2012学案与评测理数苏教版：第1单元 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件)

教案：高中数学《命题及其关系-充分条件与必要条件》教案苏教版选修一、教学目标1. 理解充分条件和必要条件的概念。

2. 学会判断充分条件和必要条件。

3. 掌握充分条件和必要条件与命题真假之间的关系。

4. 能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。

二、教学重点与难点重点：充分条件和必要条件的概念及判断。

难点：充分条件和必要条件与命题真假之间的关系。

三、教学准备1. 教师准备PPT课件，包括充分条件和必要条件的定义、判断方法及应用实例。

2. 准备一些练习题，用于巩固所学知识。

四、教学过程1. 导入：教师通过一个生活实例引入新课，如：“如果一个人每天坚持锻炼身体，他身体健康。

”让学生思考这个实例中的条件和结论之间的关系。

2. 新课讲解：教师讲解充分条件和必要条件的定义，并通过PPT展示相关知识点。

定义：如果一个条件能推出结论，这个条件叫做结论的充分条件；如果结论能推出条件，这个条件叫做结论的必要条件。

教师讲解如何判断充分条件和必要条件，并举例说明。

3. 课堂练习：教师给出一些练习题，让学生判断给出的条件是充分条件还是必要条件，或两者都是。

五、课后作业1. 完成练习册的相关题目。

2. 举出生活中的实例，运用充分条件和必要条件进行分析。

教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了充分条件和必要条件的概念及判断方法。

如有需要，可在下一节课进行针对性讲解。

六、教学拓展1. 教师通过PPT展示充分条件和必要条件的相关拓展知识，如充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件等。

2. 教师举例解释这些概念，并让学生进行判断。

七、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学的内容，包括充分条件和必要条件的定义、判断方法及应用。

2. 学生分享自己在课堂练习中的收获和感悟。

八、课后反思1. 教师对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了充分条件和必要条件的概念及判断方法。

高中数学《命题及其关系-充分条件与必要条件》教案苏教版选修一、教学目标1. 理解充分条件和必要条件的概念。

2. 学会判断充分条件和必要条件。

3. 掌握充分条件和必要条件与命题之间的关系。

4. 能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。

二、教学内容1. 充分条件和必要条件的定义。

2. 充分条件和必要条件的判断方法。

3. 充分条件和必要条件与命题的关系。

4. 运用充分条件和必要条件解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：充分条件和必要条件的概念及判断方法。

2. 教学难点：充分条件和必要条件与命题的关系，以及运用充分条件和必要条件解决实际问题。

四、教学方法1. 采用自主学习、合作探究的教学方法，引导学生积极参与课堂讨论。

2. 通过实例分析，让学生直观地理解充分条件和必要条件的概念。

3. 利用多媒体课件，生动展示充分条件和必要条件的判断过程。

4. 开展课堂练习，及时反馈学生学习情况。

五、教学过程1. 导入新课：引导学生回顾命题的基本概念，引入充分条件和必要条件。

2. 自主学习：让学生自主探究充分条件和必要条件的定义及判断方法。

3. 课堂讲解：讲解充分条件和必要条件的判断方法，并通过实例进行分析。

4. 互动环节：组织学生进行小组讨论，交流充分条件和必要条件的应用心得。

5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。

6. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调充分条件和必要条件的重要性。

7. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对充分条件和必要条件的理解和掌握程度。

2. 练习题解答：检查学生是否能正确判断充分条件和必要条件，并运用到实际问题中。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。

