河北省石家庄二中2019-2020学年第二学期高二数学期末试卷

2019-2020学年河北省石家庄市数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（ ） A ．40B ．28C ．24D ．162．已知点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24,4x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则||PF 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知12x xe ax a -≥-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．321,14e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．22,23e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．321,22e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．21,13e ⎛⎤⎥⎝⎦4．i 是虚数单位，若集合S={1,0,1}-，则 A ．i S ∈B ．2i S ∈C ．3i S ∈D ．2S i∈ 5．下列命题中正确的个数是（ ） ①命题“若,则”的逆否命题为“若，则;②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题，则，为假命题;④若命题,则，. A ． B ．C ．D ．6．已知圆的圆心为，点是直线上的点，若圆上存在点使，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数2(21)x y x -=-≤<的值域是 A ．1(,4]2B ．1[,2)2C ．1[,9]3D ．1[,4)28．设lg 2lg5a =+，e (0)x b x =<，则a 与b 大小关系为( )A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a b ≤9．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．28π+B ．88π+C ．48π+D ．68π+10．已知函数()y f x =是奇函数，当[0,1]x ∈时，()0f x =，当1x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集时（ ）A ．(,1)(2,3)-∞-⋃B ．(1,0)(2,3)-UC ．(2,3)D ．(,3)(2,3)-∞-⋃11．在等比数列{}n a 中，已知5712411,8a a a a a +==+，则5a 的值为（ ）A．12B ．14 C ．18D ．11612．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u uv u u u vB ．1344AB AC -u u uv u u u vC ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m +++=++++++L L ，则m =__________. 14．2位老师和3位同学站成一排合影，要求老师相邻且不在两端的排法有______种.（用数字作答） 15．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的概率为_______. 16．命题：“0x R ∃∈，使得200104x x -+>”的否定是_______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数22()(2)ln (21)(1)f x x x x a x a x b =+-+-++ （1）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间； （2）若()0f x ≥恒成立，求b-a 的最小值.18．已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32e =，过椭圆的上顶点A 和右顶点B 的直线与原点O 的距离为255， （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在直线l 经过椭圆左焦点与椭圆E 交于M ,N 两点，使得以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 方程；若不存在,请说明理由. 19．（6分）如图，已知圆心为()4,3C 的圆经过原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线340x y m -+=与圆C 交于A ，B 两点．若8AB =，求m 的值．20．（6分）如图，已知AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，23SO =，4AB =，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，60AOC ∠=︒．（1）求直线PC 与底面所成的角的大小； （2）求异面直线PC 与SB 所成的角．21．（6分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率； (2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)2300X ∈，27时，没有影响；当[)270310X ∈，时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．22．（8分）已知函数()ln (0)bf x a x x a =+≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数. 详解：分两种情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有1414C ⨯=种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有244312A =⨯=种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有244312A =⨯=种方法.故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.2．D 【解析】分析：欲求PF ，根据抛物线的定义，即求()3,P m 到准线1x =-的距离，从而求得PF 即可. 详解：抛物线24y x =，准线1x =-，∴PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离，即为4，故选：D.点睛：抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化． 3．A 【解析】分析：先设1()x g x xe -=，再求导求出函数g(x)的单调性和最小值，再数形结合分析得到a 的取值范围.详解：设11(),)(1).x x g x xeg x x e （--==+'=∴ 所以当x ∈（-∞，-1）时，()0,g x '<则函数1()x g x xe -=单调递减.当x ∈（-1，+∞）时，()0g x '>，函数1()x g x xe-=单调递增.21()(1)0g x g e ≥-=-<, 当a<0时，y=a(2x-1)单调递减，与题设矛盾. 当a=0时，10x xe -≥，与21()(1)0g x g e ≥-=-<矛盾. 当a>0时，121)x xea x -≥-（.直线y=a(2x-1)过点（1,02）. 设010(,)x x e-为曲线1()x g x xe -=上任意一点，则过点010(,)x x e -的曲线1()x g x xe -=的切线方程为0011000(1)()x x y x e x e x x ---=+-.又因为切线过点（1,02），所以001100010(1)()2x x x e x e x ---=+-， 解得0011-.2x x ==或故切线的斜率k=111+12e -=（）或k=1123211(1)22e e ---+=. 所以32122,2a e ≤≤即a ∈321,14e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数研究函数的问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出过点（1,02）的切线的斜率k=2或k 3212e=.4．B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由21i =-可得，2i S ∈，i S ∉，3i i S =-∉，22i S i=-∉. 考点：复数的计算，元素与集合的关系. 5．B 【解析】 【分析】根据逆否命题的概念、必要不充分条件的知识、含有简单逻辑联结词命题真假性的知识、特称命题的否定是全称命题的知识，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于①，根据逆否命题的概念可知，①正确.对于②，当“”时，可能成立，当“”时，“”，故“”是“”的必要不充分条件，即②正确.对于③，若为假命题，则，至少有一个假命题，故②错误.对于④，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知④正确.综上所述，正确命题个数为个，故选B. 【点睛】本小题主要考查逆否命题、必要不充分条件、含有简单逻辑联结词命题真假性、全称命题与特称命题等知识的运用，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】问题转化为到直线的距离.【详解】如图所示：过作圆的切线，切点为，则，，即有解，，则到直线的距离，，解得，故选：．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．7．A【解析】分析：由于函数122xxy-⎛⎫== ⎪⎝⎭在R上是减函数，且21x-≤<，利用单调性求得函数的值域详解：Q函数122xxy-⎛⎫== ⎪⎝⎭在R上是减函数，且21x-≤<，∴当1x=时，函数取得最小值为1 2当2x=-时，函数取得最大值为4故函数的值域为14 2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选A点睛：本题主要考查的是指数函数的单调性，求函数的值域，较为基础。

2019-2020学年河北省石家庄市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，则∁U（A∪B）等于（）A．{1，2，3，4}B．{5}C．{0，5}D．{2，4}}2．设复数z＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（，）C．（，1）D．（，）3．已知命题p：∃x0∈R，x0+6＞0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x0+6≥0B．∃x0∈R，x0+6≤0C．∀x∈R，x+6≥0D．∀x∈R，x+6≤04．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝2x﹣2B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝x2﹣15．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（）A．20B．18C．36D．127．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52），若P（80≤ξ＜90）＝0.3，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（）A．12B．20C．30D．408．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．49．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．若定义在[a，b]上的函数f（x）＝|lnx|的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为（）A．e﹣1B．1﹣e C．1﹣D．﹣111．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当0＜x＜1时，f（x）＝2x﹣1，则f（log29）＝（）A．﹣B．8C．﹣10D．﹣二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值是．14．函数y＝xlnx在x＝e（e为自然对数的底数）处的切线方程是．15．