18统计与统计案例文 天津市2018年高考数学二轮复习专题能力训练 含答案

天津市2018届高三数学上学期第二次段考试题 文一、填空题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，则每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、a R ∈，且1a ii-+-为纯虚数，则a 等于C. 1D. 1-2、已知，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、已知向量,a b的夹角是3π，||2,||1a b == ，则||||a b a b +⋅- 的值是5D.4、如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+在区间5[,]66ππ-上的图象，为了得到这个图象，只需将()cos f x A x ω=的图象A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度C. 向右平移8π个单位长度D. 向左平移6π个单位长度5、若函数||()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值为A. 2B. 2-C. 1D. 1-6、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3cos B Cb c=-，则角A 的最大值为A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π7、若函数()sin()(0)2f x x πωω=->的图象关于点(,0)8π对称，且在(,0)4π-内有零点，则ω的最小值是A. 2B. 5C. 9D. 108、已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为'()y f x =，当0x ≠时，()'()0f x f x x+>，若1111(),3(3),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是 A. a b c << B. a c b << C. b c a << D.c a b <<二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，请将答案填在答题卡上） 9、若集合1{||1|2},{|0}x A x x B x x-=-<=≤，则A B =10、若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且和直线1y =相切，则圆C 的方程是11、已知222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩为偶函数，则2log (45)a y x x =--的单调递增区间为12、已知各项都为正数的等比数列{}n a ，且满足7562a a a =+，若存在两项,m n a a，使得14a =，则14m n+的最小是为13、ABC ∆中，,D E 分别为边,BC AC 的中点，且AD与BE夹角为120 ，则AB AC ⋅=14、已知函数8(1|1|),[0,2]()1(1),(2,)22x x f x xf x --∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若函数()()log a g x f x x =-有且只有三个零点，则实数a 的取值范围是三、解答题（本大题共6个小题，总分80分）15、（本题13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 （Ⅰ）求tan 2A 的值；（Ⅱ）若sin()23B c π+==，求ABC ∆的面积.16、（本题13分）已知函数2()2cos ()2sin()sin()644f x x x x πππ=-+-+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称中心； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.17、（本题13分）某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知一只花篮需要用铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要100米，铁丝300米，设该厂用所有原来编制个花篮x，y个花盆.（Ⅰ）列出,x y满足的关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盘可获利200元，那么怎样安排花篮与花盆的编制个数，可使得所得利润最大，最大利润是多少？18、（本题13分）已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足4(21)1n n S n a =++，数列满足111,21n n b b b +==+. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19、（本题14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22()n S n n n N *=-∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22,21()1,22n a n n k b k N n k n n*⎧=-⎪=∈⎨=⎪+⎩，求数列{}n b 的前n 项和n T .20、（本题14分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意1212,0,x x x x >≠，有1212()()2f x f x x x ->--恒成立，求a 的取值范围.参考答案1-8：DAABCADB 9、{|01}x x <≤ 10、22325(2)()24x y -++=11、(5,)+∞ 12、32 13、49- 14、15、()4tan sin()cos()2314sin (cos )22sin 2cos 2)sin 222sin(2)3f x x x x x x x x x x xx πππ=--=+-=-==-定义域为2{|,},22x x k k Z T ππππ≠+∈== （2）5,244636x x πππππ-≤≤-≤-≤，设23t x π=-， 因为sin y t =在5[,]62ππ--时单调递减，在[,]26ππ-时单调递增 由52632x πππ-≤-≤-，解得412x ππ-≤≤- 由2236x πππ-≤-≤，解得124x ππ-≤≤， 所以函数()f x 在(,)124ππ-上单调递增，在(,)412ππ--上单调递减.16、（1）()sin()sin()62sin coscos sinsin()6623cos 2)3f x x x x x x x x x ππωωπππωωωωωπω=-+-=---=-=-又()sin()0663f πππω=-=，所以,63k k Z ππωπ-=∈解得62,k k Z ω=+∈，又03ω<<，所以2ω=. （2）由（1）知()(2)3f x x π=-，将函数()y f x =的图象上个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数)3y x π=-的图象，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到)12y x π=-的图象，所以函数())12g x x π=-当32[,],[,]441233x x πππππ∈--∈-，所以sin()[12x π-∈，所以当4x π=-时，()g x 取得最小值32-17、（1）记“甲达标”的事件为A ，则22331111()()()2222P A C =⨯⨯+= （2）记X 的所有可能取值为2,3,4：224(2)()39P X ===;222312212111(3)()()()()33333333P X ==⨯+⨯+⨯+=2212212(4)()()33339P X ==⨯+⨯=.2212212(4)()()33339P X ==⨯+⨯=所以X 的分布列为:2349399EX =⨯+⨯+⨯=18 、（1）111111,431,1n S a a S a ==+=⇒=112,444(21)(21)n n n n n n a S S n a n a --≥=-=+--12123n n a n a n --⇒=- 12112121231212325n n n n n a a a n n a a n a a a n n -----⇒=⋅⋅⋅==---L L当1n =时，12111a =⋅-=，综上21n a n =-.由121n n b b +=+112(1)n n b b +⇒+=+，所以{1}n b +是以2位公比，2为首项的等比数列，所以12n n b +=，则21n n b =-.（2）(21)2n n c n =-，21232(21)2n n T n =⋅+⋅++-L ……①23121232(21)2n n T n +=⋅+⋅++-L ……②① -②整理得1(23)26n n T n +=-+19、（1）1111,220n S a a ==⇒=2212,222[(1)(1)]22n n n n a S S n n n n n -≥=-=-----=-1n a n ⇒=-，当1n =时，1110a =-=，所以1n a n =-（2）122,21()1,22n n n k b k N n k n n-+⎧=-⎪=∈⎨=⎪+⎩当n 为偶数时，21111()222n b n n n n ==-++13124021()()1111111(222)()2244622134(2)n n n n n T b b b b b b n n n n --=+++++++=++++-+-+-+-=++L L L L当n 为奇数时，1111211211234(1)34(1)n n n n n n n n T T b n n -+------=+=++=+++ 综上121,234(2)()211,2134(1)n n n nn k n T k N n n k n ++⎧-+=⎪+⎪=∈⎨--⎪+=-⎪+⎩20、（1）由2()3ln f x x x x =-+，则1'()23f x x x=-+'(1)0,(1)132f f ==-=-，所以切线方程为2y =-（2）1(1)(21)'()2(2)ax x f x ax a x x--=-++= 令'()0f x =1211,2x x a ⇒==当1a ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递增，min ()(1)2f x f ==-当10a e<≤时，()f x 在[1,]e 上单调递减，2min ()()(2)12f x f e ae a e ==-++=-2231e a e e e-⇒=>-（舍） 当11a e <<时，()f x 在1(1,)a 上单调递减，()f x 在1(,)e a上单调递增，min ()(1)2f x f <=-（舍） 综上，1a ≥（3）令12120x x x x >⇒->12112212()()2()2()2f x f x f x x f x x x x ->-⇔+>+-令()()2g x f x x =+，只要()g x 在(0,)+∞上单调递增即可.'()0g x ⇔≥在(0,)+∞上恒成立.2121'()'()220ax ax g x f x ax a x x-+⇔=+=-+=≥⇔2210ax ax -+≥在(0,)+∞上恒成立.当0a =时，10≥恒成立；当0a >时，原不等式21112088x x a a a⇔-≥-⇔-≥-⇒<≤ 当时，原不等式212x x a⇔-≤-，左边无最大值，不合题意（舍） 综上，08a ≤≤。

