广西南宁市2022-2023学年高二上学期开学教学质量调研数学试题附答案

2022－2023学年第一学期期中教学质量检测高二年级 数学试卷（时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知 =（1,0,1），(),1,2b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π2．若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为（ ）A ．2 B．3 CD3．设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）A ．{},,a b b c c a +++B ．{},,a b b c c a --- C ．{},,a b c a b c +++ D ．{},,3a b c a b c a b c -++--+ 4．与直线y =切于点A，且经过点B 的圆的方程为（ ）A．22(3)(24x y ++= B．22((1)16x y ++= aC ．22(3)(1)16x y ++-=D ．22(23)(2)4x y -+-=5．已知椭圆22:14x y C m +=的焦距是2，则离心率e 的值是（ ） A 5 B ．125C ．123D 525 6．如图所示，在棱长为1的正方形1111ABCD A B C D -中，点P 是1AA 的中点，点M ，N是矩形11BB D D 内（包括边界）的任意两点，则PM PN ⋅的取值范围是（ ）A ．15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e ，设月球的半径为R ，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r ，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）A ．(1)11e r eR e e ++-- B ．(1)211e r eR e e ++-- C ．(1)11e r eR e e -+++ D ．(1)211e r eR e e -+++ 8．设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论错误的是（ ）A ．当04x =时，||PF 的值为6B ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西南宁市第二中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题9．已知向量(1,2),(2,2),(4,)a b c k ==-=r r r ，则下列说法正确的是（）A ．2a b ⋅=B ．若)a b c +⊥r r r （，则2k =-三、填空题15．已知直线1:1(R)l kx y k +=∈四、解答题17．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：[)0,40，[)40,80，[)80,120，[)120,160，[)160,200，[)200,240，[]240,280（观看时长均在[]0,280内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)采用分层抽样的方法在观看时长在[)200,240和[]240,280的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在[)200,240的概率.4(1)证明：1C B⊥平面ABC；(2)求点C到平面1AC E的距离21．甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为34，重新加工后再次质检的合格率为新加工后再次质检的合格率均为加工1个零件．(1)求这2个零件均质检合格的概率；(2)若一等品的价格为100元，二等品的价格为件的价格之和不低于100元的概率22．如图，四棱锥P ABCD-(1)求点M的轨迹长度；(2)当二面角M PA--。

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r代数法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为（）A ．14B ．4C ．12D ．26．（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定题型三：圆的弦长问题7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26B ．31C ．39D ．438．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1B ．2C ．2D ．229．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）A ．710B ．57C ．75D ．145题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()22134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．211．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）A ．2210x y ++=或2230x y +-=B ．0x y +=或20x y +-=C ．2220x y +-=或22320x y ++=D ．20x y +-=或220x y ++=12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．14题型五：直线与圆的应用13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（）A ．13.1米B ．13.7米C ．13.2米D ．13.6米14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A ．230米B ．202米C ．430米D ．125米15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：直线与圆的位置关系的综合应用16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．（1）求O 的标准方程；（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求22y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【双基达标】一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）A ．2B ．3C ．2D ．120．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（）A ．50x y --=B ．50x y +-=C ．50x y -+=D ．50x y ++=21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．2322．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭23．（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．3424．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个25．（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4B ．-4C ．34-D ．43-26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．22(1)(1)6x y -+-=D ．22(1)(1)8x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．2210x y -+=D ．2210x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．42B ．22C ．8D ．82【高分突破】一：单选题29．（2021·全国高二专题练习）已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -+=C ．10x y ++=D ．20x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）A ．23B ．26C ．42D ．833．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（）A ．10B ．12C ．13D ．1634．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）A ．52102+B ．105822+C ．58102+D ．105222+二、多选题36．（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为437．（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）A ．250x y --=B ．250x y -+=C ．250x y -+=D ．250x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为439．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点B ．圆心C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为___________.四、解答题44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．（1）求m 的值；（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程.46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【答案详解】1．A 【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(12)-，，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(12)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b aab=时，即1a b ==时，等号成立，所以11a b+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，直线l 与圆C 相切，221121k k --∴=+，解得：23k =±，由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，∴圆心D 到直线l 距离2211k d k -=+；当23k =+时，()()2222323330843231d r +-=-=-<+++，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当23k =-时，()()2222323330843231d r --=-=-<--+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.7．C 【详解】将圆化为22(8)64(64)x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =24445-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以224364m +=-，解得39.m =8．D 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211d --==+，故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】由220x y x y +-+=可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径22r =，所以圆心到直线3410x y ++=的距离为22113412211034d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭==+，所以所求弦长为22725r d -=.故选：C.10．B 【详解】由题意圆心到直线的距离为()()2222222222232241111a a a d r d a a a a +++=∴=-=-∴=∴=+++34-故选：B 11．B 【详解】圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的距离为2262(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．故选：B【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，∴152r =∴圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴211t =±，∴当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，故选：C.14．C 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =，所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.16．（1）()2225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点()1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：02x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()0,2O ，()()2210025r OA ==-+-=，所以O 的标准方程为()2225x y +-=，（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2131k d k --=+，则()2222134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭可得()222135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或34k =-，所以直线l 的方程为10y -=或()3134y x -=--，即1y =或34130x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=由题意得222222(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩，解得1a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=（2）由（1）得()()22111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；而22y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为212211k k k ---=+，解得43k =-，因此22y x +-的取值范围是4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；18．【详解】（1）设(),M x y ，()00,A x y ，M 是线段AB 中点，006282x x y y+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()22262816x y ∴-+-=，整理可得M 点轨迹方程为：()()22344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离23421k k d k --==+，解得：34k =，:3430l x y ∴--=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离22342411k k k d k k ---==++，()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.19．C圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|122d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2212122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.20．A 【详解】由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由3012(1)CP k --==---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】根据题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则221k d k =+，若直线0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2321k d k==+，解得3k =±，点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离122331d k ==+，故选:B ．22．A 【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，则设2211(1)24m ab a a a a a ⎛⎫==-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当12a =时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．23．C由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离224312MN d r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由点到直线的距高公式，得232311k k -+=+，解得0k =或34k =-.故选：C.24．B 【详解】由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为22222243381d +++==>+，且2242243333133d ++--=-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B25．C 【详解】解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：圆的半径为1，切线长为15，∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得2|3345|49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为34-．故选：C ．26．B 【详解】解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而21PA PC =-，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A28．A 【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为21122-+==d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；∴四边形PMQN 的面积114224222S MN PQ =⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π，故选：A 30．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A31．C 【详解】设四边形PAOB 的面积为S ，2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|||22min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，所以线段OP 的中点坐标为11(,)22--，由题得直线AB 的斜率为1,-所以直线AB 的方程为11()[()]22y x --=---，化简得直线AB 的方程为10x y ++=.故选：C 32．C 【详解】解：因为圆()2222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432d --==，因为在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以2200113a b++=+，所以2231a b +=，所以()2222222222222213133310616310a b a b a b ab b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时2214a b ==，所以2213a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，2233411k kk-+-∴≤+，即221k k -≤+，解得3333k -≤≤.故选：C.35．D 【详解】由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2a cb +=，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由02102y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -，如下图所示：设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为102.设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.综上，22135212222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为521022OM EN ++=.故选：D.36．BC 【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为22002211d ++==+，所以直线l 被圆O 截得的弦长为()22222242214r d -=-=，故D 错误.故选：BC.37．BD 【详解】圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以()2225552521k k k -=-⇒=+或12k =.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=.故选：BD38．BD 【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2225322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为2111d k =≤+，所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.故选：BD.39．AD 【详解】解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，22112||(1)(0)1222PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A正确；圆心C 到直线l 的最大距离为2||2PC =，故B 错误； 直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．故选：AD ．40．22【详解】圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，则圆心()0,1-到直线的距离为()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，故答案为：2241．21-【详解】令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312td --==，解得21t =-.故答案为：21-42．x =2或3420x y +=-.【详解】圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.43．522+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124m m x y -++=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21k k =+解得：1k =±所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．45．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k++=+，12271x x k =+∴()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1y x =+46．（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m m d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.47．（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．48．（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为2411k =+，解得15k =±，所以所求直线l 的斜率为15±．（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．。

