2010年广州市高三年级调研测试-数学(理科)

2010年广州市高三数学调研测试分析报告第一部分命题思路一、命题依据2010年广州市高三数学调研测试的命题主要依据《2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科、理科）考试大纲的说明》以及《普通高中数学课程标准（实验）》，全面考查基础知识，注重考查通性通法，有效考查数学能力，兼顾文理考生差异，以高中数学知识为载体，以能力立意，保持稳定的试卷结构，突出考查学生分析问题与解决问题的能力，有效发挥测试诊断与查缺补漏的导向作用.1.全面考查数学知识（1）适当考查生疏知识，有效进行查缺补漏.如复数的模（文11，理9），几何证明选讲中的角（文14，理14，改编自课本选修4-1 P29，例2），参数方程与普通方程的等价转化（文15，理15，改编自课本选修4-4 P25，例3），条件概率（理17）等.（2）侧重考查新增内容，适当高于课时比例.如全称量词与存在量词（文5，理4），三视图（文8，理5），算法（文12，理10），几何概型（文17，理12），归纳推理（文10，理8）等.（3）重点考查主干知识，达到一定的深广度.如函数与导数（文21，理20），数列（文20，理21），立体几何（文18，理18），解析几何（文19，理19），三角函数（文16，理16），概率统计（文17，理17）等.2.全面考查数学方法（1）全面考查数学基本方法.如待定系数法（文3，理7），消元法（文15，理15），比较法（文19，理19），导数法（文21，理20），向量法（理18），坐标法（文19，理19），错位相减法（文20），裂项法与放缩法（理21）等.（2）有效考查数学思维方法.如归纳法（文10，理8），反证法（文18，理18）等.（3）注重考查数学思想方法.如数形结合思想（文16、19、21，理16、19、20），函数与方程思想（文16、21，理16、20），分类与整合思想（文19、21，理19、20），转化与化归思想（文15、20、21，理15、20、21）等.3.注重考查数学能力（1）注重考查空间想象能力，包括看图、画图、想图等能力.如三视图的计算（文8，理5），空间线面关系的判断与证明（文13、18，理18）等.（2）注重考查运算能力，包括数值计算、字母运算、式子变形等.如复数的运算（文11，理9），含字母的直线与圆的位置关系（文19，理19），三角恒等变换（文16，理16）等.（3）注重考查探究能力，包括探求条件，归纳结论，信息迁移等.如立体几何中的是否存在型问题（文18，理18），数列通项的归纳（文10，理8），新定义运算的求解（理13）等.4.兼顾文理考生差异（1）文科数学侧重考查直观思维，理科数学侧重考查抽象思维.如文科卷直接给出图表的试题有第1，4，8，10，12，14，18题，理科卷未给出图表但需运用图表的试题有第7，11，12，16，17，19，20题.（2）文科数学侧重考查具体数值的运算，理科数学侧重考查含参变量的运算.如文科卷给出具体数值的试题有第1，2，3，4，7，8，11，17题，理科卷给出含有参数的试题有第6，16，19，20，21题.（3）编制文理姊妹试题，降低文科试题难度.试卷中以文理姊妹试题形式出现的试题有：函数的定义域（文2，理2），命题的否定（文5，理4），等差数列的前n项和（文7，理3），三视图的计算（文8，理5），三角函数的图像与性质（文9，理11），复数的运算（文11，理9），数列的通项与求和（文20，理21）.二、考点分布第二部分数据统计1.成绩统计（4）分数段分布统计图（全市123所学校）2.难度、区分度、信度统计（部分区）（5（6第三部分 试题分析一、选择题★文10，理10.已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2010项2010a 满足 A.20101010a <<B.20101110a ≤< C.2010110a ≤≤ D.201010a > 【考查目标】用归纳法求数列的通项，用估算法求不等式的整数解，归纳推理.【答卷分析】文科平均分：2.3分，难度：0.46；理科平均分：2.4分，难度：0.48. 多错选A 或C.【变式训练】将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n 组有(2n -1)个奇数进行分组：{1}， {3，5，7}， {9，11，13，15，17}，…， （第一组） （第二组） （第三组） 则1991位于第 组中. （答案：32）二、填空题★文15，理15．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线sin cos 1sin 2x y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的交点的直角坐标是 ． 【考查目标】将极坐标方程化为直角坐标方程，将参数方程等价转化为普通方程，联立方程组求曲线的交点坐标，等价转化思想.【答卷分析】文科平均分：0.6分，难度：0.12；理科平均分：0.9分，难度：0.18. 多错答为()1,1-或()2,4，忽视了变量,x y 的取值范围.【变式训练】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆的极坐标方程为2ρ=，则它与曲线22tan 1tan 1x y αα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（α为参数）的交点的直角坐标是 ． （答案：()2,0）三、解答题★文16，理16．设向量(3,OA =，(cos ,sin )OB θθ=，其中02πθ≤≤．（1）若13AB =，求tan θ的值；（2）求△AOB 面积的最大值．【考查目标】平面向量的运算，三角恒等变换，三角形面积公式，数形结合思想. 【答卷分析】文科平均分：5.3分，难度：0.44；理科平均分：7.3分，难度：0.61. 第（2）问得分率偏低，文科平均只有1分，理科平均只有2.7分.【主要别解】①第（2）问别解一：因为cos cos()6OA OB AOB OA OBπθ∠===+，所以1sin 2AOB S OA OB AOB ∆=∠ )6πθ=+.由于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当3πθ=时，AOB S ∆取得②第（2）问别解二：设11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，则1221113sin 22AOB S x y x y θθ∆=-=)6πθ=+.由于1sin(),162πθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当3πθ=时，AOB S ∆③第（2）问别解三：设直线OA 30y +=，则点B 到直线OA 的距离为sin()6d πθ=+，所以1i n()26AOB S OA d πθ∆=⋅=+.由于1s i n (),162πθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当3πθ=时，AOB S ∆【典型错误】3cos θθ=后，却得出tan 3θ=. ②在第（2）问中将题目中的角θ与OA 与OB 的夹角混淆. ③将第（1）问的结论3πθ=，或||13AB =2）问的条件来求△AOB 的面积.④在求△AOB 面积的最值时，忽视对角θ的范围的说明，没有指出角θ的取值. ⑤对向量与向量的模混淆不清，两者混用，如1sin 2AOB S OA OB AOB ∆=⋅⋅∠.【变式训练】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）设()sin ,cos2A A =m ，()4,1k =n ，且m n 的最大值为5，求实数k 的值. （答案：（1）3π；（2）32.）★文17．已知向量()1,2=-a ，(),x y =b ．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1=-a b 的概率； （2）若,x y ∈[]1,6，求满足0>a b 的概率．【考查目标】古典概型，穷举法，几何概型，简单线性规划，数形结合思想.【答卷分析】平均分：6.5分，难度：0.54.第（2）问得分率偏低，平均只有1.2分. 【典型错误】 ①第（1）问没有列出所有基本事件，直接用6636⨯=得出基本事件总数；在求满足1=-a b 的基本事件时找不全，事件数出错；化简313613=出错. ②将第（2）问当成古典概型来计算，错答为61()366P B ==. ③第（2）问将条件[],1,6x y ∈理解成[],0,6x y ∈，错算为91()364P B ==. ④第（2）问将条件20x y ->在图中错画成直线2y x =，错算为21()25P B =.【变式训练】已知集合{}10A x x =-≤≤，{}210,02,13xB x ax b a b =+⋅-<≤≤≤≤.（1）若,a b ∈N ，求A B ≠∅的概率； （2）若,a b ∈R ，求A B =∅的概率.（答案：（1）79；（2）116.）★理17.某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选. （1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 【考查目标】离散型随机变量的分布列、期望，条件概率.【答卷分析】平均分：6.8分，难度：0.57.第（2）问得分率偏低，平均只有1.4分. 【主要别解】①第（2）问别解一：1131252()5C C P C C +==；或24252()15C P C C =-=． ②第（2）问别解二：在男生甲被选中的情况下，女生乙第一次被选中的概率为15，女生乙第一次未被选中第二次被选中的概率为411545⨯=，所以4112()5455P C =⨯+=． 【典型错误】①第（1）问误解出2(2)5P ξ==，从而导致后面出错. ②第（2）问错解为1142362()5C C P C C ==，或21124242364()5C C C C P C C +==. 【变式训练】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9. （1）求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列和数学期望； （2）求李明在一年内领到驾照的概率. （答案：（1）X1.544EX =；（2）0.9976.）★文18．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是CD 的中点．（1）求证：1AC 平面1AD E ；（2）在对角线1AC 上是否存在点P ，使得DP ⊥平面1AD E ？ 若存在，求出CP 的长；若不存在，请说明理由．【考查目标】空间线面平行关系的证明，线面垂直关系的探求，逆向思维，反证法. 【答卷分析】平均分：5.0分，难度：0.36.第（2）问得分率偏低，平均只有0.8分. 【主要别解】①第（1）问别解：设M 是11D C 的中点，转化为证明面//1MC A 面E AD 1；或设N 是AB 的中点，转化为证明面//1NC A 面E AD 1.②第（2）问别解：用向量法，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由1CP CA λ=，得(,1,)P λλλ-.由1DP CA ⊥，1AD ⊥，得31=λ，所以1133CP CA ==. 【典型错误】①证明线面平行、面面平行、线面垂直时定理的条件写得不齐全.②第（1）问在转化为证明面//1MC A 面EAD 1（其中M 是11D C 的中点）时，直接由1//A M AE ，就得出面//1MC A 面E AD 1.③第（2）问错误地猜想当P 为C A 1的中点时DP ⊥平面1AD E ． ④第（2）问先假设DP ⊥平面1AD E ，得到DP ⊥1AC ，在计算出3CP =后，没有保证A B CDE1A 1B 1C 1D点P 的存在性时，就下结论说存在点P，且3CP =，使DP ⊥平面1AD E ；或在正确判断出当1DP AD ⊥，DP ⊥1AC 时，DP ⊥平面1AD E 后，误认为△1ACD 是等腰三角形，从而错误得出2CP =. 【变式训练】（2009年海南与宁夏卷，理19改编）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是P 为侧棱SD 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，试问在侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ？若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由.★理18．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，11AD AA ==，2AB =．（1）证明：当点E 在棱AB 上移动时，11D E A D ⊥；（2）在棱AB 上是否存在点E ，使二面角1D EC D --的平面角为6π？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．【考查目标】空间线线垂直关系的证明，二面角大小的探求，逆向思维，反证法. 【答卷分析】平均分：8.3分，难度：0.59. 【主要别解】第（2）问别解：作出二面角1D EC D --的平面角1D HD ∠后，由16D HD π∠=，得DH =故060DCH ∠=，从而030BCE ∠=，故33BE BC ==，所以23AE =-. 