高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.6点到直线的距离课时作业苏教版必修2

2.1.5 平面上两点间的距离2.1.6 点到直线的距离平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2＝x 1＝x 2＝0，即两点在y 轴上时，P 1P 2＝|y 1－y 2|；当y 1＝y 2＝0，即两点在x 轴上时，P 1P 2＝|x 1－x 2|.2．中点坐标公式对于平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22. 3．点到直线的距离(1)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：y ＝kx ＋b 的距离d (3)两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离．(4)两平行线间的距离公式若两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)，则l 1，l 2间的距离d1.思考辨析(1)点(m ，n )到直线x ＋y －1＝0的距离是m ＋n －12. ( )(2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．( )(4)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式P 1P 2＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－1，0)，B (2，1)，C (0，3)，则边AB 的长为________，AB 边的中线CM 的长为________． 10 262 [由中点坐标公式得，M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12， 由两点间的距离公式得AB ＝（－1－2）2＋（0－1）2＝10，CM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＝262.] 3．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为________．5 [d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|－5|5＝ 5.]4．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________．1 [d ＝|－7－（－12）|32＋42＝1.] 两点间距离公式及其应用【例1】 如图，△ABC 的顶点B (3，4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长．思路探究：利用直线AB ，AD 的方程求交点A .利用D 是线段BC 的中点，将点C 的坐标转化到点D 上，再利用点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上解得点C .然后利用两点间距离公式求AC .[解] 设点A ，C 的坐标分别为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．∵AB ⊥CE ，k CE ＝－23.∴k AB ＝－1k EC ＝32. ∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－2y 1－1＝0，2x 1－3y 1＋1＝0，得A (1，1)．∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，y 2＋42. 而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2－16＝0，2·x 2＋32－3·y 2＋42＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝5，y 2＝2，∴C (5，2)．即|AC |＝（5－1）2＋（2－1）2＝17.两点间距离公式主要是用来计算两点之间的距离，记熟公式是解题的关键，单独考查较少，常与其他知识综合考查．1．在x －y ＋4＝0上求一点P ，使点P 到点M (－2，－4)，N (4，6)的距离相等．[解] 由直线x －y ＋4＝0可得y ＝x ＋4，因为点P 在此直线上，所以可设点P 的坐标为(a ，a ＋4)，已知|PM |＝|PN |，由两点间距离公式可得 [a －（－2）]2＋[a ＋4－（－4）]2＝（a －4）2＋（a ＋4－6）2，解得a ＝－32，从而a ＋4＝52， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 点到直线的距离与两平行线间的距离公式的应用 则k 的值是________．(2)若两平行直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离是21313，则c ＋2a＝________． 思路探究：(1)由点到直线的距离公式得出k 的方程，解方程即得k 值．(2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得a ，c 的值．(1)－3或173 (2)±1 [(1)由4＝|5×2－12k ＋6|52＋122， 解得k ＝－3或k ＝173.(2)由于两直线平行，所以63＝a －2≠c －1， 解得a ＝－4，c ≠－2， 又21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－c 232＋（－2）2， 故c ＝－6或c ＝2.从而c ＋2a＝1或－1.] 1.利用点到直线的距离公式要注意：(1)要将直线方程化为一般式；(2)当直线方程中含有参数时，斜率不存在的情况要单独考虑．2.对于平行线间的距离问题一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2，但要注意两直线方程中x ，y 的系数必须分别相同．2．(1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程；(2)已知直线l 经过点P (2，－5)，且与点A (3，－2)，B (－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．[解] (1)∵与l 平行的直线方程为5x －12y ＋c ＝0，根据两平行直线间的距离公式得|c －6|52＋（－12）2＝3， 解得c ＝45或c ＝－33.所以所求直线方程为5x －12y ＋45＝0或5x －12y －33＝0.(2)由已知条件可知直线l 的斜率一定存在，又直线l 经过点P (2，－5)，∴设直线l ：y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0，∴A 点到直线l 的距离d 1＝|k ·3＋2－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1， B 点到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|－3k －11|k 2＋1. ∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||－3k －11|＝12， 即k 2＋18k ＋17＝0，解得k ＝－1或k ＝－17.∴直线l 的方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.对称问题1．