若函数f（x）＝2x2﹣lnx+3在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围是．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是．三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17．如果展开式中第4项与第6项的系数相等，求n及展开式中的常数项．18．已知关于x的一元二次不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0．（Ⅰ）若不等式的解集为（﹣2，3），求实数m的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x ）＝（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）＝log a[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．20．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2＝，其中n＝a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 21．在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入大量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x（万元）与升级改造直接收益y（万元）的数据统计如下：x2346810132122232425 y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x+11.8；模型②：＝21.3﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为：＝﹣0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程＝4.1x+11.8＝21.3﹣14.4182.479.2（y i i）2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣，≈4.1．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投入17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程＝x+的系数公式＝＝，＝﹣）22．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，则∁U（A∪B）等于（）A．{1，2，3，4}B．{5}C．{0，5}D．{2，4}}【分析】求出全集U和A∪B，由此能求出∁U（A∪B）．解：∵全集U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）＝{0，5}．故选：C．2．设复数z＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（，）C．（，1）D．（，）【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝＝，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），故选：A．3．已知命题p：∃x0∈R，x0+6＞0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x0+6≥0B．∃x0∈R，x0+6≤0C．∀x∈R，x+6≥0D．∀x∈R，x+6≤0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，x+6≤0，故选：D．4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝2x﹣2B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝x2﹣1【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x﹣2，不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，是幂函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x2﹣1，是二次函数，既是偶函数又存在零点x＝±1，符合题意；故选：D．5．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】利用对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝30.3＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log0.3e＜0，则a＞b＞c．故选：A．6．为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（）A．20B．18C．36D．12【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙丙丁4名专家分成3组，②将分好的三组全排列，安排到三个病区，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将甲乙丙丁4名专家分成3组，有C42＝6种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到三个病区，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的分配方法；故选：C．7．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52），若P（80≤ξ＜90）＝0.3，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（）A．12B．20C．30D．40【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52）．得到考试的成绩ξ关于ξ＝90对称，由P（80≤ξ＜90）＝0.3，得到P（90＜ξ≤100）＝0.3，从而得到P（ξ＞100）＝0.2，再由频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（90，52）．∴考试的成绩ξ关于ξ＝90对称，∵P（80≤ξ≤90）＝0.3，∴P（90≤ξ≤100）＝0.3，∴P（ξ＞100）＝0.5﹣0.3＝0.2，∴该班数学成绩在100分以上的人数为0.2×60＝12．故选：A．8．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．4【分析】根据题意，分析可得+＝+＝++3，结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，则+＝+＝++3≥2×+3＝5，当且仅当b＝3a＝时等号成立，即+的最小值为5；故选：C．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，用排除法分析：先分析函数的奇偶性排除C、D，再计算f（0）的值，排除A，即可得答案．解：根据题意，f（x）＝，有f（﹣x）＝，为非奇非偶函数，可以排除C、D，又由f（0）＝＝1，排除A；故选：B．10．若定义在[a，b]上的函数f（x）＝|lnx|的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为（）A．e﹣1B．1﹣e C．1﹣D．﹣1【分析】先画出函数图象，再数形结合得到a、b的范围，最后计算b﹣a的最小值即可．解：解：函数f（x）＝|lnx|的图象如图而f（）＝f（e）＝1由图可知a∈[，1]，b∈[1，e]，b﹣a的最小值为a＝，b＝1时，即b﹣a＝1﹣故选：C．11．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]【分析】由p转化到￢p，求出￢q，然后解出a．解：由p：x2+2x﹣3＞0，知x＜﹣3或x＞1，则￢p为﹣3≤x≤1，￢q为x≤a，又￢p 是￢q的充分不必要条件，所以a≥1．故选：B．12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当0＜x＜1时，f（x）＝2x﹣1，则f（log29）＝（）A．﹣B．8C．﹣10D．﹣【分析】根据题意，由f（x+2）＝﹣f（x）分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则可得f（log29）＝f（log29﹣4），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f （x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，log28＝3＜log29＜log216＝4，则f（log29）＝f（log29﹣4），又由函数为奇函数，则f（log29﹣4）＝﹣f（4﹣log29）＝﹣f（log2）＝﹣（﹣1）＝﹣，则f（log29）＝﹣，故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值是．【分析】先求，，故代入x＞0时的解析式；求出＝﹣2，，再求值即可．解：，故答案为：14．函数y＝xlnx在x＝e（e为自然对数的底数）处的切线方程是2x﹣y﹣e＝0．【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合切线方程即可得到结论．解：函数的导数为f′（x）＝lnx+1，则在x＝e处的切线斜率k＝f′（e）＝2，f（e）＝e，则在点x＝e处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e），即2x﹣y﹣e＝0，故答案为：2x﹣y﹣e＝0．15．若函数f（x）＝2x2﹣lnx+3在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围是[1，）．【分析】由题意可得＝0在（a﹣1，a+1）上有零点，从而可求．解：因为函数的定义域（0，+∞），由题意可得＝0在（a﹣1，a+1）上有零点，所以x＝∈（a﹣1，a+1），所以a，解可得，，又a﹣1≥0，所以1．故答案为：[1，）．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是．【分析】他记得密码的最后一位是奇数，他不超过两次就按对密码包含2种情况：①第一次按对，概率为p1＝，②第一次按错，第二次按对，概率为p2＝＝，由此能求出他不超过两次就按对密码的概率．解：一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，他记得密码的最后一位是奇数，他不超过两次就按对密码包含2种情况：①第一次按对，概率为p1＝，②第一次按错，第二次按对，概率为p2＝＝，则他不超过两次就按对密码的概率是p＝p1+p2＝＝．故答案为：．三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17．如果展开式中第4项与第6项的系数相等，求n及展开式中的常数项．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第4项与第6项的系数，列出方程解得n值，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解：由已知可得C2n3＝C2n5，所以3+5＝2n，即n＝4．所以展开式中的通项为T r+1＝C8r x8﹣2r，若它为常数项，则r＝4，所以T5＝C84＝70．即常数项为70．18．已知关于x的一元二次不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0．（Ⅰ）若不等式的解集为（﹣2，3），求实数m的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意利用韦达定理，求出实数m的值．（Ⅱ）由题意利用二次函数的性质，求出实数m的取值范围．解：（Ⅰ）若不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0 的解集为（﹣2，3），则﹣2和3是x2﹣（m+3）x+3m＝0的两个实数根，∴﹣2+3＝m+3，且﹣2×3＝3m，解得m＝﹣2．（Ⅱ）不等式式x2﹣（m+3）x+3m＜0，即（x﹣3）（x﹣m）＜0，当m＜3时，不等式的解集为（m，3），若它的解集中恰有两个整数，则0≤m＜1．当m＞3时，不等式的解集为（3，m），若它的解集中恰有两个整数，则5＜m≤6，综上，实数m的取值范围为[0，1）∪（5，6]．19．已知函数f（x）＝（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）＝log a[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．