【典型错误】①第（1）问用综合法证明时表达不清，在转化为证明线面垂直时没有说明两条直线相交，还出现垂直于一条直线就得出线面垂直的典型错误. ②第（2）问出现大量的计算错误，如1cos62π=；设0(1,,0)E y 时没有考虑范围002y ≤≤.【变式训练】（2009年北京卷，理16）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，PA AB =，060ABC ∠=，090BCA ∠=，点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC .（1）求证：BC ⊥平面PAC ；ACE1A 1B 1C 1D D（2）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小； （3）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由.★文19，理19．已知两点(1,0)M -、(1,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN NP MN MP ⋅=．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点，(,0)K m 是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆22(2)4x y +-=的位置关系．【考查目标】动点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，数形结合思想，分类讨论思想. 【答卷分析】文科平均分：3.2分，难度：0.23；理科平均分：5.3分，难度：0.38. 第（2）问得分率偏低，文科平均只有0.8分，理科平均只有1.6分. 【主要别解】 ①第（1）问别解：利用向量的数量积化简条件，转化为抛物线的定义求解：由cos MN NP MN MP θ=，得cos NP MP MQ θ==，即点P 到点N 的距离等于点P到直线1x =-的距离，所以点P 的轨迹方程为24y x =.②第（2）问别解一：设直线AK 的方程为4(4)y k x -=-.先利用圆心到直线的距离与半径的比较求出斜率k 的取值范围：当0k =或43k =时，直线与圆相切；当403k <<时，直线与圆相交；当0k <或43k >时，直线与圆相离；再利用44k m=-并讨论k 不存在的情形求出m 的取值范围.③第（2）问别解二：联立直线与圆的方程，消去y 得22(832)16(4)640m m x m x m -+-++=，利用判别式23222216(82416)16(1)(4)m m m m m m ∆=---+-=---(4)m ≠得，当1m =时，0∆=，直线与圆相切；当1m <时，0∆>，直线与圆相交；当1m >时，0∆<，直线与圆相离. 【典型错误】①第（1）问得出2(1)x =+后，化简出错，错得216y x =，28y x =等.②第（2）问没有讨论当4m =时，直线AK 的斜率不存在的情形. 【变式训练】（2006年辽宁卷，理20文22）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=. （1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线20x y -=p 的值.★文20，理21．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m(为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（文）（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．（理）（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}2n b 的前n 项和8918n T <． 【考查目标】n a 与n S 的转化，等比数列与等差数列的定义，用取倒数法或数学归纳法求数列的通项公式，用裂项法与错位相减法求数列的前n 项和，用放缩法证明数列不等式，转化与化归思想.【答卷分析】文科平均分：2.7分，难度：0.19；理科平均分：3.8分，难度：0.27. 第（3）问得分率偏低，文科平均只有0.1分，理科平均只有0.2分. 【主要别解】第（2）问别解：由12b =，111n n n b b b --=+，求得234222,,,...357b b b ===，猜想221n b n =-，再用数学归纳法加以证明. 【典型错误】①第（1）问不计算111a S ==；误认为1n n n a S S +=-；计算能力差，错解为111n n a mm a m-==++；对等比数列的概念理解出错，用1nn S S -证明}{n a 是等比数列. ②文科第（3）问用错位相减法求和时项数与符号出错. ③理科第（3）问用放缩法证明不等式时放缩不到位，如2244(21)(21)(22)n b n n n =<---，或2244(21)(21)(23)n b n n n =<---，或从n T 的第一项或第二项就开始放大. ④理科第（3）问有学生试图用数学归纳法证明8018n T <，但不成功，因为这是假命题：（1）当1n =时，21180418T b ==<；（2）假设当n k =时，结论成立，即8018k T <，则当1n k =+时，21122228048048048018018918(21)1844118441818218k k k T T b k k k k k k k ++=+<+=+<+=+<+=+++++.【变式训练】（2008年山东卷，理19，文20）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：12345678910......a a a a a a a a a a记表中的第一列数1247...a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （1）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．★文21，理20．已知a ∈R ，函数()()2f x xx a =-．（1）若函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a ； （3）对（2）中的()h a ，若关于a 的方程()12h a m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，求实数m 的取值范围．【考查目标】含参数三次函数的单调性、在闭区间上的最值，用图像法判断含参数的方程实根个数，等价转化思想，分类讨论思想，函数与方程思想，数形结合思想.【答卷分析】文科平均分：2.0分，难度：0.14；理科平均分：3.5分，难度：0.25. 第（3）问得分率偏低，文科与理科平均都近似于0分. 【主要别解】①第（1）问别解一：由()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即320x a -≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以3020,23203a a ⨯-≤⎧⎪⎨⎛⎫⨯-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1≥a . ②第（1）问别解二：由()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以22230200,2232033a a ⎧⨯-⨯≤⎪⎨⎛⎫⎛⎫⨯-⨯≤⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得1≥a . ③第（2）问别解：按a 32与区间[1,2]的相对位置关系分为213a <，或2123a ≤≤，或223a >三种情况讨论.【典型错误】①第（1）问将函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，转化为()2'320f x x ax =-<在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，遗漏等号.②第（1）问用必要条件代替充要条件：因为()f x 在2(0,)3内是减函数，所以2(0)()3f f >，解得23a >. ③第（2）问导函数2()32f x x ax '=-含有参数a ，分类讨论混乱，很多学生不清楚含参数导数问题分类讨论的三个层次：1.讨论导函数是否有零点；2.导函数有零点，但不知导函数的零点是否落在定义域内，从而引起讨论；3.导函数有零点，零点也落在定义域内，但不知这些零点的大小关系，从而引起讨论.④对分段函数的处理缺乏整体意识，部分学生令1()()()2g a h a m a =-+，分三段研究其零点情况，但无结果. 【变式训练】（2008年浙江卷，理21）已知a是实数，函数())f x x a -.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值.① 写出)(a g 的表达式；② 求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g .第四部分 复习建议1.建议加强基础知识的查缺补漏本次调研测试考查了复数的模（文11，理9），条件概率的计算（理17），这些试题的难度并不大，但得分率并不高.这说明只要在高考考查范围内的知识点，在复习时都要扎实过关，否则会因为知识生疏而造成解题失误.建议每逢大考前可对一些平时较少考查的生疏知识点加以强化训练. 2.建议加强字母运算的技能训练本次调研测试考查了平面向量的运算与三角恒等变换（文16，理16），含参数的直线与圆的位置关系的判断（文19，理19），这些试题的方法都很常规，但能准确得出结果的考生并不多.在数学中，由于三角函数问题通常需要进行三角恒等变形，解析几何问题通常需要较为复杂的字母运算，因此，加强常规问题的式子变形与字母运算，能有效提高得分率.建议在复习备考中，要加强训练学生的动手演算与限时运算能力. 3.建议加强基本题型的过关训练本次调研测试考查的几何概型问题（文17，理12），数列的通项与求和问题（文20，理21），都是常规题型，但学生的解答情况并不理想.这说明要加强常规题型与常考方法的训练过关，不能因为题型常规就不重视，更不能因为方法常规就不落实.建议复习时可对每个章节的基本题型与基本方法加以归纳与梳理，使题型常规化、方法系统化.4.建议加强数学思想方法的领悟与运用本次调研测试中学生感觉较为棘手的问题都与数学思想方法的考查有关，比如文15、理15，主要考查等价转化思想，学生未能运用等价转化思想将参数方程等价转化为普通方程，从而造成解题失误，这也是全卷得分率最低的一道题（文科难度：0.12，理科难度：0.18）；文16、理16的第（2）问，主要考查数形结合思想与函数思想，学生未能运用函数思想先建立△AOB 面积的表达式，再求表达式的最大值，从而造成解题受阻；文21、理20的第（3）问，主要考查函数与方程思想和数形结合思想，学生未能运用函数与方程思想和数形结合思想将方程的实数解个数问题转化为两个函数图像的交点个数问题，从而无功而返.对于数学试题中的一些难题，往往需要考生运用常用的数学思想方法去寻找解题的突破口，因为只有站得高才能望得远.建议复习备考时要有意识地选一些能很好地体现数学思想方法的运用的综合性或探究性问题给学生训练，以提高学生分析问题和解决问题的能力.5.建议加强应试技巧的指导与应试心理的辅导本次调研测试反映出考生审题不细心、运算不准确、答题不规范而造成的失误比比皆是，比如文科第11题有部分考生答为2i +，理科第9题有部分考生答为3i +，这都是审题不细心造成的失误.概率解答题没有设出事件或没有作答，立体几何证明题没有写齐定理的条件，动直线问题没有分斜率存在与不存在讨论，由n S 求n a 没有分1n =与2n ≥讨论，都会造成失分，这些教训都要谨记. 建议复习备考时要加强培养审题细心、解题用心、答题留心的良好解题习惯，以及题易不大意、题难不畏难的良好考试心态.。

试卷类型：A2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理科）2010．3本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项： [来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:Z*xx*]1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：球的体积公式343V R π=，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数()3i 1i - 的共轭复数．．．．是 A ．3i -+B ．3i --C ．3i +D ．3i -2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ﹐球面上有两个点A ，B 的坐标分别为()1,2,2A ，()2,2,1B -，则AB = A ．18B ．12C ．32D ．233．已知集合{}1,1A =-，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-4．若关于x 的不等式1x a -<的解集为()1,3，则实数a 的值为A ．2B ．1C ．1-D ．2-5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8 [来源:Z*xx*] 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布 直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 A ．2160 B ．2880C ．4320D ．8640 7．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q是AC 的中点，若()4,3PA =，()1,5PQ =，则BC =A ．()2,7-B ．()6,21-C ．()2,7-D ．()6,21-8．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数 的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为A ．11260B ．1840 C ．1504D ．1360二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 ．10．某算法的程序框如图3所示，若输出结果为12，则输入的实数x 的值[来源:Z 。

