矩阵多项式计算例题

第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。

例如.2 -1 0 1 1 _1110 22 5 4 -2 9<3 3 3 -1 8丿是一个4 5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素，位于第i行第j列的数称为（i,j）位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等（记作A = B）,是指它的行数相等，列数也相等（即它们的类型相同），并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。

下面列出几类常用的n阶矩阵，它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵：对角线外的的兀素都为0的n阶矩阵.单位矩阵：对角线上的的兀素都为1的对角矩阵，记作E（或I）.数量矩阵：对角线上的的兀素都等于一个常数c的对角矩阵，它就是cE上三角矩阵:对角线下的的兀素都为0的n阶矩阵.下二角矩阵:对角线上的的兀素都为0的n阶矩阵.对称矩阵：满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j,i）位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵：满足A T=-A矩阵•也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j ,i）位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.）正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

_ 2（1）A是正交矩阵A T=A-1（2）A是正交矩阵 A =1阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足：①如果它有零行，则都出现在下面。

②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。

一、单选题1、若A为矩阵，则语句max(A(:))的功能是（）。

A.函数调用错误B.求矩阵每行的最大元素C.求矩阵每列的最大元素D.求整个矩阵的最大元素正确答案：D2、设P是多项式系数向量，A为方阵，则函数polyval(P,A)与函数polyvalm(P,A)的值（）。

A. 一个是标量，一个是方阵B.都是标量C.值不相等D.值相等正确答案：C3、在MATLAB命令行窗口输入下列命令：>> p=[1,-2];>> x=roots(p)则x的值为（）。

A.2B. -2C.1D.-1正确答案：A4、在以下四种数据插值方法中，具有保形性的方法是（）。

A.linearB.nearestC.pchipD.spline正确答案：C5、最小二乘法中的误差最小指的是（）。

A.误差的平均值最小B.误差之和最小C.误差的平方和最小D.误差的积最小正确答案：C6、当实验或测试所获得的样本数据有误差时，适合用来估算数据的方法是（）。

A.数据插值B.曲线拟合C.方程求解D.求平均值正确答案：B7、曲线拟合通常所采用的函数是（）。

A.随机函数B.多项式函数C.指数函数D.三角函数正确答案：B二、多选题1、下列四种插值计算方法中，经过每一个样本点的方法是（）。

A.linearB.nearestC.pchipD.spline正确答案：A、B、C、D2、以下属于曲线拟合方法功能的是（）。

A.估算数据B.预测趋势C.总结规律D.证明定理正确答案：A、B、C3、若a、b为多项式系数向量，a=[1,2]，b=[3,4,5]，要将两个多项式相加，以下不正确的是（）。

A.a+bB.[0,a]+bC.[a,0]+bD.a+b(1:2)正确答案：A、C、D4、设有三个多项式，其系数向量分别为q、r、s，现在求它们的乘积，可以使用的命令有（）。

A.conv(q,r,s)B.conv(conv(q,r),s)C.conv(q,conv(r,s))D.conv(conv(s,r),q)正确答案：B、C、D三、判断题1、数据插值可以通过已知数据估算采样区间内的未知数据。

线性代数案例线性代数案例Cayler-Hamilton 定理【实验⽬的】1．理解特征多项式的概念2．掌握Cayler-Hamilton 定理【实验要求】掌握⽣成Vandermonde 矩阵的vander 命令、求矩阵特征多项式系数的poly()命令、求矩阵范数的norm 命令及矩阵多项式运算的polyvalm 命令【实验内容】Cayler-Hamilton 定理是矩阵理论中的⼀个⽐较重要的定理，其内容为：若矩阵A 的特征多项式为1121)det()(+-++++=-=n n n n n a s a s a s a A sI s f Λ则有()0,f A =亦即11210n n n n a A a A a A a E -+++++=L假设矩阵A 为Vandermonde 矩阵，试验证其满⾜Cayler-Hamilton 定理。

【实验⽅案】Matlab 提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly()，但是poly()函数会产⽣⼀定的误差，⽽该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨⼤的误差，从⽽得出错误的结论。