【分析】（1）根据题意，结合幂函数的性质，求出m的取值范围，验证得出符合题意的m值即可；（2）求出g（x）的解析式，讨论a＞1和0＜a＜1时，求出函数g（x）的值域．解：（1）因为f（3）＜f（5），所以由幂函数的性质得，﹣2m2+m+3＞0，解得﹣1＜m ＜，又因为m∈Z，所以m＝0或m＝1，当m＝0时，f（x）＝x3不是偶函数；当m＝1时，f（x）＝x2是偶函数，所以m＝1，f（x）＝x2；（2）由（1）知g（x）＝log a（x2﹣2x），设t＝x2﹣2x，x∈（2，3]，则t∈（0，3]，此时g（x）在（2，3]上的值域，就是函数y＝log a t，t∈（0，3]的值域；当a＞1时，y＝log a t在区间（0，3]上是增函数，所以y∈（﹣∞，log a3]；当0＜a＜1时，y＝log a t在区间（0，3]上是减函数，所以y∈[log a3，+∞）；所以当a＞1时，函数g（x）的值域为（﹣∞，log a3]，当0＜a＜1时，g（x）的值域为[log a3，+∞）．20．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2＝，其中n＝a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X0123P．…21．在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入大量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x（万元）与升级改造直接收益y（万元）的数据统计如下：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x+11.8；模型②：＝21.3﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为：＝﹣0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程＝4.1x+11.8＝21.3﹣14.4182.479.2（y i i）2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣，≈4.1．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投入17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程＝x+的系数公式＝＝，＝﹣）【分析】（Ⅰ）由表格中的数据结合相关指数公式说明模型②刻画的拟合效果更好，在模型②方程中，取x＝17求得y值，即可预测科技改造直接收益的预测值；（Ⅱ）由已知求得与的值，得到y关于x的线性回归方程，取x＝20求得y值，然后比较大小得结论．解：（Ⅰ）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即＞，∴模型①的R2小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好．则＝21.3﹣14.4，∴当x＝17万元时，科技改造直接收益的预测值为（万元）；（Ⅱ）由已知可得：，得．，∴．∴．∴当x＞17万元时，y与x满足线性回归方程为：；当x＝20万元时，科技改造直接收益的预测值为．∴当x＝20万元时，实际收益的预测值为69.3+10＝79.3万元．79.3万元＞72.93万元，故科技改造投入20万元时，公司实际收益更大．22．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到原函数的单调区间，进一步求得函数极值；（2）由x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根．可得，得到a＝，把要证明的结论转化为证：x1x2＜，即证：x1x2＜，也就是证＜＝，不妨设x1＜x2，令＞1．只需证ln2t．构造函数，利用导数证明g（t）在（1，+∞）上为减函数，可得g（t）＜g（1）＝0，则结论得证．解：（1）依题意，f′（x）＝2x﹣1﹣＝＝．故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．故当x＝1时，函数f（x）有极小值f（1）＝0，无极大值；证明：（2）∵x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根．∴，两式相减得，解得a＝．要证：lnx1+lnx2+2lna＜0，即证：x1x2＜，即证：x1x2＜，即证＜＝，不妨设x1＜x2，令＞1．只需证ln2t．设，则；令h（t）＝2lnt﹣t+，则h′（t）＝＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）＝0，即g′（t）＜0，∴g（t）在（1，+∞）上为减函数，则g（t）＜g（1）＝0．即ln2t＜在（1，+∞）上恒成立，∴原不等式成立，即lnx1+lnx2+2lna＜0．。

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，定点M 在棱AB 上(不在端点,A B 上)，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为2a ，则点P 的轨迹所在的曲线为 A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．设函数2()ln()f x e x =-，集合(){}(){}|,|A x y f x B y y f x ====，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．[,1]e -B ．(,1)e -C ．(,](1,)e e -∞-⋃D ．(,)(1,)e e -∞-⋃4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若120x x +>，则()()12f x f x +的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值D ．无法确定正负5．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.A ．23与26B ．31与26C ．24与30D ．26与306．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考、两位监考参加2019年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为（ ） A ．105B ．210C ．240D ．6307．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()2f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．2019B ．1C ．0D ．-18．若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,0][,)4-∞⋃+∞ B ．1(,][0,)4-∞-⋃+∞C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(,1]-∞9．有10名学生和2名老师共12人,从这12人选出3人参加一项实践活动则恰有1名老师被选中的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．10．若函数()()22xf x x ax e =++在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．][(),22,-∞-⋃+∞ C ．()2,2-D ．[]2,2-11．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．912．已知点()1,0M -和()1,0N ，若某直线上存在点P ，使得4PM PN +=，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①260x y -+=； ②0x y -=； ③210x y -+=； ④30x y +-=． 其中是“椭型直线”的是（ ） A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④二、填空题：本题共4小题13．已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30,3BAC AC AB ∠=,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为__________．14．设空间两直线a 、b满足a b ⋂=∅（空集），则直线a 、b 的位置关系为________ 15．的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 .（用数字作答）16．已知复数2,i m i αβ=-=-，其中i 是虚数单位，m R ∈. （1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，求实数m 与n 的值.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

河北省石家庄市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在同一平面直角坐标系中，曲线2yx 按213x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩变换后的曲线的焦点坐标为（ ）A ．()6,0B ．()0,6C ．3,0D ．()0,3【答案】D 【解析】 【分析】把伸缩变换的式子变为用','x y 表示,x y ，再代入原方程即可求出结果. 【详解】由213x xy y ='='⎧⎪⎨⎪⎩可得23x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，将其代入2yx可得：232xy，即212xy故其焦点为：()0,3. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关伸缩变换后曲线方程的求解问题，涉及到的知识点有伸缩变换规律对应点的坐标之间的关系，属于基础题2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C . 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题. 3．复数211z i i=+-在平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】分析：先化简复数z,再判断其在平面内对应的点在第几象限. 详解：由题得1111111(1)(1)2222i z i i i i +=-=+-=-+-+，所以复数z 在平面内对应的点为11(,22-），所以在平面内对应的点在第二象限. 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点是（a,b ）,点（a,b ）所在的象限就是复数z a bi =+(),a b ∈R 对应的点所在的象限.复数(,)z a bi a b R =+∈和点（a,b ）是一一对应的关系. 4．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，原不等式等价于()(),f f αβ>两次求导可证明()sin xf x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，从而可得结论. 【详解】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()2cos sin ',0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭， 设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减， ()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>αβ∴<，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出()'f x ；（2）令 ()'0f x >求出x 的范围，可得增区间；（3）令()'0f x <求出x 的范围， 可得减区间.5．甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用 三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为，所以甲队获胜的概率等于，故选A.考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.6．已知向量(2,)a x =-，(1,)b x =，若2a b -与a 垂直，则b =（ ） A ．2 B ．3C ．22D ．3【答案】B 【解析】分析：先求出2a b -的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x ，再求b 即可. 详解：由题可得：()222(4,),2808183a b x a b ax x b -=---⊥∴-=⇒=⇒=+=故选B.点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x 是解题关键，属于基础题.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为 （ ）A ．5B ．43C ．52 D．62【答案】 C 【解析】分析：由三角形面积公式可得c ，再由余弦定理可得b ，最后结合正弦定理即可得结果.详解：根据三角形面积公式得，11sin4522c ⋅⋅⋅︒=，得42c =，则2222cos 25b a c ac B =+-=，即5b =，2522R ==，故正确答案为C. 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一. 8．已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先弄清楚阴影部分集合表示的含义，并解出集合、，结合新定义求出阴影部分所表示的集合。