绝密★启用前 试卷类型：A2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则集合AB =A ．{}|11x x -<<B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x << 2．若复数11z i =+，23z i =-，则12z z ⋅=A ．4B ．2+ iC ．2+2 iD ．3 3．若函数()33xxf x -=+与()33xxg x -=-的定义域均为R ，则A ．()f x 与()g x 均为偶函数B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C ．()f x 与()g x 均为奇函数D ．()f x 为偶函数．()g x 为奇函数4．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 5．“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件6．如图1，ABC 为正三角形，'''////AA BB CC ，'CC ⊥平面ABC ，''32BB ==且3AA 'CC AB =，则多面体'''ABC A B C -的正视图（也称主视图）是7． 已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(24)0.6826P X ≤≤=，则(4)P X >= B ． C586 D8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。

广东省广州市花都区2011届高三年级调研考试数学试题（理）考试时间 120分钟 满分150分一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{2,3}A =,则集合A 的子集个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知数列{}n a 满足120n n a a +-= ()n N +∈ ，则数列{}n a 一定是（ ）A ．公差为12的等差数列 B ．公差为2的等差数列C ．公比为12的等比数列D ．公比为2的等比数列3．函数1sin(),(0)26y x πωω=+>的最小正周期是4π，则ω=（ ）A ．14B ．12C ．1D ．24．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰 直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体 的体积为 （ ）A ．13 B ．23C ． 43D ．25．已知函数()y f x =在定义域[4,6]-内可导，其导函数'()y f x =的图象如右图，则函数()y f x =的单调递增区间为（ ）A ．411[4,],[1,]33--B ．7[3,0],[,5]3- C ．411[,1],[,6]33-D ．7[4,3],[0,],[5,6]3--6．为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ），根据所得数据画出样本的频 率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周 长小于110cm 的株数n 是 （ ） A ．30 B ．60 C ．70 D ．80 7．如图，平面内有三个向量,,,OA OB OC 其中OA 与OB 的夹角为60°, OA 与OC 、OB 与OC 的夹角都为30°,且∣OA ∣=∣OB ∣=1, ∣OC ∣=若OC =λOA +μOB , 则λμ+的值为（ ）A ．4B．C．D ．28．奇函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则不等式()f x x >的解集为（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(1,0)(0,1)-二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知向量(3,2),(1,2),a x b x =-=且a b ⊥，则_______x =10．已知函数()(0)xf x a b a =+>的图象经过点(2,3)和原点，则(2)____f -=．11．若执行如右图所示的程序框图，则输出的S = ．12．在ABC ∆中，已知4,3,AB BC AC ===则ABC ∆的最大角的大小为 ．13．在区间[0,10]上随机取两个实数x ，y ，则事件“22x y +≥”的概率为_____14．若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为_________.三、解答题15．（本题满分12分）已知()cos()sin 3f x x k xπ=+-，且()6f π=． （1）求实数k 的值；（2）求函数()f x 的最大值和最小值．16．（本题满分12分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是41,21,43，且各阶段通过与否相互独立.（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列、数学期望和方差.17．（本小题满分12分） 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别为棱BC AB ,的中点.（1）试判截面11A MNC 的形状，并说明理由；（2）证明：平面⊥1MNB平面11B BDD ．18．（本小题满分14分）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ；（2）求数列1{}n S 的前n 项和19．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y ．（1）求b a ,的值；（2）若方程()0f x m +=在1[,]e e 内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）；20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,3),(5,1)M N -，若动点C 满足.NC t NM =且点C 的轨迹与抛物线24y x =交于,A B 两点.（1）求证：OA OB ⊥；（2）在x 轴上是否存在一点(,0)(0)P m m ≠，使得过点P 的直线l 交抛物线24y x =于,D E 两点，并以线段DE 为直径的圆都过原点。

广东省六所名校2010届高三第三次联考数学（理科） 2009.12.18一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合 题目要求的．1．如图1，正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BD 与D A 1所成的角等于A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒902．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42cos x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位3．设],[b a X =，],[d c Y =都是闭区间，则“直积”},|),{(Y y X x y x Y X ∈∈=⨯表示直角坐标平面上的A ．一条线段B ．两条线段C ．四条线段D ．包含内部及边界的矩形区域4．设4443342241404)(x C x C x C x C C x f +-+-=，则导函数)('x f 等于A ．3)1(4x -B ．3)1(4x +-C ．3)1(4x +D ．3)1(4x -- 5．函数)1(log 13x y +=在定义域内有A ．最大值41 B ．最小值41C ．最大值22D ．最小值226．公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ，0=⋅b a ，且⎩⎨⎧-=+-=y x b yx a 2，则|y ||x |+等于A ．32+B ．52+C ．53+D ．78．已知点),(y x 所在的可行域如图2所示．若要使目标函数y ax z +=取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为A ．4B ．41C ．35D ．53二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上．9．将编号分别为1，2，3，4，5的五个红球和五个白球排成一排，要求同编号球相邻，但同色球不相邻，BCD A1B 1C 1D 1A 1图2图则不同排法的种数为 _____（用数字作答）．10．若△ABC 的三个内角满足C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则A ∠等于 _______ ． 11．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y （单位：比特数）与时间x （单位：秒）的函数 关系式分别是x e y =甲和2x y =乙,显然，当1≥x 时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感 染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是 ．12．若偶函数)(x f 在]0,(-∞内单调递减，则不等式)(lg )1(x f f <-的解集是 ______ ． 13．如图3，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水的高度为h ，放入一球后，水面恰好与 球相切，则球的半径为 _______ （用h 表示）． 14．给出下列四个命题：①设∈21,x x R ，则11>x 且12>x 的充要条件是221>+x x 且121>x x ； ②任意的锐角三角形ABC 中，有B A cos sin >成立； ③平面上n 个圆最多将平面分成4422+-n n 个部分； ④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．其中真命题的序号是 （要求写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=t I ，)6100sin(2ππ-=t I ，把它们合成后，得到电流21I I I +=．（1）求电流I 的最小正周期T 和频率f ；（2）设0≥t ，求电流I 的最大值和最小值，并指出I 第一次达到最大值和最小值时的t 值． 16．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111C B A ABC -中，11==AB AA ，P 、Q 分别是侧棱1BB 、1CC 上的点，且使得折线1APQA 的长1QA PQ AP ++最短． （1）证明：平面⊥APQ 平面C C AA 11； （2）求直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值．17．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫ ⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；BCA1A 1C 1B PQ4图3图（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f，求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积．18．（本小题满分14分）如图5，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．（1）设PQPGλ=，将OG用λ、、OQ表示；（2）设OAxOP=，OByOQ=，证明：yx11+是定值；（3）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T．求ST的取值范围．19．（本小题满分14分）已知数列}{na的前n项和)1(23-=nnaS，+∈Nn．（1）求}{na的通项公式；（2）设∈n N+，集合},,|{+∈≤==NiniayyAin，},14|{+∈+==NmmyyB．