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高考数学 冲刺60天解题策略 专题五 立体几何 第二节点、直线、平面之间的位置关系立体几何中点.直线.平面之间的位置关系是高考命题的重点和热点，其中线面垂直的判定和性质几乎年年出现，面面垂直的性质和判定定理也是高考的一个热点，同时各平行的判定和性质也仍会被关注，考题以选择.填空.解答题的形式出现，属中档或中高档题，难度一般控制在0.50~0.75之间.考试要求 （1）理解空间点.直线.平面位置关系的定义；（2）理解线线平行，线面平行，面面平行的判定及性质定理，能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题；（3）理解线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定及性质定理，能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题. 题型一 线面关系判断例1 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿.点拨：考虑全面,准确地将题中符号.文字.图形三种语言进行转化和变换，借助模型.根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断．学科网解析：正确命题的序号是①.③.因为对于①，由于两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此①正确；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但不能确定它们平行，因此②是错误的；对于③，因为直线n 可能位于平面α内，因此③是错误的；对于④，因为两条平行线中一条垂直一个平面,则另一条也垂直于跟它平行的平面,④是正确的.易错点：对于③考虑不全面：认为两直线平行，其中一条直线平行一 个平面，那么另一条直线也平行这个平面，因此③是正确的. 变式与引申1.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是学科网A ．若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβB ．若//,//,//,m n αβαβ则//m nC ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若//,//,//,m n m n αβ则//αβ 题型二 空间的平行关系例2 已知：如图5-2-1，正四棱锥ABCD P -中， M 、N 分别为PA 、BD 上的点，且有MP AM NB DN ::=.求证：直线MN //平面PBC 点拨：证明线面平行的一般思路和方法是使用判定定理， 在平面内“找”一条与已知直线平行的直线， 为了作 平行直线，还需要转化为先作平面，即过所证直线作一平面，使这一平面与所证平面相交，并且交线与所证直线平行.可采用构造三角形，利用三角形中位线定理及其推广作平行线,也中通过构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行来作平行线，A BCDM NP图5-2-1还可以使用面面平行的性质定理来证.证明:方法1连AN 并延长交BC 于Q .连接PQ , 如图5-2-2,由正四棱锥的性质，有AD //BC . 由此可证明AND ∆～QNB ∆.则NB DN NQ AN ::=. 由已知：MP AM NQ AN MP AM NB DN ::,::=∴=PQ MN //∴.又⊂PQ 平面⊄MN PBC ,平面PBC ，//MN ∴平面PBC .方法2作AB ME //交PB 于E ，作DC NF // 交BC 于F ，连EF ，如图5-2-3//,::.ME AB ME AB PM PA ∴= ① BD NB DC NF DC NF ::,//=∴ ②由已知,::NB DN MP AM =可得BD NB PA PM ::=再由①②可得DC NF AB ME ::=.由正四棱锥的性质，有DC AB =.所以，NF ME =.由AB ME //，NF 得ME DC AB DC NF //,//,//.则四边形MNFE 为平行四边形，所以.//EF MN 又EF ⊂平面,PBC ⊄MN 平面PBC .所以//MN 平面PBC.易错点：利用已知条件MP AM NB DN ::=出错，不能准确得出所需结论. 变式与引申C ABDM NP图5-2-2QABCDM NP图5-2-3F E2.如图图5-2-5：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==AB PA . (1) 证明：BC ⊥平面AMN ； (2)求三棱锥AMC N -的体积；(3)在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ； 若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.题型三 空间的垂直关系例3 如图5-2-6，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED,FB=a 5 （1）证明：EB ⊥FD（2）求点B 到平面FED 的距离.点拨 设法证明⊥BE 平面FBD 即可 （1）证明 ： ∵点E 为AC 的中点，且,AB BC AC =为直径 ∴EB AC ⊥ FC BED ⊥平面，且BE BED ∈平面∴FC BE ⊥∵FC∩AC=C ∴BE⊥平面FBD ∵FD∈平面FBD ∴EB⊥FD（2）解：∵FC BED ⊥平面，且BD BED ⊂平面 ∴FC BD ⊥又∵BC DC =，∴5FD FB a ==∴3221112253323F EBDFED a V S EB a a a a -==-=,EB BDF FB BDF ⊥⊂平面且平面图5-2-5a a a EB FB EF 652222=+=+=∴a a a BD EB ED BD EB 542222=+=+=∴⊥ 222221)26()5(621a a a S FED =-⋅⋅=∴∆ 则点B 到平面FED 的距离a S V d FED EBD F 2121431==∆-易错点 利用等体积法求距离时，容易出错. 变式与引申3.如图5-2-7，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，2AB ＝BC ＝BB 1＝a ，且A 1C ∩AC 1＝D ，BC 1∩B 1C ＝E ，截面ABC 1与截面A 1B 1C 交于DE ，(1)求证：A 1B 1⊥平面BB 1C 1C (2)求证：A 1C ⊥BC 1 (3)求证：DE ⊥平面BB 1C 1C题型四 综合运用例4如图5-2-8是某直三棱柱（侧棱与底面垂直） 被削去上底后的直观图与三视图的左视图.