南宁市2023-2024（上）学期10月月考试题高二数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项；1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级填写在答题卡上，贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡交回.一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若A ，B ，C ，D 为空间任意四个点，则AB D A D C +-=（）A.CBB.BCC.BDD.AC【答案】A 【解析】【分析】由已知结合向量的加减运算法则即可直接求解.【详解】解：AB D A D C AB C A C B +-=+=.故选：A.2.已知直线l ：x yC A B+=，则以下四个情况中，可以使l 的图象如下图所示的为（）A.0A >，0B <，0C >B.0A <，0B <，0C >C.0A <，0B <，0C <D.0A >，0B <，0C <【答案】D 【解析】【分析】由直线方程求出直线在坐标轴上的截距，再根据图象列不等式可求得结果.【详解】由x yC A B+=，当=0x 时，y BC =，当=0y 时，x AC =，由图可知>0<0BC AC ⎧⎨⎩，所以当0C <时，0,0A B ><，当0C >时，0,0A B <>，所以ABC 错误，D 正确，故选：D3.()1,2,3a =-- ，()2,,6b x = ，若a //b，则x =（）A.0B.4- C.4D.2【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的条件进行求解【详解】由a //b ，则R λ∃∈，使得b a λ= ，即2263x λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得2,4x λ=-=-.故选：B4.如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1120BAD BAA∠=∠=︒，若线段1AC =，则1∠=DAA （）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量模公式，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.【详解】∵11AC AB AD AA =++ ，∴22221111222=+++⋅+⋅+⋅ AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA 111111*********cos 222⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DAA ，∴11cos 2∠=DAA ，160DAA ∠=︒，故选：C.5.直线cos 40x y α++=的倾斜角的取值范围（）A.[)0,π B.ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C.π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据直线方程求出该直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率的关系、余弦函数的性质进行求解即可.【详解】由cos 40cos 4x y y x αα++=⇒=--，所以该直线的斜率为cos k α=-，因为1cos 1α-≤≤，所以11k -≤≤，设该直线的倾斜角为β，于是有π1tan 104ββ-≤≤⇒≤≤，或3ππ4β≤<，故选：C6.已知向量()2a =，向量1,0,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.)B.()C.(D.1,0,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】a 在b上投影向量)21,0,212a b a b b b⎫⋅=⋅=⋅==⎪⎪⎭r rr r r r 故选：A7.从P 点发出的光线l 经过直线20x y --=反射，若反射光线恰好通过点(5,1)Q ，且点P 的坐标为(3,2)-，则光线l 所在的直线方程是()A.3x =B.1y =C.270x y --= D.210x y ++=【答案】A 【解析】【分析】先利用点(5,1)Q 关于直线20x y --=的对称点M 在入射光线上，再由P 、Q 两点的坐标，结合直线方程的两点式写出入射光线所在的直线方程，即为直线l 的方程．【详解】解：点(5,1)Q 关于直线20x y --=的对称点为(,)M a b 则115512022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得33a b =⎧⎨=⎩，所以M (3,3)可得直线PM 方程为：3x =.故选：A ．8.如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠= ，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（）A.25B.5C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】以A 为原点，以AD 、AB的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B、(1,E ，则()2,1,0AG =，(1,AE = ，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则2020n AG x y n AE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，取1x =，则=2y -，z =，所以，平面AGE的一个法向量为(1,n =-，从而cos ,5n BG n BG n BG ⋅<>==⋅，故直线BG 与平面AGE5=.故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线l 1：3x +y ﹣3＝0，直线l 2：6x +my +1＝0，则下列表述正确的有（）A.直线l 2的斜率为6m-B.若直线l 1垂直于直线l 2，则实数m ＝﹣18C.直线l 1倾斜角的正切值为3D.若直线l 1平行于直线l 2，则实数m ＝2【答案】BD 【解析】【分析】利用直线l 1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A ，利用两条直线垂直的充要条件可判断选项B ，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C ，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D ．【详解】解：直线l 1：3x +y ﹣3＝0，直线l 2：6x +my +1＝0，当m ＝0时，直线l 2的斜率不存在，故选项A 错误；当直线l 1垂直于直线l 2，则有3×6+1×m ＝0，解得m ＝﹣18，故选项B 正确；直线l 1的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C 错误；当直线l 1平行于直线l 2，则3601130m m -=⎧⎨⨯+≠⎩，解得m ＝2，故选项D 正确．故选：BD ．10.已知直线1l ：()10mx y m -+=∈R ，2l ：230x y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线1l 过定点()0,1B.当12l l ⊥时，12m =-C.当12l l ∥时，2m =-D.当12l l ∥时，两直线1l ，2l 【答案】AB 【解析】【分析】不管m 为何值，当0x =时，1y =，即可判断A ；根据两直线垂直的判定即可求得m 的值，从而可判断B ；根据两直线平行的判定即可求得m 的值，从而可判断C ；结合C 选项可得两直线的方程，再根据两直线平行的距离公式即可判断D ．【详解】不管m 为何值，当0x =时，1y =，所以直线1l 过定点()0,1，故A 正确；当12l l ⊥时，有()()2110m ⨯+-⨯-=，得12m =-，故B 正确；当12l l ∥时，有11213m -=≠-，得2m =，故C 错误；结合C 选项知当12l l ∥时，2m =，所以直线1l ：210x y -+=，2l ：230x y -+=，所以两平行线间的距离为255d =，故D 错误．故选：AB ．11.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在棱DC 上运动（不与顶点重合），则点B 到平面1AD P 的距离可以是（）A.1B.C.2D.3【答案】BC 【解析】【分析】利用坐标法，设()(0,,0)03P t t <<，可得平面1AD P 的法向量(,3,)n t t =，进而即得.【详解】以D 为原点，1,,DA DCDD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(3,0,0),(3,3,0),(0,0,3)D A B D ，设()(0,,0)03P t t <<，所以()()13,,0,3,0,3AP t AD =-=- ，(0,3,0)AB =，设(),,n x y z =为平面1AD P 的法向量，则有：130330n AP x ty n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3y =，可得(,3,)n t t = ，则点B 到平面1AD P的距离为AB nd n⋅==，因为03t <<，所以()2299,27t +∈，所以d ∈.故选：BC12.下列结论正确的是（）A.若直线10ax y ++=与直线420x ay ++=B.点()5,0关于直线2y x =的对称点的坐标为(3,4)-C.原点到直线(21)310kx k y k ++--=D.直线122x y m m +=+与坐标轴围成的三角形的面积为2m m +【答案】BC 【解析】【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果判断A ；利用对称知识求出对称点判断选项B ；求出直线系经过的定点，利用两点间距离公式求解最大值即可判断C ；求解三角形的面积判断D ．【详解】对于A ， 直线10ax y ++=与直线420x ay ++=平行，显然0a ≠，所以4a a -=-，且21a-≠-，解得2a =-，故两条平行直线即为直线210x y --=与直线210x y -+=，255=，所以A 不正确；对于B ，假设点()5,0关于直线2y x =的对称点的坐标为(),a b ，则015205222b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯⎪⎩，解得3a =-，4b =，即点()5,0关于直线2y x =的对称点的坐标为(3,4)-，故B 正确；对于C ，由(21)310kx k y k ++--=，得(23)10k x y y +-+-=，由2301x y y +-=⎧⎨=⎩，得1x y ==，故直线(21)310kx k y k ++--=过定点(1,1)，所以原点到直线(21)310kx k y k ++--==C 正确；对于D ，令0x =，得22y m =+，令0y =，得x m =，所以直线122x y m m +=+与坐标轴围成的三角形的面积为21|22|||||2m m m m +⋅=+，故D 不正确.故选：BC ．三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）.13.直线l 的斜率k ＝x 2+1（x ∈R ），则直线l 的倾斜角α的范围为___．【答案】,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切函数的范围，然后求解倾斜角的范围．【详解】解：因为直线l 的斜率k ＝x 2+1（x ∈R ），所以k ≥1，即tan 1α≥，又α∈[0，π），所以直线l 的倾斜角α的范围为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．14.若(1,,2)λ= a ，(2,1,2)b =- ，()1,4,4c =，且,,a b c 共面，则λ=_______.【答案】1【解析】【分析】根据向量共面定理，可得到存在不同时为零的实数,m n ，使得c ma nb =+，列出方程组，解得答案.【详解】由于,,a b c共面，故存在不同时为零的实数,m n ，使得c ma nb =+，即124422m nm n m n λ=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩，解得1λ=，故答案为：115.已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____．【答案】2【解析】【分析】由两直线平行，可先求出参数m 的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果.【详解】因为直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，所以3460m -⨯=，解得8m =，所以6140x my ++=即是3470x y ++=，由两条平行线间的距离公式可得d 2==.故答案为2【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.16.唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中，设军营所在位置为()2,3-，若将军从()0,3处出发，河岸线所在直线方程为10x y -+=．则“将军饮马”的最短总路程为________．【答案】【解析】【分析】求出点P 关于直线的对称点的坐标，设直线上任一点N ，当且仅当Q ，N ，P '三点共线时取最小值，可得最短距离．【详解】解：设()0,3P 点关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),P a b '则3102231a b b a+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得：2,1a b ==，所以()2,1P '，设()2,3Q -，设直线10x y -+=上的点N ，则PN PN ='则QN PN QN P N QP ''+=+≥当且仅当Q ，N ，P '三点共线时取等号，而QP '==，所以最短结论为QP '=，故答案为：四､解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.已知直线l 的方程为210x y +-=，点P 的坐标为()1,2-.（1）求过P 点且与直线l 平行的直线方程；（2）求过P 点且与直线l 垂直的直线方程.【答案】（1）230x y ++=（2）240x y --=【解析】【分析】（1）根据直线平行斜率相同设直线方程，再根据直线过P 点则可求出；（2）根据直线垂直斜率相乘为-1的关系设直线方程，再根据直线过P 点则可求出.【小问1详解】与直线l 平行的直线斜率与l 相同，方程设为20x y C ++=，因为过P 点，将P 点坐标代入，则()1220C +⨯-+=，解得C =3.∴过P 点且与直线l 平行的直线方程为230x y ++=.【小问2详解】根据直线与坐标轴不垂直的情况下，两垂直直线斜率相乘为-1，则与直线l 垂直的直线斜率为1212k -==-，设该直线方程为20x y b -+=，因为过P 点，将P 点坐标代入，则21(2)0b ⨯--+=，解得4b =-.∴过P 点且与直线l 垂直的直线方程为240x y --=.18.已知坐标平面内三点A (-1，1)，B (1，1)，()21C +．（1）求直线BC ，AC 的斜率和倾斜角；（2）若D 为ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率和倾斜角α的取值范围．【答案】（1）直线BC π3；直线AC 的斜率3，倾斜角为π6（2）ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．【小问1详解】由斜率公式得：1121BC k +-==-31132(1)3BC k +-==--因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是[)0,π，∴直线BC 的倾斜角为π3，直线AC 的倾斜角为π6；【小问2详解】如图，当直线CD 由CA 逆时针旋转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由AC k 增大到BC k ，∴k 的取值范围为3⎢⎣⎦，倾斜角α的取值范围为ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．19.已知空间三点(1,0,0)A ，(1,1,1)B ，(3,1,)C a -，求：（1）若AB BC ⊥ ，求实数a ；（2）若5a =，△ABC 的面积.【答案】（1）1a =；（2）.【解析】【分析】（1）应用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数a ；（2）应用空间向量夹角坐标表示求(4,1,5)AC =- 、(0,1,1)AB = 夹角余弦值，进而求正弦值，坐标公式求模长，应用三角形面积公式求面积即可.【小问1详解】由题设(0,1,1)AB = ，(4,0,1)BC a =-- ，又AB BC ⊥ ，所以10AB BC a ⋅=-= ，可得1a =.【小问2详解】由题意(3,1,5)C -，故(4,1,5)AC =- ，而(0,1,1)AB = ，所以|cos ,|||7||||AB AC AB AC AB AC ⋅<>== ，故27sin ,7AB AC <>= ，而||AC =||AB =127ABC S == .20.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11,,DD BD BB 的中点.（1）求EF 与CG 所成角的余弦值；（2）求点G 到平面CEF 的距离.【答案】（1）1515（2）63【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求得向量,EF CG 的坐标，由cos ,EF CG EF CG EF CG⋅=⋅ 求解；（2）求得平面CEF 的一个法向量(),,n x y z = ，由CG n d n ⋅=求解,【小问1详解】建立如图所示空间直角坐标系：则()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1111,,,1,0,2222EF CG ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以14cos ,EF CG EF CG EF CG ⋅==⋅ ，所以EF 与CG所成角的余弦值是15；【小问2详解】1110,1,,222CE CF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00CE n CF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即10211022y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1x =，则()1,1,2n = ，所以3CG n d n⋅== 21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）若2PA =，4=AD ，求直线CE 与平面ABCD 所成的角正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）510【解析】【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明//EO PB ；（2）首先建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式求出正弦值，再求正切值即可【详解】（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，,E O 分别是,PD BD 的中点，//EO PB ∴，PB ⊄ 平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，//PB ∴平面AEC ；（2）如图，以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，()002P ,,，()0,4,0D ()4,4,0C ，()0,2,1E ，()0,0,2AP = ，()4,2,1CE =-- ，易知()0,0,2AP = 为平面ABCD 的一个法向量，设直线CE 与平面ABCD 所成的角θ，则()()04022121sin cos ,21221AP CE AP CE AP CEθ⋅⨯-+⨯-+⨯=<>==⨯ ，22105cos 1sin 21θθ=-=，sin 215tan cos 21102105θθθ==所以直线CE 与平面ABCD 所成的角正切值51022.请从①cos 2cos 0C C +=；②222sin sin sin sin sin 0A B C A B +--=；③()cos 2cos 0c B b a C +-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）.（1）求角C 的大小；（2）若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅= ，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）π3C =（2）326【解析】【分析】（1）选①，通过二倍角公式的化简求解；选②，通过余弦定理求解即可；选③，通过边角互化求解即可；（2）将条件2BA BD BA ⋅= 转化为π2BAD ∠=，然后结合基本不等式求取四边形面积的最大值；【小问1详解】选①：cos 2cos 0C C +=，根据二倍角公式化简得：22cos cos 10C C +-=，即()()2cos 1cos 10C C -+=，因为()0,π,C ∈解得：1cos 2C =或cos 1C =-（舍去），所以π3C =；选②222sin sin sin sin sin 0A B C A B +--=，根据正弦定理得：2220,a b c ab +--=根据余弦定理得：2221cos ,222a b c ab C ab ab +-===又因为()0,πC ∈，所以π3C =；选③()cos 2cos 0c B b a C +-=，根据正弦定理得：()()sin cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0,C B B A C B C A C +-=+-=因为()()0,π,0,πC A ∈∈，sin 0A ≠，解得：1cos 2C =，所以π3C =；【小问2详解】2BA BD BA ⋅= ，根据数量积定义可知：cos BA BD BAD BA BA ⋅∠=⋅uu r uu u r uu r uu r ，所以cos BD BAD BA ∠=uu u r uu r ，则有：π2BAD ∠=，如图所示：1122ABCD S AB AD BC CD =⋅+⋅,根据正弦定理得：12πsin 3sin 3c R C ===111112222ABCD S AB AD BC CD BC CD =⋅+⋅=⨯+⋅，因为2224,3BC CD BD +==根据基本不等式解得：22423BC CD BC CD +=≥⋅，当且仅当63BC CD ==时，等号成立，即23BC CD ⋅≤，代入111112222ABCD S AB AD BC CD BC CD =⋅+⋅=+⋅，解得：26 ABCDS≤，。

