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（三）年金1.年金的含义P24年金（annuity）是指间隔期相等的系列等额收付款。
【手写板】同时具备三个要素：①每次金额相等；②固定间隔期；③多笔。
2.年金的种类普通年金：从第一期开始每期期末收款或付款的年金。
预付年金：从第一期开始每期期初收款或付款的年金。
递延年金：在第二期或第二期以后收付的年金。
永续年金：无限期的普通年金。
（四）年金的终值和现值1.普通年金的终值与现值（1）普通年金终值【手写板】F A=A×（1+i）0+A×（1+i）1+0+A×（1+i）2+……+A×（1+i）n+A×（1+i）n-1式中：被称为年金终值系数，用符号表示（F/A，i，n）。
年金终值系数表（F/A，i，n）利率1%2%3%4%5%期数5 5.1010 5.2040 5.3091 5.4163 5.52566 6.1520 6.3081 6.4684 6.6630 6.809177.21357.43437.66257.89838.142088.28578.58308.89239.21429.549199.36859.754610.15910.58311.027【例题•计算题】小王计划每年末存入银行1000元，若存款利率为2%，问第9年末账面的本利和为多少？【解析】F=1000×（F/A，2%，9）=1000×9.7546=9754.6（元）。
（2）普通年金现值P=A×（1+i）-1+A×（1+i）-2+……..+A×（1+i）-n经计算可得：式中：被称为年金现值系数，记作（P/A，i，n）。
年金现值系数表（P/A，i，n）期限4%5%6%7%8%利率6 5.2421 5.0757 4.9173 4.7665 4.62297 6.0021 5.7864 5.5824 5.3893 5.20648 6.7327 6.4632 6.2098 5.9713 5.746697.43537.1078 6.8017 6.5152 6.2469108.11097.72177.36017.0236 6.7101【例题•计算题】某投资項目于2019年年初动工，假设当年投产，从投产之日起每年年末可得收益40000元。
预付年金终值与现值的计算预付年金也称先付年金、即付年金，它是在每期期初等额的系列收款、付款的年金。
(1)预付年金终值先把预付年金转换成普通年金。
转换的方法是，求终值时，假设最后一期(第n期)期末有一个等额的收付，这样就转换为n+1期的普通年金的终值问题，计算出期数为n+1期的普通年金的终值，再把最后一期多算的终值位置上的这个等额的收付A减掉，就得出预付年金终值。
预付年金的终值系数和普通年金终值系数相比，期数加1，而系数减1。
(2)预付年金现值先把预付年金转换成普通年金，转换的方法是，求现值时，假设0时点(第1期期初)没有等额的收付，这样就转化为n-1期的普通年金的现值问题，计算期数为n-1期的普通年金的现值，再把原来未算的第1期期初位置上的这个等额的收付A加上，就得出预付年金现值。
预付年金的现值系数和普通年金现值系数相比，期数减1，而系数加1。
几个概念息税前利润：是指未扣除利息和所得税的利润。
税前利润：是指未扣除所得税的利润。
息前税后利润：是指未扣除利息的税后利润。
利润总额：与税前利润相同。
净利润：扣除利息和所得税后的利润。
(2)关系净利润＝税前利润(利润总额)×(1－所得税税率)=息前税后利润-利息×(1-所得税税率)=息税前利润-利息-所得税费用；息前税后利润＝息税前利润×(1－所得税税率)＝(税前利润＋利息)×(1－所得税税率)。
）“D0”指的是“上年的股利”、“最近刚发放的股利”、“刚刚发放的股利”、“目前的股利”，“今年初发放的股利”，“本年发放的股利”；（2）“D1”指的是“预计要发放的股利（如预计的本年股利）”、“第一年末的股利”、“一年后的股利”、“第一年的股利”（3）“D0”和“D1”的本质区别是，与“d0”对应的股利“已经收到”，而与“d1”对应的股利“还未收到；（4）“D0”和“D1”的关系是：D1=D0×（1＋g一般来说，个别资金成本的从低到高排序：长期借款＜债券＜优先股＜留存收益＜普通股最原始的计算公式：现金净流量＝现金流入量－现金流出量因为在项目投资中现金流入量＝销售收入；现金流出量＝付现成本＋所得税所以现金净流量＝销售收入－（付现成本＋所得税）＝销售收入－付现成本－所得税付现成本是指总成本中的付现部分，总成本包括付现成本和非付现成本两部分，一般来说非付现成本就是固定资产的折旧额和无形资产的摊销额，一般假设不存在无形资产的摊销额，则有总成本＝付现成本＋固定资产的折旧额，净利润＝销售收入－总成本－所得税则：现金净流量＝销售收入－付现成本－所得税＝销售收入－付现成本－所得税－固定资产的折旧额＋固定资产的折旧额＝销售收入－（付现成本＋固定资产的折旧额）－所得税＋固定资产的折旧额＝净利润＋固定资产的折旧额（1）“内插法”的原理是根据等比关系建立一个方程，然后解方程计算得出所要求的数据。