若点P (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点为P ′，那么P ′的坐标如何求解？[提示] 设出P ′的坐标，利用线段PP ′的中点在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，和k PP ′＝B A，列方程组求解． 2．已知直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2，如何由l 1，l 的方程求出l 2的方程？[提示] 法一：先由l 1，l 的方程求出交点，交点在l 2上，再在l 1上任取一点，求该点关于l 的对称点，对称点在l 2上，由两点式即可求出l 2的方程．法二：设l 2上任意一点坐标为(x ，y )，它关于l 的对称点(x ′，y ′)在l 1上，利用对称性质求出⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝f （x ，y ），y ′＝g （x ，y ）代入l 1的方程即得l 2的方程．【例3】 已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；(3)直线l 关于点A (1，1)对称的直线方程．思路探究：点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于直线的对称直线方程的求法，可转化为点的对称问题，直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解．[解] (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l .∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195， 即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195. (2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －2＝0，得l 与l 1的交点A (2，0)，在l 1上任取一点B (0，－2)，设B 关于l 的对称点B ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋2x 0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 02＋2×y 0－22－2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－2＝0，x 0＋2y 0－8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝125，y 0＝145，即B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫125，145，∴l 2的斜率为k AB ′＝145125－2＝7. ∴l 2的方程为：y ＝7(x －2)，即7x －y －14＝0.法二：直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P 1(x ，y )关于l 的对称点P 1′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85， 把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0，即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3)法一：取l ：x ＋2y －2＝0上一点M (2，0)，则M 关于点A (1，1)的对称点M ′的坐标为(0，2)，且M ′在l 关于A (1，1)对称的直线上，又所求直线与l 平行，∴设所求直线为x ＋2y ＋C ＝0.又过点M ′(0，2)，∴C ＝－4，∴所求直线方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线l 关于点A (1，1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y . 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程x ＋2y －2＝0，得x ＋2y －4＝0， ∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过两个条件列方程组求解．3．已知直线l ：3x －y －1＝0及点A (4，1)，B (0，4)，C (2，0)．(1)试在l 上求一点P ，使AP ＋CP 最小；(2)试在l 上求一点Q ，使|AQ －BQ |最大．[解] (1)如图①，设点C 关于l 的对称点为C ′(a ，b )，则b －0a －2＝－13，且3·a ＋22－b ＋02－1＝0，解得C ′(－1，1)，所以直线AC ′的方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，3x －y －1＝0，得l 与直线AC ′的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，此时AP ＋CP 取最小值为5.① ②(2)如图②，设点B 关于l 的对称点为B ′(m ，n )，则n －4m －0＝－13，且3·m ＋02－n ＋42－1＝0，解得B ′(3，3)．所以直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，得AB ′与l 的交点为Q (2，5)，此时|AQ －BQ |取最大值为 5.1．本节课的重点是掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)点到直线的距离的求解方法．(2)求两平行直线间的距离有两种思路．(3)待定系数法求解有关距离问题的方法．3．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式．1．已知△ABC 的三个顶点为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形D [由两点间距离公式得AB ＝52，BC ＝104，AC ＝52，易知AB ＝AC 且AB 2＋AC 2＝BC 2，所以△ABC 是等腰直角三角形．]2．夹在两条平行线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积为________．4π [因两条平行线间的距离为d ＝|0－20|5＝4，则圆的最大面积为π·22＝4π.]3．在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有________条．2 [由题可知，所求直线显然不与y 轴平行，∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1， d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝53，k ＝－43. ∴所求直线有2条．]4．已知一条直线过点P (2，－3)，与直线2x －y －1＝0和直线x ＋2y －4＝0分别相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程．[解] 设点A 的坐标为(t ，2t －1)，因为点P (2，－3)是线段AB 的中点，所以点B的坐标为(4－t，－5－2t)．因为点B在直线x＋2y－4＝0上，所以4－t＋2(－5－2t)－4＝0，解得t＝－2，于是点A的坐标为(－2，－5)．所以所求直线的方程为y＋3－5＋3＝x－2－2－2，即x－2y－8＝0.。