在实际应⽤中还有其他简单的数值⽅法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数。

例如，下⾯给出的Fadeev-Fadeeva 递推算法也可以求出矩阵的特征多项式。

()1111,1,2,...,,,2,...,kk k k k c tr AR k n k R I R AR c I k n--?=-=??==+=该算法⾸先给出⼀个单位矩阵I ，并将之赋给1R ，然后对每个k 的值分别求出特征多项式参数，并更新k R 矩阵，最终得出矩阵的特征多项式的系数k c 。

该算法可以直接由下⾯的Matlab 语句编写⼀个()1poly 函数实现：Function c=poly1(A) [nr,nc]=size(A);if nc==nr % 给出若为⽅阵，则⽤Fadeev-Fadeeva 算法求特征多项式 I=eye(nc); R=I; c=[1 zeros(1,nc)];for k=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I;endelseif (nr==1 \ nc==1) % 给出为向量时，构造矩阵A=A(isfinite(A));n=length(A) ; % 出去⾮数或⽆界的特征根c=[1 zeros(1,n)];for j=1:nc(2:(j+1))=c(2:(j+1))-A(j).*c(1:j);endelse % 参数有误则给出错误信息error (’Argument must be a vector or a square matrix.’)end.【实验过程】>> A = vander([1 2 3 4 5 6 7]);运⾏结果：A =1 1 1 1 1 1 164 32 16 8 4 2 1729 243 81 27 9 3 14096 1024 256 64 16 4 115625 3125 625 125 25 5 146656 7776 1296 216 36 6 1117649 16807 2401 343 49 7 1>> A运⾏结果：aa1 =+009 *如调⽤新的poly1()函数，则可以得出如下的精确结果。

多项式矩阵乘积的次数
首先，我们可以从代数的角度来看。

假设我们有两个多项式矩
阵A和B，它们的次数分别为m和n。

如果我们要计算它们的乘积AB，那么最简单的算法是将A的每一行分别与B的每一列相乘，然
后将结果相加。

这样一来，对于A的每一行中的每个元素，我们都
需要与B的对应列中的每个元素相乘，然后再将这些乘积相加起来。

因此，对于AB的计算，我们需要进行mn次乘法运算和(m-1)n次加
法运算。

这就是从代数的角度来看，计算多项式矩阵乘积的次数。

其次，我们可以从计算机科学的角度来看。

在计算机中，我们
通常使用Strassen算法或者分治法来计算矩阵乘积，这些算法的时
间复杂度要低于朴素的矩阵乘法算法。

然而，即使是这些优化过的
算法，其时间复杂度也仍然与矩阵的大小有关。

因此，从计算机科
学的角度来看，计算多项式矩阵乘积的次数也取决于矩阵的大小。

最后，我们可以从实际应用的角度来看。

在实际应用中，多项
式矩阵乘积的次数可能会受到硬件性能、算法优化等因素的影响。

例如，在图像处理、信号处理等领域，矩阵乘积的次数可能会影响
到算法的实时性能和效率。

因此，从实际应用的角度来看，我们也
需要考虑到这些因素。

综上所述，多项式矩阵乘积的次数可以从代数、计算机科学和实际应用等多个角度来进行分析和讨论。

希望以上分析能够全面回答你的问题。

第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m⨯n型矩阵。

例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是一个4⨯5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

（1）A是正交矩阵⇔A T=A-1 （2）A是正交矩阵⇔2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。

②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。

一、（吉林工业大学）设m n n m B A ⨯⨯,，证明AB 的特征多项式)(λAB f 与BA 的特征多项式)(λBA f 有如下关系)()(λλλλBA m AB n f f =。

证明 把要证明的等式写成BA E AB E n m m n -=-λλλλ.用构造法：设0≠λ，令mn E ABE H λ1=,对⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλλAB E OBE E A B E E A O E m n m n m n 11（这相当于广义初等行变换）， 两边取行列式，得AB E ABE E AB E H m m m mn -=-==λλλλ)(11,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m nm n m n E O B BA E E A O E E A B E λλλ11(这相当于广义初等列变换)， 两边取行列式，得BA E BAE E ABE H n n n mn -=-==λλλλ)(11,由以上两式，得BA E AB E n m m n-=-λλλλ。