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题四 数列与不等式总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）一、单选题1．【2018届四川省成都外国语学校高三11月月考】已知全集为R ,集合2{|0.51},{|680}xA xB x x x =≤=-+≤,则C A B ⋂=RA. (],0∞-B. []2,4C. [)()0,24,∞⋃+D. ][()0,24,∞⋃+ 【答案】C2．在等比数列{}n a 中, 151,4a a =-=-,则3a = A. 2± B. 2± C. 2 D. 2- 【答案】D【解析】由等比数列的性质可得23154a a a ==,因为151,4a a =-=-,所以3 2.a =-选D.3．【2018届天津市滨海新区大港油田第一中学高三上期中】若a 、b 、c∈R，则下列命题中正确的是（ ） A. 若ac>bc ，则a>b B. 若a 2>b 2，则a>b C. 若11a b<，则a>b D.>a>b【答案】D【解析】若ac>bc ，则c>0时 a>b ；若2a >2b ，则|a|>|b|；若11a b<，则a>b 或a<0<b;>a>b ，所以选D.4．【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知均为正实数，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】C5．【2018届北京丰台二中高三上期中】若n S 是数列{}2n 的前n 项和，则83S S -=（ ）． A. 504 B. 500 C. 498 D. 496 【答案】D 【解析】83S S -45678a a a a a =++++458222=+++163264128256=++++ 496=．故选D ．6．关于x y 、的不等式组360,{20, 40,x y x y x y +-≥--≤+-≤则2z x y =+的最大值是（ ）A. 3B. 5C. 7D. 9 【答案】C【解析】作可行域，如图，则直线2z x y =+过点A （1,3）取最大值7,选C.7．【2018届广西壮族自治区贺州市桂梧高中高三上第五次联考】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若5114a a =，6128a a =，则89a a =（ ）A. 12B. 32C. 2D. 42【答案】D8．已知等比数列{}n a 满足： 23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.则q =（ ） A. 2-或12 B. 12- C. 2或12D. 2- 【答案】C 【解析】由题意得()23432428{22a a a a a a ++=+=+，即()231112311128{ 22a q a q a q a q a q a q ++=+=+，消去1a 整理得22520q q -+=，解得2q =或12q =．选C ． 9．在等比数列{}n a 中， 166n a a +=， 2132256n n a a a a --+=，且前n 项和126n S =，则n =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【解析】∵2132112256n n n a a a a a a --++==， ∴1128n a a =， 由11128{66n n a a a a =+=，解得12{64n a a ==或164{2n a a ==①当12{64n a a ==时， ()111264126111nnn a q a a q q S q qq---====---，解得2q =，∴6n =．②当164{2n a a ==时， ()111642126111nnn a q a a q q S qq q ---====---，解得12q =，∴6n =．综上6n =．选C ．10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51050,200S S ==，则1011a a +的值为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】D11．【2018届安徽省六安市第一中学高三上第五次月考】己知121,,,4a a 成等差数列， 1231,,,,4b b b 成等比数列，122a ab +则的值是（ ） A.52或52- B. 52- C. 52 D. 12【答案】C【解析】由题意得21225,4a a b +==，又2b 与第一项的符号相同，故22b =． 所以12252a ab +=．选C ． 12．【2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三10月月考】已知数列{}n a 为等差数列,若11101a a <-,且其前n 项和n S 有最大值,则使得0n S >的最大值n 为 A. 11 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B二、填空题（4*5=20分）13.【2018届上海市十二校高三联考】 若等差数列{}n a 的前5项和为25，则3a =________ 【答案】5【解析】由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：153533255525,522a a aS a a +=⨯=⨯==∴=. 14．【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试】若241ab+=，则2a b +的最大值为__________． 【答案】-2【解析】24ab+= 222212212222224aba ba ba b+++=≥⋅=≤ 1422log 2a b ∴+≤=- 当11,2a b =-=- 时取等号 故答案为-2.15．【2018届江苏省兴化市三校高三12月联考】已知实数,x y 满足220{40 10x y x y y --≥+-≤-≥，则yx的最小值为__________．【答案】13【解析】联立220{40x y x y --=+-= 得交点A ()2,2 ，联立220{ 10x y y --=-=得交点B 3,12⎛⎫⎪⎝⎭，联立40{ 10x y y +-=-= 得交点C ()3,1 即可行域是由ABC 三点围成的三角形及其内部，令z yx= 表示点(),x y 与()0,0 连线的斜率，故最小值为13OC k = 故答案为1316．在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点53,22⎛⎫⎪⎝⎭有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差11,63d ⎛⎤∈⎥⎝⎦，那么n 的取值集合为________. 【答案】{}4,5,6 【解析】由已知52x ⎛⎫-⎪⎝⎭2＋y 2＝254， 圆心为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，半径为52，得a 14，a n ＝2×52＝5， 由a n ＝a 1＋(n －1)d ⇔n ＝1d＋1， 又16<d≤13， 所以4≤n<7，则n 的取值集合为{4,5,6}．三、解答题（共6道小题，共70分）17.【2018届全国名校高三第三次联考】 某市垃圾处理站每月的垃圾处理成本y （元）与月垃圾处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，求该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低？最低平均处理成本是多少？【答案】该站垃圾处理量为400吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为200元18．