石家庄市2019~2020学年度第二学期期末检测高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分，在题目给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}6U x N x =∈<，集合{1,3}A =，{2,4}B =，则()UA B 等于（ ）A. {1,2,3,4}B. {5}C. {0,5}D. {2,4}【答案】C 【解析】 【分析】 先根据集合{1,3}A =，{2,4}B =，求得A B ，再根据全集{}{}60,1,2,3,4,5U x N x =∈<=求解.【详解】因为集合{1,3}A =，{2,4}B =， 所以{}1,2,3,4AB =，又全集{}{}60,1,2,3,4,5U x N x =∈<=， 所以{}()0,5UA B =故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2. 设复数3i12iz -=-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A. (1,1)B.C. 1(,1)5D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应点的坐标即可．【详解】因为3i (3i)(12i)32i 6i1i 12i (12i)(12i)5z --++-+====+--+，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1). 故选A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的运算及其几何意义，属于基础题. 3. 已知命题0:p x R ∃∈，060x +>，则p ⌝是（ ） A. 0x R ∃∈，060x +≥ B. 0x R ∃∈，060x +≤ C. x R ∀∈，60x +≥ D. x R ∀∈，60x +≤【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题0:p x R ∃∈，060x +>是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题即：x R ∀∈，60x +≤ 故选：D【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. 22x y =-B. 3y x =C. ln y x =D.21y x =-【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性判断和函数的零点的求法求解. 【详解】A. 因为()()2222xx f x f x --=-≠-=，所以是非奇非偶函数，故错误；B. 因为()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，故错误； C.因为函数ln y x =的定义域为()0,∞+，所以是非奇非偶函数，故错误；D.因为()()()2211f x x x f x -=--=-=，所以是偶函数，令()0f x =，解得1x =±，故正确； 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的零点，属于基础题. 5. 若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】A 【解析】 因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．6. 为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（ ） A. 20 B. 18 C. 36 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先将四位专家选取两人分配到同一病区，再与另二位专家一起做全排列，分配到三个病区，可得选项.【详解】由题目知，将甲乙丙丁分配重症监护病区、普通病区、监测病区这三个病区，要求每人去一个病区，有23436636C A ⨯=⨯=种分配方法，故选：C.【点睛】本题考查分组分配问题，一般采用先分组后分配的方法，属于基础题. 7. 某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布()290,5N ，若()80900.3P ξ≤<=，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ） A. 12 B. 20C. 30D. 40【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布曲线关于90x =对称，从而求得()90100P ξ≤<的值，进而求得()100P ξ>的概率值，即可得到答案.【详解】因为ξ服从正态分布()290,5N ，所以()8090P ξ≤<=()90100P ξ≤<0.3=， 所以()()18010010.61000.222P P ξξ-≤<->===，所以该班数学成绩在100分以上的人数为600.212⨯=（人）. 故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的应用，求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点值不影响概率值，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 8. 若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（ ）A. 2B.C. 5D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得33333333b b a b b a a b a b a b++=+=++，结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意，若正实数,a b ，满足1a b +=，则333332353333b b a b b a b a b a b a b a ++=+=++⨯⨯=， 当且仅当334b a ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5； 故选：C【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.9. 函数f (x )＝21xx e -的图象大致为()A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项.【详解】因为f (－x )＝21x x e--≠f (x )知f (x )的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f (2)＝214e -＝－23e<0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题. 10. 若定义在[,]a b 上的函数()|ln |f x x =的值域为[0,1]，则b a -的最小值为（ ） A. 1e - B. 1e -C. 11e-D.11e- 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数性质确定()f x 的单调性，然后得出,a b 的取值（或范围），可得结论．【详解】ln ,01()ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，∴()f x 在(0,1]单调递减，在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)0f x f ==，又1()1f f e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意11a e ≤≤，1b e ≤≤，且1a e=和b e =中至少有一个取到．即1a e =，1b e ≤≤，此时111b a e e e-≤-≤-， 若11a e <≤，则b e =，11e b a e e-≤-<-， ∴b a-的最小值是11e-． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的值域问题，掌握对数函数的性质是解题关键．基本方法是：去掉绝对值符号后确定函数的单调性，由单调性得出函数值域．11. 已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. [)1,+∞C. [)1,-+∞D. (],3-∞【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简命题p ，再利用集合间的基本关系，求得参数a 的取值范围. 【详解】由2:230p x x +->，知3x <-或1x >， 则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1{|}3x x ≤≤-{|}x x a ≤∴1a ≥.故选：B.【点睛】本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系. 12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21x f x =-，则2(log 9)f =（ ） A. 79-B. 8C. 10-D. 925-【答案】A【解析】 【分析】先利用()()2f x f x +=-得到()()2f x f x +=-，从而得到图像的对称轴为1x =，再次利用()()2f x f x +=-把函数值的计算归结为29log 4f ⎛⎫⎪⎝⎭，最后利用对称轴为1x =把函数值的计算归结为216log 9216log 219f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【详解】()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图像的对称轴为1x =，()229log 9log 4f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因291log 24<<，故2229916log 2log log 449f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2160log 19<<，所以216log 92167log 2199f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()27log 99f =-.选A. 【点睛】一般地，如果奇函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，则()f x 的周期为2a 且()f x 图像有对称轴2ax =.不在给定范围上的自变量的函数值的计算，应根据给定的关系式（必要时利用周期性和对称性转化）把要求的值转化到给定的区间上的自变量的函数值.