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常微分方程期末复习提要中央电大 顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。
本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章 初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。
2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。
（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。
3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。
大一常微分方程一知识点总结本文档旨在总结大一常微分方程一课程中的主要知识点，帮助同学们复和回顾相关内容。
1. 什么是微分方程微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
它通常用于描述自然现象中包含变化速率的问题，如物理、工程和经济等领域。
2. 常见的常微分方程类型常微分方程可以分为以下几类：- 一阶常微分方程：只涉及一阶导数的方程。
常见的一阶方程包括分离变量方程、线性方程和齐次方程等。
- 二阶常微分方程：涉及二阶导数的方程。
常见的二阶方程包括常系数二阶齐次方程和非齐次方程等。
3. 常微分方程的解法常微分方程的解法主要有以下几种：- 分离变量法：将方程的未知函数与其导数分开，将方程变为两个可积的方程，再进行求解。
- 变量替换法：通过合适的变量替换，将原方程转化为可以更容易求解的形式。
- 齐次方程的解法：通过适当的变量替换，使得方程变为可以分离变量的形式，然后利用分离变量法求解。
- 常系数二阶齐次方程的解法：通过对方程进行特征根分析，得到方程的通解。
- 非齐次方程的解法：通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
4. 常微分方程的应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 物理学：常微分方程可以用于描述物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、电路中的电流变化等。
- 工程学：常微分方程可以用于描述工程问题中的变化和变化率，如电路中的电压变化、机械系统的振动等。
- 经济学：常微分方程可以用于描述经济系统中的变化和变化率，如经济增长模型、人口增长模型等。
以上是对大一常微分方程一课程的主要知识点的简要总结，希望能够为同学们的学习提供一些帮助和参考。
1.求下列方程的通解。
1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。
1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =， 从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++， 另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。
0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。
t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ， 故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。
常微分方程复习资料一、填空题1. 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2. 方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的基本解组是 ．3. 一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． d y4. 方程d x 的常数解是．5. 方程d y = x 2 + y 2 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．d x6. 若 y =(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，则方程 d yd x与 x 轴相交．= (x ) y 的任一非零解7. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，如果 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，那么它的任一非零解在 xoy 平面上 与 x 轴相切．8. 向量函数组Y 1 (x ), Y 2 (x ), , Y n (x ) 在其定义区间 I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式W (x ) = 0 ， x ∈ I ．9. 方程 x ( y 2 - 1)d x + y (x 2 - 1)d y = 0 所有常数解是 ．10. 方程 y ' + 4 y = 0 的基本解组是 ．d y11. 方程= d x+ 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是．12．若 y = 1 (x ), 二、单项选择题y = 2 (x ) 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．