已知正项等比数列{}n b （*n N ∈）中，公比1q >，且3540b b +=， 35·256b b =， 2log 2n n a b =+. （1）求证：数列{}n a 是等差数列. （2）若11·n n n c a a -=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析；（2）39nn +. 【解析】试题分析：（1）由3540b b +=， 35·256b b =可知3b ， 5b 是方程2402560x x -+=的两根，再根据公比1q >，求出3b ,5b ，即可求出数列{}n b 的通项公式，结合2log 2n n a b =+，以及等差数列的定义即可证明数列{}n a 是等差数列；（2）由（1）可求出数列{}n c 的通项公式，结合数列特点，根据裂项法求和，即可求出数列{}n c 的前n 项和n S .试题解析：（1）由353540{·256b b b b +==，，知3b ,5b 是方程2402560x x -+=的两根，注意到1n n b b +>，得38b =， 532b =，因为2534b q b ==，所以2q =或2q =-（不可题意，舍去）. 所以312824b b q ===，所以212n n n b b q -==， 22log 2log 222n n n a b n =+=+=+. 因为()][11221n n a a n n -⎡⎤-=++-+=⎣⎦， 所以数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列.（2）因为()3112n a n n =+-⨯=+，所以()()123n c n n =++，所以()()111344523n S n n =+++⨯⨯++111111344523n n =-+-++-++ 39nn =+. 19．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 【答案】(1) 13,1{3,1n n n a x -==>；(2) 13631243n nn T +=-⨯. 【解析】试题分析：(1)由递推关系可得a 1＝3，利用通项公式与前n 项和的关系可知：当n>1时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，则a n ＝3n －1，综上可得： 13,1{3,1n n n a x -==>；(2)结合(1)中求得的通项公式错位相减可得{b n }的前n 项和13631243n nn T +=-⨯. 试题解析：(1)因为2S n ＝3n ＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n>1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1， 即a n ＝3n －1，显然a 1不满足a n ＝3n －1，所以a n ＝(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝， 当n>1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n ， 所以T 1＝b 1＝.当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n －1)×31－n ]， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n ＝＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n )－(n －1)×31－n ＝＋－(n －1)×31－n ＝－， 所以T n ＝－.经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝－.20．数列{}n a 的前n 项和记为n S ， 11a =，点()1,n n S a +在直线31y x =+上， *N n ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设41log n n b a +=， n n n c a b =+， n T 是数列{}n c 的前n 项和，求n T ．【答案】（1）14n n a -=；（2）2111143223n n n ⋅++-. 【解析】试题分析：（1）由()1,n n S a +在直线31y x =+上可得， 131n n a S +=+，所以()1312n n a S n -=+≥，两式相减得{}n a 为等比数列，从而得出{}n a 的通项公式；（2）求出4log 4nn b n ==，利用分组求和法以及等差数列的求和公式与等比数列的求和公式可得出n T .试题解析：（1）由题知131n n a S +=+，所以()1312n n a S n -=+≥，两式相减得()132n n n a a a n +-=≥，又21314a a =+=，所以{}n a 是以1为首项，4为公比的等比数列．14n n a -=（2）4log 4n n b n ==， 14n n c n -=+，所以()1141142n n n n T +-=⋅+=- 2111143223n n n ⋅++-. 21．【2018届上海市十二校高三联考】设{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和. （1）已知22a =，且3a 是13,S S 的等差中项，求数列{}n a 的通项公式；（2）当11,2a q ==时，令()4log 1n n b S =+，求证：数列{}n b 是等差数列.【答案】（1）12n n a -=或()21nn a =⋅-（2）见解析.试题解析： （1）由题意23132{2a a S S ==+，122111112{2a q a q a a a q a q =⇒=+++ 12{ 1q a =⇒=或11{ 2q a =-=-所以12n n a -=或()21nn a =⋅-（2）由题意得21nn S =-()412n n nb log S ⇒=+=2n ≥时，因为111222n n n n b b ---=-=所以数列{}n b 是公差为12的等差数列.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，满足2n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使53n T <? 若存在，求出符合条件的所有n 的值构成的集合A ；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2) {}1,2A =.【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系可得项之间递推关系，再根据等比数列定义可得数列{}n a 的通项公式；（2）由错位相减法可得n T ，再化简不等式得1434n n -<+，根据指数函数与一次函数图像可得n 的值（2）由（1）知， 214n n n n b na -==， 记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则22123114444n n n n n T ---=+++++，① 3231442444n n n n n T ---=+++++，② ②-①得321111354444n n n n n T ---=++++-， 11634334n n -+=-⨯， 所以，数列{}n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯. 要使53n T <，即1163459943n n -+-<⨯， 所以11134,434994n n n n --+<<+⨯. 当1n =时， 17<，当2n =时， 410<，当3n =时， 1613>，结合函数14x y -=与34y x =+的图象可知，当3n >时都有1434n n ->+， 所以 {}1,2A =.。