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数()2log 030xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】19【解析】 【分析】先求1()4f 的值，再求14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由题得211()=log 244f =-，所以211(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为19【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14. 曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 【答案】2y x e =- 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到f '（e ），再求出f （e ）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．【详解】由()f x xlnx =，得()1f x lnx '=+， f ∴'（e ）12lne =+=．即曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线的斜率为2， 又f （e ）elne e ==．∴曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线方程为2()y e x e -=-，即2y x e =-． 故答案为2y x e =-【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．15. 若函数2()2ln 3f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围是________．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】求出导数()'f x ，确定函数的极值点，由极值点可得a 的范围．【详解】函数定义域是(0,)+∞，2141()4x f x x x x '-=-=114()()22x x x+-=，当102x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当12x >时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 只有一个极值点，极小值点12， 由1(1,1)2a a ∈-+，则112112a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1322a <<，又10a -≥，即1a ≥，∴312a ≤<．故答案：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值点，注意函数的极值点是在函数定义域内，一般先求出函数定义域，才能得出正确结果．16. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是________． 【答案】25【解析】 【分析】由于该密码的最后一位数字是奇数,应该在“1,3,5,7,9”中选数，求出按前2次的所有基本事件个数，再求出其中有密码的基本事件的个数，从而可得概率．【详解】根据题意,密码的最后一位数字是奇数,所以此人在按最后一位数字时,有“1,3,5,7,9”5种可能，由此可得此人在按前两次,所有的基本事件有255420n A ==⨯=个，若此人不超过2次就按对,说明前2次所按的数字含有正确数字，相应的基本事件有12428m C A =⋅=个，因此,此人不超过2次就按对的概率是82205m P n ===， 故答案为：25． 【点睛】本题以按密码的事件为例,求某人按密码不超过两次就正确的概率.着重考查了基本事件的概念和古典概型及其计算公式等知识,属于基础题.三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如果21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等,求n 及展开式中的常数项. 【答案】70 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第4项与第6项的系数,列出方程解得n 值,利用二项展开式的通项公式求出第1r +项, 令x 的指数为0求出常数项【详解】因为21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等所以知可得3522n n C C =,所以352n +=,即4n =. 所以展开式中的通项为8218r rr T C x -+=, 若它为常数项,则4r =,所以45870T C ==. 即常数项为70.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18. 已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解.【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<． ①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ，则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤． 综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.19. 已知函数()()223mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且()()35f f <．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()()log 2a g x f x x ⎡⎤=-⎣⎦(0a >且1a ≠)，求()g x 在(]2,3上值域．【答案】（1）1m =，()2f x x =；（2）当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞. 【解析】试题分析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<，因为m Z ∈，所以0m =或1m =，验证后可知1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，函数22y x x =-在(]2,3上单调递增，故按1a >，01a <<两类，利用复合函数单调性来求函数的值域. 试题解析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<， 因为m Z ∈，所以0m =或1m =， 当0m =时，()3f x x =它不是偶函数；当1m =时，()2f x x =是偶函数；所以1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，设(]22,2,3t x x x =-∈，则(]0,3t ∈，此时()g x 在(]2,3上的值域，就是函数(]log ,0,3a y t t =∈的值域；当1a >时，log a y t =在区间(]03,上是增函数，所以(],log 3a y ∈-∞； 当01a <<时，log a y t =在区间(]03,上是减函数，所以[)log 3,a y ∈+∞； 所以当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞．考点：幂函数单调性，复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意()()35f f <，可以判断函数在()0,+∞上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出m 可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.20. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100km/h 的有25人. （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关.（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为6 5 .【解析】【分析】（1）根据题目中的数据，完成列联表，求出28.2497.879K≈＞，从而有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；（2）记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，推导出X服从二项分布，即23,5B⎛⎫⎪⎝⎭，由此能求出X的分布列与数学期望.【详解】解：（1）因为()22100402515208.2497.87960405545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km /h 与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆的概率为4021005=， X 可取值是0，1，2，3，由题知2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，有：()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 分布列为()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，考查二项分布，随机变量的分布列与期望的计算，考查学生的数据分析和运算求解能力.21. 在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x （万元）与升级改造直接收益y （万元）的数据统计如下：当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ14.4y=；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.7y x a=-+． （Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．（附：刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑ 4.1≈．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式()()()1122211ˆ()nniiiii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xn x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-）【答案】（Ⅰ）模型①的2R 小于模型②，回归模型②刻画的拟合效果更好；预测值为72.93亿元；（Ⅱ）技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，182.479.2>，得到()()772211182.479.2i i i i y y y y ==>--∑∑判断即可.（2）由表中数据求得由已知可得 23x =．67.2y =，进而得到ˆ0.7ay x =+写出线性回归方程，再将20x计算，然后再比较即可.【详解】（1）由表格中的数据，有182.479.2>，即()()772211182.479.2i i i i y y y y ==>--∑∑所以模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 所以当17x =亿元时，科技改造直接收益的预测值为．∴ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y==⨯-=（亿元） （2）由已知可得：123452035x ++++-==，所以23x =．8587.566607.25y ++++-==，所以67.2y =．∴ˆ0.767.20.72383.3ay x =+=+⨯= 所以当17x >亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.783.3yx =-+． 所以当20x 亿元时，科技改造直接收益的预测值ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=． 所以当20x亿元时，实际收益的预测值为69.31079.3+=亿元即79.3亿元72.93>亿元所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．【点睛】本题主要考查回归分析及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22. 已知函数2()ln f x x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<．【答案】（Ⅰ）单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求函数导数，再求导数在定义区间上零点，根据导函数正负，确定单调区间；（Ⅱ）先根据零点得2121lnx x a x x =-，再代入化简不等式为2221112ln 2x x xx x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，构造函数()21ln 2g t t t t=--+，其中211x t x =>，最后根据导数确定函数()g t 单调性，根据单调性证不等式.【详解】（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ， ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞ ； （2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根，∴1122ln 0ln 0ax x ax x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()2121ln0x a x x x -+=，解得2121ln xx a x x =- ， 要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭， 即证()222122111212ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 不妨设12x x <，令211x t x =>，只需证21ln 2t t t<-+， 设21()ln 2g t t t t=--+，∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭， 令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， ∴()(1)0g t g <=．即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，属于综合题.。