现在集合nA中随机取一个元素y，记By∈的概率为)(np，求)(np的表达式．20．（本小题满分14分）如果对于函数)(xf的定义域内任意的21,xx，都有|||)()(|2121xxxfxf-≤-成立，那么就称函数)(xf是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数xxxf-=2)(，]1,0[∈x是否是“平缓函数”；（2）若函数)(xf是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(ff=．证明：对于任意的∈21,xx]1,0[，都有21|)()(|21≤-xfxf成立．（3）设a、m为实常数，0>m．若xaxf ln)(=是区间),[∞+m上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明．．．．）．数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：9．240 10.120° 11．2xe x>12．1(0,)(10,)10+∞13 14．②④．三、解答题：OA BPQMG5图15．解：（1）（法1）∵21I I I +=)3100sin(3ππ+=t )6100sin(ππ-+t )100cos 23100sin 21(3t t ππ+= )100cos 21100sin 23(t t ππ-+t t ππ100cos 100sin 3+=)6100sin(2ππ+=t∴电流I 的最小正周期5011002==ππT ，频率501==Tf ． 方法二: ∵21I I I +=)3100sin(3ππ+=t )6100sin(ππ-+t )3100sin(3ππ+=t]2)3100sin[(πππ-++t )3100sin(3ππ+=t )3100cos(ππ+-t )6100sin(2ππ+=t ,∴电流I 的最小正周期5011002==ππT ，频率501==Tf ．（2）由（1）当ππππk t 226100+=+，即300150+=k t ，N ∈k 时，2max =I ；当π+π=π+πk t 2236100，即75150+=k t ，N ∈k 时，2min -=I ．而0≥t ，∴I 第一次达到最大值时，3001=t ；I 第一次达到最小值时，751=t ．16．解：（1）∵正三棱柱111C B A ABC -中，11==AB AA ，∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形""''11A A A A ,从而，折线1APQA 的长1QA PQ AP ++最短，当且仅当'A 、P 、Q 、"A 四 点共线，∴P 、Q 分别是1BB 、1CC 上的三等分点，其中311==Q C BP ． 连结AQ ，取AC 中点D ，AQ 中点E ，连结BD 、DE 、EP ．由正三棱柱的性质，平面⊥ABC 平面C C AA 11，而AC BD ⊥，⊂BD 平面ABC ， 平面 ABC 平面AC C C AA =11，∴⊥BD 平面C C AA 11．又由（1）知，BP CQ DE ==//21//，∴四边形BDEP 是平行四边形，从而BD PE //．∴⊥PE 平面C C AA 11．而⊂PE 平面APQ ，∴平面⊥APQ 平面C C AA 11．（2）由（2），同理平面⊥PQ A 1平面B B AA 11．而⊂AP 平面B B AA 11，平面 PQ A 1平面AP B B AA =11 ∴P A 1即为AP 在平面PQ A1上的射影，从而1APA ∠是直线AP 与平面PQ A 1所成的角． 在△1APA 中，11=AA ，31022=+=BP AB AP ，313212111=+=P B B A PA ，由余弦定理，130130731331021913910cos 1=⨯⨯-+=∠APA ，即直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值为1301307． 方法二:取BC 中点O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：)0,0,23(A ，)1,0,23(1A ，)31,21,0(-P ， )32,21,0(Q ．从而)31,21,23(--=AP ， )32,21,23(1---=P A ，)31,21,23(1--=Q A ． 设平面PQ A 1的一个法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥Q A P A 11n n ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011Q A P A n n ，BCA1A 1C 1B P QDE即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=---03121230322123z y x z y x ，解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 3133，取3-=z ，得3=x ，1=y ，∴)3,1,3(-=n ．从而()()1309313312123331121323,cos 222222-=-++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-⨯-=⨯<|n |||n AP AP AP ， 即直线AP 与平面PQ A 1所成角的正弦值为1309|,cos |=><n AP ，∴直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值为1301307130912=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.17．解：（1）由C x x f x x f +-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x x f ．取32=x ， 得13232'232332'2-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，解之，得132'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴C x x x x f +--=23)(．从而()113123)('2-⎪⎫⎛+=--=x x x x x f ，列表如下：∴)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,3(-．（2）由（1）知，C C f x f +=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27531313131)]([23极大值；C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值．∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值x f 或0)]([=极小值x f ,∴常数275-=C 或1=C ． （3）由（2）知，275)(23---=x x x x f 或1)(23+--=x x x x f ．而031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ， 所以1)(23+--=x x x x f ． 令01)(23=+--=x x x x f ，得0)1()1(2=+-x x ，11-=x ，12=x ． ∴所求封闭图形的面积()⎰-+--=1 1231dx x x x 11234213141-⎪⎭⎫⎝⎛+--=x x x x 34=．18．解：（1）)(OP OQ OP PQ OP PG OP OG -+=+=+=λλOQ OP λλ+-=)1(．（2）一方面，由（1），得OB y OA x OQ OP OG λλλλ+-=+-=)1()1(；①OABP QMG5图另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴OB OA OB OA OM OG 3131)(213232+=+⨯==． ② 而OA 、OB 不共线，∴由①、②，得⎪⎩⎪⎨⎧==-.31,31)1(y x λλ 解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.31,331λλyx ，∴311=+y x （定值）． （3）xy OB OQ OA OP AOB OB OA POQOQ OP S T =∠⋅∠⋅=||||sin ||||21sin ||||21,由点P 、Q 的定义知121≤≤x ，121≤≤y ， 且21=x 时，1=y ；1=x 时，21=y ．此时，均有21=S T ,32=x 时，32=y ．此时，均有94=S T ．以下证明：2194≤≤S T ．由（2）知13-=x x y ，∵0)13(9)23(94139422≥--=--=-x x x x S T ，∴94≥S T ．∵0)13(2)12)(1(2113212≤---=--=-x x x x x S T ，∴21≤S T ．∴S T 的取值范围]21,94[．方法二:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-==32)31(91)31(31132x x x x xy S T ，令31-=x t ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++=329131t t S T ， 其中3261≤≤t ．利用导数，容易得到，关于t 的函数⎪⎭⎫⎝⎛++=329131t t S T 在闭区间]31,61[上单调递减，在闭区间]32,31[上单调递增,∴31=t 时，9432313131min =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ．而61=t 或32=t 时，均有2132326131max =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ．∴S T 的取值范围]21,94[．19．解：（1）因为)1(23-=n n a S ，+∈N n ，所以)1(2311-=++n n a S ．两式相减，得)(2311n n n n a a S S -=-++，即)(2311n n n a a a -=++，∴n n a a 31=+，+∈N n ,又)1(2311-=a S ，即)1(2311-=a a ，所以31=a ．∴}{n a 是首项为3，公比为3的等比数列．从而}{n a 的通项公式是nn a 3=，+∈N n ．（2）设n i i A a y ∈==3，n i ≤，+∈N n ．当k i 2=，+∈N k 时，∵++=+===-110288)18(93k k k k k k k C C y …kk k k C C ++-81++⨯=--211088(24k k k k C C …1)1++-k k C ，∴B y ∈．当12-=k i ，+∈N k 时，∵++⨯=+⨯==------21110111288(3)18(33k k k k k k C C y …)81121----++k k k k C C ++⨯=----31120188(64k k k k C C …3)21++--k k C ，∴B y ∉,又∵集合n A 含n 个元素，∴在集合n A 中随机取一个元素y ，有B y ∈的概率⎪⎩⎪⎨⎧-=. , 21,, 21)(为偶数为奇数n nn n n p ．20．证：（1）对于任意的∈21,x x ]1,0[，有11121≤-+≤-x x ，1|1|21≤-+x x ．从而|||1||||)()(||)()(|21212122212121x x x x x x x x x x x f x f -≤-+-=---=-．∴函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是“平缓函数”．（2）当21||21<-x x 时，由已知得21|||)()(|2121<-≤-x x x f x f ；当21||21≥-x x 时，因为∈21,x x ]1,0[，不妨设1021≤<≤x x ，其中2112≥-x x ，因为)1()0(f f =，所以=-|)()(|21x f x f |)()1()0()(|21x f f f x f -+-|)()1(||)0()(|21x f f f x f -+-≤|1||0|21x x -+-≤121+-=x x 21121=+-≤.故对于任意的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立．（3）结合函数x a x f ln )(=的图象性质及其在点m x =处的切线斜率，估计a 的取值范围是闭 区间],[m m -．。