广西梧州市藤县第六中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．3弧度的角终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设i 为虚数单位，若复数()()1i 1i a -+是实数，则实数a 的值为（）A ．－1B ．0C ．1D ．23．点33sin ,cos 44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若3sin 74πθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则6sin 7πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（）A ．34-B ．34C ．4-D ．45．在ABC 中，若45,60,A B BC ===AC =（）A ．B ．CD ．6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若m n ∥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥C ．若m n ⊥，m α∥，n β∥，则αβ∥D ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβ∥7．已知函数()sin (00)y A x A ，ωϕω=+>>一个周期的图象如图所示，则该函数可以是（）A ．134sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．154sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．34sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．54sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．已知向量()()1,1,2,1a b ==- ，则a 在b上的投影向量为（）A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,55-二、多选题9．已知向量,,a b c和实数λ，下列说法正确的是（）A ．若0a b ⋅=，则0a = 或0b = B ．若R λ∈且0b ≠r r，则当a b λ= 时，一定有a 与b 共线C ．若a b a b a ⋅=⇔r r r r r bD ．若a b a c ⋅=⋅r r r r 且0a ≠，则b c= 10．以下选项中，能使//a b成立的条件有（）A ．a b = B ．0a =或0b = C ．2a b =-D ．a 与b都是单位向量11．已知函数()22sin 22sin f x x x =++，则下列直线中是()f x 图象的对称轴的有（）A ．8x π=-B ．38x π=C ．78x π=D ．3x π=12．设a b ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．若//,a b αα⊥，则a b ⊥r rB ．若a b αα⊥⊥，，则//a bC ．若,a b αα⊥⊂，则a b⊥r rD ．若////a a αβ，，则//αβ三、填空题13．若复数3i z =+（i 为虚数单位），则z =______．14．若扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的面积为_________．15．已知ABC 的三个顶点是()()()5,0,33,0,2A B C --，，则ABC 的面积为________．16．已知向量,a b ，其中||1,||2a b ==，且()()2310a b a b -⋅+=- ，则向量a 与b 的夹角为____.四、解答题17．已知向量()3,2a =，()1,1b =- ．(1)求a b + 与23a b -的坐标；(2)求向量a ，b的夹角的余弦值．18．ABC ∆的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知sin cos c B b C =．（1）求C ；（2）若c =，b =，求ABC ∆的面积．19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且()cos 2cos 0.a B b c A +-=(1)求角A 的大小；(2)设向量()20,1,cos ,2cos 2C m n B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，试求m n +u r r 的最小值．20．在三棱锥V ABC -中，已知二面角V AB C --的大小为π3，VAB 为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，O 为AB的中点．(1)求证：AB VC ⊥；(2)求三棱锥V ABC -的体积．21．已知函数()()1sin cos cos 202f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标也扩大为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 在区间π5π,2412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,ABCD BC ∥平面1,2PAD BC AD =，90ABC ∠=︒，E 是PD 的中点．∥；(1)求证：BC AD(2)求证：平面PAB 平面PAD；(3)若M是线段CE上任意一点，试判断线段AD上是否存在点N，使得MN∥平面PAB？请说明理由．参考答案：1．B【解析】可得32ππ<<，即可得出.【详解】因为32ππ<<，所以3弧度的角终边在第二象限.故选：B.2．C【分析】由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解．【详解】2(1i)(1i)1i i i 1(1)i a a a a a -+=+--=++-，它是实数，则10a -=，1a =．故选：C ．3．D【分析】判断33sin ,cos 44ππ的值的正负，可得答案;【详解】33sin0,cos04242ππ=>=-<,所以点33sin ,cos44ππ⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限，故选：D 4．A【分析】根据诱导公式直接计算即可得出结果.【详解】因为63sin sin sin 7774πππθθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=---=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选A.5．A【分析】已知三角形中两角和其中一角的对边，可以用正弦定理求另一角的对边.【详解】在ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC AC A B =sin60AC=，解得：AC =故选：A.6．C【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.【详解】因为m α⊥，n β⊥，若m ，n分别在直线,m n 上为平面α，β的法向量，且m n ⊥ ，故αβ⊥，所以选项A 说法正确；因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而//n β，因此αβ⊥，所以选项B 说法正确；当αβ⋂时，如下图所示：也可以满足m n ⊥，//m α，//n β，所以选项C说法不正确；因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以//αβ，因此选项D 说法正确，故选：C 7．B【分析】根据条件求出A ，ω和ϕ的值即可．【详解】由图象知4A =，函数的周期27422T ππππω⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，得12ω=，此时()14sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由五点对应法得13022πϕ⨯+=，得34πϕ=-，则()1313154sin 4sin 24sin 242424f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B ．8．D【分析】由投影向量的定义代入公式求解即可.【详解】由投影向量的定义知，a 在b上的投影向量为21(,)55||||a b b b b ⋅⋅=- .故选：D 9．BC【分析】根据平面向量的共线定理、向量数乘和向量数量积的定义逐项分析判断.【详解】对于A 选项：若0a b ⋅=，则0a =或0b = 或a b ⊥ ，A 错误；对于B 选项：根据共线定理，若R λ∈且0b ≠r r ，则当且仅当有唯一实数λ，使得a b λ=时，一定有a 与b共线，B 正确；对于C 选项：当a 与b均不是零向量时，由cos a b a b a b θ⋅==r r r r r r ，可得cos 1θ=，即cos 1θ=±，故a 与b 的夹角为0或π，可得a b；当a 与b 至少有一个是零向量时，显然a b ；综上所述：a b，C 正确；对于D 选项：∵a b a c ⋅=⋅r r r r 且0a ≠，则cos ,cos ,a b a b a c a c =r r r r r r r r ，∴cos ,cos ,b a b c a c =r r r r r r ，但不能确定b c =，D 错误．故选：BC ．10．BC【分析】对于A 、D ：取特殊向量,a b分别为x 、y 轴上的单位向量，否定结论；对于B ：由零向量与任何向量平行，即可判断；对于C ：由向量平行的判定定理即可判断.【详解】对于A 、D ：不妨取,a b分别为x 、y 轴上的单位向量，满足“a b = ”，满足“a 与b都是单位向量”，但是//a b不成立.故A 、D 错误；对于B ：由零向量与任何向量平行，可知0a = 或0b = 时，//a b.故B 正确；对于C ：因为2a b =- ，所以//a b.故C 正确.故选：BC 11．ABC【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为()234f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求出函数()f x 的对称轴方程，利用赋值法可得合适的选项.【详解】()22sin 22sin 2sin 21cos 23sin 24f x x x x x x π⎛⎫=++=++-=- ⎪⎝⎭，由()242x k k πππ-=+∈Z ，解得()328k x k ππ=+∈Z ，当1k =-时，8x π=-；当0k =时，38x π=；当1k =时，78x π=.故选：ABC.12．ABC【分析】利用线面平行的性质、线面垂直的性质推理判断A ，B ，C ；举例说明判断D 作答.【详解】对于A ，因//a α，则存在过直线a 的平面γ，使得c γα= ，于是得//a c ，而b α⊥，即有b c ⊥，因此a b ⊥r r，A 正确；对于B ，因a b αα⊥⊥，，则//a b ，B 正确；对于C ，因,a b αα⊥⊂，则a b ⊥r r，C 正确；对于D ，当l αβ= ，,a a αβ⊄⊄，且//a l 时，满足////a a αβ，，显然没有//αβ，D 不正确.故选：ABC 13【分析】利用复数模的定义去求z 即可解决.【详解】由3i z =+，可得z =14．23π【分析】根据扇形面积公式即可求出.【详解】 扇形的圆心角为60°，转化为弧度为3π，∴该扇形的面积为2122233ππ⨯⨯=.故答案为：23π.15．312##15.5【分析】利用两点间的距离公式求得AC 的长度，然后根据A ，C 的坐标求得直线AC 的方程，进而利用点到直线的求得B 到直线AC 的距离，即三角形的高，最后利用面积公式求得答案．【详解】||AC ==设AC 所在直线方程为y kx b =+，把点A ，C 的坐标代入可求得250b k b =⎧⎨-+=⎩，求得2b =，25k =，∴直线AC 的方程为225y x =+，即25100x y -+=，∴点B 到直线AC的距离d1131222ABC S AC d =⋅=⨯ ．故答案为：31216．3π##60︒【分析】根据条件求出a b ⋅，然后可得答案.【详解】因为||1,||2a b ==，()()2310a b a b -⋅+=- ，所以2235235810a a b b a b -⋅-=-⋅-=-，所以1a b ⋅= ，所以11cos ,122a b a b a b ⋅===⋅⋅，因为[],0,a b π∈ ，所以,3a b π= ，故答案为：3π17．(1)()4,1a b +=，()233,7a b -= ．【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算；（2）利用平面向量夹角的坐标表示运算.【详解】（1）()4,1a b += ，()()()2323,231,13,7a b -=--=．（2）321a b⋅=-=，a =b ，cos a ∴<,a b b a b⋅>==⋅18．（1）4π；（2）5.【分析】（1）根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，化简即得C 的值；（2）先利用余弦定理求出a 的值，再求ABC ∆的面积．【详解】（1）因为sin cos c B b C =，根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，又sin 0B ≠，从而tan 1C =，由于0C π<<，所以4C π=．（2）根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，而c =，b =，4C π=，代入整理得2450a a --=，解得5a =或1a =-（舍去）．故ABC ∆的面积为11sin 5522ab C =⨯⨯．【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19．(1)π3A =2【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可得1cos 2A =，进而可求角；（2）根据向量的坐标运算，利用坐标表示模长，利用二倍角公式以及和差角公式，辅助角公式进行化简，根据余弦最小即可求解.【详解】（1）由正弦定理得：()()sin cos sin 2sin cos 0.sin 2sin cos A B B C A A B C A +-=⇒+=,()()π,sin sin πsin A B C A B C C +=-∴+=-= ,且sin 0C ≠,因此得:1cos 2A =,由于A 为三角形的内角，故π3A =（2）由()20,1,cos ,2cos 2C m n B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 得()2cos ,2cos 1=cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ,所以m n +=因为2π2π33B C C B +=⇒=-,所以4ππcos 2cos(2)cos(2)33C B B =-=--,故m n +当π3B =时，π2π3B +=，此时πcos 23B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最小值1-，故此时m n +r取最小值，且最小值为2.20．(1)证明见解析【分析】（1）根据AC BC =，O 是AB 中点，得到AB OC ⊥，再由VAB 是等边三角形，O 是AB 中点，得到⊥AB OV ，然后利用线面垂直的判定定理证明；（2）由（1）得到π3∠=VOC ，再由---=+V ABC A VOC B VOC V V V 13=⋅ VOC AB S 求解．【详解】（1）证明：AC BC = ，O 是AB 中点，AB OC ∴⊥，又VAB △是等边三角形，O 是AB 中点，AB OV ∴⊥，又OC OV O = ，OC ，OV ⊂平面VOC ，AB ∴⊥平面VOC ，又VC ⊂平面VOC ，AB VC ∴⊥；（2）由（1）得VO AB ⊥，CO AB ⊥，又 二面角V AB C --的大小为π3，π3VOC ∴∠=，又2AC BC == ，AC BC ⊥，VAB 为等边三角形，AB ∴=VO =，CO =13sin 22VOC S CO VO VOC ∴=⋅∠=△，---∴=+V ABC A VOC B VOC V V V ，1133=⋅+⋅ VOC VOC AO S BO S ，13=⋅= VOC AB S 21．(1)1ω=(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据三角函数的恒等变换，将()f x π24x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期公式，即可求得答案；（2）根据三角函数图象的平移变换伸缩变换规律可得()g x 的解析式，根据π5π,2412x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，确定7ππ2π,1224x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）由题意得：()111πsin cos cos 2sin 2cos 2sin 222224f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以2ππ2T ω==，所以1ω=；（2）由（1）知π()224f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故由题意得()ππ72sin[2()]sin 2π26412g x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()72π12g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，π5π,2412x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故7ππ2π,1224x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，7πsin 21,122x ⎡⎛⎫∴-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，()g x ⎡⎤∴∈⎣⎦，()g x ∴的值域为⎡⎤⎣⎦．22．(1)见解析(2)见解析(3)当N 为AD 中点时，MN ∥平面PAB .【分析】（1）由线面平行的性质定理即可证明.（2）由面面垂直的性质定理证得BA ⊥平面PAD ，又因为BA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .（3）取AD 的中点N ，连接,CN EN ，由线面平行的判定定理证明EN ∥平面PAB ，CN 平面PAB ，所以平面CNE 平面PAB ，再由面面平行的性质定理可证得MN ∥平面PAB .【详解】（1）BC ∥平面,PAD BC ⊂平面,ABCD 平面PAD ⋂平面ABCD AD =,所以BC AD ∥.（2）因为平面PAD ⊥平面,ABCD 平面PAD ⋂平面ABCD AD =，BA AD ⊥，所以BA ⊥平面PAD ，又因为BA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .（3）取AD 的中点N ，连接,CN EN ，,E N 分别为,PD AD 的中点，所以EN PA ∥，EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以EN ∥平面PAB ，又因为12BC AD =，BC AD ∥，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以CN AB ∥，CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CN 平面PAB ，CN NE ⋂，所以平面CNE 平面PAB ，又因为MN ⊂平面CNE ，所以MN ∥平面PAB .线段AD 上存在点N ，使得MN ∥平面PAB .。