七、教学策略的调整1. 根据学生的学习情况，适时调整教学进度和难度。

2. 对于学习困难的学生，提供个别辅导和帮助。

3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂氛围。

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p微思考1．否命题与命题的否定有什么区别？提示否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，当p是q的充分条件时，集合A与B之间有什么样的关系？若p是q的必要不充分条件，集合A与B之间有什么样的关系？提示当p是q的充分条件时，A⊆B；当p是q的必要不充分条件时，B A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(√)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√) 题组二教材改编2．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a>b，c>d，则ac>bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．4．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等题组三易错自纠5．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．6．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．答案 3解析由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.题型一命题及其关系1．命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题是()A．若xy＝0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0答案 D解析“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则xy≠0”．2．给出以下命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③若ab是正整数，则a，b都是正整数；④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减．其中为真命题的是________．(写出所有真命题的序号)答案①解析①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故③为假命题；④构造函数f (x )＝x ，g (x )＝－x ，则f (x )－g (x )＝2x ，显然f (x )－g (x )单调递增，故④为假命题．综上①为真命题．3．命题“若a <0，则一元二次方程x 2＋x ＋a ＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________． 答案 2解析 当a <0时，Δ＝1－4a >0，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，则a <0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14，显然a <0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故真命题的个数为2. 4．命题p ：若x >0，则x >a ；命题q ：若m ≤a －2，则m <－1.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,1)解析 命题p 的逆命题是：若x >a ，则x >0，当它是真命题时，a ≥0.又q 的逆否命题为真命题，则命题q 为真命题，即若m ≤a －2，则m <－1，∴a －2<－1，即a <1，综上有0≤a <1. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意 ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写． ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分、必要条件的判定例1 (1)已知p ：⎝⎛⎭⎫12x<1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由⎝⎛⎭⎫12x<1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件． (2)“a >2，b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a >2，b >2，则a ＋b >4，ab >4.当a ＝1，b ＝5时，满足a ＋b >4，ab >4，但不满足a >2，b >2，所以a ＋b >4，ab >4⇏a >2，b >2， 故“a >2，b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的充分不必要条件． 思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1 (1)已知a ，b ，c ，d 是实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a ＝b ＝c ＝d ＝0时，ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，当a ，b ，c ，d 成等比数列时，ad ＝bc ，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．(2)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行，则2λ(1－λ)－6(λ－1)＝0， 解得λ＝1或λ＝－3，经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行，故选A.题型三 充分、必要条件的应用例2 已知集合A ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围． 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴A ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈A 是x ∈B 的必要条件，知B ⊆A . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0,3]．若将本例中条件改为“若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件”，求m 的取值范围．解 由x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，知B A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m >－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3或0≤m <3，∴0≤m ≤3， 故m 的取值范围是[0,3]．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2 (1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是( )A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案 B解析 由2x≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 |x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，所以(0,4)(1－a ,1＋a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤0，1＋a >4或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，1＋a ≥4，解得a ≥3.课时精练1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．否定答案 B解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 答案 D解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换条件和结论，注意“－1<x <1”的否定是“x≥1或x≤－1”．3．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是()A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案 B解析否命题既否定条件又否定结论．4．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由ln(x＋1)<0⇒0<x＋1<1，即－1<x<0，故“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件，故选B.5．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.6．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中为真命题的是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①④答案 C解析①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形的对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”，因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1，所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．7．若实数a ，b 满足a >0，b >0，则“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 设f (x )＝x ＋ln x ，显然f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∵a >b ，∴f (a )>f (b )，∴a ＋ln a >b ＋ln b ，充分性成立； ∵a ＋ln a >b ＋ln b ，∴f (a )>f (b )，∴a >b ，必要性成立，故“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”成立的充要条件，故选C.8．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3 B ．a <3 C ．a >4 D ．a <4 答案 A解析 若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，∴a >3. 9．设a ，b 是两个平面向量，则“a ＝b ”是“|a |＝|b |”的________条件． 答案 充分不必要解析 由向量的相关定义知a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇏a ＝b ， 故“a ＝b ”是“|a |＝|b |”的充分不必要条件． 10．下列命题中为真命题的是________．(填序号) ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题； ②命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题； ③命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题； ④命题“若a >b ，则ac >bc ”的逆否命题． 答案 ②解析 对于①，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若a >b ，则ac >bc ”为假命题，所以它的逆否命题为假命题．11．(2020·青岛二中检测)直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是________． 答案 －1<k <3解析 直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2<2，解得－1<k <3.12．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝⎛⎭⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.13．(2020·深圳模拟)对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 令x ＝1.8，y ＝0.9，满足|x －y |<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x 〉≠〈y 〉，可知充分性不成立．当〈x 〉＝〈y 〉时，设〈x 〉＝x ＋m ，〈y 〉＝y ＋n ，m ，n ∈[0,1)，则|x －y |＝|n －m | <1，可知必要性成立．所以“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．故选B.14．已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38.15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－54∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞ 解析 由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，0≤x ≤2， 得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎡⎦⎤716，2. 又由题意知A ⊆B ，∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516. ∴m ≥54或m ≤－54. 16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，255 解析 画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，255.。