d y1. 方程 d x- 1 = x 3 + y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除 y 轴外的全平面 d y2.f ( y ) 连续可微是保证方程 = d xf ( y ) 解存在且唯一的（）条件．（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分3. 二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个 2 维线性空间（B ）构成一个 3 维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性d y 4. 方程d x2= 3y 3过点(0, 0)有（）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解5. n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间． （A ） n 维 （B ） n + 1维 （C ） n - 1维 （D ） n + 2 维d y 6. 方程= d x+ 2 （）奇解．（A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个 7. 若 y = 1 (x ) ， y = 2 (x ) 是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）． （A ）1 (x ) -2 (x ) （B ）1 (x ) +2 (x ) （C ） C (1 (x ) - 2 (x )) + 1 (x )（D ） C 1 (x ) +2 (x ) 1 - y 2 y x - y =1 - ( y )2 x ⎪ d y ⎪ d y 8.f ' (x , y ) 连续是方程 d y= y d x f (x , y ) 初值解唯一的（ ）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分d y9. 方程= d x 的奇解是（）．（A ） y = xd y（B ） y = 1（C ） y = -1（D ） y = 010.方程 = d x 过点( 2, 1) 共有（）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三11. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A ） n （B ） n -1 （C ） n +1 （D ） n +2 12. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ） 是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解13. 如果 f (x , y ) ，∂f (x , y )∂yd y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 d x f (x , y ) 的任一解的存在区间（）．（A ）必为(-∞, + ∞) 三、计算题（B ）必为(0, + ∞) （C ）必为(-∞, 0) （D ） 将因解而定 求下列方程的通解或通积分：1.d y = y ln y d x2.d y = + yd x x 3.d y = y + xy 5d x4． 2xy d x + (x 2 - y 2 )d y = 0 5． y = xy ' + 2( y ')36.d y= d x xy 1 + x 27.d y+ 3y = e 2xd x 8. (x 3 + xy 2 )d x + (x 2 y + y 3 )d y = 0 9．e y ' + y ' - x = 0 10． yy ' + ( y ')2 = 011.d y = d x y + tan y x x12.d y = d x y + 1x13. (x 2e y - y )d x + x d y = 014． y '(x - ln y ') = 115． yy ' + y '2 + 2x = 017．求下列方程组的通解．⎧d x= y + d t ⎨⎪ = -x ⎩ d t19．求下列方程组的通解1 sin t 16．求方程 y ' - 5 y ' = -5x2 的通解．18．求方程 y ' - y =1 e x 的通解．2五、证明题⎧d x= -x - 2 y d t⎨． ⎪ = 3x + 4 y ⎩ d ty 1 - y 2=1 - u2 ⎰ ⎰ x1. 设 f (x ) 在[0, + ∞) 上连续，且 limx →+∞ f (x ) = 0 ，求证：方程 d yd x+ y = f (x ) 的一切解 y (x ) ，均有 lim y (x ) = 0 ．x →+∞2. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中， p (x ), q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，求证：若 p (x ) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W (x ) 是(-∞, + ∞) 上的严格单调函数．d y3. 设 f (x , y ) 在整个 xoy 平面上连续可微，且 f (x , y 0 ) ≡ 0 ．求证：方程 d x= f (x , y )的非常数解 y = y (x ) ，当 x → x 0 时，有 y (x ) → y 0 ，那么 x 0 必为- ∞ 或+ ∞ ．4. 