广西省南宁市重点中学2024届高三入学调研数学试题（3）试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324B ．522C ．535D ．5784．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6135．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞6．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）7．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．32C 23D 38．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2π C ．πD ．32π 10．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，12．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49B ．49-C ．43D ．43-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西防城港市2022-2023学年高二上学期教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知点()()0,3,3,1A B -，则AB 为（）A ．5B ．C ．D ．4210y +-=的倾斜角为（）A ．π3-B ．C ．2π3D ．56π3．双曲线22:163x y C -=的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．12y x=±D ．2y x =±4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4440,19S a ==，则公差为（）A ．2-B ．6C ．4D ．85．直线:10l x y --=截圆22:(1)(2)6C x y -++=所得的弦长为（）A ．4B ．C ．D ．6．如图，设O 为平行四边形ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若12OE OD xOA yOB =++，则x y +的值是（）A ．2-B ．0C ．1-D ．327．已知点P 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，点12,F F 分别为椭圆C 的左､右焦点，并满足11,OP OF OPF = 面积等于4，则2b 等于（）A ．2B ．4C ．8D ．168．如图所示的多面体，底面ABCD 为长方形，DF ⊥平面1,,4ABCD DF CC BE AB =∥∥，12,3,1BC CC BE ===，则BF 与平面1AEC F 所成角正弦值为（）A ．44B ．33C D ．11二、多选题9．已知空间向量()()()1,2,1,3,2,1,4,4,1a b c ==-=--，则（）A ．a =B ．,,a b c是共面向量C ．a b⊥ D ．()10a b c +⋅= 10．已知M 是椭圆22:142x y C +=上一点，12,F F 是左､右焦点，下列选项中正确的是（）A ．椭圆的焦距为2B ．椭圆的离心率2e =C ．124MF MF +=D ．12MF F △的面积的最大值是211．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211,2,3+==+=n n a a a a n ，则（）A ．34a =B ．数列{}n a 为等差数列C ．数列{}2n a 为等差数列D ．n 为奇数时，214n n S +=12．抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则下列说法一定正确的是（）A ．AB 的最小值为4B ．线段AB 为直径的圆与直线1y =-相切C ．12x x 为定值D ．若(0,1)M -，则AMF BMF∠=∠三、填空题13．各项为正数的等比数列{}n a 中，151,16a a ==，则公比是__________.14．两平行直线1:10l x y -+=与2:20l ax y a +-=之间的距离是__________.15．边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 的体是1AA 的中点，则1B 到平面BDE 的距离是__________．16．已知点()5,2A 和抛物线2:4C y x =，抛物线C 的焦点为,F P 为抛物线上的动点，则PA PF +的最小值是__________.四、解答题17．已知直线11:220,l x y l +-=与x 轴，y 轴的交点分别为,A B .直线2l 经过A 点且倾斜角为π4.(1)求直线2l 的一般方程；(2)求线段AB 的中垂线方程.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2,,PA AB M N ==分别,PC AB 为的中点.(1)证明：MN //平面PAD ；(2)求二面角M NB C --的余弦值.19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点为12,F F ，右焦点到左顶点的距离是6，且离心率等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过1F 作斜率为k 的直线l 分别交双曲线的两条渐近线于第二象限的A 点和第一象限的B 点，若1AF AB =，求k 的值.20．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，满足21321,12n n a a S +=-=.(1)求出数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足2nn n c a =，试求数列{}n c 的前n 项和n T .21．已知圆经过两点()()0,1,3,0A B -，圆心在直线40x y --=上.(1)求出这个圆的标准方程；(2)当点A 到直线640x my m +-+=的距离最大时，求m 的值.22．某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量n a （公斤）和开园的第()N n n +∈天满足以下关系：24520,(116)2250,(1724)n n n n a n n -+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩.批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍.(1)n 取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？(2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？参考答案：1．A【分析】由距离公式求解.【详解】5AB ==.故选：A2．C【分析】确定直线斜率为k =tan θ=，解得答案.10y +-=的斜率为k=θ满足tan θ=，[)0,πθ∈，故2π3θ=.故选：C 3．D【分析】焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为by x a=±.【详解】因为双曲线22:163x y C -=的焦点在x 轴，所以它的渐近线方程为y =，故A ，B ，C 错误.故选：D.4．B【分析】由等差数列的求和公式以及通项公式列出方程组，得出公差.【详解】由题意可得114640319a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得16,1d a ==故选：B 5．A【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.【详解】由已知，圆22:(1)(2)6C x y -++=，则圆心坐标为()1,2C -，所以点()1,2C -到直线:10l x y --==所以，直线被圆截得的弦长为4.故选：A.6．B【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出111222OE OD OB OA =+-，结合条件即可得出答案.【详解】E 为OC 的中点，()1122OE OC OD DC ∴==+，四边形ABCD 为平行四边形，DC AB ∴=，()()1111122222OE OD AB OD OB OA OD OB OA ∴=+=+-=+-.12OE OD xOA yOB =++ ，12x ∴=，12y =-，0x y ∴+=，故选：B.7．C【分析】根据1OP OF =，得到12,,P F F 三点共圆，且12PF PF ⊥，再根据1OPF 面积等于4，结合椭圆的定义求解.【详解】如图所示：由条件可知1212,,,OP OF OF P F F ==三点共圆.且以12F F 为直径.故12PF PF ⊥.设12,PF m PF n ==，则112222111(2),4222OPF PF F m n c S S mn +===⋅= ，解得16mn =.因为点P 在椭圆上，所以2m n a +=，联立以上式子可解得：222224432,8a c b a c =+=-=，故选：C.8．B【分析】适当建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面1AEC F 的法向量n，并利用AF n ⊥，求出点F 坐标，最后利用线面角公式求出答案.【详解】因为DF ⊥平面,,ABCD AD CD ⊂平面ABCD ，所以,DF AD DF CD ⊥⊥，又ABCD 为长方形，所以AD DC ⊥，所以,,DA DC DF两两垂直，以D 为原点，分别以,,DA DC DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,D xyz -因为14,2,3,1AB BC CC BE ====，则()()()()()()()110,0,0,2,4,0,2,0,0,0,4,0,2,4,1,0,4,3,2,4,3D B A C E C AC ∴=- ，()0,4,1AE = ，设平面1AEC F 的一个法向量为(),,n x y z =r，由100n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得402430y z x y z +=⎧⎨-++=⎩ ，令11,14x z y =⎧⎪=∴⎨=-⎪⎩，即11,,14n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设()00,0,F z ，则()02,0,AF z =- ，又AF n ⊥，故0020,2AF n z z ⋅=-+== .故()()0,0,2,2,4,2F BF =--.设BF 与平面1AEC F 所成角为θ，于是，sin 33BF nBF nθ⋅∴==.故选：B.9．ABC【分析】根据向量的坐标进行运算，求向量的模长，判断关系.【详解】a == A 项正确；设a mb nc =+ ，即1342241m nm n m n =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，解得3m =，2n =，即32a b c =+ ，所以a ，b ，c共面，B 项正确；3410a b ⋅=-+= ，所以a b ⊥，C 项正确；()()()4,0,24,4,118a b c +⋅=⋅--=-，D 项错误.故选：ABC.10．BCD【分析】对于ABC ，由椭圆的标准方程求得,,a b c ，再利用椭圆的定义与性质即可判断；对于D ，由椭圆的几何性质与12MF F △的面积公式即可判断．【详解】对于A ，因为椭圆22:142x y C +=，所以知2,a b c =所以椭圆的焦距为2c =，故A 错误；对于B，椭圆的离心率为2c e a ==，故B 正确；对于C ，由椭圆的定义可得1224MF MF a +==，故C 正确；对于D ，设()00,M x y ，由椭圆的几何性质可知0y b ≤，所以12120112222MF F S F F y c b bc =⋅≤⨯⨯== ，即12MF F △的面积的最大值是2，故D 正确.故选：BCD ．11．AC【分析】对于AB ，利用递推式直接求出34a =即可判断；对于C ，利用递推式得到2223+-=n n a a ，从而得以判断；对于D ，同理可得21213n n a a +--=，再结合选项C 中的结论，利用等差数列的前n 项和公式即可得解.【详解】对于A ，因为1211,2,3+==+=n n a a a a n ，所以326+=a a ，则34a =，故A 正确；对于B ，因为322a a -=，211a a -=，所以{}n a 不是等差数列，故B 错误；对于C ，因为13++=n n a a n ，所以222121263,6++++=++=n n n n a a n a a n ，两式相减，得2223+-=n n a a ，所以{}2n a 为等差数列，故C 正确；对于D ，因为13++=n n a a n ，所以2122216,63n n n n a a n a a n +-+=+=-，两式相减，得21213n n a a +--=，所以数列{}n a 的奇数项为等差数列，公差为3，又由选项C 知，{}n a 的偶数项也为等差数列，公差为3，121,2a a ==，当n 为奇数时，()()132241--=++++++++ n n n n S a a a a a a a 211111111312222132322224++--⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n n n n ，故D 错误.