有限，学生的动手能力和实际应用能力还需要进一步提高。

下节课应该增加更多的练习和例题，加强学生对初等变换的理解和应用。

矩阵初等变换法解方程组教案一、教学目标：1. 理解矩阵初等变换的概念及其作用。

2. 掌握矩阵初等变换的法则，能够进行矩阵的初等变换。

3. 学会运用矩阵初等变换法解方程组，提高解方程组的能力。

二、教学重点与难点：1. 重点：矩阵初等变换的概念、法则及应用。

2. 难点：矩阵初等变换的法则，运用矩阵初等变换法解方程组。

三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解矩阵初等变换的概念、法则及应用。

2. 采用案例分析法，分析并解决实际问题。

3. 采用练习法，巩固所学知识。

四、教学准备：1. 教案、PPT、黑板。

2. 教学素材（如方程组、矩阵等）。

3. 练习题。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题，引出矩阵初等变换的概念。

2. 讲解：讲解矩阵初等变换的概念、法则及应用。

3. 案例分析：分析并解决实际问题，让学生理解矩阵初等变换在解方程组中的应用。

4. 练习：让学生运用所学知识，解决一些简单的方程组。

5. 总结：回顾本节课所学内容，强调矩阵初等变换在解方程组中的重要性。

6. 布置作业：布置一些有关矩阵初等变换和解方程组的练习题，巩固所学知识。

六、教学反思：在课后，对学生的学习情况进行总结，对自己的教学方法进行反思，以便改进教学，提高教学效果。

七、教学评价：通过课堂讲解、练习题和作业，评价学生对矩阵初等变换的概念、法则及应用的掌握程度。

关注学生在解决问题时的创新能力和合作精神。

八、课时安排：2课时九、教学内容：第一课时：1. 矩阵初等变换的概念。

2. 矩阵初等变换的法则。

3. 矩阵初等变换的应用。

第二课时：1. 运用矩阵初等变换法解方程组。

2. 案例分析与练习。

十、教学拓展：引导学生深入研究矩阵初等变换的性质，探讨矩阵初等变换在实际问题中的应用。

鼓励学生参加相关竞赛，提高自己的数学素养。

六、教学案例与实例分析1. 案例一：解二元一次方程组给定方程组：\[\begin{cases}ax + = c \\dx + ey = f\end{cases}\]通过矩阵表示方程组，并利用初等变换将其化为行最简形式，从而求解未知数。