设 y = 1 (x ) 和 y = 2 (x ) 是方程 y '' + q (x ) y = 0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W (x ) ≡ C ， 其中C 为常数．d y5. 在方程 d xf ( y )( y ) 中，已知 f ( y ) ，'(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，且(±1) = 0 ．求证：对任意 x 0 和y 0 < 1 ，满足初值条件 y (x 0 ) = y 0 的解 y (x ) 的存在区间必为(-∞, + ∞) ．6. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，已知 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续．求证：该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．参考答案一、填空题1．2 2． e x , x e x 3．开 4． y = ±15．xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9． y = ±1, x = ± 1 10． sin 2x , cos 2x 11． D = {(x , y ) ∈ R 2 y > 0}，（或不含 x 轴的上半平面） 12．没有二、单项选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.A7.C8.D 9.D10.B 11.A12.C13.D三、计算题1. 解 当 y ≠ 0 ， y ≠ 1时，分离变量取不定积分，得d y= d x + Cy ln y 通积分为ln y = C e xd y d u2.解 令 y = xu ，则 d xx d u =d x= u + x d x ，代入原方程，得分离变量，取不定积分，得⎰ d u = ⎰ d x + ln C （ C ≠ 0 ）通积分为：arcsin y= ln Cxx3. 解方程两端同乘以 y-5 ，得 y -5 d y= y -4 + xd x令 y -4 = z ，则- 4 y -5 d y = d z，代入上式，得d x d x1 - u2 =⎩通解为 -1 d z- z = x 4 d xz = C e -4x - x + 14原方程通解为y -4 = C e -4x - x + 14∂M 4.解 因为 ∂y = 2x =∂N，所以原方程是全微分方程． ∂x取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为xy 2⎰02xy d x - ⎰y 即x 2 y - 1y 3 = C3 d y = C5. 解 原方程是克莱洛方程，通解为 y = Cx + 2C 36. 解 当 y ≠ 0 时，分离变量得d y = y xd x 1 + x 2等式两端积分得ln y 即通解为= 1 ln(1 + x 2 ) + ln C 2 y = C 7. 解 齐次方程的通解为y = C e -3x令非齐次方程的特解为y = C (x )e -3x代入原方程，确定出原方程的通解为C (x ) = 1 e 5x+ C 5y = C e -3x + 1e 2x5∂M ∂N8.解 由于 ∂y = 2xy =，所以原方程是全微分方程． ∂x取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为 x (x 3 + xy 2 )d x + y y 3d y = C⎰⎰1即x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 = C 9. 解 令 y ' = t ，则原方程的参数形式为⎧x = t + e t⎨y ' = t 由基本关系式1 + x 2y积分有d y = y 'd x = t (1 +e t )d ty = 1t 2 + e t (t - 1) + C2得原方程参数形式通解⎧x = t + e t ⎪ ⎨ y = 1 t 2 + e t(t - 1) + C ⎩⎪ 210. 解 原方程为恰当导数方程，可改写为( yy ')' = 0即分离变量得yy ' = C 1 y d y = C 1d x积分得通积分1 y 2= C x + C2 1 211. 解 令 y = u ，则d y = u + x d u，代入原方程，得x d x d xu + x d u = u + tan u ， x d u = tan ud x d x当tan u ≠ 0 时，分离变量，再积分，得⎰ d u = ⎰ d x + ln C tan u x即通积分为： ln sin u = ln x + ln C sin y = Cx x12. 解 齐次方程的通解为y = Cx令非齐次方程的特解为y = C (x )x代入原方程，确定出原方程的通解为C (x ) = ln x + C y = Cx +x ln x 13. 解 积分因子为(x ) =原方程的通积分为 x (e x-1 x 2y )d x +d y = C⎰1x 2⎰1即e x + y= C , xC = e + C 1）14.解 令 y ' = p ，则原方程的参数形式为⎧x = 1+ ln p⎪ ⎨⎪⎩y ' = p p2 1由基本关系式d y= y ' ，有 d xd y = y 'd x = p ⋅ (- 1p 2 + 1 )d pp积分得= (1 - 1 )d ppy = p - ln p + C 得原方程参数形式通解为 ⎧x = 1+ ln p ⎪⎨⎪⎩y = p - ln p + C 15. 解 原方程可化为( yy ' + x 2 )' = 0 于是y d y+ x 2 = Cd x 1积分得通积分为1y 2 = C x - 1x 3 + C2 13 2（6 分）16. 解对应齐次方程的特征方程为2- 5= 0 ，特征根为1 = 0 ，2 = 5 ，齐次方程的通解为 y = C 1 + C e 5x因为= 0 是特征根。