俯视图， 在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形， 俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. (1)求出该几何体的体积.(2)若N 是BC 的中点，求证：//AN 平面CME ； (3)求证：平面BDE ⊥平面BCD .点拨(1)先对应求出各边，(2)找线线平行，(3)找线面垂直解：(1)由题意可知：四棱锥ACDE B -中， 平面ABC ⊥平面ACDE ，AC AB ⊥所以，⊥AB 平面ACDE ，又4,2====CD AE AB AC ， 则四棱锥ACDE B -的体积为：4222)24(3131=⨯⨯+⨯=⋅=AB S V ACDE 图5-2-7(2)连接MN ，则,//,//CD AE CD MN又CD AE MN 21==，所以四边形ANME 为平行四边形，EM AN //∴ ⊄AN 平面CME ,⊂EM 平面CME ,所以，//AN 平面CME ；(3)AB AC = ,N 是BC 的中点,BC AN ⊥，又平面⊥ABC 平面BCD ⊥∴AN 平面BCD由(2)知：EM AN //⊥∴EM 平面BCD 又⊂EM 平面BDE 所以，平面BDE ⊥平面BCD .易错点 容易求错相应边的值，很难找出线面垂直. 变式与引申4 .一个多面体的直观图和三视图如图5-2-9所示，其中M.N 分别是A B.AC 的中点，G 是DF 上的一动点.（1）求证：;AC GN ⊥（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明.本节主要考查 （1）线线，线面，面面平行的判定与性质定理；线线，线面，面面垂直的判定与性质定理以及这些知识的综合应用（2）技能技巧；（3）数形结合，转化化归的应用以及观察能力，归纳能力，空间想象能力，运算求解能力等基本数学能力. 点 评（1）平行关系是立体几何中的重点，也是高考中常考热点，在解决线面，面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意转化的方向总是受题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”. （2）证明线面平行可以使用线面平行的判定定理，也可以使用面面平行的性质定理.在证明过程中，画辅助线构造几何图形往往是必不可少的步骤，构造时应紧密结合已知条件和平面几何的有关知识，主要是两条直线平行的判定定理，可以从以下两种情况进行考虑.①用线面平行的判定定理来证：构造一个三角形.或一个平行四边形，使其一边在所证的平面内，利用相关的定理.性质证明两直线平行.②用面面平行的性质定理来证：构造一个平面图形，往往是三角形，使三角形的一边为所证的直线，证明这个三角形另两边与所证的平面平行.（3）垂直关系是立体几何中的必考点，无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件下手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所以证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.（4）解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系： 线线平行（垂直）−−−→←−−−判定性质 线面平行（垂直）−−−→←−−−判定性质面面平行（垂直） （5）对于平行与垂直关系，应根据本节的各种概念，定理多的特点进行复习，重在理清各种定理的特征和关系，总结规律，重视通性通法，培养计算能力和应用能力.习题5－2 1． 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行； （3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号是 ．（写出所有真命题的序号）2．（2011年高考江苏卷）如图5-2-10，在四棱锥ABCDP -中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E.F 分别是AP.AD 的中点 求证：（1）直线EF∥平面PCD ； （2）平面BEF⊥平面PAD3．如图5-2-11，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC的中点.(1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E —ABC 的体积V.4．如图5-2-12，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，4,2,901===︒=∠AA BC AC ACB .E.F 分别是棱CC 1.AB 中点. （1）求证：1BB CF ⊥；（2）求四棱锥A —ECBB 1的体积；（3）判断直线CF 和平面AEB 1的位置关系，并加以证明. 5．如图5-2-13已知直角梯形ABCD中,//AB CD ,,1,2,13,AB BC AB BC CD ⊥===+过A 作AE CD ⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE ∆沿AE 折叠,使得DE EC ⊥.（1）求证：BC CDE ⊥面； （2）求证：//FG BCD 面；（3）在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由.【答案】变式与引申1. C提示：对于//αβ，结合,//,m n αβ⊥则可推得m n ⊥．答案C ．2. (1) 证明：如图5-2-1，因为ABCD 为菱形，所以AB=BC ， 又60ABC ∠=，所以AB=BC=AC ，又M 为BC 中点，所以BC AM ⊥ 而PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD,所以PA BC ⊥又PAAM A =，所以BC ⊥平面AMN（2）解：因为11331222AMC S AM CM ∆=⋅=⨯⨯= 又PA ⊥底面,ABCD 2,PA = 所以1AN =所以，三棱锥N AMC -的体积31=V AMC S AN ∆⋅13313=⨯⨯=(3) 解：存在，取PD 中点E ，连结NE ，EC,AE,因为N ，E 分别为PA ，PD 中点，所以AD NE 21// 又在菱形ABCD 中，1//2CM AD 所以MC NE //，即MCEN 是平行四边形 所以， EC NM //，又⊂EC 平面ACE ，⊄NM 平面ACE 所以MN //平面ACE ， 即在PD 上存在一点E ，使得//NM 平面ACE ，此时122PE PD ==. 3. 