第1章常用逻辑用语1．1 命题及其关系一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．(2)感悟四种命题真假性的判断方法：直接判断、利用等价性判断．(3)理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；会判断充分条件、必要条件与充要条件．(4)感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法：直接利用定义、利用命题的真假性、利用关系结构图、利用集合知识．2．预习提纲(1)什么叫命题?两个命题怎样才能成为互逆命题?(2)四种命题之间的相互关系你会用图来表示吗?(3)充分条件、必要条件与充要条件的意义：如果p ⇒ q，那么p是q的_________，q是p的___________；如果p ⇔q，那么p是q的__________．(4)阅读课本第5页至第9页内容，并完成课后练习．(5)结合课本第6页的例1，学会写出命题的逆命题、否命题与逆否命题；结合课本第6页的例2，体会判断命题、逆命题、否命题与逆否命题真假的方法；结合课本第7页的例1，感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法．(6)请小结四种命题真假性的判断方法以及充分条件、必要条件与充要条件的判断方法，并与同学交流．3．典型例题(1)如何判断一个命题的真假?例1 判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．①x2－5x+6=0；②当x=4时，2x<0；③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?④一个数不是合数就是质数；⑤求证：若x∈R，方程x2+x+1=0无实根．分析：可以判断真假的语句叫做命题，命题非真即假，二者必居其一．对于不含逻辑联结词的简单命题，可直接判断其真假．解:①不是命题，因为语句中含有变量x，在不给定变量的值之前，我们无法确定该语句的真假(这种含有变量的语句叫“开语句”)；②是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题；③不是命题，因为没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，疑问句不是命题；④是命题，假命题，因为数1既不是质数也不是合数；⑤不是命题，它是祈使句，没有作出判断．点评：开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)如何写出四种命题，它们的真假关系如何?例2 已知命题:有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形．请判断这个命题和它的否命题的真假．分析：我们先要把命题写成为“若p则q”的形式，然后写出命题的逆命题、否命题与逆否命题．解：等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故原命题是假命题．又平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等，即逆命题是真命题，据逆命题和否命题的等价性知，否命题是真命题．点评：直接举反例可知原命题为假命题．而否命题的真假难判定，则通过判定其等价命题－－逆命题的真假来推得结论．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假．例3 原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”，请写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．分析：因为互为逆否命题的两个命题同真或同假，所以要判断四种命题的真假，只需判断其中两个的真假，然后利用等价性得到另两个命题的真假．解：原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”是真命题，逆否命题：“若x，y不互为倒数，则xy≠1”，因为原命题与逆否命题是等价命题，它们同真或同假，所以逆否命题是真命题；逆命题：“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题，否命题：“若xy≠1，则x，y不互为倒数”，因为逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假，所以否命题是真命题．因此原命题、逆命题、否命题、逆否命题都是真命题．点评：本题是利用四种命题的关系判断四种命题的真假．例4 已知p：x+y≠3，q：x≠1 或y≠2，则p是q的________ 条件(填：充要、充分而不必要、必要而不充分、既不充分又不必要)．解：∵ p：x+y ≠3，q：x≠1 或y≠2∴ 非p：x+y =3，非q：x =1 且y =2当非q成立时，x =1 且y =2，则x+y =3，即非p成立，∴非q⇒非p；但当非p成立时，非q不一定成立，如x=y=1．5时，x+y =3，非p成立，非q不成立，故：非p⇒非q．