常微分方程复习课 王进良1．变量分离方程、变量变换变量分离方程：)()(y g x f dxdy =若0)(≠y g ，则有dxx f y g dy )()(=，所以，cdx x f y g dy +=⎰⎰)()(另外，0)(0=y g ，0y y =也是解。
齐次方程：)(xy g dxdy =令，u xy =，则原方程化为xuu g dxdu -=)(，是变量可分离方程，求其通解后，再将u 换为xy，得到原方程的通解。
另外，若00)(u u g =，x u y 0=也是解。
可化为齐次方程：)(222111c y b x a c y b x a g dxdy ++++=（1） 若021==c c ，则)()//(2211xy h xy b a x y b a g dxdy =++=是齐次方程（2） 若kb b a a ==2121，则)())((22222122y b x a h c y b x a c y b x a k g dxdy +=++++=。
令，u y b x a =+22，则)(2u h a dxdu +=是变量分离方程（3） 若02211≠b a b a ，则，令，⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X ，其中，),(βα满足⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a ，原方程化为)()//(2211X Yh X Y b a X Y b a g dX dY =++=2．一阶线性微分方程 一阶齐线性方程：y x P dxdy )(=通解（全部解）⎰=dxx P ce y )(一阶非齐线性方程：)()(x Q y x P dxdy +=通解（全部解）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-dx e x Q c e y dx x P dxx P )()()(，常数变易法Bernoulli 方程：nyx Q y x P dxdy )()(+=令，nyz -=，原方程化为)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -+-=3．恰当方程、积分因子 对称式方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M若xN yM ∂∂=∂∂，此方程是恰当方程，通解为：c dydx y x M yy x N dx y x M =∂∂-+⎰⎰⎰]),(),([),(或解方程组：c y x u N yu M x u=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂),(或分项组合法求解：记住几个常用的全微分公式。
积分因子的求法：若)(x N xN yMϕ=∂∂-∂∂，则积分因子⎰=dxx e x )()(ϕμ若)(y MxN yMψ=-∂∂-∂∂，则积分因子⎰=dyy e y )()(ψμ4．一阶隐方程 （1）),(p x f y =，其中dx dy p =两边对x 求导，dxdp f f p px +=，是显式方程，按以前的方法求解若解为),(c x p ϕ=，则原方程的解为：)),(,(c x x f y ϕ=。
若解为)),(c p x ψ=，则原方程的解为：⎩⎨⎧==)),,((),(p c p f y c p x ψψ。
若解为0),,(=Φc p x ，则原方程的解为：⎩⎨⎧==Φ),(0),,(p x f y c p x 。
（2）),(p y f x =，其中dxdy p =两边对y 求导，dydp f f ppy +=1，是显式方程，按以前的方法求解若解为0),,(=Φc p y ，则原方程的解为：⎩⎨⎧==Φ),(0),,(p y f x c p y 。
（3）),(p x F ，其中dxdy p =参数化：⎩⎨⎧==)()(t p t x ψϕ ，得到，dtt t pdx dy)(')(ϕψ==，⎰=dt t t y )(')(ϕψ。
则原方程的解为：⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰c dt t t y t x )(')()(ϕψϕ。
（4）),(p y F ，其中dxdy p =参数化：⎩⎨⎧==)()(t p t y ψϕ ，得到，dtt t dy p dx)()('1ψϕ==，⎰=dtt t x )()('ψϕ。
则原方程的解为：⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰c dt t t x t y )()(')(ψϕϕ。
5．一阶微分方程界的存在唯一性定理 定理：如果),(y x f 在}||,|||),{(00b y y a x x y x R ≤-≤-=上连续，且关于y 满足Lipschitz条件：|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-，Ry x y x ∈∀),(),,(21，0>L ，则方程),(y x f dxdy =存在唯一的解)(t x ϕ=，定义在区间],[00h x h x +-上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中},min{Mb a h =，|),(|max ),(y x f M Ry x ∈=。