二、（北京航空航天大学）设m n n m B A ⨯⨯,，证明AB 与BA 有相同的非零特征值。

证明：由上题，知BA E AB E n m m n-=-λλλλ，设AB E m -λ的标准分解式子为)())((s s m m AB E λλλλλλλλ---=-- 21，其中021≠s λλλ,,, ，即AB 有S 个非零的特征值，则由上式，得)())((s sn n BA E λλλλλλλλ---=-- 21，即BA 也有S个非零的特征值。

三、（中国科学院）已知矩阵m n n m B A ⨯⨯,，证明)()(BA tr AB tr = 证明：)())((s sm m AB E λλλλλλλλ---=-- 21，所以AB 的全部特征根为2121=======++m s s s λλλλλλλλλ ,,,，)())((s s n n BA E λλλλλλλλ---=-- 21，所以BA 的特征根为02121=======++n s s s λλλλλλλλλ ,,,，所以)()(BA tr AB tr si i ∑===1λ。

求矩阵的特征值和特征向量例题一、背景特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们是描述矩阵特性的两个重要参数，在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。

本例题将介绍如何求矩阵的特征值和特征向量，并通过例题加深对相关概念和方法的理解。

二、方法求矩阵的特征值和特征向量的方法主要有两种：特征多项式法和特征向量法。

1.特征多项式法：通过求解矩阵的行列式，得到其特征多项式，进而求得特征值，再通过解特征方程得到特征向量。

这种方法适用于求解特征值不重合且特征向量个数等于矩阵阶数的情况。

2.特征向量法：通过求解矩阵与向量间的关系，得到特征向量。

这种方法适用于求解任意矩阵的特征值和特征向量。

三、例题解析【例1】已知矩阵A=1-120求它的特征值和特征向量。

解法1：特征多项式为f(λ)=|-λ-A|=0，即：(-λ-1)(λ²+3λ+2)=0解得：λ1=1，λ2=-2由于λ2=-2是重根，只需解方程|A-2E|=0得一个特征向量。

得：(-2-ξ)ξ²-4ξ+1=0，解得：ξ=1或ξ=0.5当ξ=0.5时，λ=λ¹=1时，A-2E的行列式为0，所以舍去。

所以特征值为λ¹=1，λ₂=-2，对应的特征向量为(1,-1,0)T和(0,2,1)T。

解法2：设Aξ=λξ，代入数据得：(-1,-ξ)×(ξ²-3ξ-2)=0，解得：ξ=1或ξ=-2当ξ=-2时，λ¹=1时，A-2E的行列式为0，所以舍去。

所以特征值为λ₁=1，λ₂=-2，对应的特征向量为(ξ₁,-ξ₁,0)T和(0,ξ₂,ξ₂)T。

【例2】设三阶矩阵A=3-45-6-389求它的特征值及对应的特征向量。

根据矩阵的特征多项式F(x)=|3xI-A|=0，得到6x³+5x²-5x+7=0.分解因式得：x²(x+1)(x-7)=0.解得x₁=-1,x₂=x₃=7.分别代入F(x)=0中可得矩阵A的三个特征值为λ₁=-1,λ₂=7,λ₃=7.当λ₁=-1时，对应的一个基础解系为(4,-6,5)T；当λ₂=7时，因为矩阵的阶数大于零且特征值所对角线上的元素不可能全为零(它还有第二个特征值λ₃≠0),因此至少有两个相同的非零特征向量可以分别求出对应于λ₁=-1和λ₂=7的线性无关的特征向量,记这两个向量分别为α₁和α₂,令(Aα₁-α₂,α₂)=5≠0,(Aα₃-α₃,α₃)=3≠0,即可求出这两个非零特征向量的分量分别为(-9/7,-8/7,5),(-9/4,-3,6)于是A的属于不同特征值的特征向量互相线性无关,因此就得到了三个线性无关的特征向量:α₁=(4,-6,5)T,α₂=(-9/7,-8/7,5)T,α₃=(-9/4,-3,6)T.四、总结求矩阵的特征值和特征向量的方法有多种，需要根据具体情况选择合适的方法。