2019-2020学年石家庄市名校数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．命题:p “20,2x x x ∀≥>”的否定p ⌝为（ ）A ．2000,2x x x ∃≥< B ．20,2x x x ∀≥< C ．02000,2xx x ∃≥≤D ．20,2x x x ∀≥≤【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：“0x ∀…，22x x >”的否定p ⌝为02000,2x x x ∃厔，故选：C ． 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查． 2．若复数(8)z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】分析：根据复数的乘法运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论． 详解：∵z=（﹣8+i ）i=﹣8i+i 2=﹣1﹣8i ，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限， 故选C ．点睛：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算先化简是解决本题的关键，属于基础题．3．已知()()sin f x x x x R =∈，若将其图像右移0ϕϕ>（）个单位后,图象关于原点对称，则ϕ的最小值是 ( ) A ．2πB ．6π C ．3π D ．4π 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值． 【详解】∵f （x ）＝sinx 3+cosx ＝2sin （x 3π+） （x ∈R ）， 若将其图象右移φ（φ＞0）个单位后，可得y ＝2sin （x ﹣φ3π+）的图象； 若所得图象关于原点对称，则﹣φ3π+=k π，k ∈Z ，故φ的最小值为3π， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．4．一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x ，23，28，30，50，其中，中位数为22，则x =（ ） A ．21 B ．15C ．22D ．35【答案】A 【解析】 【分析】数据的个数为偶数个，则中位数为中间两个数的平均数. 【详解】因为数据有8个，所以中位数为：23222x +=，所以解得：21x =， 故选：A. 【点睛】本题考查中位数的计算问题，难度较易.当一组数据的个数为偶数时（从小到大排列），中位数等于中间两个数的平均数；当一组数据的个数为奇数时（从小到大排列），中位数等于中间位置的那个数. 5．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】∵a 1＋a 5＝10，a 4＝7，∴⇒d ＝26．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种 【答案】C【解析】∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有410C 种不同挑选方法； 从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有48C 种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有4410821070140C C -=-=种不同挑选方法 故选C ；【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决； 7．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-，即f （x ）=f （2-x ）成立， 所以函数的对称轴为x=1，所以f （3）=f （-1）． 因为当x ∈（-∞，1）时，（x-1）f ′（x ）＜0，所以f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（-∞，1）上单调递增．故选B ．考点：本题主要考查熟练函数的奇偶性、单调性、对称性等，利用导数研究函数的单调性。

2019-2020学年河北省石家庄市数学高二(下)期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设集合{|12}A x x=-<， []{|2,0,2}xB y y x ==∈，则A B =I A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,42．已知点P(x ，y)的坐标满足条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为( ) A ．2B ．1C ．95D ．1153．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l 1和l 2，已知在两人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t ，那么下列说法正确的是( ) A ．直线l 1和直线l 2有交点(s ，t ) B ．直线l 1和直线l 2相交，但交点未必是点(s ，t ) C ．直线l 1和直线l 2必定重合D ．直线l 1和直线l 2由于斜率相等，所以必定平行4．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为103，60A =︒，则a =( ) A ．7B ．8C ．5D ．65．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ，，，则（ ） A ．αβγ== B ．αβγ<< C ．αβγ>>D ．前三个答案都不对6．如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，AB AD 4==，BC 6=，BD 43=，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为( )A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o7．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（ ） A ．B ．C ．D ．8．设集合{}123A =，，， {}2,34B =，， {|}M x x ab a A b B ==∈∈，，，则M 中的元素个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．复数2i z =-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(85,115)内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.1C ．0.125D ．0.511．曲线()cos sin cos xf x x x =-在点33,44M f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ） A ．12 B ．12-C ．22-D ．2212．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ） A ．2(1)y e x e =--+ B ．2(1)y e x e =-- C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）14．用五种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全，则共有涂色方法__________种．15．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．如果比赛采用“五局三胜”制，求甲以3:1获胜的概率P =______ 16．若()44324321021x a x a x a x a x a +++=-+，则a 4+a 2+a 0＝_____ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担．若厂家恰能在约定日期（×月×日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给厂家2万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元．为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送．已知下表内的信息：（1）记汽车选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为X （单位：万元），求X 的分布列和EX ； （2）若13α=，14β=，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？ （注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费）． 18．函数()x mf x e+=，()2x xg x e=，实数m 为常数. （I ）求()g x 的最大值； （II ）讨论方程()()20x f x e g x +=的实数根的个数.19．（6分）已知曲线C 的参数方程为23cos ,3sin x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以x 轴正半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，点P 的极坐标为(6,)π-，过点P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点. （1）若直线l 的斜率1k =，求直线l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）求PM PN ⋅u u u u v u u u v的值.20．（6分）某周末，郑州方特梦幻王国汇聚了八方来客.面对该园区内相邻的两个主题公园“千古蝶恋”和“西游传说”，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同.某统计机构对园区内的100位游客（这些游客只在两个主题公园中二选一）进行了问卷调查.调查结果显示，在被调查的50位成年人中，只有10人选择“西游传说”，而选择“西游传说”的未成年人有20人. （1）根据题意，请将下面的22⨯列联表填写完整；（2）根据列联表的数据，判断是否有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.附参考公式与表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.21．（6分）某地区为了解群众上下班共享单车使用情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该地区50名群众，他们的年龄频数及使用共享单车人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用共享单车有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用共享单车的群众中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1人年龄在30~39岁的概率. 22．（8分） [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()42f x x x =++-的最小值为n . （1）求n 的值；（2）若不等式4x a x n -++≥恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】由12x -<，得：1x 3,-<<∴()A 1,3=-； ∵[]0,2x ∈，∴[]21,4xy =∈∴A B ⋂= [)1,3 故选C 2．A 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P 到直线34130x y --=的最小值，即可求解． 【详解】由约束条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如图所示，由图可知，当P 与(1,0)A 重合时，点P 到直线34130x y --=的距离最小为2223(4)d ==+-．故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。