证明：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴侧面与底面垂直，即平面A 1B 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，又∵AB ⊥BC ，∴A 1B 1⊥B 1C 1，从而A 1B 1⊥平面BB 1C 1C . (2)由题设可知四边形BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C ，又由(1)可知A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，而BC 1平面BB 1C 1C ，∴A 1B 1⊥BC 1，又∵A 1B 1∩B 1C ＝B 1，且A 1B 1平面A 1B 1C ，B 1C 平面A 1B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ，而A 1C 平面A 1B 1C ，∴BC 1⊥A 1C .(3)∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D 、E 分别为所在侧面对角线的交点，∴D 为A 1C 的中点，E 为B 1C 的中点，∴DE ∥A 1B 1，而由(1)知，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C .∴DE ⊥平面BB 1C 1C .4 .证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD⊥DF,DF=AD=DC(1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC⊥DN 又FD⊥AD FD⊥CD，∴FD⊥面ABCD∴FD⊥AC ∴AC⊥面FDN FDN GN 面⊂ ∴GN⊥AC（2）点P 在A 点处下证：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC GSA GA 面⊂ ∴GA//面FMC 即GP//面FMC习题5-21. （1）（2）提示：（3）条件不充分，推导不出结论（4）少了两“相交”二字2．证明：（1）在△PAD 中，因为E.F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD.又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD. （2）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF⊥平面PAD.又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF⊥平面PAD.3.解：(1)如图5-2-2，在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC .又BC ∥AD ,∴EF ∥AD ,又∵AD ⊄平面PAD ,E F ⊄平面PAD ,∴EF ∥平面PAD .(2)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥PA 交AB 于点G , 则BG ⊥平面ABCD ,且EG =12PA . 在△PAB 中，AD =AB ,∠PAB °,BP =2,∴AP =AB =2,EG =22. ∴S △ABC =12AB ·BC =12×2×2=2, ∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =13×2×22=13.4.证明：（1）如图5-2-3, 三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直棱柱，⊥∴1BB 平面ABC ，又⊂CF 平面ABC ， 1BB CF ⊥∴ （2）解： 三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直棱柱， ⊥∴1BB 平面ABC ，又⊂AC 平面ABC 1BB AC ⊥∴︒=∠90ACB BC AC ⊥∴.1B BC BB =⋂⊥∴AC 平面ECBB 1 AC S V SCBB ECBB A ⋅=∴-1131E 是棱CC 1的中点，2211==∴AA EC图5-2-262)42(21)(2111+⨯+⨯=⋅+=∴BC BB EC S ECBB .426313111=⨯⨯=⋅=∴-AC S V ECBB ECBB A（3）解：CF//平面AEB 1，证明如下：取AB 1的中点G ，联结EG ，FG G F , 分别是棱AB 、AB 1中点.21,//11BB FG BB FG =∴ 又.21,//11BB EC BB EC =EC FG EC FG =∴,//∴四边形FGEC 是平行四边形.//EG CF ∴ 又⊄CF 平面AEB ，⊂EG 平面AEB 1，//CF ∴平面AEB 15.解：如图5-2-4（1）证明：由已知得：,DE AE DE EC ⊥⊥, DE ABCE ∴⊥面 DE BC ∴⊥, BC CE ⊥又,BC DCE ∴⊥面 （2）证明：取AB 中点H ，连接GH ,FH ,//GH BD ∴， //FH BC , //GH BCD ∴面， //FH BCD 面 //FHG BCD ∴面面, //GF BCD ∴面（3）分析可知，R 点满足3AR RE =时，BDR BDC ⊥面面 证明：取BD 中点Q ，连结DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ容易计算513212,2CD BD CR DR CQ =====, 在BDR 中52121BR DR BD ===可知5RQ =, ∴在CRQ 中,222CQ RQ CR += ,∴CQ RQ ⊥ 又在CBD 中,,CD CB Q BD CQ BD =∴⊥为中点,CQ BDR ∴⊥面, BDC BDR ∴⊥面面ABCDEGF 图5-2-4。
高考数学直线和平面的位置关系知识点直线战争面只要三种位置关系。
以下是查字典数学网整理的直线战争面的位置关系知识点，请考生学习。
①直线在平面内有有数个公共点
②直线战争面相交有且只要一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
规则：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角
由此得直线战争面所成角的取值范围为[0，90]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：假设平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp.直线战争面垂直
直线战争面垂直的定义：假设一条直线a和一个平面内的恣意一条直线都垂直，我们就说直线a战争面相互垂直.直线a 叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：假设两条直线同垂直于一个平
面，那么这两条直线平行。
③直线战争面平行没有公共点
直线战争面平行的定义：假设一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线战争面平行的判定定理：假设平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线战争面平行的性质定理：假设一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