复利现值、终值，年金现值、终值复利现值系数＝1/(1+i)^n＝（p/s,i,n）其中i为利率，n为期数这是一个求未来现金流量现值的问题59（1＋r）^-1 +59(1+r)^-2 +59(1+r)^-3 +59(1+r)^-4 +(59+1250)(1+r)^-5 = 100059*(P/A,I,5)+1250*(P/F,I,5)=1000第一个(P/A,I,5)是年金现值系数第二个(P/F,I,5)是复利现值系数一般是通过插值测出来比如:设I=9%会得一个答案A,大于1000;设I=11%会得另一个答案B,小于1000则会有(1000-A)/(B-A)=(X-9%)/(11%-9%)解方程可得X,即为所求的10%年金现值系数（P/A，i,n）＝[1－（1＋i）－n]/ i复利现值系数（P/F，i,n）＝（1＋i）－n===========================================================年金终值就是你每年投入相等量的款项，按照活期存款利率0.72%算，存个10年后全部拿出，到时候你可以得到的数额。
比如你每年存款10万，存10年，年利率0.72%，那么你的年金终值就是10*(F/A,0.72%,10)=10+10*(1+0.72)+...+10*(1+0.72)10次方年金现值是相反计算，就是你每年投入相等量的款项，按照活期存款利率0.72%算，存个10年后全部拿出，到时候你能拿到这笔钱，那么，年金现值就是指的是这笔钱放在今天，它值多少钱。
比如你每年存款10万，存10年，年利率0.72%，那么你的年金现值就是10*(P/A,0.72%,10)=10+10/(1+0.72)+...+10/(1+0.72)10次方(打个比方说白一点，年金终值就是指，如果你每隔相等的一个时间段存下相等数量的钱，等若干年后你能够从银行拿到的钱的金额；而年金现值则是指，如果你想在未来的若干年内，每隔相等的一个时间段都能拿到一笔等数量的钱的话，那么现在必须去银行存多少钱。
财务管理》第二章重难点讲解及例题：递延年金终值和现值递延年金终值和现值（1）递延年金终值（已知从第二期或第二期以后等额收付的普通年金A，求FA）递延年金是指第－次等额收付发生在第二期或第二期以后的普通年金。
图示如下：求递延年金的终值与求普通年金的终值没有差别（要注意期数），递延年金终值与递延期无关。
如上图中，递延年金的终值为：FA＝AX（F／A，i，n），其中，“n，，表示的是A的个数，与递延期无关。
（2）递延年金现值（已知从第二期或第二期以后等额收付的普通年金A，求PA）方法－：把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，这时求出的现值是第－次等额收付前－期的数值，再往前推递延期期数就得出递延年金的现值。
图示如下：PA＝AX（P／A，i，n）×（P／F，i，m）方法二：把递延期每期期末都当作有等额的收付，把递延期和以后各期看成是－个普通年金，计算这个普通年金的现值，再把递延期多算的年金现值减去即可。
图示如下：PA＝AX（P／A，i，m＋n）－A×（P／A，i，m）【提示】方法－、方法二求递延年金现值的思路是把递延年金的现值问题转换为普通年金的现值问题，再求递延年金现值。
方法三：先求递延年金的终值，再将终值换算成现值，图示如下：PA＝A×（F／A，i，n）×（P／F，i，m＋n）【提示】递延年金现值计算公式中的“n”指的是等额收付的次数，即A的个数；递延期“m”的含义是，把普通年金（第－次等额收付发生在第1期期末）递延m期之后，就变成了递延年金（第－次等额收付发生在第W期期末，W>1）。
因此，可以按照下面的简便方法确定递延期m的数值：（1）确定该递延年金的第－次收付发生在第几期末（假设为第W期末）（此时应该注意“下－期的期初相当于上－期的期末”）；（2）根据（W－1）的数值确定递延期m的数值。
【例题7.单选题】下列关于递延年金的说法中，错误的是（）。