广东省六所名校2010届高三第三次联考数学（理科） 2009.12.18命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积Sh V 31=（其中S 是底面积，h 是高），球体体积334R V π=（其中R 是半径）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图1，正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BD 与D A 1 所成的角等于A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒902．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42cos x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位3．设],[b a X =，],[d c Y =都是闭区间，则“直积”},|),{(Y y X x y x Y X ∈∈=⨯表示直角坐标平面上的A ．一条线段B ．两条线段C ．四条线段D ．包含内部及边界的矩形区域4．设4443342241404)(x C x C x C x C C x f +-+-=，则导函数)('x f 等于 A ．3)1(4x - B ．3)1(4x +- C ．3)1(4x + D ．3)1(4x -- 5．函数)1(log 913x x y +=在定义域内有A ．最大值41 B ．最小值41C ．最大值22D ．最小值226．公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ，0=⋅b a ，且⎩⎨⎧-=+-=y x b yx a 2，则|y ||x |+等于A ．32+B ．52+C ．53+D ．7 8．已知点),(y x 所在的可行域如图2所示．若要使目标函数BCD A1B 1C 1D 1A 1图yaxz+=取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为A．4 B．41C．35D．53二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上．9．将编号分别为1，2，3，4，5的五个红球和五个白球排成一排，要求同编号球相邻，但同色球不相邻，则不同排法的种数为（用数字作答）．10．若△ABC的三个内角满足CCBBA222sinsinsinsinsin++=，则A∠等于．11．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数关系式分别是x ey=甲和2xy=乙．显然，当1≥x时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是．12．若偶函数)(xf在]0,(-∞内单调递减，则不等式)(lg)1(xff<-的解集是．13．如图3，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水的高度为h，放入一球后，水面恰好与球相切，则球的半径为（用h表示）．14．给出下列四个命题：①设∈21,xx R，则11>x且12>x的充要条件是221>+xx且121>xx；②任意的锐角三角形ABC中，有BA cossin>成立；③平面上n个圆最多将平面分成4422+-nn个部分；④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．其中真命题的序号是（要求写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=tI，)6100sin(2ππ-=tI，把它们合成后，得到电流21III+=．（1）求电流I的最小正周期T和频率f；（2）设0≥t，求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值．2图3图16．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，P、Q分别是侧棱1BB、1CC上的点，且使得折线1APQA的长1QAPQAP++最短．（1）证明：平面⊥APQ平面CCAA11；（2）求直线AP与平面PQA1所成角的余弦值．17．（本小题满分14分）已知函数)(xf满足Cxxfxxf+-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f为)(xf在点32=x处的导数，C为常数）．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若方程0)(=xf有且只有两个不等的实数根，求常数C；（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f，求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积．18．（本小题满分14分）如图5，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．（1）设λ=，将用λ、OP、OQ表示；（2）设OAxOP=，y=，证明：yx11+是定值；（3）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T．求ST的取值范围．19．（本小题满分14分）已知数列}{na的前n项和)1(23-=nnaS，+∈Nn．（1）求}{na的通项公式；B CA1A1C1BPQ4图OA BPQMG5图（2）设∈n N +，集合},,|{+∈≤==N i n i a y y A i n ，},14|{+∈+==N m m y y B ．现在集合n A 中随机取一个元素y ，记B y ∈的概率为)(n p ，求)(n p 的表达式．20．（本小题满分14分）如果对于函数)(x f 的定义域内任意的21,x x ，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数)(x f 是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是否是“平缓函数”；（2）若函数)(x f 是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证明：对于任意 的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． （3）设a 、m 为实常数，0>m ．若x a x f ln )(=是区间),[∞+m 上的“平缓函数”，试估计a 的取值范围（用m 表示，不必证明．．．．）．数学（理科）参考答案及评分标准 20091218命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上． 9． 240 ． 10． 120° ． 11．xe x 2>．12．),10()101,0(∞+ ． 13． 153h． 14． ②④ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=t I ，)6100sin(2ππ-=t I ，把它们合成后，得到电流21I I I +=．（1）求电流I的最小正周期T和频率f；（2）设0≥t，求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值．解：（1）（法1）∵21III+=)3100sin(3ππ+=t)6100sin(ππ-+t)100cos23100sin21(3ttππ+=)100cos21100sin23(ttππ-+……2分ttππ100cos100sin3+=)6100sin(2ππ+=t，………………………………4分∴电流I的最小正周期5011002==ππT，频率501==Tf．………………6分（法2）∵21III+=)3100sin(3ππ+=t)6100sin(ππ-+t)3100sin(3ππ+=t]2)3100sin[(πππ-++t)3100sin(3ππ+=t)3100cos(ππ+-t……………………………2分)6100sin(2ππ+=t……………………………………………4分∴电流I的最小正周期5011002==ππT，频率501==Tf．………………6分（2）由（1）当ππππkt226100+=+，即300150+=kt，N∈k时，2max=I；当π+π=π+πkt2236100，即75150+=kt，N∈k时，2min-=I．…9分而0≥t，∴I第一次达到最大值时，3001=t；I第一次达到最小值时，751=t．………………………12分16．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，P、Q分别是侧棱1BB、1CC上的点，且使得折线1APQA的长1QAPQAP++最短．（1）证明：平面⊥APQ平面CCAA11；（2）求直线AP与平面PQA1所成角的余弦值．解：（1）∵正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形""''11AAAA（如图），B CA1A1C1BPQ4图B CA1A1C1BPQ'A'1A"A"1A从而，折线1APQA的长1QAPQAP++最短，当且仅当'A、P、Q、"A四点共线，∴P、Q分别是1BB、1CC上的三等分点，其中311==QCBP．…………………2分（注：直接正确指出点P、Q的位置，不扣分）连结AQ，取AC中点D，AQ中点E，连结BD、DE、EP．由正三棱柱的性质，平面⊥ABC平面CCAA11，而ACBD⊥，⊂BD平面ABC，平面ABC平面ACCCAA=11，∴⊥BD平面CCAA11．………………………………………………4分又由（1）知，BPCQDE==//21//，∴四边形BDEP是平行四边形，从而BDPE//．∴⊥PE平面CCAA11．而⊂PE平面APQ，∴平面⊥APQ平面CCAA11．………………………8分（2）（法一）由（2），同理可证，平面⊥PQA1平面BBAA11．…………………10分而⊂AP平面BBAA11，平面PQA1平面APBBAA=11，∴PA1即为AP在平面PQA1上的射影，从而1APA∠是直线AP与平面PQA1所成的角．……………………12分在△1APA中，11=AA，31022=+=BPABAP，313212111=+=PBBAPA，由余弦定理，130130731331021913910cos1=⨯⨯-+=∠APA，即直线AP与平面PQA1所成角的余弦值为1301307．…………………………14分（法二）取BC中点O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO-，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：)0,0,23(A，)1,0,23(1A，)31,21,0(-P，)32,21,0(Q．从而)31,21,23(--=AP，)32,21,23(1---=A，)31,21,23(1--=A．…………………10分设平面PQA1的一个法向量为),,(zyx=n，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥AA11nn，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅11AAnn，B CA1A1C1BPQDEB CA1A1C1BPQB即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=---03121230322123z y x z y x ，解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 3133，………………………12分取3-=z ，得3=x ，1=y ，∴)3,1,3(-=n ．从而()()1309313312123331121323,cos 222222-=-++⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-⨯-=⨯>=<|n |||n AP ，即直线AP 与平面PQ A 1所成角的正弦值为1309|,cos |=><n AP ， ∴直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值为1301307130912=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-． …………14分 17．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ，求函数)(x f 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．解：（1）由C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭⎫⎝⎛+=x f x x f ．取32=x ，得13232'232332'2-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，解之，得132'-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，∴C x x x x f +--=23)(． ……………………………………2分从而()1313123)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=x x x x x f ，列表如下：∴)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,31(-．………………4分 （2）由（1）知，C C f x f +=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27531313131)]([23极大值；C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值．