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第三节统计与统计案例考纲解读1. 理解随机抽样的必要性和重要性。

2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.3. 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.4. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.5. 能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字牲估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。

6. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。

7. 会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.8. 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

9. 了解常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题。

（1）独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.命题趋势探究1。

本节内容是高考必考内容，以选择题、填空题为主.2. 命题内容为：(1）三种抽样（以分层抽样为主）；(2)频率分布表和频率分布直方图的制作、识图及运用。

(1）(2）有结合趋势，考题难度中下.3。

统计案例为新课标教材新增内容，考查考生解决实际问题的能力。

专题02 函数一．基础题组1.【2005天津，理9】设()1f x -是函数()()()112xx f x a a a -=->的反函数，则使()11f x ->成立的的取值范围为（ ）A 、21(,)2a a-+∞ B 、21(,)2a a --∞ C 、21(,)2a a a - D 、(,)a +∞ 【答案】A【解析】1a >时，()f x 单调增函数，所以()()()()()21111112a f x f fx f x f a--->⇔>⇔>=。

本题答案选A12.【2005天津，理10】若函数()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，则的取值范围是（ ）A 、1[,1)4B 、3[,1)4C 、9(,)4+∞ D 、9(1,)4【答案】B【解析】记()3g x x ax =-，则()2'3g x x a =-排除A 本题答案选B3.【2005天津，理16】设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则()()()()()12345f f f f f ++++=__________。

【答案】0【解析】()()00f f -=-得()00f = 假设()0f n =因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数都有：()0f n =从而：()()()()()123450f f f f f ++++= 本题答案填写：04.【2007天津，理5】函数()2log 42(0)y x x =++>的反函数是( )A.142(2)x x y x +=->B.142(1)x x y x +=->C.242(2)x x y x +=->D.242(1)x x y x +=->【答案】C 【解析】原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D ，故选C5.【2007天津，理7】在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( ) A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数【答案】B 【解析】6.【2007天津，理9】设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<【答案】A 【解析】由122log a a=可知0a >21a ⇒>121log 102a a ⇒>⇒<<，由121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0b >⇒120log 1b <<112b ⇒<<，由21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0c >20log 112c c ⇒<<⇒<<，从而a b c <<.故选A7.【2008天津，理7】设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最小值为0【答案】D8.【2008天津，理9】已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，则 (A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a << 【答案】A【解析】5(cos )(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ．9.【2009天津，理4】设函数x x x f ln 31)(-=,则y ＝f(x)（ ）A.在区间(e 1,1),(1,e)内均有零点B.在区间(e 1,1),(1,e)内均无零点C.在区间(e 1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间(e1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点【答案】D 【解析】由于131)1(+=e ef ＞0,31)1(=f ＞0,131)(-=e e f ＜0,故函数y ＝f(x)在区间(e1,1)内无零点,在区间 (1,e)内有零点.10.【2009天津，理8】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.0,4,0,4)(22x x x x x x x f .若f(2－a 2)＞f(a),则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞,－1)∪(2,+∞)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(－∞,－2)∪(1,+∞) 【答案】C【解析】由题中的分段函数的图象知函数f(x)在R 上是增函数,则由f(2－a2)＞f(a),可得2－a2＞a,解之,得－2＜a ＜1.11.【2010天津，理2】函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 【答案】B12.【2011天津，理7】【答案】C 【解析】令4.32log=m ，6.34log=n ，3103log=l ，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得 n l m >>，又∵xy 5=为单调递增函数， ∴b c a >>.13.【2012天津，理4】函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0, 1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B14.【2012天津，理14】已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(0,1)∪(1,4)【解析】21,1|1||1||1||1|,111x x x x x y x x x x +>⎧-+-===⎨-+<--⎩函数y=kx －2过定点(0，－2)，由数形结合： kAB ＜k ＜1或1＜k ＜kAC ， ∴0＜k ＜1或1＜k ＜4．15.【2013天津，理7】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点也就是方程2x|log0.5x|－1＝0的根，即2x|log0.5x|＝1，整理得|log0.5x|＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.