故选：AC.12．ABCD【分析】根据抛物线焦点弦的性质结合选项即可逐一判断．【详解】A 选项：抛物线2:4C x y =，焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，过焦点的弦中通径最短，所以AB 的最小值为24p =，故A 正确；B 选项：如图：设线段AB 的中点为D ，过点,,A B D 作准线的垂线，垂足分别为111,,A B D ，由抛物线的定义可得1AA AF =，1BB BF =，所以()1111122DD AA BB AB =+=，所以以线段AB 为直径的圆与直线=1y -相切，故B 正确；C 选项：设直线AB 所在的直线方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 可得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-，故C 正确；D 选项：由C 得124x x k +=，124x x =-，故AM BMk k +121211y y x x ++=+12221112y x x y x x x x +++=()()122211114kx x x kx x x +++++=-()1212224kx x x x ++=-()242404k k⨯-+⨯==-，故D 正确；故选：ABCD．13．2【分析】直接利用等比数列的通项公式计算得到结果【详解】由已知等比数列{}n a 中，151,16a a ==，得445116a a q q ===，又等比数列{}n a 的各项为正数,0q >,故2q =.故答案为：2.14【分析】根据平行线的性质可以求出a 的值，然后利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为12l l //，所以有22111a a a -=≠⇒=--，所以直线2l 的方程为：2220x y -++=，化简为：10x y --=，=15．3【分析】方法一：建立空间直角坐标系，根据点到平面距离的向量公式求解即可；方法二：将1B 到平面BDE 的距离转化为三棱锥的高，利用等体积法即可求得答案．【详解】解法一：空间向量法：如图，以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 方向为,,x y z轴建立空间直角坐标系，各点坐标为：(2,2,0)B ，(0,0,0)D ，(2,0,1)E ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，()()()12,2,0,2,0,1,0,0,2DB DE BB === ，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z = ，于是22020DB n x y DE n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1y =，则(1,1,2)n =- ，()10,0,2BB = ，1B ∴到平面BDE的距离：13BB n d n ⋅== ，解法二：等体积法：如图，易知11B BDE D B BE V V --=，12B BE S =△，BDE S =△DA ⊥ 平面11ABB A ，D ∴到平面1B BE 的距离是2，设1B 到平面BDE 的距离是h ，且11B BDE D B BE V V --=，112233h ∴=⨯⨯，解得h故答案为：3．16．6【分析】作出图形，由抛物线的定义可知，当AP 与直线=1x -垂直时，||||PA PF +取得最小值，即可求解.【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为=1x -，过点P 作直线=1x -的垂线，垂足为点E ，由抛物线的定义得PF PE =，||||||||PA PF PA PE +=+，当点A 、P 、E 三点共线时，即当AP 与直线=1x -垂直时，||||PA PF +取得最小值，且最小值为516+=．故答案为：6.17．(1)10x y --=(2)2430x y -+=【分析】（1）根据题意求出点的坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求出中点坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可.【详解】（1）设直线2l 的斜率为2k ，则2πtan 14k ==过令0y =，得=1x -，所以()1,0A ，由直线的点斜式方程()00y y k x x -=-，代入可得，()011y x -=⨯-，化简得10x y --=，所以所求的直线方程为10x y --=.（2）设线段AB 的中垂线斜率为k ，线段AB 的中点为C ，设直线1l 的斜率为1k ，由直线1:220l x y +-=可得22y x =-+，则12k =-，由垂直关系可知，11kk =-，解得12k =；令0x =，得2y =，所以()0,2B ，由中点坐标公式可知，1002,22c ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由直线的点斜式方程()00y y k x x -=-，代入可得，11122y x ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，化简得2430x y --=，即线段AB 的中垂线方程是2430x y -+=.18．(1)证明见解析【分析】（1）方法一：取PD 的中点E ，利用中位线性质证明四边形MEAN 是平行四边形，根据平行四边形性质可得//MN EA ，由线面平行判定定理即可证明；方法二：建立空间直角坐标系，由0AB MN ⋅= 即可证明；（2）建立空间直角坐标系，易得平面NBC 的一个法向量为()0,0,2AP = ，平面MNB 的法向量为()0,1,1m =- ，由法向量夹角公式即可求解.【详解】（1）方法一：取PD 的中点E ，连接,ME EA ，如图（1）所示：因为,M E 分别是,PC PD 的中点，在PCD 中，//ME CD ,12ME CD =,因为底面ABCD 是正方形，N 为AB 的中点所以//AN CD ，12AN CD =所以//ME AN 且ME AN =，四边形MEAN 是平行四边形，所以//MN EA ，又因为MN ⊄平面,PAD EA ⊂平面PAD ；所以MN //平面PAD .方法二：因为底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示：由条件可知()()()1,1,1,1,0,0,0,1,1M N MN =-- ；平面PAD 的一个法向量是()2,0,0AB = ；0AB MN ⋅= ，所以AB MN ⊥ ；因为MN ⊄平面PAD ，所以MN //平面PAD（2）因为底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示：设二面角M NB C --的平面角为θ，平面MNB 的法向量为(),,m x y z =，由条件可知()()()()()1,1,1,1,0,0,2,0,0,0,1,1,1,0,0M N B MN NB =--= ；00MN m y z NB m x ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1y =，则1z =-，平面MNB 的法向量为()0,1,1m =- ；平面NBC 的一个法向量为()0,0,2AP =；cos ,2m AP m AP m AP ⋅==- ；因为θ为锐角，故cos 2θ=，所以二面角M NB C --19．(1)221412x y -=【分析】（1）根据双曲线的顶点与焦点坐标，建立方程，可得答案；（2）利用点斜式方程，设出直线方程，由双曲线方程，写出渐近线方程，联立求得交点，根据中点坐标公式，可得答案.【详解】（1）由条件可知6,2c a c a+==；由此解得2,4a c ==；222b c a =-，所以212b =；所求的双曲线方程为221412x y -=.（2）由条件，知()14,0F -，直线l 的方程是()4y k x =+，双曲线的渐近线方程为y =，设()()1122,,,A x y B x y，联立方程组()4y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得A ⎛；联立方程组()4y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得B ⎛因为1,AF AB A =是1F B 的中点，于是=⎪⎨⎪⎪=⎪⎩k =k.20．(1)2n a n =+(2)()1122n n T n +=+⋅-【分析】（1）设等差数列的公差为d ，由题意列出方程组，即可求得答案；（2）由（1）可得2n n n c a =的表达式，利用错位相减法，即可求得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为d ，则()21112,1n n a a nd a a n d +=+=+-,313232S a d ⨯=+，联立可得()111222113312a nd a n d a d ⎧+=+--⎨+=⎩，解131a d =⎧⎨=⎩，由()11n a a n d +-=得：2n a n =+.（2）.由（1）可知()22n n c n =+⋅，故123n nT c c c c =++++L ()12332425222nn =⋅+⋅+⋅+++⋅ 所以()2341232425222n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ ，两式相减得()1234132222222n n n T n +-=⋅+++++-+⋅ ，即()()()2111111212322232222412n n n n n T n n -+++--=⋅+-+⋅=⋅-+⋅+--故()1122n n T n +=+⋅-，则数列{}n c 的前n 项和()1122n n T n +=+⋅-.21．(1)22(2)(2)5x y -++=(2)12m =-【分析】（1）设圆的圆心为C ，,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线40x y --=上，将两点坐标代入方程解得答案.（2）直线过定点()6,4D -，当AD 与直线垂直时，距离最大，计算斜率，根据垂直得到答案.【详解】（1）设圆的圆心为C ，圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由方程可知,22D E C ⎛⎫-- ⎝⎭，由条件,22D E C ⎛⎫-- ⎝⎭在直线40x y --=上，两点()()0,1,3,0A B -在圆上，联立方程组10 930 4022E F D F D E ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪-+-=⎩，解得44 3 D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，224430x y x y +-++=，22(2)(2)5x y -++=为所求的圆的标准方程.（2）直线640x my m +-+=化为()640x m y -++=，直线经过定点()6,4D -，当AD 与直线垂直时，距离最大，411602AD k -+==--，故直线640x my m +-+=斜率为12k m=-=，解得12m =-.22．(1)()618N n n +≤≤∈(2)1327公斤，不能完成销售计划【分析】（1）分段讨论计算采摘零售当天的收入:54n a ⨯⨯，批发销售当天的收入2005⨯，列不等式求解即可；（2）当116n ≤≤时，采摘零售量为数列{520}n +的和，当1724n ≤≤时，采摘零售量为数列24250}{2n n --+的和，两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否超过6500公斤.【详解】（1）由条件，当116n ≤≤时，()520542005n +⨯⨯≥⨯，解得616.n ≤≤当1724n ≤≤时，()242250542005n n --+⨯⨯≥⨯，解得1718n ≤≤，所以()618n n N +≤≤∈，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入.（2）不能.当116n ≤≤时，{}n a 为等差数列，记这些项的和为16116,25,100S a a ==，()116161610002a a S +==.当1724n ≤≤时，记数列{}n a 这些项的和为8T ，()()()7608221750221850222450T =-⨯++-⨯++⋯⋯-⨯+()()760822221718.24508T =++⋯⋯+-⨯++⋯⋯++⨯()8712128172424001212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⨯+-255328400=-+327=1681327S T +=，即采摘零售的总采摘量是1327公斤.批发销售的销售总量为200244800⨯=公斤，24天一共销售132748006127+=公斤，故不能完成销售计划.。