A.递延年金是指隔若干期以后才开始发生的系列等额收付款项B.递延年金没有终值C.递延年金现值的大小与递延期有关，递延期越长，现值越小D.递延年金终值与递延期无关【答案】B【解析】递延年金是指隔若干期以后才开始发生的系列等额收付款项；递延年金存在终值，其终值的计算与普通年金是相同的；终值的大小与递延期无关；但是递延年金的现值与递延期是有关的，递延期越长，递延年金的现值越小，所以选项B的说法是错误的。
3. 年金终值与年金现值的计算
香港首富李嘉诚说过“一个人从现在开始，每年存 1.4万元，并都能投资到股票或房地产，获得每年平均 20%的投资回报率，40年后财富会增长为1亿零 281万元”。
（ 1）年金的含义和类型
年金是指间隔期相等的系列等额收付款，通常记作 A。
如间隔期固定、金额相等的分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款以及每年相同的销售收入等。
普通年金
预付年金
递延年金
永续年金
【提示】
普通年金和预付年金都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，预付年金发生在期初。
（ 2）普通年金终值和年偿债基金的计算
①普通年金终值
F=A+A （ 1+i） +A（ 1+i） 2 +… +A（ 1+i）n-1 （ 1）
将此公式两边都乘以（ 1+i），
F （ 1+i） =A（ 1+i） +A（ 1+i） 2 +… +A（ 1+i）n （ 2）
（ 2） -（ 1）
F i=A （ 1+i）n A ，整理后得
【总结】
①称作“年金终值系数”，记作：（ F/A， i， n）
当 n＞ 1时，年金终值系数与折现率或期数同方向变动。
② 年金终值系数与复利终值系数关系如下：
=
【应用举例】
【例题】 2018 年 1月 16日，某人制定了一个存款计划，计划从 2019年 1月 16日开始，每年存入银行 10万元，共计存款 5次，最后一次存款时间是 2023年 1月 16日。
每次的存款期限都是 1 年，到期时利息和本金自动续存。
假设存款年利率为 2%，打算在 2024年 1月 16日取出全部本金和利息，则届时本利和共为多少？（ F/A， 2%， 5） =5.2040，（ F/P， 2%， 1） =1.02。
【分析】根据题干描述，画出本题示意图如下：
根据图形及要求本题解题步骤如下：
第一步：2018 年 1月 16日 -2023年 1月 16日的存入款符合普通年金的形式，所以可先将这5个 10万元按照普通年金的形式折算到 2023年 1月 16日。
2023 年 1月 16日的本利和=10×（ F/A， 2%， 5）=10× 5.2040=52.04（万元）
第二步：将第一步计算出来的 2023年 1月 16日的本利和按照复利形式折算到 2024年 1月 16 日，中间间隔 1个计息期，使用 1年期复利终值系数。
2024 年 1月 16日的本利和=52.04×（ F/P， 2%， 1）=52.04×（ 1+2%） =53.08（万元）
【例题】小王是位热心于公众事业的人，自 2005年 12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐赠。
小王向这位失学儿童每年捐款 1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。
假设每年定期存款利率都是 2%，则小王九年捐款在 2013年年底相当于多少钱？（ F/A， 2%， 9 ） =9.7546
【分析】
每年年末支付 1000元的款项，总计支付了 9年，属于普通年金的形式，已知普通年金，求普通年金终值，利用（ F/A， i， n）计算。
普通年金终值F=1000×（ F/A， 2%， 9）=1000× 9.7546=9754.6（元）
②年偿债基金的计算
年偿债基金 是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。
（ 已知普通年金终值，求普通年金 ）偿债基金与年金终值互为逆运算，其计算公式为：
称作“偿债基金系数”，记作（ A/F ， i ， n ）。
【总结】
【应用举例】
【例题】 小王是位热心于公众事业的人，自 2005年 12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款，帮其完成 9年义务教育。
截止 2013年年底小王累计捐款 9754.6元，请问小王向这位失学儿童每年捐款多少元，假设每年定期存款利率都是 2%。