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2014届高考数学理科试题大冲关：空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．已知三个命题：①若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；②两两相交的三条直线在同一平面内；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是 ( ) A．0 B．1C．2 D．32.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M3.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为 ( )A．AC⊥BDB． AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线 ( )A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条5．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③6．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为 ( ) A．30° B．45°C．60° D．90°二、填空题7．如图，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．8．下列命题中正确的是________．①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P、Q、R，则P、Q、R 三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；④若a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．三、解答题10．如图所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1的中点．试判断四边形EBFD1的形状．11.如图，已知：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：FE、HG、DC三线共点．12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝AA1＝4，点O是AC的中点．(1)求证：AD1∥平面DOC1；(2)求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．详解答案一、选择题1．解析：当A、B、C三点都在平面α内，且三点共线时，P、A、B、C四点在同一个平面内，故①错误；三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交，但三条直线不在同一平面内，故②错误；两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形，故③错误．答案：A2. 解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．答案：D3. 解析：依题意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又MN⊂平面ACD，且平面ACD∩平面ABC＝AC，因此有MN∥AC，AC∥平面MNPQ.同理，BD∥PN.又截面MNPQ是正方形，因此有AC⊥BD，直线PM与BD所成的角是45°.答案：C4．解析：在EF上任取一点M.直线CD与点M确定的平面与直线A1D1交于点N，则直线MN 与三条直线都相交，由点M的任意性可知这样的直线有无数条．答案：D5．解析：由于两相交直线可确定一个平面，设l 过M 点，与AB 、B 1C 1均相交，则l 与AB 可确定平面α，l 与B 1C 1可确定平面β，又AB 与B 1C 1为异面直线，∴l 为平面α与平面β的交线，如图所示．GE 即为l ，故①正确．由于DD 1过点M ，DD 1⊥AB ，DD 1⊥B 1C 1，BB 1为AB 、B 1C 1的公垂线，DD 1∥BB 1，故②正确． 显然④正确．过M 点有无数个平面与AB 、B 1C 1都相交，故③错误．答案：C6．解析：设AC 中点为O ，则OE ∥SC ，连接BO ，则∠BEO (或补角)即为异面直线BE 和SC所成的角，EO ＝12SC ＝22，BO ＝12BD ＝62，△SAB 中，cos A ＝12AB SA ＝322＝64＝AB 2＋AE 2－BE 22AB ·AE ， ∴BE ＝ 2.△BEO 中，cos ∠BEO ＝12，∴ ∠BEO ＝60°. 答案：C二、填空题7．解析：①③中，GM ∥HN ，所以G 、M 、N 、H 四点共面，从而GH 与MN 共面；②④中，根据异面直线的判定定理，易知GH 与MN 异面．答案：②④8．解析：在①中，因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与平面α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，所以①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错；在④中，由题设知，a 和α相交，设a ∩α＝P ，如图，在α内过点P 的直线l 与a 共面，所以④错．答案：①②9．解析：延长CA 至点M ，使AM ＝CA ，则A 1M ∥C 1A ，∠MA 1B 或其补角为异面直线BA 1与AC 1所成的角，连接BM ，易知△BMA 1为等边三角形，因此，异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°.答案：60°三、解答题10．解：如图，取BB 1的中点M ，连接A 1M 、MF . ∵M 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，∴MF 綊B 1C 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1綊B 1C 1，∴MF 綊A 1D 1.∴四边形A 1MFD 1是平行四边形，∴A 1M 綊D 1F .又E 、M 分别是AA 1、BB 1的中点，∴A 1E 綊BM ，∴四边形A 1EBM 为平行四边形．∴EB 綊A 1M . ∴EB 綊D 1F .∴四边形EBFD 1是平行四边形．又Rt △EAB ≌Rt △FCB ，∴BE ＝BF ，∴四边形EBFD 1为菱形．11. 