令g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，作g(x)，h(x)的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以f(x)有两个零点．16.【2014天津，理4】函数212log 4f x x 的单调递增区间是（ ）（A ）0, （B ）,0 （C ）2, （D ）,2【答案】D ． 【解析】考点：复合函数的单调性（单调区间）．17. 【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】指数、对数、函数的单调性与奇偶性【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．18.【2017天津，理8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C ）[23,2]- （D ）39[23,]16-【答案】A222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号），所以232a -≤≤． 综上，47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题、二次函数、基本不等式 【名师点睛】首先将()||2xf x a ≥+转化为()()22x x f x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围． 二．能力题组1.【2006天津，理10】已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0( 【答案】D范围是]21,0(,选D. 2.【2008天津，理16】设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有[]2,a a y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，的取值的集合为 . 【答案】{2}【解析】由已知得c a y x =，单调递减，所以当[,2]x a a ∈时，11[,]2c c a y a --∈所以1122log 223a c c a c a a c a --⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎩≥+≥≤≤，因为有且只有一个常数符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以的取值的集合为{2}.3.【2013天津，理8】已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )． A ．15⎫-⎪⎪⎝⎭ B ．13⎫-⎪⎪⎝⎭C ．15130,22⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．15,2⎛-∞ ⎝⎭【答案】A【解析】f(x)＝x(1＋a|x|)＝22,0,,0.ax x x ax x x ⎧+≥⎨-+<⎩若不等式f(x ＋a)＜f(x)的解集为A ，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆，则在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数y＝f(x＋a)的图象应在函数y＝f(x)的图象的下边．由图可知，若f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A⊆，只需1122f a f⎛⎫⎛⎫-+<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可，则有2211112222a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+<---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a＜0)，整理，得a2－a－1＜01515a-+<<∵a＜0，∴a∈152⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.综上，可得a的取值范围是152⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.4. 【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.5. 【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.三．拔高题组1.【2010天津，理16】设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈32，＋∞)，f (x m )－4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－2]∪2，＋∞) 【解析】解析：原不等式可化为22x m－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4m2－4， 化简，得(1＋4m2－21m )x2≥2x＋3恒成立． ∵x∈32，＋∞)， ∴1＋4m2－21m ≥223x x +恒成立． 令g(x)＝223x x +，x∈32，＋∞)，2.【2011天津，理8】对实数与，定义新运算 “⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =--∈若函数()y f x c =-的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ 【答案】B 【解析】()()⎪⎩⎪⎨⎧>----≤----=12,12,2)(222222x x x x x x x x x x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤≤--=23,1,231,222x x x x x x 或 则()x f 的图象如图∵c x f y -=)(的图象与轴恰有两个公共点，∴)(x f y =与c y =的图象恰有两个公共点，由图象知2-≤c ，或431-<<-c . ３.【2014天津，理14】已知函数23f x x x ，x R ．若方程10f x a x 恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．【答案】()()0,19,+∞．【解析】230x a x a ，由0，得2340a a ，解得1a 或9a ．又当0a 时，f x 与g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．（方法二）显然1a ，∴231x x a x ．令1t x ，则45a t t ．∵,,444t t ，∴45,19,t t ．结合图象可得01a 或9a ．考点：方程的根与函数的零点．4. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R上单调递减，且关于x 的方程│f (x )│=2-x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（A ）（0，23] （B ）23，34] （C ）13，23]{34} （D ）13，23）{34} 【答案】C【解析】 【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5.【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)＞f （2-），则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22【解析】试题分析：由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<112a -<，解得1322a <<． 【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数”向“形”的转化．。