教案矩阵分析中的谱定理-教案一、引言1.1矩阵与线性代数基础1.1.1矩阵的定义与性质1.1.2矩阵的运算规则1.1.3线性方程组的矩阵表示1.1.4矩阵在工程和科学研究中的应用1.2谱定理的概念与意义1.2.1谱定理的定义1.2.2谱定理与特征值的关系1.2.3谱定理在矩阵分析中的作用1.2.4谱定理在物理学和量子力学中的应用1.3教学目的与重要性1.3.1理解谱定理的基本原理1.3.2掌握谱定理的计算方法1.3.3应用谱定理解决实际问题1.3.4谱定理在多学科领域的交叉应用二、知识点讲解2.1特征值与特征向量2.1.1特征值和特征向量的定义2.1.2特征值和特征向量的计算方法2.1.3特征值和特征向量的性质2.1.4特征值和特征向量在矩阵分析中的应用2.2谱定理的证明与推导2.2.1谱定理的数学证明2.2.2谱定理的物理意义2.2.3谱定理在不同领域的应用2.2.4谱定理与对称矩阵的关系2.3谱定理的应用实例2.3.1谱定理在电路分析中的应用2.3.2谱定理在量子力学中的应用2.3.3谱定理在图像处理中的应用2.3.4谱定理在数据降维中的应用三、教学内容3.1矩阵的特征值与特征向量3.1.1特征值和特征向量的计算方法3.1.2特征值和特征向量的性质3.1.3特征值和特征向量的应用实例3.1.4特征值和特征向量在工程和科学研究中的应用3.2谱定理的证明与推导3.2.1谱定理的数学证明3.2.2谱定理的物理意义3.2.3谱定理在不同领域的应用3.2.4谱定理与对称矩阵的关系3.3谱定理的应用实例3.3.1谱定理在电路分析中的应用3.3.2谱定理在量子力学中的应用3.3.3谱定理在图像处理中的应用3.3.4谱定理在数据降维中的应用四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1掌握矩阵的特征值和特征向量的概念4.1.2理解并掌握谱定理的证明与推导4.1.3学会运用谱定理解决实际问题4.1.4能够分析谱定理在不同领域的应用4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的逻辑思维能力和数学推导能力4.2.2提高学生运用数学工具解决实际问题的能力4.2.3培养学生的创新思维和跨学科应用能力4.2.4培养学生团队合作和交流沟通的能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数学学习的兴趣和热情4.3.2培养学生的科学精神和创新意识4.3.3培养学生的社会责任感和历史使命感4.3.4培养学生的国际视野和跨文化交流能力五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1特征值和特征向量的计算方法5.1.2谱定理的证明与推导5.1.3谱定理在跨学科领域的应用5.1.4学生对谱定理物理意义的理解5.2教学重点5.2.1特征值和特征向量的概念与性质5.2.2谱定理的基本原理与应用5.2.3谱定理在工程和科学研究中的应用实例5.2.4谱定理在多学科领域的交叉应用六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体教学设备6.1.2数学软件（如MATLAB）6.1.3矩阵分析教材和参考书籍6.1.4实验器材（如电路元件）6.2学具准备6.2.1笔记本电脑或平板电脑6.2.2数学计算器6.2.3笔和纸6.2.4谱定理相关学习资料七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入矩阵的特征值和特征向量的概念7.1.2通过实例介绍谱定理的应用7.1.3提出问题，激发学生的学习兴趣7.1.4引导学生回顾已学的相关知识7.2课堂讲解与互动7.2.1详细讲解特征值和特征向量的计算方法7.2.2通过数学推导，证明谱定理7.2.3分析谱定理在不同领域的应用实例7.2.4引导学生参与讨论，解答学生的疑问7.3课堂练习与实验7.3.1安排课堂练习，巩固学生对谱定理的理解7.3.2进行实验，让学生亲身体验谱定理的应用7.3.3引导学生通过团队合作，解决实际问题7.3.4鼓励学生提出问题，进行课堂讨论7.4课堂小结与作业布置7.4.2布置课后作业，巩固学生对谱定理的理解7.4.3提醒学生预习下一节课的内容7.4.4鼓励学生在课后进行自主学习八、板书设计8.1特征值与特征向量8.1.1特征值和特征向量的定义8.1.2特征值和特征向量的计算方法8.1.3特征值和特征向量的性质8.1.4特征值和特征向量的应用实例8.2谱定理的证明与推导8.2.1谱定理的数学证明8.2.2谱定理的物理意义8.2.3谱定理在不同领域的应用8.2.4谱定理与对称矩阵的关系8.3谱定理的应用实例8.3.1谱定理在电路分析中的应用8.3.2谱定理在量子力学中的应用8.3.3谱定理在图像处理中的应用8.3.4谱定理在数据降维中的应用九、作业设计9.1基础练习题9.1.1计算给定矩阵的特征值和特征向量9.1.2证明给定矩阵的谱定理9.1.3分析谱定理在特定领域的应用9.1.4探讨谱定理与对称矩阵的关系9.2拓展练习题9.2.1研究谱定理在复数域中的应用9.2.2探索谱定理在高维数据降维中的应用9.2.3分析谱定理在量子计算中的应用9.2.4研究谱定理在机器学习中的应用9.3实践项目9.3.1设计一个电路，应用谱定理进行分析9.3.2利用谱定理解决一个实际问题9.3.3分析一个图像处理算法中的谱定理应用9.3.4探索谱定理在数据科学中的应用十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1分析学生对谱定理的理解程度10.1.2反思教学方法和教学效果10.1.3思考如何提高学生的学习兴趣和参与度10.1.4探讨如何更好地将谱定理应用于实际问题10.2拓展延伸10.2.1引导学生进一步研究谱定理的证明方法10.2.2探索谱定理在更广泛领域的应用10.2.3引导学生进行相关的实验和研究10.2.4鼓励学生参加相关的学术讲座和研讨会重点关注环节补充和说明：1.教学难点与重点：教学难点包括特征值和特征向量的计算方法、谱定理的证明与推导、谱定理在跨学科领域的应用以及学生对谱定理物理意义的理解。

混淆矩阵的理解和认识教案教案标题：混淆矩阵的理解和认识教案教案目标：1. 了解混淆矩阵在机器学习和数据分析中的重要性和应用。

2. 掌握混淆矩阵的构建和解读方法。

3. 培养学生分析和评估分类模型性能的能力。

教学准备：1. 计算机和投影仪。

2. 混淆矩阵的示例和实际应用案例。

3. 学生练习册和评估表格。

教学过程：1. 引入（5分钟）：- 向学生解释混淆矩阵是一种评估分类模型性能的工具，用于衡量模型的准确性和误判情况。

- 引导学生思考：在现实生活中，我们经常会遇到分类问题，例如判断一封邮件是否是垃圾邮件，或者判断一个人是否患有某种疾病。

那么，如何评估我们的分类模型的准确性呢？2. 理论讲解（15分钟）：- 解释混淆矩阵的概念和构成：真阳性（True Positive）、真阴性（True Negative）、假阳性（False Positive）和假阴性（False Negative）。

- 介绍混淆矩阵的构建方法：将实际类别与模型预测结果进行比较，统计各类别的数量并填入矩阵相应位置。

- 解读混淆矩阵的意义：通过混淆矩阵可以计算出模型的准确率、召回率、精确率和F1值等指标，从而评估模型的性能。

3. 实例分析（20分钟）：- 提供一个实际应用案例，例如判断肿瘤是否为恶性肿瘤的分类问题。

- 展示混淆矩阵的具体计算过程，引导学生填写混淆矩阵。

- 根据混淆矩阵计算模型的准确率、召回率、精确率和F1值，并解读结果的含义。

4. 练习与讨论（15分钟）：- 分发学生练习册，让学生根据给定的分类问题构建混淆矩阵，并计算模型的性能指标。

- 学生互相交流和讨论各自的结果，解答疑惑并提出问题。

- 教师引导学生思考，如何根据混淆矩阵的结果来优化分类模型。

5. 总结与评估（5分钟）：- 教师对本节课的内容进行总结，并强调混淆矩阵在分类模型评估中的重要性。

- 分发评估表格，让学生自评本节课的学习情况，并提供反馈和建议。

教学延伸：1. 鼓励学生独立探索更多分类模型评估方法，如ROC曲线和AUC值等。