证明：连结C 1B ，HE ，FG ，由题意知HC 1綊EB ，∴四边形HC 1BE 是平行四边形．∴HE ∥C 1B .又C 1G ＝GC ＝CF ＝BF ，故GF 綊12C 1B ， ∴GF ∥HE ，且GF ≠HE ，∴HG 与EF 相交．设交点为K ，则K ∈HG ，HG ⊂平面D 1C 1CD ，∴K ∈平面D 1C 1CD .∵K ∈EF ，EF ⊂平面ABCD ，∴K ∈平面ABCD . ∵平面D 1C 1CD ∩平面ABCD ＝DC ，∴K ∈DC ，∴FE 、HG 、DC 三线共点．12．解：(1)证明：如图，连接D 1C 交DC 1于点O 1，连接OO 1. ∵O 、O 1分别是AC 和D 1C 的中点，∴OO 1∥AD 1.又OO 1⊂平面DOC 1，AD 1⊄平面DOC 1， ∴AD 1∥平面DOC 1.(2)由OO 1∥AD 1知AD 1和DC 1所成的角等于OO 1和DC 1所成的角．在△OO 1D 中，由题设可得OD ＝52，O 1D ＝52，OO 1＝2 2. 由余弦定理得cos ∠OO 1D ＝522＋22－5222×52×22＝225， 故异面直线AD 1和DC 1所成角的余弦值为225.。
第二节空间点、直线、平面之间的位置关系课程标准1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.考情分析考点考法:以空间几何体为载体,考查基本事实及其结论在判断位置关系、交线问题、求角中的应用.求异面直线所成的角是高考的热点,在各个题型中均有所体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.四个基本事实基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.符号:A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.符号:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.3.空间点、直线、平面之间的位置关系项目直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a ∥b a ∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a ∩b =A a ∩α=A α∩β=l 其他关系图形语言-符号语言a ,b 是异面直线a ⊂α-【微点拨】(1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:,【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号14231.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合B.经过两条相交直线,有且只有一个平面C.两两相交的三条直线共面D.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线【解析】选ACD.A中的两个平面可能相交;B正确;C中的三条直线相交于一点时可能不共面;D中的两条直线可能是平行直线.2.(易错题)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【解析】选B.由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.3.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【解析】选ABD.如图,连接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因为AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1⊂平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,连接B1C,则B1C⊥BC1,因为CD∩B1C=C,CD,B1C⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确.连接A1C1,交B1D1于点O,则易得OC1⊥平面BB1D1D,连接OB,因为OB⊂平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,则易得BC1=2a,OC1=22,所以在Rt△BOC1中,OC1=12BC1,所以∠OBC1=30°,故C错误.因为C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角,易得∠CBC1=45°,故D正确.4.(必修二P134例1变形式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为正方形.【解析】(1)因为四边形EFGH为菱形,所以EF=EH,因为EF=12AC,EH=12BD,所以AC=BD.(2)因为四边形EFGH为正方形,所以EF=EH且EF⊥EH.因为EF∥AC,EH∥BD,且EF=12AC,EH=12BD,所以AC=BD且AC⊥BD.答案:(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD【核心考点·分类突破】考点一空间位置关系的判断[例1](1)(多选题)下列选项正确的是()A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行D.若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l【解析】选AD.对于选项A,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α;若l3与l1相交于B,则交点B在平面α内,同理,l3与l2的交点A也在平面α内,所以AB⊂α,即l3⊂α,选项A正确.对于选项B,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,选项B错误.对于选项C,空间中两条直线可能相交、平行或异面,选项C错误.对于选项D,若直线m⊥平面α,则m垂直于平面α内所有直线.因为直线l⊂平面α,所以直线m⊥直线l,选项D正确.(2)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________.(填序号)【解析】题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以题图②④中GH 与MN异面.答案:②④【解题技法】1.点、线共面的判断方法(1)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或直线也在这个平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.