………………………………6分∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值x f 或0)]([=极小值x f ． ………8分∴常数275-=C 或1=C ． ……………………………………9分（3）由（2）知，275)(23---=x x x x f 或1)(23+--=x x x x f ．而031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ，所以1)(23+--=x x x x f ．………………10分令01)(23=+--=x x x x f ，得)1()1(2=+-x x ，11-=x ，12=x ．……………………………12分∴所求封闭图形的面积()⎰-+--=1 1231dx x x x 11234213141-⎪⎭⎫⎝⎛+--=x x x x 34=．………………14分18．（本小题满分14分）如图5，G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．（1）设λ=，将用λ、、表示；（2）设x =，y =，证明：yx 11+是定值；（3）记△OAB 与△OPQ 的面积分别为S 、T ．求ST的取值范围．解：（1）)(-+=+=+=λλλλ+-=)1(．…………………………………………2分（2）一方面，由（1），得y x λλλλ+-=+-=)1()1(；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心， ∴3131)(213232+=+⨯==．② ……………4分而、不共线，∴由①、②，得⎪⎩⎪⎨⎧==-.31,31)1(y x λλ……………………6分解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.31,331λλyx，∴311=+y x （定值）． …………………8分OAP QMG5图（3）xy OB OA AOB POQ ST ==∠⋅∠⋅=||||sin ||||21sin ||||21．……………………10分 由点P 、Q 的定义知121≤≤x ，121≤≤y ， 且21=x 时，1=y ；1=x 时，21=y ．此时，均有21=S T ．32=x 时，32=y ．此时，均有94=S T ．以下证明：2194≤≤S T ．（法一）由（2）知13-=x xy ，∵0)13(9)23(94139422≥--=--=-x x x x S T ，∴94≥S T ．…………………………12分 ∵0)13(2)12)(1(2113212≤---=--=-x x x x x S T ，∴21≤S T ． ∴S T的取值范围]21,94[．………………………………14分 （法二）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-==32)31(91)31(31132x x x x xy S T ，令31-=x t ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++=329131t t S T ，其中3261≤≤t ．利用导数，容易得到，关于t 的函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=329131t t S T 在闭区间]31,61[上单调递减，在闭区间]32,31[上单调递增．………………………………12分∴31=t 时，9432313131min =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ． 而61=t 或32=t 时，均有2132326131max =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ． ∴S T的取值范围]21,94[．…………………………14分 注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和)1(23-=n n a S ，+∈N n ． （1）求}{n a 的通项公式；（2）设∈n N +，集合},,|{+∈≤==N i n i a y y A i n ，},14|{+∈+==N m m y y B ．现在集合n A 中随机取一个元素y ，记B y ∈的概率为)(n p ，求)(n p 的表达式． 解：（1）因为)1(23-=n n a S ，+∈N n ，所以)1(2311-=++n n a S ． 两式相减，得)(2311n n n n a a S S -=-++，即)(2311n n n a a a -=++，∴n n a a 31=+，+∈N n ．…………………………3分又)1(2311-=a S ，即)1(2311-=a a ，所以31=a ． ∴}{n a 是首项为3，公比为3的等比数列．从而}{n a 的通项公式是n n a 3=，+∈N n ．………………………6分 （2）设n i i A a y ∈==3，n i ≤，+∈N n ． 当k i 2=，+∈N k 时，∵++=+===-110288)18(93k k k k k k k C C y …kk k k C C ++-81++⨯=--211088(24k k k kC C …1)1++-k k C ，∴B y ∈． ………………………9分 当12-=k i ，+∈N k 时，∵++⨯=+⨯==------21110111288(3)18(33k k k k k k C C y …)81121----++k k k k C C ++⨯=----31120188(64k k k k C C …3)21++--k k C ，∴B y ∉．…………………12分又∵集合n A 含n 个元素，∴在集合n A 中随机取一个元素y ，有B y ∈的概率⎪⎩⎪⎨⎧-=. , 21, , 21)(为偶数为奇数n nn n n p ．……………………14分20．（本小题满分14分）如果对于函数)(x f 的定义域内任意的21,x x ，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数)(x f 是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是否是“平缓函数”；（2）若函数)(x f 是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证明：对于任意 的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． （3）设a 、m 为实常数，0>m ．若x a x f ln )(=是区间),[∞+m 上的“平缓函数”，试估计a 的取值范围（用m 表示，不必证明．．．．）． 证明：（1）对于任意的∈21,x x ]1,0[，有11121≤-+≤-x x ，1|1|21≤-+x x ．…………………………2分从而|||1||||)()(||)()(|21212122212121x x x x x x x x x x x f x f -≤-+-=---=-． ∴函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是“平缓函数”． ………………………4分（2）当21||21<-x x 时，由已知得21|||)()(|2121<-≤-x x x f x f ； ……………6分当21||21≥-x x 时，因为∈21,x x ]1,0[，不妨设1021≤<≤x x ，其中2112≥-x x ， 因为)1()0(f f =，所以=-|)()(|21x f x f |)()1()0()(|21x f f f x f -+-|)()1(||)0()(|21x f f f x f -+-≤|1||0|21x x -+-≤121+-=x x 21121=+-≤. 故对于任意的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． ………………………10分 （3）结合函数x a x f ln )(=的图象性质及其在点m x =处的切线斜率，估计a 的取值范围是闭区间],[m m -．…………………………（注：只需直接给出正确结论）…………14分。

广州市育才中学2010届高三市调研考模拟测试题理 科 数 学本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kkkn n P k pp -=-．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{},,M a b c =中的元素是ABC ∆的三边长，则△ABC 一定不是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβ B ．若//,//,//m n αβαβ，则//m n C ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥ D ．若//,//,//,m n m n αβ则//αβ3．已知函数2log ,0,()2,0.xx x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a = A ．1- BC ．1-D ．1或 4．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定5．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,若(4)0.2P ξ>=,则(04)P ξ≤≤=A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2 6．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．27．已知函数2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b += A ．17B ．1-C ．1D ．7 8．在区间[]0,1上任取两个数,a b ，方程220x ax b ++=的两根均为实数的概率为 A ．18 B ．14 C ．12 D ．34二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题.（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．9．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ．10．如果执行右面的程序框图（如图1），那么输出的S = .11．已知实数x y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-3102x y x y x ，则y x z 32+=的最小值是 .12．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 13．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若,,A B C 成等差数列，且b =c =则B =_____ ,A =________．（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做1题，2题全答的，只计算前1题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2AE EB =，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积为62cm ，则ABC ∆的面积为 2cm ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知(,)m a b = ,(sin ,cos )n x x = ，函数()f x m n =⋅ 的图象经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求实数a 和b 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值． 17．（本小题满分12分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数123456N n n n n n n =，其中N 的各位数中，161n n ==，k n （k =2，3，4，5）出现0的概率为23，出现1的概率为13，记123456n n n n n n ξ=+++++，当该计算机程序运行一次时，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）已知实数列是}{n a 等比数列,其中71a =，且456,1,a a a +成等差数列. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: 128n S <,3,2,1(=n …) ． 19．（本小题满分14分）11AA A A ''中，点,B C 在线段如图2所示，在边长为12的正方形1BB 1AA ，分别交11A A '、AA '上，且3AB =，4BC =，作1AA '于点1B 、P ，作1CC 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1C 、使得1A A ''与1AA 重合，构Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，111ABC A B C -．成如图3所示的三棱柱（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比； （3）在三棱柱111ABC A B C -中，求直线AP 与直线1AQ 所成角的余弦值．20．（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C的离心率为2，且曲线过点⎛ ⎝⎭（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在．．圆2259x y +=内，求m 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。