【真题】2018年天津市高考数学（文科）试题(含答案和解
释)
5 c
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考式
如果事 A，B 互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．
棱柱的体积式V=Sh 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
棱锥的体积式，其中表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高
一．选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1 设集合，，，则
A B
c D
【答案】c。

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尊敬的读者朋友们：
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天津市2018届高三数学上学期第二次段考试题 文一、填空题（本大题共8个小题，每小题5分,共40分，则每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、a R ∈,且1a ii-+-为纯虚数，则a 等于 2。

2- C 。

1 D. 1-2、已知，则“”是“”的A.充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C 。

充要条件 D.既不充分也不必要条件3、已知向量,a b 的夹角是3π,||2,||1a b ==，则||||a b a b +⋅-的值是 2123。

5 D 。

264、如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+在区间5[,]66ππ-上的图象，为了得到这个图象，只需将()cos f x A x ω=的图象A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度C. 向右平移8π个单位长度D 。

向左平移6π个单位长度5、若函数||()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-,且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值为A. 2 B 。

2- C. 1 D. 1-x yO6π-3π56π6、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3cos B Cb c=-,则角A 的最大值为 A. 6π B 。

4π C. 3π D. 2π7、若函数()sin()(0)2f x x πωω=->的图象关于点(,0)8π对称，且在(,0)4π-内有零点,则ω的最小值是A 。

2 B. 5 C 。

9 D. 108、已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为'()y f x =，当0x ≠时,()'()0f x f x x+>，若1111(),3(3),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是 A 。

a b c << B 。

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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷)数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A ）+P （B )．·棱柱的体积公式V =Sh .其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高.一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{1,2,3,4}A =,{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =（A ）{1,1}- （B ）{0,1} （C){1,0,1}- （D){2,3,4}（2）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为 （A ）6 （B ）19 （C)21 （D ）45 （3）设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >"的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D)既不充分也不必要条件（4）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（A ）1 （B ）2 （C)3 （D ）4（5)已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c >> （B ）b a c >> (C ）c b a >> (D)c a b >> （6）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（A ）在区间[,]44ππ-上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ上单调递减（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点。