∴ p ⇒ q 且q ⇒p ，p 是q 的充分而不必要条件．点评： p 、q 都是否定性说法，考察命题“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假性较难，故先判断其逆否命题“若非q 则非p ”、 “若非p 则非q ” 的真假，再利用等价性判断命题“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假，从而判断条件的充要性．例5 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么，(1) s 是q 的什么条件；(2) r 是q 的什么条件；(3) p 是q 的什么条件．解：据题意(1)s 是q 的充要条件；(2)r 是q 的充要条件；(3)p 是q 的必要条件．点评：这是多条件的充分条件、必要条件、充要条件的关系判定，应根据定义，考察p 、q 、r 、s 的互推关系，画出它们的关系结构图，再予以判定．例6 已知p ：1123x --≤，q ：：x 2－2x + 1－m 2≤0(m > 0)，若非p 是非q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：由x 2－2x +1－m 2≤0，(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m ，故非q ：A ＝{x |x > 1+m 或x < 1－m ，m > 0}， 由2311≤--x ，得 －2≤x ≤10， 故非p ： B ＝{ x | x >10或x <－2}，∵ 非p 是非q 的充分而不必要条件，∴ B ≠⊂A ． ∴ ⎩⎨⎧≤+-≥-10121m m 且等号不能同时取， 解得：m ≤3，又m >0，∴ 0 < m ≤3．∴ 实数m 的取值范围是(]3,0． 点评：本例由“非p 是非q 的充分而不必要条件”得“非p ⇒非q 但非q \⇒非p ”，然后借助集合间关系求得m 的取值范围．本题也可用四种命题的关系，将已知条件等价转化为“q ⇒p 且p \⇒q ”，然后求解．请再用等价转化的思想解答本例．(3)相关的证明问题的处理：①要证明p 是q 的充分不必要条件，只要证明“若p 则q ”为真，而“若q 则p ”为假； ②要证明p 是q 的必要不充分条件，只要证明“若q 则p ”为真，而“若p 则q ”为假； ③要证明p 是q 的充要条件，只要证明“若p 则q ”与 “若q 则p ”都为真，即：对于充要条件的证明，一般分充分性和必要性两种情况分别加以证明，缺一不可；④要证明p 是q 的既不充分又不必要条件，只要说明“若p 则q ”与“若q 则p ”都为假．例7 方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)至少有一负实根的充要条件是_____．分析：由a ≠0知方程是一元二次方程，方程至少有一负根包括两种情形：有一非负根和一负根、有两个负根，应分类讨论．解：将x =0代入原方程，得1=0，不合题意，因此方程无零根．(1)方程有一正根和一负根001<⇔<⇔a a； (2)方程有两个负根100102044≤<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆⇔a aaa ． 综合(1)、(2)，方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)至少有一负根的充要条件是a <0或0<a ≤1． 点评：本题运用一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，结合分类讨论思想求解． 例8 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一实根x =1的充要条件是a +b +c =0．证明：必要性：若方程ax 2+bx +c =0有一根x =1，则由根的定义得：0112=+⨯+⨯c b a ，即a+b+c =0；充分性：若a+b+c =0，则由ax 2+bx +c=0，得ax 2+bx －(a+b )=0，∴0)1()1(2=-+-x b x a ，∴0])1()[1(=++-b x a x ，所以方程有一根x =1．综上所述，方程ax 2+bx +c=0有一根x =1的充要条件是a+b+c =0．点评：对于充要条件的证明，一般都分“充分性”和“必要性”两种情况分别加以证明，缺一不可． 证明时不要颠倒充分性和必要性．4．自我检测(1)判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．① 3是12的约数；② 大角所对的边大于小角所对的边；③ π是无理数吗?④ 一个数不是质数就是合数．(2)写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题．① 原命题：若a =0，则ab =0② 原命题：对角线相等的平行四边形是矩形．(3)填空：(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空) ① “AB +BC =AC ”是“A 、B 、C 三点共线”的___________条件；② “l ∥AB ”是“A、B 到l 等距离”的________条件．