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点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程. (2)设A,B为椭圆C上任意两点,O为坐标原点,且OA⊥OB. 求证:原点O到直线AB的距离为定值,并求出该定值.
【解析】(1)由题意知, ec 3，b2c2 2，
a2
又a2=b2+c2,
所以a=2,c= 3 ,b=1, 所以椭圆C的方程为x 2 +y2=1.
上,AF⊥x轴, AB⊥OB①，BF∥OA②(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程.
(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:
x 0x a2
-y0y=1与
直线AF相交于点M,与直线x= 3 相交于点N.证明:当点P
2
在C上移动时, M F 恒为定值③，并求此定值.
|N F |
【题眼直击】
2
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
y x
kx 消t, 去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,①
2 2y2 2,
因为直线与椭圆有两个交点,所以必须Δ>0,②
x1+x2=2 k
4
2
kt
1,x1x2=
2 t 2 ,③2
2k2 1
直线AP方程为y=y 1 1 x+1,与y=0联立得x= x 1 ，即
4
(2)①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为
故所求定值为
MF
2
2
3.
NF 3 3
【拓展提升】 求定值问题常见的方法
(1)从特殊值入手,求出定值,再证明这个值与变量无 关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变 量,从而得到定值.
【变式训练】
已知椭圆C: x 2 y 2 =1(a>b>0)的离心率为 3 ,短轴端
a2 b2
2
所以|(t+1)(t-1)|=|t-1|2,t=1(舍去)或0,
当t=0时,①式Δ>0,符合题意,
所以直线l方程为y=kx,
所以直线l过定点(0,0).
考向二 圆锥曲线中的定值问题 【例2】(2019·深圳一模)如图,已知双曲线C: x 2
a2
y2=1(a>0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线
3 3
).
所以直线l的斜率为
k2 k2
3 3
1 1
3k2 3k2
k
6k 2
3
1
6k 3k2
k2 1， 4k
所以直线l的方程为y= k4 2k 1(xk2 6k 3)k k2 2 3 3， 即y=k 2 1 x 1 .
4k 2
所以直线l过定点 ( 0， 1 ) .
2
【拓展提升】 定点问题的常见解法
第2课时 定值与定点问题
考向一 圆锥曲线中的定点问题 【例1】(2019·大庆一模)已知椭圆C: x 2 +y2=1(a>1)
a2
的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M：(x-3)2+(y-
1)2=3相切①．
(1)求椭圆C的方程. (2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且 APAQ0②，求证:直线l过定点③，并求该定点的坐 标.
【解析】
(1)设F(c,0),因为b=1,
所以c= a 2 1，
直线OB的方程为y=1- x,
a
直线BF的方程为y=1 (x-c),解得 B( c ， c ).
a
2 2a
又直线OA的方程为y=1 x,
a
则A( c
，c a
)k，AB=
c a
(
c 2a
)
3.
c c
a
2
又因为AB⊥OB,所以3 ( 1 =) -1,解得a2=3,
x1
y1 1
M( x 1 , 0 ),
y1 1
同理,N ( x 2 , 0 ),
y2 1
(y1-1)(y2-1)=(kx1+t-1)(kx2+t-1)
=k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2
=t 12 ，
2k2 1
所以|OM|·|ON||=y 1 x 1 1y 2 x 2 1 | |y 1 1 x 1 x y 22 1 | |2 tt 21 1 2| 2 ，
(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所 求定点.
(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.
【变式训练】
(2019·北京高考)已知椭圆C:
x2 a2
y2 b2
=1的右焦点为
(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程.
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两 个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于 点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
【解析】(1)由已知,c=1,b=1,又a2=b2+c2, 所以a2=2, 所以C的方程为 x 2 +y2=1.
直,故可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为
y=- 1 x+1.
k
y kx 1，
联立得方程组
x2 3
y2
1，
整理得(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或x= 6 k ，
1 3k2
故点P的坐标为(163kk2 ,1133kk22 )，
同理,点Q的坐标为
(
6k k2
，k2 3 k2
3
)，
2
2 3y0
2x0 32
则
MF2 NF2
3y02
1 4
(
32x0 3)2
3y02
2x0 32
9y02 4
94x0
22
4 3
2x0 32 3y02 3x0 22
.
因为P(x0,y0)是C上一点,则
x 02 3
=y 012 ,代入上式得
M N F F 2 2 4 3x 0 2 3 2 x 0 3 x 3 0 2 2 2 4 34 x 0 2 2 x 0 1 2 x 3 0 2 9 4 3 ,
【题眼直击】
【解析】(1)圆M的圆心为(3,1),半径r= 3.
由题意知A(0,1),设F(c,0),
所以直线AF的方程为x +y=1,即x+cy-c=0,
c
由直线AF与圆M相切,得3 c c 3，
c2 1
解得c2=2,a2=c2+1=3, 故椭圆C的方程为x 2 +y2=1.
3
(2)由 AP A=Q0知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂
aa
故双曲线C的方程为x 2 -y2=1.
3
(2)由(1)知a= 3 ,则直线l的方程为
即y= x 0 x 3 .
3y0
因为直线AF的方程为x=2,
-x 3y0 x 0y=1(y0≠0),
所以直线l与AF的交点为M(2, 2x 0 3 ),
3y0
直线l与直线x= 3
的交点为N (
3
3 ，2
x
0