南宁三中2024~2025学年度上学期2026届高二月考（三）数学试题2024.12一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 设，则在复平面内对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在等比数列中，若，，，则公比等于（ ）A.B.C. D.或3. 设非零向量，满足，则（ ）A. B. C. D. 4. 等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（ ）A. 54B. 63C. 66D. 725. 已知，是两条不重合直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则6. 为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是（）A.B.C.D.7. 直线被圆截得弦长为（ ）A.B. C.D. 8.设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个公共点，.记椭圆与双曲线的离心率分别为与，则点到中心距离的最小值为（）A.B.C.D.的的32i z =-z {}n a 10a <218a =48a =q 322323-2323-ab ||||a b a b +=-a b⊥a b=//a ba b>{}n a 35718a a a ++=m n α//m α//n α//m n //m αn ⊂α//m n m n ⊥m α⊥//n αm α⊥//n αm n⊥3:2161312233y kx =+22(2)(3)4-+-=x y k =1E 2E 1F 2F P 1260F PF ∠=︒1e 2e ()12,e M e O二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.9. 设是等比数列，与分别是它们前项的和与积，则下列说法正确的有（）A. 是等比数列B. 若，其中，，则C. 若，，则有最大值D. 若，，则等比数列10. 对于，下列正确的有（ ）A. 若，则关于直线对称B. 若，则关于点中心对称C. 若在上有且仅有4个根，则D. 若在上单调，则11. 已知抛物线，过点的直线依次交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，记，，，（为轴），直线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）A 恒成立B. 若与抛物线相切，则C.时， D. 存在直线，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若是奇函数，则________.13. 若数列对任意正整数，有（其中，为常数，且），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前3项为1，1，2，周期为3，周期公比为2，则数列的前13项和为________.的是.{}n a n S n T n {}n ka ()k ∈R nn S Aq B =+A B ∈R 0A B +=11a >01q <<n T 10a >0q>π()2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭2ω=()f x 5:π12l x =2ω=()f x π,06P ⎛⎫⎪⎝⎭()1f x =π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)10,13ω∈()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦50,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦2:2(0)C y px p =>(,0)2pE -l A B F C AEF α∠=AFB θ∠=AFE β∠=BFX γ∠=X x l k βγ=l C 1k =±90θ=︒12k =±l αθ=()22xxf x a -=⋅-a ={}n a n n m n a a q +=m +∈N q 0q ≠1q ≠{}n a m q {}n a {}n a14. 长方体中，，.点，分别是，的中点，记面为，直线，则直线与所成角的余弦值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在中，角，，的对边分别为，，.（1）求角的大小；（2）若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长.16. 如图，四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）点在上，且.判断，，，四点是否共面，说明理由.17. 某校杰出校友为回报母校，设立了教育基金，有A 和B 两种方案.方案A 是在每年校庆日这天向基金账户存入100万元.当天举办仪式奖励优秀的教师和品学兼优的学生共计40万元，剩余资金用于投资，预计可实现10%的年收益.方案B 是今年校庆日一次性给基金账户存入1000万元，校庆日奖励为第一年奖40万，每年增加10万，余下资金同样进行年化10%收益的投资.设表示第年校庆后基金账户上的资金数（万元）.（1）对于A 、B 两种方案，分别写出，及与的递推关系；（2）按两种方案基金连续运作10年后，求基金账户上资金数额.（精确到万，参考数据：，）18. 已知数列满足，，设.1111ABCD A B C D -12AB AA ==3AD =E F AB 1AA 1EFC α11A D P α= BP 1CD ABC V A B C a b c a bc-=A 2sin sin 1cos ABC =+ABC V BAC ∠BCD AD P ABCD -PA ⊥ABCD AD CD ⊥//AD BC 2PA AD CD ===3BC =E PDF PC 13PF PC =AE CD ⊥F AE P --G PB 23PG PB =A G E F n a n 1a 2a 1n a +n a 91.1 2.36=101.1 2.59={}n a 11a =112N 221n n n a n ka k a n k *++=⎧=∈⎨=-⎩，，，21n n b a -=（1）写出，，并证明是一个等比数列：（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.19. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，焦距为2，点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过原点作圆的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线、的斜率分别记为，.当点在椭圆上运动时.①证明：恒为定值，并求出这个定值；②求四边形面积的最大值.1b 2b {}1n b +{}n a k 2k a 21k a +22k a +k 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F ()00,M x y C2MF 1F 21cos F F M =∠C O 22002:()()3M x x y y -+-=C P Q OP OQ 1k 2k M 12k k OPMQ S南宁三中2024~2025学年度上学期2026届高二月考（三）数学试题简要答案2024.12一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2【16题答案】【答案】（1）证明略 （2 （3）共面，理由略【17题答案】【答案】（1）方案A：；方案B ：.（2）方案A ：万元；方案B ：万元.【18题答案】【答案】（1），证明略；（2），；（3）不存在，理由略.【19题答案】【答案】（1）76π612160,126, 1.160n n a a a a +===+121960,1006, 1.11040n n a a a a n +===--95811261213b b ，==2121222n n n n k a n k⎧-=-=⎨-=⎩，，N k *∈2212x y +=（2）①;②112。