③ “ab =0”是“a 2+b 2=0”的________条件．④ 若a ≠0，则“x =1是方程ax 2+bx +c =0的一个根”是“a+b+c =0”的_______条件．(4) ① “(1－|x |)(1+x )>0”是“|x |<1”的__________条件；② “a ≠1”是“a 2≠1”的________条件；③ “A ⊇B ”是“(A∩C )⊇(B∩C )”的_________条件 ．三、 课后巩固练习A 组1．若命题m 的逆命题是n ，命题m 的否命题是r ，则n 是r 的_______．(填逆命题、否命题、逆否命题)2．写出命题 “若x 2+y 2=0，则x ，y 全为零”的逆命题，否命题，逆否命题．3．以下四个命题的的真假是 _________ ．(1)原命题：若一个自然数的末位数字为5，则这个自然数能被5整除；(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为5；(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为5，则这个自然数不能被5整除；(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为5．4．判断命题“若a ，b 是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题的真假．5．判断命题“若m >0，则x 2+x －m =0有实根”的逆否命题的真假．6．写出命题“若x ≠y ，则x 2≠y 2”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．7． 指出下列命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：|x |≤1，q ：|x |<2； (2)p ：x >－1，q ： |x |<1 ．8． 若a 、b 、c 都是实数，试从(A )ab =0；(B )a+b =0；(C )a 2+b 2=0；(D )ab >0；(E )a+b >0；(F )a 2+b 2>0，分别选出适合下列条件者，用代号填空：(1)使a 、b 都为0的充分条件是________________；(2)使a 、b 都不为0的充分条件是______________；(3)使a 、b 中至少有一个为0的充要条件是____________；(4)使a 、b 中至少有一个不为0的充要条件是_______________．9．a 、b ∈R，条件⎩⎨⎧>>11b a 是条件⎩⎨⎧>>+12ab b a 的_________．10．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么非A 是非B 的什么条件? 11．⎩⎨⎧>>+44αββα是⎩⎨⎧>>22βα的______条件．12．设P ：{x |0<x <5}，Q ：{x ||x －2|<5}，则P 是Q 的________．(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．13．“a ≠0”是“ab ≠0”的______条件．14．“a 2－b 2是偶数”成立的______条件是“a －b =0”．15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分但不必要条件，那么丙是甲的___________条件．16．方程3x 2－10x +k =0有两个异号的实根的充要条件是_____．17．下列四组条件： ①甲：b a >； 乙：ba 11< ②甲：0<ab ； 乙：||||b a b a -<+ ③甲：b a =； 乙：ab b a 2=+④甲：⎩⎨⎧<<<<1010b a ； 乙：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a其中甲是乙的充分但不必要条件的是____________(请把正确命题的序号填上)．B 组 18．如果否命题为“若x +y ≤0，则x ≤0”，写出相应的原命题，逆命题与逆否命题．19．原命题为“末位数是0的整数，可以被5整除”，写出逆命题，否命题，逆否命题．20．把命题“负数的平方是正数”改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．21．有下列命题：(1)“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题；(2)“全等三角形是相似三角形”的否命题；(3)“若m >1，则关于x 的不等式mx 2－2(m +1)x －(m －3)>0的解集为R ”的逆命题；(4)“若a +5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中，是真命题的是___________ ．22．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，与它的逆命题，否命题及逆否命题中假命题有_____个，真命题有______个．