⾼等代数例题（全部）⾼等代数例题第⼀章多项式1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++2．45P 7 设32()(1)22f x x t x x u =++++，3()g x x tx u =++的最⼤公因式是⼀个⼆次多项式，求t 、u 的值。

3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3x px q ++有重根的条件。

5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1nx -在复数域内和实数域内的因式分解。

8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。

求证：11((),())((),())f x g x f x g x =。

10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的⼀个最⼩公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ；（2）()f x ，()g x 的任意⼀个公倍式都是()m x 的倍式。

我们以[(),()]f x g x 表⽰⾸项系数为1的那个最⼩公倍式。

证明：如果()f x ，()g x 的⾸项系数都为1，那么()()[(),()]((),())f xg x f x g x f x g x =。

11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2mn f x xx =+-所得余式为。

矩阵的特征多项式与最小多项式矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的特征多项式和最小多项式则是研究矩阵性质和计算矩阵的关键工具。

本文将介绍矩阵的特征多项式和最小多项式的概念、定义、性质以及它们在线性代数中的应用。

一、特征多项式特征多项式是矩阵的一个重要特征，它能给出矩阵的特征值，进而揭示了矩阵的一些重要性质。

矩阵A的特征多项式可以表示为：P(λ)=|A-λI|对于n阶矩阵A，其特征多项式的次数为n。

特征多项式的根即矩阵的特征值，因此我们可以通过求解特征多项式的根来得到矩阵的特征值。

二、最小多项式最小多项式是描述矩阵A最简单的多项式，它不仅能揭示矩阵的性质，还能够描述矩阵的最小特征多项式。

对于矩阵A，定义其最小多项式为满足P(A)=0的最低次数的多项式P(x)。

最小多项式P(x)具有以下性质：1. P(x)的次数小于等于n（n为矩阵的阶数）；2. P(x)是关于x的首一多项式（即最高次项系数为1）；3. 如果P(A)=0，则P(x)一定是A的最小多项式；4. P(x)具有唯一性。

最小多项式的计算通常需要借助于特征多项式。

首先，计算出矩阵的特征多项式P(λ)，然后将λ替换为A，得到特征多项式P(A)，令其为零，即可得到最小多项式P(x)。

三、特征多项式与最小多项式的关系特征多项式和最小多项式有着紧密的联系。

首先，矩阵的特征多项式的根即为其特征值，而矩阵的特征值同样也是最小多项式的根。

其次，最小多项式是特征多项式的约化。

也就是说，最小多项式的所有根都是特征多项式的根，但特征多项式的所有根未必都是最小多项式的根。

此外，特征多项式和最小多项式都可以用于计算矩阵的幂。

根据矩阵A的特征值λ，我们可以得到A的特征向量v，进而得到矩阵A 的特征矩阵S，使得AS=SD，其中D是对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

利用这个特性，我们可以通过特征矩阵S将矩阵A进行对角化，从而计算矩阵的幂A^n。

四、应用举例特征多项式和最小多项式在线性代数和相关领域有广泛的应用。

极小多项式计算
极小多项式是一个特殊的多项式，它是一个给定线性变换的最小的首一次数整系数多项式，使得该变换的特征多项式与该多项式相等。

计算极小多项式的过程需要一些数学知识和算法。

首先，我们需要知道一个线性变换的特征多项式是什么。

对于一个n ×n 的矩阵A，其特征多项式定义为p(t) = det(tI - A)，其中I 是n ×n 的单位矩阵。

接下来，我们需要知道一个多项式的次数是什么。

一个多项式的次数是指多项式中最高项的次数。

例如，多项式f(x) = 3x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 7x + 1 的次数是4。

对于一个线性变换的极小多项式，我们可以通过以下步骤计算：
1. 计算该变换的特征多项式。

2. 令p(t) = det(tI - A)。

3. 找到p(t) 的所有首次因子，即次数为1 的因子。

4. 找到所有次数小于等于n 的整系数多项式q(t)，使得q(A) = 0。

5. 对于所有找到的q(t)，找到其中次数最小的一个，即为该变换的极小多项式。

需要注意的是，计算极小多项式需要一定数学基础和计算能力，但是对于一些特殊的线性变换，可以采用一些简单的算法来计算其极小多项式。