（ F/A ， 2%， 9） =9.7546
【分析】
已知普通年金终值 9754.6元，求普通年金
普通年金 A=9754.6×（ A/F ， 2%， 9） =9754.6× [
（元） ]=9754.6 × =1000
【分析】 通过上述例题进一步检验了年金终值系数与偿债基金系数的关系，即互为倒数关系。
【例题】某家长计划 10年后一次性取出 50万元，作为孩子的出国费用。
假设银行存款年利率
为 5%，复利计息，该家长计划 1年后开始存款，每年存一次，每次存款数额相同，共计存款 10 次，则每次存款额为多少？（ F/A， 5%， 10） =12.578
【分析】
本题已知 10年后的普通年金终值 F，求普通年金 A。
A ×（ F/A， 5%， 10） =50， A=3.98万元
（ 3）普通年金现值和年资本回收额
①普通年金现值
利用复利现值将年金折到第 0年末，第 1年年初
P=A ×（ 1+i）-1 +A×（ 1+i）-2 +A×（ 1+i）-3 +A×（ 1+i）-4 +…… +A×（ 1+i）- n （ 1）
（ 1）将该式子两边同时乘以（ 1+i），得到：
P （ 1+i）=A+A×（ 1+i）-1 +A×（ 1+i）-2 +A×（ 1+i）-3 +A×（ 1+i）-4 +… +A×（ 1+i）-（ n-1）（ 2）
（ 2）（ 2） -（ 1）得到：
P i=A-A ×（ 1+i）-n ，整理后得到：
【结论】
（ 1）
称作“年金现值系数”，计作（ P/A， i， n）
年金现金系数与折现率成反向变动；
年金现金系数与期数成同向变动。
（ 2）普通年金现值系数与复利现值系数的关系是：
=
【应用举例】
【例题】某人于20× 8年 1月 25日按揭贷款买房，年限为 10年，年利率为 6%，月利率为0.5%，从20× 8年 2月 25日开始还款，每月还一次，共计还款 120次，每次还款的金额为 1.11万元，则该人20× 8年 1月 25日贷款的金额为多少？（ P/A， 0.5%， 120） =90.08 【分析】
已知普通年金，求普通年金现值。
普通年金现值=1.11×（ P/A， 0.5%， 120）=1.11× 90.08≈ 100（万元）
②年资本回收额
称作“资本回收系数”，计作（ A/P， i， n）。
【例题】某人于20× 8年 1月 25日按揭贷款买房，贷款金额为 100万元，年限为 10年，年利率为 6%，月利率为 0.5%，从20× 8年 2月 25日开始还款，每月还一次，共计还款 120次，每次还款的金额相同，则每次还款额为多少？（ P/A， 0.5%， 120） =90.08
【分析】
已知普通年金现值 100万元，求普通年金 A。
每次还款额A=100×（ A/P， 0.5%， 120）=100× [1/（ P/A， 0.5%， 120）=100× [1 /90.08]=1.11（万元）
（ 3）普通年金现值和年资本回收额
【总结】
（ 4）预付年金终值和预付年金现值的计算
预付年金与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。
若将 n期预付年金向前延长一期，则可看出（ -1～ n-1）刚好是 n个期间的普通年金形式，如图：
【总结】
预付年金现值 =普通年金现值×（ 1+i）=A× [（ P/A， i， n）×（ 1+i） ]
预付年金终值 =普通年金终值×（ 1+i）=A× [（ F/A， i， n）×（ 1+i） ]
【例题】某公司打算购买一台设备，有两种付款方式：一是一次性支付 500万元，二是每年年初支付 200万元， 3年付讫。
由于资金不充裕，公司计划向银行借款用于支付设备款。
假设银行借款年利率为 5%，复利计息。
请问公司应采用哪种付款方式？
（ F/P， 5%， 3） =1.1576；
（ F/A， 5%， 3） =3.1525；
（ P/A， 5%， 3） =2.7232。
（ 1）比较现值
一次性付款的现值为 500万元
分期付款的预付年金现值=200×（ P/A， 5%， 3）×（ 1+5%）=200× 2.7232× 1.05=571. 88（万元）
公司会选择一次性付款的方式。
【分析】
（ 2）比较终值
一次性付款的复利终值=500×（ F/P， 5%， 3） =578.8（万元）
分期付款的预付年金终值=200×（ F/A， 5%， 3）×（ 1+5%）=200× 3.1525× 1.05=662. 025（万元）
公司会选择一次性付款的方式。