23．写出命题“若A ⊆B ，则AB =A ”的逆命题，并判断真假． 24．设原命题是“当a >0时，若|x |<a ，则－a <x <a ”写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．25．下列四个命题：①若a 、b 是无理数，则a +b 是无理数；②若A ∩B =A ，则A =B ；③x ≠2且y ≠3是x+y ≠5的充分不必要条件； ④00≥⇔≥ab ba 其中，假命题是________________(请把序号填上)26．已知直角坐标平面上四点坐标分别为：A (1，1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)，P 是y 轴上任意一点，试判断：P 在y 轴上是∠APD=∠BPC 的什么条件?27．已知p 是r 的充分条件，r 是q 的必要条件，r 又是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，那么(1)s 是p 的什么条件? (2)r 是q 的什么条件? (3)在p 、q 、s 、r 中，哪几对互为充要条件?28．设条件p ：|43|1x -≤；条件q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x ．若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ．29．已知条件p ：ax 2+2ax +1>0的解集为R ；条件q ：0<a <1，则p 成立是q 成立的什么条件?30．设n N +∈,则一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = ．31．求证：不等式mx 2+4mx +1>0的解集为(+∞∞-,)的充要条件是0≤m <14． C 组32．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ，b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．那么，命题Ⅰ、命题Ⅱ是否正确?33．定义在R 上的函数y =f (x －1)是单调减函数，其图象如图所示，给出三个结论：(1)f (0) =1；(2)f (1)<1；(3)f (0)<0．5．其中正确的命题是 ．34．给出以下命题：①若04log )4(log 2<≤+a a a a ，则a 的取值范围是(1，∞+)； ②函数2log )(=x f )15(2+-x x 的单调递 减区间为)25,(-∞；③若数列{a n }前n 项之和为S n =3n －2，则数列{a n }的通项公式a n =2×3n －1；④若定义在R 上的函数f (x －1)的图象关于直线x =1对称，则f (x ) 为偶函数．则以上命题中正确命题的序号为 ．35．判断命题“若ab =0，则a ≠0且b ≠0”的否命题的真假．36．判断命题“若ab ≤15，则a ≤5或b ≤3”的否命题的真假．知识点 题号 注意点四种命题 1～6，18～25，32～36 判断一个命题的真假时要注意原命题和逆否命题同真假，顾原命题难判断真假时可以判断其逆否命题充要条件 7～16，17，26～31， 要分清“ 的充要条件是 ”和“____________是 的充要条件”四、学习心得五、拓展视野我们规定真命题赋值为1，假命题赋值为0，“1”或“0”均称作命题的“真值”． 命题A ：“在同一个直角坐标系中，曲线y = a x(a > 0)的图象与y = x 的图象至多有一个交点．”那么，命题A 的真值是_______．解：当a =1和0 < a < 1时，y = a x 与y = x 的图象有且仅有一个交点；而当a > 1时，若取a = 2 ，则x =1时，y = a x = 2>1，(1， 2)在直线y =x 的上方；当x =2时，y = a x =2，(2， 2)是两曲线的一个交点，当x = 3时，y = a x = 2 2 < 3，(3， 22)在直线y = x 的下方；当x = 4时，y = a x= 4，(4 ， 4)是两曲线的另一个交点；当x > 4时，(2)x > x ，两曲线再无交点．所以，当a = 2时，y = a x 的图象与y =x 的图象有两个交点，故命题A 是假命题，其真值为0．点评：题中当0 < a ≤1时两曲线只有一个公共点，但当a > 1且a 比较接近1时，如解中的a =2，或a = 1．1等，两曲线有两个公共点．而当a 较大时，如a =2，a =3等时，两曲线无公共点．判断一个命题为假，只需找出一个反例．故A 是假命题．1.1 命题及其关系自我检测1．解：（1）是命题，它是能作出真假判断的语句，因为12=3×4，所以它是一个真命题；（2）是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题，因为没有考虑“在同一个三角形中”这个条件；（3）不是命题，因为没有作出判断，疑问句不是命题；（4）是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题，因为1既不是质数也不是合数。