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设全集为R,集合A={x∈R|x2<4},B={x|-1<x≤4},则A∩(∁R B)=()A.(-1,2)B.(-2,-1)C.(-2,-1]D.(-2,2)2.若复数z=,其中i为虚数单位,则=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.函数f(x)=sin(-2x)的一个递增区间是()A.B.C.D.4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a1-a4=0,则=()A.-8B.8C.5D.155.已知命题p:∃x0∈R,使;命题q:∀x∈,tan x>sin x.下列是真命题的是()A.(p)∧qB.(p)∨(q)C.p∧(q)D.p∨(q)6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出y的值为()A.2B.7C.8D.1287.已知双曲线=1(a>0,b>0),斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.28.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.10.设变量x,y满足约束条件的最小值是.11.(2017全国Ⅰ,文15)已知α∈,tan α=2,则cos=.12.设函数f(x)=|x+2|+|x-2|,x∈R,则不等式f(x)≤6的解集M=.13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为a2∶a3∶a4,则该三角形的面积为.14.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A 的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=,cos A=-.(1)求sin C和b的值;(2)求cos的值.16.(13分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.17.(13分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,矩形DCBE所在的平面垂直于☉O所在的平面,AB=4,BE=1.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE的体积最大时,求点C到平面ADE的距离.18.(13分)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x,已知甲、乙两组的平均成绩相同.(1)求x的值,并判断哪组学生成绩更稳定;(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.19.(14分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.20.(14分)已知函数f(x)=2x-+b ln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x+y-8=0.(1)求a,b的值,并求函数f(x)的单调递增区间;(2)设g(x)=f(x)-,试问过点(2,2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.##综合能力训练1.C解析A={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵B={x|-1<x≤4},∴∁R B={x|x>4或x≤-1},则A∩(∁R B)={x|-2<x≤-1}.2.B解析z==1+i,故=1-i.3.D解析f(x)=-sin 2x,由2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),当k=-1时,可知选项D符合.4.C解析8a1-a4=0⇒q3=8⇒q=2,=1+q2=5.故选C.5.D解析x=-1时,2x>3x,∴命题p是真命题;tan x=,x∈;∵0<cos x<1,sin x>0,∴>1,>sin x,即tan x>sin x,∴命题q是真命题,∴p是假命题,(p)∧q是假命题,q是假命题,(p)∨(q)是假命题,p∧(q)是假命题,p∨(q)为真命题.6.C解析当x=1时,不满足条件“x≥2”,则y=9-1=8.即输出y=8,故选C.7.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即.由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1.∴,e2=1+.∴e=.故选A.8.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-.若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-.9.1解析∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,∴已知切点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为=5-a,∴5-a=3a+1,解得a=1.10.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k P A==1.11.解析由tan α=2,得sin α=2cos α.又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.因为α∈,所以cos α=,sin α=.因为cos=cos αcos+sin αsin,所以cos.12.[-3,3]解析不等式即|x+2|+|x-2|≤6,而|x+2|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2,2对应点的距离之和,-3和3对应点到-2,2对应点的距离之和正好等于6,故不等式的解集为M=[-3,3]. 13.解析∵{a n}是等差数列,∴a=0,S n=n2,∴a2=3,a3=5,a4=7.设三角形最大角为θ,由余弦定理,得cos θ=-,∴θ=120°.∴该三角形的面积S=×3×5×sin 120°=.14.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π. 15.(1)解在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=.又由及a=2,c=,可得sin C=.由a2=b2+c2-2bc cos A,得b2+b-2=0.因为b>0,故解得b=1.所以sin C=,b=1.(2)解由cos A=-,sin A=,得cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sin A cos A=-,所以,cos=cos 2A cos-sin 2A sin.16.解(1)设数列{a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,由题意q>0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N*;数列{b n}的通项公式为b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有c n=(2n-1)·2n-1,设{c n}的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-S n=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,S n=(2n-3)·2n+3,n∈N*.17.(1)证明∵AB是直径,∴BC⊥AC,又四边形DCBE为矩形,∴CD⊥BC.∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD,∴DE⊥平面ACD,又DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD.(2)解由(1)知V C-ADE=V E-ACD=×S△ACD×DE=×AC×CD×DE=×AC×BC≤×(AC2+BC2)=×AB2=,当且仅当AC=BC=2时等号成立,∴当AC=BC=2时,三棱锥C-ADE体积最大为.此时,AD==3,S△ADE=×AD×DE=3,设点C到平面ADE的距离为h,则V C-ADE=×S△ADE×h=,∴h=.18.解(1)×(9+9+11+11)=10,×(8+9+10+x+12)=10,解得x=1.又[(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-10)2]=1;[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=,∴,∴甲组成绩比乙组成绩更稳定.(2)记甲组4名同学为A1,A2,A3,A4;乙组4名同学为B1,B2,B3,B4;分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),共16个基本事件,其中得分之和低于20分的共有6个基本事件,∴得分之和低于20分的概率是P=.19.(1)解由抛物线的定义,得|AF|=2+.因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA=,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等, 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r=.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d==r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.20.解(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2+.依题设,f(1)=5,f'(1)=-3,∴a=-3,b=-2.∴f'(x)=2-,令f'(x)>0,又x>0,∴x>.∴函数f(x)的单调增区间为.(2)g(x)=f(x)-=2x-2ln x,g'(x)=2-.设过点(2,2)与曲线g(x)相切的切线的切点坐标为(x0,y0),则y0-2=g'(x0)(x0-2),即2x0-2ln x0-2=(x0-2),∴ln x0+=2.令h(x)=ln x+-2,则h'(x)=,当h'(x)=0时,x=2.∴h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.∵h=2-ln 2>0,h(2)=ln 2-1<0,h(e2)=>0,∴h(x)的图象与x轴有两个交点,∴过点(2,2)可作2条曲线y=g(x)的切线.。