年广州市高三年级调研测试数学理科It was last revised on January 2, 2021试卷类型： A2010 年广州市高三年级调研测试数学（理科）本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。

考试用时120 分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：事件A 发生的条件下事件B 的概率为()()()P AB P B A P A =． 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．函数()f x =A ．(][),11,-∞-+∞B ．(],1-∞C ．()1,1-D ．[]1,1-3．在等差数列}{n a 中，686a a +=，则数列}{n a 的前13项之和为A ．239 B ．39 C ．1172 D ．78 4．命题“,x x e x ∃∈>R ”的否定是A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,x x e x ∃∈≤R5．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是A ．12B ．22+C ．23+D ．66．设)(x f 是6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的中间项，若mx x f ≤)(在区间⎢⎣⎡2,22上恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．(),5-∞ B ．(],5-∞C ．()5,+∞D ．[)+∞,57．圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为 A ．22(1)(2)5x y -+-= B ．22(2)(1)5x y -+-=C ．22(1)(2)25x y -+-=D ．22(2)(1)25x y -+-=8．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2010项2010a 满足A ．20101010a <<B ．20101110a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ．201010a > 二、填空题： 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 主视图 侧视图俯视图（一）必做题（9～13题）9．复数512i +-（i 是虚数单位）的模等于 ． 10．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为 ．11．已知函数()cos 3()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，给出如下结论： ①函数)(x f 的最小正周期为23π； ②函数)(x f 是奇函数； ③函数)(x f 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称： ④函数)(x f 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）12．在平面区域(){}2,2,0x y y x x y ≤-+≥且内任意取一点P ，则所取的点P 恰是平面区域(){},,2,0x y y x x y y ≤+≤≥且内的点的概率为 ．13．在实数的原有运算法则中，定义新运算2a b a b ⊗=-，则()()113x x x x ⊗-+-⊗>的解集为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（《几何证明选讲》选做题）如图，在△ABC 中，60A ∠=，70ACB ∠=，CF 是△ABC 的边AB 上的高，FP BC ⊥于点P ，FQ AC ⊥于点Q ，则CQP ∠的大小为 ．15．（《坐标系与参数方程》选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线sin cos 1sin 2x y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的交点的直角坐标是 ． 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．开始 结束 f （x ）在输出n 是 否 输入n设向量(3,OA =，(cos ,sin )OB θθ=，其中02πθ≤≤．（1）若13AB =，求tan θ的值；（2）求△AOB 面积的最大值．17．（本小题满分12分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =． （1）证明：当点E 在棱AB 上移动时，11D E A D ⊥； （2）在棱AB 上是否存在点E ，使二面角1D EC D --的平面角 为6π若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分） 已知两点(1,0)M -、(1,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN NP MN MP ⋅=．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点，(,0)K m 是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆22(2)4x y +-=的位置关系．20．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()()2f x x x a =-．（1）若函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a ；（3）对（2）中的()h a ，若关于a 的方程()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；AB C1A 1C 1D D（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}2n b 的前n 项和8918n T <．。

广东省广州市萝岗区高三2010届上学期综合质量检测数学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则()U A B ð=（ ）A 、{}6,7,8B 、{}1,4,5,6,7,8C 、{}2,3D 、{}1,2,3,4,52、如果复数22(3)(56)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A 、0 B 、2 C 、0或3 D 、2或3 3、已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +<⎧=⎨-≥⎩，则函数()f x 的零点个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44、命题“2,210x R x x ∃∈-+<”的否定是（ ） A 、2,210x R x x ∃∈-+≥ B 、2,210x R x x ∃∈-+> C 、2,210x R x x ∀∈-+≥ D 、2,210x R x x ∀∈-+<5、在空间直角坐标系中，以点(4,1,9),(10,1,6),(,4,3)A B C x -为顶点的ABC ∆是以BC 为底边的等要三角形，则实数x 的值为（ ） A 、—2 B 、2 C 、6 D 、2或66．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）． A ．2- B ．2 C ．4- D ．47. 为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ）．A ．l 1和l 2必定平行B ．l 1与l 2必定重合C ．l 1和l 2有交点（s ，t ）D ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（s ，t ）8．已知点(3,A ，O 是坐标原点，点(,)P x y的坐标满足0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在BCDO APOP 上的投影，则z 的取值范围是（ ）．A.[B.[3,3]-C.[3]D.[3,-第Ⅱ卷 非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只需选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．） 9. 按下列程序框图来计算： 如果输入的x=5,应该运算_______次才停止。

试卷类型：A2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理科）2010．3 本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：球的体积公式343V R π=，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数()3i 1i - 的共轭复数．．．．是 A ．3i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i -2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ﹐球面上有两个点A ，B 的坐标分别为()1,2,2A ，()2,2,1B -，则AB =A ．18B ．12C ．D ．3．已知集合{}1,1A =-，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-4．若关于x 的不等式1x a -<的解集为()1,3，则实数a 的值为A ．2B ．1C ．1-D ．2-5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款． 据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为A ．2160B ．2880C ．4320D ．86407．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若()4,3PA =，()1,5PQ =，则BC =A ．()2,7-B ．()6,21-C ．()2,7-D ．()6,21-8．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数 的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为A ．11260B ．1840 C ．1504D ．1360二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30（一）必做题（9～13题）9．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =则n 的值为 ．10．某算法的程序框如图3所示，若输出结果为12，则输入的实数x 的值 是________．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“：=”）1112 12 13 16 1314 112 112 1415 120 130120 15………………………………………11．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ．12．已知函数()()21,1,log , 1.aa x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．13．如图4，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图5,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =,设COD θ∠=, 则tan θ的值为 .15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,6π⎛⎫⎪⎝⎭，则△AOB （其中O 为极点）的面积 为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<）． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数24y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称，求ϕ的值．17．