一、教材分析本节课选自苏教版高中数学选修2-3《命题及其关系-充分条件与必要条件》。

这部分内容是学生在学习了简单逻辑用语和复合命题之后，对命题及其关系的进一步拓展。

充分条件和必要条件是描述命题之间关系的重要概念，对于学生理解命题的内在联系，提高逻辑思维能力具有重要意义。

二、教学目标1. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握判断充分条件和必要条件的方法。

2. 能够运用充分条件和必要条件分析实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和口头表达能力。

三、教学重点与难点1. 教学重点：充分条件和必要条件的概念及其判断方法。

2. 教学难点：充分条件和必要条件的区分和应用。

四、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握充分条件和必要条件的概念及判断方法。

五、教学过程1. 导入新课：通过一个生活实例，引导学生思考充分条件和必要条件的关系。

2. 自主学习：学生自主阅读教材，理解充分条件和必要条件的概念。

3. 案例分析：分析具体案例，让学生判断其中的充分条件和必要条件。

4. 小组讨论：学生分组讨论，交流判断充分条件和必要条件的心得。

5. 总结提升：教师引导学生总结充分条件和必要条件的判断方法。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

教案连载，请期待后续章节。

六、教学反思在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、参与度、理解程度等，以便对教学方法和策略进行调整，提高教学质量。

七、课后作业1. 请用充分条件和必要条件判断下列命题：（1）如果一个人是学生，他一定有身份证。

（2）一个三角形是等边三角形当且仅当它的三条边相等。

2. 结合生活中的实例，运用充分条件和必要条件分析问题。

八、课后辅导针对学生在课后作业中出现的问题，教师应及时给予辅导，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。

九、拓展与延伸为了激发学生的学习兴趣，提高学生的综合素质，可以布置一些拓展与延伸的课题，如：1. 研究充分条件和必要条件在实际问题中的应用，举例说明。

∵120x x q =<·∴方程20x px q ++=有两个异号实根（2）再证必要性∵方程20x px q ++=有两个异号实根，设其为12x x ，∴120x x <·∵12x x q =·∴0q <由（1）（2）原命题得证。

评析 注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立. 它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立；(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.六、回顾反思本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．七、课后练习1． “xy ＞0”是“｜x+y ｜=｜x ｜+｜y ｜”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2．“A ∩B=A ”是A=B 的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．在下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件：如图(1)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；如图(2)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；如图(3)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；如图(4)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；4．抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴为x=2的充要条件是______________;5．判断下列各题中条件是结论的什么条件：(1)条件A ∶ax 2+ax+1＞0的解集为R ，结论B ∶0＜a ＜4；(2)条件p ∶A B ，结论q ∶A ∪B=B.6．已知全集R ，A=｛x ｜｜x-3｜＞6｝，B=｛x ｜｜x ｜＞a,a ∈N +｝.当a为何值时.①A 是B 的充分而不必要条件；②A 是B 的必要而不充分条件；③A 是B 的充要条件.八、参考答案：1． A 2．B3．图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；图(3)：充要条件；图(4)：既不充分也不必要条件.4．4a+b=05．解： (1)∵△=a 2-4a ＜0，即0＜a ＜4∴当0＜a ＜4时，ax 2+ax+1＞0恒成立.故B ⇒A.而当a=0时，ax 2+ax+1＞0恒成立，∴A B.故A 为B 的必要不充分条件.(2)∵A B ⇒A ∪B=B ，而当A=B 时，A ∪B=B ，即q p ，∴p 为q 的充分不必要条件.6． p ≥4时，“4x+p ＜0”是“x 2-x-2＞0”的充分条件，不存在实数p ，使 “4x+p ＜0”是“x 2-x-2＞0”的必要条件.思考题：试寻求关于x 的方程x 2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.解法1：关于x 的方程x 2+mx+n=0有两个小于1的正根⇔方程在(0，1)内有实根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)1(0)0(1200f f m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<<<-≥-011002042n m n m n m . 解法2：方程在(0，1)内有实根 ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-+->>+≥∆0)1)(1(0)1()1(00021212121x x x x x x x x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<<<-≥-011002042n m n m n m .。