河北省石家庄市第二中学2019-2020学年下学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B ⋂=（ ）A. {|20}x x -≤<B. 1{|2}2x x -≤< C. 1{|0}2x x ≤< D. {|03}x x ≤<【答案】B 【解析】【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<，所以()U A B ⋂= 1{|2}2x x -≤<．考点：集合的交集、补集运算． 2.复数4212ii+-+的虚部为（）A. 2B. 2-C. 2iD. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数42212ii i+=--+，即可得到复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()42124210=21212125i i i ii i i i +--+-==--+-+--， 所以复数4212ii+-+的虚部为2-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定是（）A. 00x ∃≤，使得20010x x ++≤B. 0x ∀≤，使得210x x ++>.C. 0x >，使得210x x ++>D. 00x ∃>，使得20010x x ++≤【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定为“00x ∃>，使得20010x x ++≤”故选D ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A. 25-B. 3C. 3-D.25【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()()p q ⌝∧⌝ D. ()p q ∧⌝【答案】B 【解析】试题分析：命题p 为假命题,比如12>-,但221(2)<-,命题q 为真命题,不等式2230x x +-≤的解为31x -≤≤,所以131x x ≤≠>-≤≤,而311x x -≤≤⇒≤,所以“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件,由命题,p q 的真假情况,得出()p q ⌝∧为真命题,选B. 考点：命题真假的判断.【易错点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分必要条件的判断,属于易错题. 判断一个命题为假命题时,举出一个反例即可,判断为真命题时,要给出足够的理由. 对于命题p ,为假命题,容易判断,对于命题q ,要弄清楚充分条件,必要条件的定义:若,则p 是q 的充分不必要条件,若,q p p p ⇒≠>,则p 是q 的必要不充分条件,再根据复合命题真假的判断,得出()p q ⌝∧为真命题.7.设()f x 在定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]2,3单调递减，则（） A. ()f x 在区间[]3,2--单调递减 B. ()f x 在区间[]2,1--单调递增 C. ()f x 在区间[]3,4单调递减 D. ()f x 在区间[]1,2单调递增【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，同时关于1x =对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【详解】由函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 是周期为2的周期函数， 由函数()f x 在区间[]2,3单调递减，可得[]0,1,[2,1]--单调递减，所以B 不正确；由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，在区间[]2,3单调递减，可得在区间[]3,2--单调递增，所以A 不正确；又由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=-，即()()2f x f x -=+，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 在区间[]3,4单调递增，在在区间[]1,2单调递增，所以C 不正确，D 正确， 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8.若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A. 79-B. 13-C.13D.79【答案】A 【解析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解． 【详解】由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.函数22xy x =-的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【详解】因为2、4是函数零点，所以排除B 、C ； 因为1x =-时0y <，所以排除D,故选A10.已知函数()sin f x x x =+，如果()()120f t f t -+-<，则实数t 的取值范围是（） A. 32t >B. 32t <C. 12t >D. 12t【答案】A 【解析】由函数()sin f x x x =+，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式()()120f t f t -+-<，转化为12t t -<-，即可求解．【详解】由函数()sin f x x x =+，可得()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()f x 为单调递增函数， 又由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数， 因为()()120f t f t -+-<，即()()12(2)f t f t f t -<--=-， 所以12t t -<-，解得32t >，故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为,,,αβγ那么,,,αβγ的大小关系是 （ ）A. αβγ>>B. βγα>>C. γαβ>>D. γβα>>【答案】D 【解析】【详解】由已知得到：()1()1g x g x α'==⇒=， 对于函数h （x ）=lnx ，由于h ′（x ）= 1x令1()ln r x x x=-，可知r （1）＜0，r （2）＞0，故1＜β＜2 ()sin cos cos sin 0x x x x x ϕ=-=⇒'+=，且3[,]24x x πππγβγβα∈⇒==>⇒>>，选D.12.设函数()()2ln 2f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）A. 4ln 214+⎛⎤+⎥⎝⎦B. 4ln 214+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C. 6ln 34ln 2,126++⎛⎤⎥⎝⎦D. 6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得a 的范围，得到答案． 【详解】由题意，函数()()2ln 2f x x ax a x =---的定义域为(0,)+∞，不等式()0f x >，即()2ln 20x ax a x --->，即()2ln 2x ax a x >+-，两边除以x ，可得ln (1)2xa x x>+-， 又由直线(1)2y a x =+-恒过定点(1,2)--， 若不等式()0f x >恰有两个整数解， 即函数ln xy x=图象有2个横坐标为整数的点落在直线(1)2y a x =+-的上方， 由图象可知，这2个点为(1,0),(2,0)，可得(2)0,(3)0f f >≤，即()()ln 24220ln 39220a a a a ⎧--->⎪⎨---≤⎪⎩，解得6ln 34ln 2126a ++≤<，即实数a 的取值范围是6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题：（每小题5分，共20分）13.11)2x dx ⎰= . 【答案】14π+ 【解析】≥0，则221x y +=（y ≥0），∴1dx ⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰，所以101)2x dx ⎰=10dx ⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+.考点：定积分.14.若函数()1,03,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则不等式()13f x ≥的解集为______________.【答案】{}|13x x -≤≤ 【解析】 【分析】分类讨论，分别求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案． 【详解】由题意，当0x >时，令113x ≥，解得03x <≤，当0x ≤时，令133x ≥，解得10x -≤≤， 所以不等式()13f x ≥的解集为{}|13x x -≤≤． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.【答案】75【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得249(cos sin )25θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解． 【详解】由24sin 225θ=，即242sin cos 25θθ=， 则2222449(cos sin )cos 2sin cos sin 12525θθθθθθ+=++=+=， 又由02πθ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，7cos()cos sin 45πθθθ-=+=．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.已知函数()22f x x x a =++，()1g x x=-，若存在两切点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，()120,0x x <>，使得直线AB 与函数()y f x =和()y g x =的图象均相切，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数求得点B 处的切线方程212y x t t =-，联立方程组，根据判别式0∆=，令1m t=，得4211122424a m m m =--+，构造新函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解． 