（本小题满分12分）某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），图5B CDO ① ② ③ ④图4ABCDE FOA 'B 'C 'D '公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．18．（本小题满分14分）如图6，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，3AE =，圆O 的直径为9． （1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；（2）求二面角D BC E --的平面角的正切值．19．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设1DA l =，2DB l =，求1221l l l l +的最大值． 21．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有0n a >，n S =．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）证明：21221n n nn n n a a a +-+≥．2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．7 10 11．2312．(]2,3 13．①②③14．215．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()()sin f x x ϕ=+，∴函数()f x 的最小正周期为2π． （2）解：∵函数2sin 244y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又sin y x =的图像的对称轴为2x k ππ=+（k ∈Z ），令242x k ππϕπ++=+，将6x π=代入，得12k πϕπ=-（k ∈Z ）．∵0ϕπ<<，∴1112πϕ=． 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0． 则ξ的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0． 依题意得()()()110008006004P P P ξξξ======， ()()()()1500400300016P P P P ξξξξ========， 则ξ的分布列为()()1110008006005004003000416E ξ=++++++ 675=元．答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元． 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上，∴AE ⊥CD ．在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，∵AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ．∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE ．（2）解法1：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴CD DE ⊥．∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，222281DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，22229DE AD AE a =-=-，由22819a a -=-，解得，a =．∴6DE ==．过点E 作EF AD ⊥于点F ，作FG AB 交BC 于点G ，连结GE ，由于AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF AB ⊥． ∵AD AB A =，∴EF ⊥平面ABCD ． ∵BC ⊂平面ABCD ， ∴BC EF ⊥．∵BC FG ⊥，EF FG F =，∴BC ⊥平面EFG ． ∵EG ⊂平面EFG ， ∴BC EG ⊥．∴FGE ∠是二面角D BC E --的平面角．在Rt △ADE中，AD =3AE =，6DE =， ∵AD EF AE DE ⋅=⋅，∴AE DE EF AD ⋅===． 在Rt △EFG中，FG AB == ∴2tan 5EF EGF FG ∠==． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为25． 解法2：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD DE ⊥．∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，222281DE CE CD a =-=-，GF在Rt △ADE 中，22229DE AD AE a =-=-，由22819a a -=-，解得，a =．∴6DE ==．以D 为坐标原点，分别以ED 、CD 所在的直线为x 轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()6,0,0E -，()0,C -，()6,0,3A -，()6,B --．设平面ABCD 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0.DA DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即111630,0.x z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取11x =，则()11,0,2=n 是平面ABCD 的一个法向量． 设平面BCE 的法向量为()2222,,x y z =n ，则220,0.EB EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即222230,60.z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 取22y =，则2=n 是平面ABCD 的一个法向量．∵()(1212121,0,25,2,2cos ,===⋅n n n n n n ， ∴12sin ,=n n ． ∴122tan ,5=n n ． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为25． 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：∵()ln 1a f x x x =+-，∴221()a x a f x x x x-'=-+=． 令()0f x '=，得x a =．xyz①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减， 当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],a e 上单调递增， 所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 所以当x e =时，函数()f x 取得最小值a e． 综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值；当0a e <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ； 当a e ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为a e． （2）解：∵()()ln 1xg x x e x =-+，(]0,x e ∈，∴ ()()()()ln 1ln 11x xg x x e x e'''=-+-+()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭． 由（1）可知，当1a =时，1()ln 1f x x x=+-． 此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=，即1ln 10x x+-≥． 当(]00,x e ∈，00xe >，001ln 10x x +-≥， ∴00001()ln 1110x g x x e x ⎛⎫'=+-+> ⎪⎝⎭≥． 曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解． 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解．故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直．20．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设(),P x y ，则(),1Q x -，∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--． 即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹C 的方程24x y =．（2）解：设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，则24a b =． ①圆M 的半径为MD =圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-． 令0y =，则()()22222x a b a b -+=+-，整理得，22440x ax b -+-=． ② 由①、②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +， ∴1l =2l =．∴22212122112l l l l l l l l ++==== ③当0a ≠时，由③得，1221l l l l +==当且仅当a =±时，等号成立． 当0a =时，由③得，12212l l l l +=．故当a =±时，1221l l ll +的最大值为21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：当1n =时，有11a S ==由于0n a >，所以11a =．当2n =时，有2S =12a a +=，将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =．（2）解：由n S =，得()23331212n n a a a a a a +++=+++， ①则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++． ②②－①，得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++，由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++． ③同样有()21212n n n a a a a a -=++++()2n ≥， ④③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+．所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当n ≥1时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列．故n a n =．（3）证明1：由于()0122331C C C C nn n n n x x x x +=++++， ()0122331C C C C nn n n n x x x x -=-+-+， 所以()()13355112C 2C 2C nnn n n x x x x x +--=+++．即()()33551122C 2C nnn n x x nx x x +---=++．令12x n =，则有11111022n nn n ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．即1111122n nn n ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 即()()()21221n n nn n n ++-≥故21221n n nn n n a a a +-+≥．证明2：要证21221n n nn n n a a a +-+≥，只需证()()()21221n n nn n n ++-≥，只需证1111122n nn n ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，只需证1111122n nn n ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．由于111122n nn n ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23231230123111111C C C C C C C C 222222n n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－－ 351351112C C C 222n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦35351112C C 122n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥． 因此原不等式成立．。