(3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决. 2.两直线位置关系的判断【微提醒】平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线.【对点训练】1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【解析】选C.由题意易知,c与a,b都可相交,也可只与其中一条相交,故A,B均错误;若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据基本事实4,知a∥b,与a,b为异面直线矛盾,D错误.2.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.上述命题中错误的是__________(写出所有错误命题的序号).【解析】由基本事实4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错误;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错误;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b不同在任何一个平面内,故④错误.答案:②③④考点二基本事实及其应用[例2]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.求证:(1)E,F,D,B四点共面;(2)BE,DF,CC1三线共点.【证明】(1)如图,连接EF,BD,B1D1,因为EF是△B1C1D1的中位线,所以EF∥B1D1,因为BB1与DD1平行且相等,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD∥B1D1,所以EF∥BD,所以E,F,D,B四点共面;(2)因为EF∥BD,且EF≠BD,所以直线BE和DF相交,延长BE,DF,设它们相交于点P,因为P∈直线BE,直线BE⊂平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C,因为P∈直线DF,直线DF⊂平面CDD1C1,所以P∈平面CDD1C1,因为平面BB1C1C∩平面CDD1C1=CC1,所以P∈CC1,所以BE,DF,CC1三线共点.【解题技法】1.证明空间点共线问题的方法(1)一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.2.共面、共点问题(1)先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)利用确定平面的定理,如由点构造平行直线、构造相交直线等.【对点训练】1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【解析】选D.因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.所以γ与β的交线必经过点C和点M.2.已知空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD 上的点,且CG=13BC,CH=13DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)三直线FH,EG,AC共点.【证明】(1)连接EF,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为CG=13BC,CH=13DC,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共点.考点三异面直线所成的角[例3](1)如图所示,圆柱O1O2的底面半径为1,高为2,AB是一条母线,BD是圆O1的直径,C是上底面圆周上一点,∠CBD=30°,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.33535B.43535C.3714D.277【解析】选C.连接AO2,设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E,连接CE,易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角,连接CD(图略),在Rt△BCD 中,∠BCD=90°,BD=2,∠CBD=30°,得BC=3,CD=1.又AB=DE=AE=BD=2,AC=B2+B2=7,CE=B2+B2=5,所以在△CAE中,cos∠CAE=B2+B2-B22B·B==3714,即异面直线AC与BD所成角的余弦值为3714.(2)(2023·武汉模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分别为AC,BC的中点,则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为()A .33B .55C .1010D .3010【解析】选D .设AB =2,取A 1B 1的中点F ,连接C 1F ,DF ,DE ,则B 1F =12A 1B 1,因为D ,E 分别为AC ,BC 的中点,所以DE ∥AB ,DE =12AB ,因为A 1B 1∥AB ,A 1B 1=AB ,所以DE ∥B 1F ,B 1F =DE ,所以四边形DEB 1F 为平行四边形,所以DF ∥B 1E ,所以∠C 1DF 为异面直线C 1D 与B 1E 所成的角或补角.因为AB ⊥BC ,AB =BC =AA 1=2,D ,E 分别为AC ,BC 的中点,所以DF =B 1E =12+22=5,C 1F =12+22=5,C 1D =(2)2+22=6,所以cos ∠C 1DF =121D ==3010.【解题技法】求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.(2)求异面直线所成角的三步:一作、二证、三求.①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;③三求:解三角形,求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.【对点训练】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6【解析】选D.如图,连接A1C1,BC1,因为AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体的棱长为2,则PB=6,PC1=2,BC1=22,则PB2+P12=B12,在Rt△PBC1中,因为sin∠PBC1=B1B1=2=12,所以直线PB与AD1所成的角为π6.2.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD, SO=OB=3,SE=14SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为()A .222B .53C .1316D .113【解析】选D .