证明思路：（1）先证⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(yx y y x f dxdy的解等价于⎰+=x x dxy x f y y 0),(0的连续解。
（2）证明积分方程的解存在唯一 任取00)(y x =ϕ，令，⎰+≡x x dxx x f y x 0))(,()(001ϕϕ若)()(01x x ϕϕ≡，则)(1x ϕ是积分方程的解；否则 令，⎰+≡x x dxx x f y x 0))(,()(102ϕϕ若)()(12x x ϕϕ≡，则)(2x ϕ是积分方程的解；否则重复上述步骤， 一般地，作函数(*)))(,()(010 ⎰-+≡x x n n dx x x f y x ϕϕ，得到函数序列)}({x n ϕ，若对于某个n ，)()(1x x n n ϕϕ≡+，则)(x n ϕ是积分方程的解若没有上述情况发生，则可以证明：)()(limx x n n ϕϕ=∞→，一致成立。
对于（*）两边取极限: ⎰+≡x x dxx x f y x 0))(,()(0ϕϕ.)(x ϕ是积分方程的解。
注：)(x n ϕ是n 次近似解，且1)!1(|)()(|++≤-n nn hn MLx x ϕϕ6．奇解（积分曲线的包络） 求微分方程：0)',,(=y y x F 的奇解⎩⎨⎧==0),,(0),,(p y x F p y x F p消去p 得到微分方程的-p 曲线在进一步验证，若是解曲线，则是奇解；否则不是奇解。
特别地，Clairaut 方程：)(p f xp y +=通解：)(c f cx y +=奇解：⎩⎨⎧+=+)()('p f xp y p f x7．线性微分方程的解的结构)1.4()()()()(1111 t f x t a dt dx t a dt xdt a dtx d n n n n n n=++++---)2.4(0)()()(1111 =++++---x t a dtdx t a dtxdt a dtx d n n n n nn存在唯一性定理：叠加)(,),(1t x t x n 是（4.2）的解⇒)()(11t x c t x c n n ++ 是（4.2）的解（4.2）的解)(,),(1t x t x n 在],[b a 上线性无关⇔在],[b a 上0],,[)(1≠=n x x W t W ，],[b a t ∈∀。
（)(t W 在[a,b ]恒为0，或恒不为0）齐线性方程通解定理： )(,),(1t x t x n 是（4.2）的n 个线性无关解，则（4.2）的通解（所有解）可表示为：)()()(11t x c t x c t x n n ++= 注：全体解构成一个n 维线性空间非齐线性方程解的性质：（i ）(4.1)的解与(4.2)的解之和为(4.1)的解。
（ii ）(4.1)的两解之差为(4.2)的解。
非齐线性方程通解定理： )(,),(1t x t x n 是（4.2）的n 个线性无关解，而)(t x （4.1）的解，则（4.2）的通解（所有解）可表示为：)()()(11t x c t x c t x n n ++= 。
已知（4.2）的基本解组)(,),(1t x t x n ，用常数变易法求（4.1）的解⎪⎩⎪⎨⎧=++=++--)()(')('0)(')(')1()1(1111t f t x c t x c t x c t x c n n n n n n)('t c i i ϕ=⇒⎰+=⇒iii dt t c γϕ)(8．常系数齐线性微分方程的解法)19.4(01111=++++---x a dtdx a dtxda dtx d n n n n n n特征方程：0111=++++--n n n na a a λλλ（1）单个实特征根λ，对应（4.19）的一个解：t e 1λ； （2）单个复特征根βαλi ±=，对应（4.19）的两个解：te tβαcos，t e tβαsin ；（3）k 重实特征根λ，对应（4.19）的k 个解：tk ttettee 1111,,,λλλ- ；（4）k重复特征根βαλi ±=，对应（4.19）的k2个解：tett te t etk ttβββαααcos ,,cos ,cos 1- ，t e t t te t e t k t t βββαααsin ,,sin ,sin 1- ；由此可以找到（4.19）的n 个线性无关解，即基本解组。
Euler 方程：)29.4(011111 =++++----y a dxdy xa dxydxa dxy d xn n n n n nnn通过t e x =，可以将（4.29）化为（4.19）的形式。
特征方程：0)2()1()1()1(11=++++--++---n n a K a n K K K a n K KKk 重实根K 对应（4.29）的k个线性无关解：||ln,|,|ln ,1x x x xxk K K K - 。
k重复根βαi +对应（4.29）的k2个线性无关解：|)|ln sin(||ln,|),|ln sin(||ln |),|ln sin(|)|ln cos(||ln ,|),|ln cos(||ln |),|ln cos(11x x x x x x x x x x x x x x x x k k ββββββαααααα-- 。
9．常系数非齐线性微分方程的解法)32.4()(1111t f x a dtdx a dtxda dtx d n n n n n n=++++---比较系数法： （1）tm et P t f λ)()(=，其中)(t P m 是m 次多项式有特解：)(t A e t xm tkλ=，其中，)(t A m 是待定的m 次多项式，k 为λ作为特征根的重数 （2）tet t Q t t P t f αββ]sin )(cos)([)(+=，其中)(),(t Q t P 是不高于m 次多项式。