【详解】由题意，点B 在函数()1g x x =-的图象上，令2x t =，则点1(,)B t t-， 又由()21g x x '=，则()21g t t'=， 所以切线方程211()y x t t t +=-，即212y x t t=-，联立方程组()22122y x t t f x x x a⎧=-⎪⎨⎪=++⎩ ，整理得2212(1)20x x a t t +-++=，则2212(1)4(2)0a t t∆=--+=， 令1m t =，整理得4211122424a m m m =--+，且1(0,1)m t=∈， 构造函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，则()32h x x x '=--，()231h x x ''=-，可得当x ∈时，()0h x ''<，函数()h x '单调递减，当x ∈时，()0h x ''>，函数()h x '单调递增，所以()320h x h ''≥=-<， 即()0h x '<在(0,1)上恒成立，所以函数()h x 在(0,1)单调递减，又由()()11110,1224424h h ==--+=-， 所以1224a -<<，解得118a -<<．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．三、解答题：（70分）17.已知直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;（Ⅱ）若过()0,2M 且与直线l 垂直的直线l '与曲线C 相交于两点A ，B ，求MA MB ⋅.【答案】（Ⅰ）10x y +-=，22143x y +=（Ⅱ）87【解析】【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l 的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求得直线l '的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解． 【详解】（Ⅰ）由直线l极坐标方程sin sin cos 4222πρθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l 直角坐标方程：10x y +-=，由曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），则22()12x +=， 整理得22143x y +=，即椭圆的普通方程为22143x y +=．（Ⅱ）直线l '的参数方程为cos ,42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即,222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）把直线l '的参数方程,222x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22143x y +=得：2780t -+=，故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，则有121287t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又直线l '过点()0,2C -，故由上式及t 的几何意义得：1287CA CB t t ⋅==. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--， （Ⅰ）求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若x R ∀∈，()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）322t ≤≤. 【解析】试题分析：（I ）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（II ）由（I ）值，函数()f x 的最小值为()13f -=-，即2732t t -≥-，由此解得322t ≤≤. 试题解析：（I ）()4,1{3,124,2x x f x x x x x --<-=-≤<+≥，当1x <-，42x -->，6x <-，6x ∴<- 当12x -≤<，32x >，23x >，223x ∴<<当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ∴≥ 综上所述263x xx ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或. （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立， 则只需()22min 7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述322t ≤≤. 考点：不等式选讲．【此处有视频，请去附件查看】19.已知函数()()4log 41xf x kx =++，()k R ∈是偶函数.（1）求k 的值;（2）解不等式()1f x ≥. 【答案】（1）12k =-（2）(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或 【解析】 【分析】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-，根据对数的运算，即可求解；（2）由题()1f x ≥，根据对数的运算性质，得44210x x -⨯+≥，令20x t =>，转化为2410t t -+≥，利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算，即可求解． 【详解】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-， 所以()()44log 41log 41xxkx kx -+==+-恒成立，化简得4log 42xkx =-，即2x kx =-，解得12k =-． （2）由题()1f x ≥，即()41log 4112xx +-≥，整理得44210x x -⨯+≥， 令20x t =>得2410t t -+≥，解得02t <≤2t ≥+从而22x ≤或22x ≥，解得(2log 2x ≤-或(2log 2x ≥+，原不等式解集为(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，指数函数、对数函数的运算性质，以及一元二次不等式的解法的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20.已知函数()()22xf x x x e =-.（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程.（2）当2x ≤时，求函数()y f x =的零点个数;【答案】（1）2y x =-（2）函数()y f x =零点个数为两个 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线()y f x =在原点处的切线方程； （2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数．【详解】（1）由题意，函数()()22xf x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，则()02f '=-，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-．（2）由（1）知()()22xf x x e '=-，令()0f x '=得x 或x =从而函数()y f x =单调增区间为(,-∞，)+∞单调减区间为(，当x <()()220xf x x x e =->恒成立，所以在(,-∞上没有零点；当x <<时，函数在区间(单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >)+∞递增，且()20f =，存在唯一零点．综上，当2x ≤时，函数()y f x =零点个数为两个.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．21.已知函数()22ln 3f x x x x ax =+-+（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线;（2）若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是自然对数的底数），使不等式()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4a =（2）132a e e≤+- 【解析】 【分析】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解； （2）把不等式()0f x ≥成立，转化为32ln a x x x ≤++，构造函数()()32ln 0h x x x x x=++>，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()00f x =，()00f x '=，即()()000000002ln 2202ln 30f x x x a f x x x x ax ⎧=++-=⎪⎨=+-+='⎪⎩，解得014x a =⎧⎨=⎩，即当4a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线．（2）由题意知22ln 30x x x ax +-+≥，即32ln a x x x≤++， 设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x +-'=+-=， 当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，此时()h x 单调递减; 当(]1,x e ∈时，()0h x '>，此时()h x 单调递增.存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≥成立，等价于()max a h x ≤，即()1max ,a h h e e⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，又1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，故()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以132a e e≤+-. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的极值;（2）当0x e <<时，证明：()()f e x f e x +>-;（3）设函数()f x 的图象与直线y m =的两个交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<.【答案】（1）()f x 取得极大值1e，没有极小值（2）见解析（3）见解析 【解析】【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，再根据极值的定义，即可求解函数的极值；（2）由()()f e x f e x +>-，整理得整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->，设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可求解．（3）不妨设12x x <，由（1）和由（2），得()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，利用单调性，即可作出证明．【详解】（1）由题意，函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以当x e =时，()f x 取得极大值1e，没有极小值; （2）由()()f e x f e x +>-得()()ln ln x e e x x e e x+->+- 整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->， 设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-， 则()()()()2222222222224ln 2ln 0e x x F x e x e x e x e x +⎡⎤'=--=--+>⎣⎦--， 所以()F x 在()0,e 上单调递增，所以()()00F x F >=，即()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->， 从而有()()f e x f e x +>-．（3）证明：不妨设12x x <，由（1）知120x e x <<<，则120e x e x <-<<， 由（2）知()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 由()f x 在(),e +∞上单调递减，所以()12e e x x +-<，即122x x e +>， 则1202x x x e +=>，所以()00f x '<. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。