如图,过点S 作SF ∥OE ,交AB 于点F ,连接CF ,则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角.因为SE =14SB ,所以SE =13BE.又OB =3,所以OF =13OB =1.因为SO ⊥OC ,SO =OC =3,所以SC =32.因为SO ⊥OF ,所以SF =B 2+D 2=10.因为OC ⊥OF ,所以CF =10.所以在等腰△SCF 中,tan ∠CSF =113.即异面直线SC 与OE 所成角的正切值为113.【加练备选】平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为()A .32B .22C .33D .13【解析】选A .如图所示,过点A 补作一个与正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体,易知平面α为平面AF 1E ,则m ,n 所成的角为∠EAF 1.因为△AF 1E 为正三角形,所以sin ∠EAF 1=sin 60°=32.。
高中数学高考综合复习专题二十六点、直线、平面之间的位置关系一、知识网络二、高考考点1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的内容.2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.三、知识要点（一）空间直线1、空间两条直线的位置关系（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一个平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.2、平行直线（1）公理4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：设a,b,c为直线，（2）空间等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等.3、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.（2）有关概念：（ⅰ）设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线ａ＇，ｂ＇，并使ａ＇//a，ｂ＇//b,则把ａ＇和ｂ＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.认知：设为异面直线a，b所成的角，则.（ⅱ）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公垂线.（ⅲ）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.（二）空间直线与平面直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内——直线与平面有无数个公共点；（2）直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点；（3）直线和平面平行——直线与平面没有公共点.其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.1、直线与平面平行（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.（2）判定判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.认知：应用此定理证题的三个环节：指出.（3）性质性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l和平面内的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面互相垂直，记作l⊥.（2）判定：判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.符号表示：.（3）性质性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.符号表示：（4）概念（ⅰ）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.（ⅱ）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.（三）空间两个平面1、两个平面的位置关系（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.（2）两个平面的位置关系（ⅰ）两个平面平行——没有公共点；（ⅱ）两个平面相交——有一条公共直线.2、两个平面平行（1）判定判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.判定定理2：（线面垂直性质定理）：垂直于同一条直线的两个平面平行.（2）性质性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.性质定理2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.3、有关概念（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.（2）两个平行平面的公垂线段都相等.（3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.4、认知：两平面平行的判定定理的特征：线面平行面面平行，或线线平行面面平行；两平面平行的性质定理的特征：面面平行线面平行，或面面平行线线平行.它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.四、经典例题例1、在正方体中，E、F、G、H分别为棱BC、、、的中点，求证：（1）；（2）分析：直面线面平行或面面平行的证明，一般是运用相应的判定定理.为此，需要在有关平面内寻找相关直线的平行线.寻找平行线的平面几何方法主要有：（ⅰ）构造平行四边形；（ⅱ）构造三角形中位线或三角形中的成比例线段；（ⅲ）构造梯形注意到已知某些棱的中点，想到找取相关线段的中点，配合原来线段的中点构造上述平面图形.对于（1）适合条件的三角形难以构造，故首选构造平行四边形；对于（2），则由不同图形的构造引出不同的证法.证明：（1）连接，并设，则分别为两底面的中心.取OB中点为M，则由EM为△BOC的中位线得①②注意到为正方形∴∴四边形为矩形∴③∴由①②③得∴四边形为平行四边形∴又∴（2）证明（构造平行四边形）：取中点为N，连接，则由为平行四边形，∴④又连结知四边形为平行四边形∴⑤∴由④⑤得注意到∴⑥同理可得⑦于是由⑥⑦得。