南宁市2023-2024学年高二下学期期末考调研测试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．考查范围：高中全部内容。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡指定位置上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考生必须保持答题卡的整活。

考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则中元素的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知随机变量，，且，则（）A ．B ．C ．D ．3．已知向量，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．若椭圆，则该椭圆的半焦距为（ ）A ．BC ．3D ．3或5．已知等比数列的前n 项和为，，，则（）A ．1B ．2C ．3D ．46．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足，则的最大值为（ ）A B ．C ．D ．7．设为函数的极值点，则（ ）A ．B ．C ．D ．1|2M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭{}|Z,43N x x x =∈-<≤M N I ()~3,X B p 01p <<()()3E X D X =p =14131223()22,a x =r 11,b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r a b ⊥r r 2a b +r r ()3,4()4,3()0,5()0,32221(0)3x y a a +=>3232{}n a n S 5227a a =480S =1a =22220b c a +-=sin B 1312230x ()ln e x x f x =()00,1x ∈()01,3x ∈()03,4x ∈()04,5x ∈8．已知直线l 与圆交于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆过点，则|MN 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，则（）A ．B．C．在复平面上对应的点位于第三象限D ．10．已知为定义在R 上的奇函数，为定义在R 上的偶函数，则（）A ．B ．C ．D ．11．已知函数，若方程有6个根，则a 的值可能为（）A ．0BCD ．1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．2024年高考于6月7日正式开考，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为11，12，12，13，13，14，14，15，15，16，17，18，则该组数据的第75百分位数为______．13．若双曲线的左、右焦点分别为，，P 是C 右支上的动点，则的最小值为______．14．某高校的化学实验室内的电子微型质量测量仪的底座形似一个正四棱台，记该正四棱台为，上底面，下底面ABCD 的边长分别为2，4，记AC ，BD 交于点O ，，，交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数，记为的导函数．22:36O x y +=()0,8P 4+3+8+4+()12i 13i z -=+1iz =-+z =z 342iz z +=--()f x ()g x (())(())f f x f f x =--(())(())g g x g g x =--(())(())f g x f g x =---(())(())g f x g f x =---223sin 1,sin 0,()sin 1,sin 0,x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩()0,2πx ∈()1f x a =±22:13y C x -=1F 2F 12||||PF PF ⋅1111ABCD A B C D -1111A B C D 11A C 11B D 1O 1OA =1111ABCD A B C D -2O 2O ()()1ln f x x x =+()f x '()f x（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的最值．16．（15分）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明．小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立。

南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B.C.D.2.复数，则的虚部为（ ）A.B. C. D.3.已知空间向量，且与垂直，则等于（ ）A.4B.1C.3D.24.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若实数m 满足，则曲线与曲线的（ ）A.离心率相等B.焦距相等C.实轴长相等D.虚轴长相等6.已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ）A.2B.3C.4D.67.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）A.B.4C.6D.8.已知椭圆的左､右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（）{}1,{22}A xx B x x =>=-<<∣∣()R A B ⋂=ð()2,1-(]2,1-(),2∞-(]1,2i 21iz -=+z 3i 23232-3i 2-()()3,2,5,1,,1a b x =-=- a bx 1m =()1:110l x m y +++=()2:110l m x my +--=05m <<221155x y m -=-221155x y m -=-2212:1,,94x y C F F +=P C 122PF PF -=12PF F 222x y -=12,F F P ()0,2Q 1PQ PF +()2222:10x y C a b a b+=>>12,F F ()11,P x y C 12PF F ()22,Q x y 12x =2x =CD.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若，则直线的倾斜角为C.若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点D.直线的纵截距为10.已知点在抛物线上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（）A. B.点的坐标为C.直线与抛物线相切D.11.已知正方体棱长为4，点是底面正方形内及边界上的动点，点是棱上的动点（包括点），已知为中点，则下列结论正确的是（）A.无论在何位置，为异面直线B.若是棱中点，则点C.存在唯一的位置，使平面D.AP与平面所成角的正弦最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线与之间的距离是__________.13.若圆与圆相内切，则__________.14.已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若1-2()()1,3,1,3A B-AB90()1,245 ()3,42y kx=-2-()1,2A()220y px p=>()1,0Q-2p=F()2,0AQ AF AQ⊥1111ABCD A B C D-N ABCD M 1DD1,D D4,MN P=MN,M N1,AP CCM1DD P,M N1A P∥1AB C11A BCD121:68100l x y+-=2:6850l x y+-=221:(2)1C x y-+=222:460C x y x y m++++=m=()222210,0x ya ba b-=>>12,F F M､，则双曲线的渐近线方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）分别求出适合下列条件的方程：（1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程；（2）已知圆C 的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C 的方程.16.（15分）记的内角的对边分别为，且.（1）求角A ；（2）若，求的周长.17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.19.（17分）已知双曲线，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值；122π,3F MF OM ∠==()2:20C y px p =>F ()3,A m y ()ABC ,,A B C ,,a b c sin2sin b A a B =a ABC =ABC P ABCD -ABCD PAD CD ⊥,,,,PAD E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD EFG ABCD ()2222:10x y E a b a b+=>>()()121,01,0,F F M -､E 12MF F E :l y kx m =+E ,P Q 22434k m +=OPQ O ()222Γ:1,0y x b b-=>12,A A ()2,0M -l Γ,P Q 2e =b（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围.2b MA P =P P OQ ΓR 121A R A P ⋅=b南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二）数学试题参考答案题号1234567891011答案BBAABCDABCDACABD12.13. 14. 15.（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为，故，故抛物线标准方程为.（2）设圆C 方程：，由已知，解得，圆C 方程为.16.（1）因为，所以.根据正弦定理，得，因为，所以.又，所以1/0.5223-y x =()3,Am 2p x =-352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭4p =28y x =()222()0x y b rr +-=>22222((3)b r b r⎧=⎪⎨+-=⎪⎩22b r =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +-=sin2sin b A a B =2sin cos sin b A A a B =2sin sin cos sin sin B A A A B =sin 0,sin 0B A ≠≠1cos 2A =()0,πA ∈π3A =（2）在中，由已知，因为由余弦定理可得，即，即，又，所以.所以的周长周长为17.（1）证明：是等边三角形，是的中点，，又平面平面，又平面平面平面.由（1）得平面，连接，建立以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示，底面是边长为4的正方形，则，，则，设平面的法向量为，则取平面的法向量为，又平面的法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为ABC11sin 622ABC S bc A bc bc ===∴= π,3A a ==2222cos a b c bc A =+-217()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭27()3b c bc =+-0,0b c >>5b c +=ABC 5PAD O AD PO AD ∴⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PAD CD PO ∴⊥,AD CD D AD ⋂=⊂,ABCD CD ⊂,ABCD PO ∴⊥ABCD PO ⊥ABCD OG O ,,AD OG OP x y z O xyz -ABCD ()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0O A B C -()()(((2,0,0,0,4,0,0,0,,1,,D G P E F ---()(0,2,0,1,2,FE EG == EFG (),,n x y z = 20,20,n FE y n EG x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ x =0,1,y z ==∴EFG )n = ABCD (0,0,OP =∴EFG ABCD.18.（1）根据题意，.在椭圆上顶点，此时.所以，则求椭圆的方程.（2）如图所示，设，联立直线与椭圆的方程得，.，又，因为点到直线的距离，所以.1cos ,2OP n OP n OP n ⋅<>===⋅ 1c =M E 121212MF F S F F MO b === 2224a b c =+=E 22143x y +=()()1122,,,P x y Q x y l E 22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223484120k x kmx m +++-=()()()22222222Δ644344121924814448430k m k mk m k m =-+-=-+=-+>21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++2PQ x =-===O PQ d =22434k m +=22222211666322343442PQOm m m S PQ d k k m =⨯⨯=====++综上，的面积为定值.19.（1）由题意得，则.（2）当时，双曲线，其中，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；...②当以为底时，，设，则，联立解得或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即.综上所述：.（3）由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①②，OPQ 3221c ce a ===2,c b ===b=22Γ:183y x -=()()22,0,1,0M A -2MA P 2MA P 12x =-P 2A P 23MP MA ==(),P x y 2222318(2)9y x x y ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2311x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10x y =⎧⎨=⎩P 2MP MA >MP 223A P MA ==()00,P x y 000,0x y >>()2200220019183x y y x ⎧-+=⎪⎪⎨-=⎪⎪⎩002x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,P (2,P ()()121,0,1,0A A -l 120A R A P ⋅=0l k ≠:2l x my =-()()1122,,,P x y Q x y OQ ΓR ()22,R x y --()22222222214301x my b m y b my b y x b =-⎧⎪⇒--+=⎨-=⎪⎩2210b m -≠()()22222422Δ44134120mb b m b b m b =---=+>2122241b m y y b m +=-2122231b y y b m =-()()1222111,,1,A R x y A P x y =-+-=-则，因为在直线上，则，即，即，将①②代入有即，化简得所以，代入到，得，所以，且，解得，又因为，则，综上知，.()()122112111A R A P x xy y ⋅=-+--=()()1122,,,P x y Q x y l 11222,2x my x my =-=-()()2112331my my y y ----=()()2121213100y y m y y m +-++=()22222223413100,11b b mm m b m b m +⋅-⋅+=--()()2222231341010bmm b m b m +-⋅+-=2223100b m b +-=22103m b=-2210b m -≠21031b -≠23b ≠221030m b =-≥2103b ≤0b >21003b <≤()(2100,33,,3b b ⎛⎤∈⋃∴∈⋃ ⎥⎝⎦。

广西壮族自治区南宁市沛鸿民族中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知复数()i 17i z =-，则z =（ ）A ．7i -+B ．7i --C ．7i +D ．7i - 2．已知命题:0p x ∃>，32x x =，:q x ∀∈R ，40x >，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p 和q ⌝都是真命题C ．p ⌝和q 都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量a r ，b r 满足222a b a b -=-=r r r r ，且1b =r ，则a b ⋅=r r （ ）A ．14 B ．14- C ．12 D ．12- 4．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间[]50,100内，按分数分成5组： 50,60 ， 60,70 ，[)70,80， 80,90 ， 90,100 ，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误．．的是（ ）A ．成绩在 80,90 上的人数最多B ．成绩不低于70分的学生所占比例为70%C ．50名学生成绩的平均分小于中位数D ．50名学生成绩的极差为505．若0.302a =.，0.20.3b =，0.5log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b a c << C ．a b c << D ．a c b <<6．函数3222x x x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．7．正四面体ABCD E ，F ，G 分别是,,AB AD DC 的中点，则GE GF ⋅=u u u r u u u r （ ）A B C ．1 D ．128．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为（ ）．A ．(B ．11,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．15⎛ ⎝⎭ D ．1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题9．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ） A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=--rr ，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=-r ，平面α的法向量是()6,4,1u =-r ，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-r r ，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a =r ，平面α的法向量是()0,5,0u =-r ，则l α∥10．已知函数()sin f x x =，()πsin 22g x x ⎛⎫⎪⎝=⎭+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴B ．()f x 与()g x 的值域相同C ．()f x 与()g x 有相同的零点D ．()f x 与()g x 的最小正周期相同11．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，1BB 的中点，则（）A ．直线1FC 与底面ABCD 所成的角为30°B ．平面1AB E 与底面ABCD 夹角的余弦值为23C ．直线1FC 与直线AED ．直线1FC 与平面1ABE 的距离为13三、填空题12．已知数据1220,,,x x x K 的平均数为5，则数据122032,32,,32x x x ++⋯+的平均数是. 13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题．如图所示，弧田是由弧AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为6，圆心角为2π3，则此弧田的面积为．14．如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为四、解答题15．已知空间向量(2,3,1),(3,0,1),(,6,2)a b c x =-=-=-r r r ．(1)若a c r r ∥，求||c r(2)若()(2)ka b a b +⊥-r r r r ，求实数k 的值．16．设锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 222sin 2A b c a =+-.(1)求A ；(2)若a =cos sin B a C =，求ABC V 的面积.17．某工厂的A 、B 、C 三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如下表所示．质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测：(1)求这6件样品中来自A 、B 、C 各车间产品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件产品来自相同车间的概率． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =.(1)求AP 与平面CMB 所成角的正弦；(2)求M 点到平面PBC 的距离.19．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF平面ABE；（2）求二面角B EF D--的正弦值；（3）在线段BE上是否存在点P，使得直线AP与平面BEF若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由.。