专题能力训练18 统计与统计案例一、能力突破训练1.(2017全国Ⅰ,文2)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数答案：B解析：标准差和方差可刻画样本数据的稳定程度,故选B.2.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个答案：D解析：由题图可知,0 ℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20 ℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B.60C.120D.140答案：D解析：由频率分布直方图可知,这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0160.08+0.04)×2.5=0.7,故该区间内的人数为200×0.7=140.故选D.4.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为和s2.若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为() A.,s2+1002 B.+100,s2+1002C.,s2D.+100,s2答案：D解析：=,s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2],月工资增加100元后:'==+100=+100,s'2=[(x1+100-')2+(x2+100-')2+…+(x10+100-')2]=s2.故选D.5.已知x与y之间的一组数据:x0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85,则m的值为()A.1B.0.85C.0.7D.0.5答案：D解析：由题意,得=1.5,=(m+3+5.5+7)=,将(,)代入线性回归方程为=2.1x+0.85,得m=0.5.6.某样本数据的茎叶图如图,若该组数据的中位数为85,则该组数据的平均数为.答案：85.3解析：依题意得,将样本数据由小到大排列,中间的两个数之和等于85×2=170,因此x=6,样本数据的平均数等于(70×2+80×6+90×2+53)=85.3.7.(2017江苏,3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.答案：18解析：抽取比例为=,故应从丙种型号的产品中抽取300×=18(件),答案：为18.8.(2017全国Ⅲ,文18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高气温[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.9.某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?解(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5, 所以直方图中x的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是=230.因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224,所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户),月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户),月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取比例为=,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5(户).二、思维提升训练10.(2017全国Ⅰ,文19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得=x i=9.97,s==≈0.212,≈18.439,(x i-)·(i-8.5)=-2.78,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ⅱ)在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(x i,y i)(i=1,2,…,n)的相关系数r=.≈0.09.解(1)由样本数据得(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r==≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(ⅰ)由于=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(-3s,+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ⅱ)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为(16×9.97-9.22)=10.02, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.11.某校对学生是否喜欢足球进行了抽样调查,男女生各抽了50名,相关数据如下表所示:不喜欢足球喜欢足球总计男生18 32 50女生34 16 50总计52 48 100(1)用分层抽样的方法在喜欢足球的学生中随机抽取6名,男生应该抽取几名?(2)在上述抽取的6名学生中任取2名,求恰有1名女生的概率.(3)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与喜欢足球有关系?参考公式及数据:K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0) 0.010 0.005 0.001 k06.635 7.879 10.828 解(1)从题中所给的条件可以看出,喜欢足球的学生共48人,随机抽取6人,则抽样比为=.故男生应抽取32×=4(人).(2)抽取的6名同学中,男生有4人,女生有2人,记男生为A,B,C,D,女生为a,b,则从6名学生中任取2名的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15个,其中恰有1名女生的有8个,故所求概率P=.(3)根据表中的数据,得到k=≈10.256>7.879.因此,在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与喜欢足球有关系.。