广西南宁市2022-2023学年高二上学期开学质量调研生物试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列哪一选项不能证明“细胞是生命活动的基本单位” （）A．变形虫是单细胞生物，能进行摄食和分裂B．人体的发育离不开细胞的分裂和分化C．离体的叶绿体在一定条件下能释放氧气D．用笔写字需要一系列神经细胞和肌肉细胞的协调配合【答案】C【分析】1、细胞是生物体结构和功能的基本单位，生命活动离不开细胞。

2、单细胞生物单个细胞就能完成各种生命活动，多细胞生物依赖各种分化的细胞密切合作，共同完成一系列复杂的生命活动，病毒虽然没有细胞结构，但它不能独立生活，只能寄生在活细胞中才能表现出生命活动。

【详解】A、变形虫是单细胞生物，其单个细胞就能进行运动和分裂，可以体现出细胞是生命活动的基本单位，A正确；B、人体的生长和发育离不开细胞的分裂和分化，可以体现出细胞是生命活动的基本单位，B正确；C、叶绿体不是细胞，因此离体的叶绿在适宜条件下能进行光合作用不能体现细胞是生命活动的基本单位，C错误；D、用笔写字需要神经细胞和肌肉细胞的协调配合，可以体现出细胞是生命活动的基本单位，D正确。

故选C。

2．下列关于构成生物体的化合物的说法，错误的是（）A．日常炒菜使用的植物类食用油富含不饱和脂肪酸B．口服某些特定的核酸可增强人体基因的修复能力C．医用生理盐水是质量分数为0.9%的氯化钠溶液，利于维持人体细胞活性D．高温煮熟鸡蛋、肉类后会使蛋白质分子的空间结构发生改变【答案】B【分析】1、油脂是由甘油和脂肪酸组成的。

植物油是液态的，富含不饱和脂肪酸。

2、高温、过酸、过碱、重金属盐都会影响蛋白质分子的空间结构。

【详解】A、植物食用油含有不饱和脂肪酸，如橄榄油、菜籽油等，A正确；B、口服某些特定的核酸，核酸经过消化被分解成核苷酸，其原有的功能会丧失，故不能增强人体基因的修复能力，B错误；C、医用生理盐水是质量分数为0.9%的氯化钠溶液，可以保持细胞内外的渗透压，有利于维持细胞的正常形态，维持细胞活性，C正确；D、高温会使蛋白质的空间结构发生改变，D正确。

广西壮族自治区南宁市银海三雅学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．若直线l 的一个方向向量为(-，则它的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．圆222460x y x y ++--=的圆心和半径分别是（）A ．()1,2--，11B ．()1,2-，11C ．()1,2--D ．()1,2-3．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若105A =︒，45B =︒，b =，则c =（）A ．1B ．2C D4．两条平行直线210x y --=和243x y -=-之间的距离是（）A ．12B C ．1D ．35．过点()1,3P -且平行于直线230x y -+=的直线方程为（）A ．270x y -+=B ．250x y +-=C ．250x y +-=D ．210x y +-=6．圆221:(2)(1)3C x y -++=与圆222:(1)3C x y +-=的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离7．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2C D 18．已知圆22:1,O x y P +=为直线:40l x y ++=上的一个动点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为,A B ，若直线,PA PB 关于直线l 对称，则cos APB ∠=（）A B ．34C D二、多选题9．已知点()1,4M 到直线:10l mx y +-=的距离为3，则实数m 等于（）A ．0B ．34C ．3D ．210．已知椭圆22:1828x y C +=，则（）A ．椭圆C 的长轴长为B ．椭圆C 的焦距为12C ．椭圆C 的短半轴长为D ．椭圆C11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点，G 是线段11B C 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AG 与平面AEF 所成角的余弦值的取值范围为⎣⎦B ．点G 到平面AEFC ．四面体AEFGD ．若线段1AA 的中点为H ，则GH 一定平行于平面AEF三、填空题12．已知直线l 过点()1,3G -，()2,1H -，则直线l 的方程为．13．已知点()()1,2,,0A B m -，若直线AB 与直线:210l x y +-=垂直，则实数m =．14．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均12,,,AB AD AA 两两所成夹角均为60︒，点,E F 分别在棱11BB ,DD 上，且112,2BE B E D F DF ==，直线1AC 与EF 所成角的余弦值为．四、解答题15．在ABC V 中，2cos cos cos c C B A =+(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC V 的面积为ABC V 的周长．16．已知()0,5A 和()3,4P 为圆()222:()0C x y b r r +-=>上两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点()5,3Q 向圆C 作切线m ，求切线m 的方程；17．已知 ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．(1)求顶点C 的坐标；(2)求直线BC 的方程．18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()1,0F -，短轴长为2．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 、斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB V 的面积．19．如图，在棱长为2的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)若点,E F 分别为,AB CB 中点，求直线A F '与平面FEB '所成角的正弦值．(3)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 夹角的余弦值。

广西南宁市邕宁高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知直线l 的一个方向向量为ππsin ,cos 66p ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．4π32．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则1122BC BD FA ++=u u ur u u u r u u u r （ ）A ．BA u u u rB ．AF u u u rC ．AB u u u rD ．EF u u u r3．在空间直角坐标系中，M 关于平面xOy 的对称点为()1,3,1，若()1,3,m k =r对应点M ，(),2,3n k k =--r ，则⋅=r rm n （ ）A ．2B ．2-C ．3D ．5-4．已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()()3,22,--+∞U B ．()()3,23,--⋃+∞ C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞5．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60︒，我们将这种坐标系称为“斜60︒坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60︒坐标系”下向量的斜60︒坐标：i r ，j r ，k r分别为“斜60︒坐标系”下三条数轴（x轴、y 轴、z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi vj zk =++rr r r，则n r 与有序实数组(),,x y z 相对应，称向量n r的斜60︒坐标为[],,x y z ，记作[],,n x y z =r ．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，13AA =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，如图，以{}1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为基底建立“空间斜60︒坐标系”．若12BE EB =u u u r u u u u u r ，则向量1ED u u u r的斜60︒坐标为（ ）A ．32,2,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．32,1,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1,1-D ．[]2,2,1-6．已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法不正确的是（ ） A ．直线l 恒过点()1,1B ．若直线l 与y 轴的夹角为30︒，则mC ．直线l 的斜率不可能等于0D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-7．设空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p ==u u u r u u u r 与向量()1,1,1OC =u u u r 的夹角都等于4π，则cos AOB ∠=（ ）A BC D 8．在矩形ABCD 中，2AB =，AD =AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，当点B 与点D 之间的距离为3时，cos θ=（ ）． A ．13B ．16C ．13-D ．16-二、多选题9．已知直线1l ：21202a a x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭及直线2l ：20x y -=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12//l l ，则2a =或1a =-B ．存在a ，使得12l l ⊥C ．若1l ，2l 的交点横坐标为1-，则0a =或1D ．若0a ≠且2a ≠-，则1l 一定经过第一象限10．下列说法正确的是（ ）A ．已知()0,1,1a =r ，()0,0,1b =-r ，则a r在b r 上的投影向量为10,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA u u u r 、BM u u u u r 、BN u u ur 不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，N 共面C ．若233555OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C ，G 四点共面D ．若向量p mx ny kz =++r r r r，（,,x y z r r r 是不共线的非零向量）则称p r 在基底{},,x y z r r r 下的坐标为(),,m n k ，若p r 在单位正交基底{},,a b c r r r 下的坐标为()1,2,3，则p r在基底{},,a c a b c -+r r r r r下的坐标为()1,2,2-11．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12AA =，1BC 与1B C 交于点F ，点E 是线段11A B 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．1111222AF AB AC AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r B ．存在点E ，使得AF BE ⊥C ．三棱锥B AEF -D ．直线AF 与平面11BCC B三、填空题12．已知()()2,,,u a b a b =∈R r是直线l 的方向向量，()1,3,2n =r 是平面α的法向量，如果l α⊥，则23a b +=．13y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =．14．若M ，N 分别为圆C 1：22(6)(5)4x y ++-=，与圆C 2：22(2)(1)1x y -+-=上的动点，P 为直线50x y ++=上的动点，则PM PN +的最小值为．四、解答题15．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -．(1)求线段AB 的垂直平分线方程； (2)求圆C 的标准方程；(3)若过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M N 、两点，且MN =l 的方程．16．如图，棱长为1的正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC ，AB 的中点，设AB a =u u u rr，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r.(1)用a r ，b r ，c r分别表示向量DM u u u u r 与CN u u u r ；(2)求异面直线DM 与CN 所成角的余弦值.17．已知锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .且cos sin c A A b a =+.(1)求角C ；(2)如图，边AB 的垂直平分线ED 交AB 于E ，交边AC 于,D AE BC =AD 长. 18．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局．每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束．已知每局比赛甲胜乙的概率为12，甲胜丙的概率为13，乙胜丙的概率为14．(1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；(2)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大．19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAB 是等边三角形，24BC AB ==，AB AC ⊥，PB AC ⊥.(1)求PD与平面PAB所成角的大小；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且//AC平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD DQDP的值；若不存在，说明理由.。