湖南省衡阳市第八中学2017届高三高考适应性考试(5月) 数学(文) Word版含答案

2017年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1}2．已知=1+bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+b=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣13．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．在等差数列{a n}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（）A．20 B．22 C．24 D．285．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为3，3，7，则输出的s=（）A．9 B．21 C．25 D．346．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或37．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（﹣8）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．38．已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．39．如图所示，三棱锥V﹣ABC的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，侧面V AC与底面ABC 垂直，若以垂直于平面V AC的方向作为正视图的方向，垂直于平面ABC的方向为俯视图的方向，已知其正视图的面积为2，则其侧视图的面积是（）A． B．C．2D．310．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z）C．[6k，6k+3]（k∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）11．如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=（）A． B．C．D．12．已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）A．lna＞b﹣1 B．lna＜b﹣1 C．lna=b﹣1 D．以上都不对二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ=．14．在区间（0，6）上随机取一个实数x，则满足log2x的值介于1到2之间的概率为．15．由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是 ．16．在数列{a n }及{b n }中，a n +1=a n +b n+，b n +1=a n +b n﹣，a 1=1，b 1=1．设c n=，则数列{c n }的前2017项和为 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 为边AB 上的一点，记∠BDC=θ，若＜θ＜π，CD=2，，a=，求sinθ与b的值．18．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：（2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；（3）在空气质量指数分别属于[50，100）和[150，200）的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A”两天空气都为良“发生的概率．19．如图，空间几何体ADE ﹣BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．（1）求证：AE⊥CD；（2）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM﹣BCF的体积．20．已知抛物线x2=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且k PA k PB=﹣2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．四、选做题22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．选做题23．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a的最大值为k，且m+n=2k（m＞0，n＞0），求证： +≥3．2017年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】把A中元素代入y=|x|﹣3中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，分别代入y=|x|﹣3得：y=﹣3，﹣2，﹣1，0，即B={﹣3，﹣2，﹣1，0}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：C．2．已知=1+bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+b=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件即可求出a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=1+bi，∴a+i=i﹣b，∴a=﹣b，∴a+b=0，故选：A3．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，可得（0，b）在圆内，b2＜1，求出﹣1＜b＜1，即可得出结论．【解答】解：直线y=x+b恒过（0，b），∵直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，∴（0，b）在圆内，∴b2＜1，∴﹣1＜b＜1；0＜b＜1时，（0，b）在圆内，∴直线y=x+b与圆x2+y2=1相交．故选：B．4．在等差数列{a n}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（）A．20 B．22 C．24 D．28【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由等差数列通项公式求出a8=24，2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8，由此能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a6+a8+a10=72，∴a6+a8+a10=3a8=72，解得a8=24，∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8=24．故选：C．5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为3，3，7，则输出的s=（）A．9 B．21 C．25 D．34【考点】EF：程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为3时，S=3，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为3时，S=9，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为7时，S=25，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为25，故选：C．6．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，即2sinαcosα=c os2α，①当cosα=0时，，此时，②当cosα≠0时，，此时，综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．故选：D．7．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（﹣8）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0，由函数的解析式可得f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1），又由函数f（x）的奇偶性，结合函数奇偶性的性质可得g（x）=﹣log（﹣x+1），计算g（﹣8）计算可得答案．【解答】解：根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0，又由f（x）=，则有f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1），又由函数f（x）为奇函数，则有g（x）=﹣log（﹣x+1），故g（﹣8）=﹣log[﹣（﹣8）+1]=﹣2；故选：A．8．已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．3【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由离心率公式，可得a，b，c的关系，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由双曲线E的离心率是2，可得e==2，即c=2a，b==a，直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．即有|k|=．故选：B．9．如图所示，三棱锥V﹣ABC的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，侧面V AC与底面ABC 垂直，若以垂直于平面V AC的方向作为正视图的方向，垂直于平面ABC的方向为俯视图的方向，已知其正视图的面积为2，则其侧视图的面积是（）A． B．C．2D．3【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意作VD⊥AC，垂足为D，△V AC是正视图，根据正视图与侧视图的高相等，结合三棱锥的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，即可求出侧视图的面积．【解答】解：由题意，作VD⊥AC，垂足为D，则△V AC是正视图，如图所示∵正视图的面积为2，∵×AC×VD=2，∴AC×VD=4，作BE⊥AC，垂足为E，∵三棱锥V﹣ABC的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，∴BE=AC，VD•BE=•AC•VD=．∴侧视图的面积是S侧视图=故选：B．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z）C．[6k，6k+3]（k∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值．从这两个方面考虑可求得参数ω、φ的值，进而利用三角函数的单调性求区间．【解答】解：与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8知函数的周期为T==2（﹣），得ω=，再由五点法作图可得•+φ=，求得φ=﹣，∴函数f（x）=Asin（x﹣）．令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z，解得：6k+3≤x≤6k+6，k∈z，∴即x∈[6k﹣3，6k]（k∈Z），故选：D．11．如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=（）A． B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】连接BD交AC于O，连接OB1，过O作OM⊥BC于M，连接B1M，B1A，B1C．求出α=90°，证明OM⊥平面BCC1B1，得出cos（α﹣β）=sinβ=．【解答】解：连接BD交AC于O，连接OB1，过O作OM⊥BC于M，连接B1M，B1A，B1C．∵B1A=B1C，O是AC的中点，∴OB1⊥AC，∵B1E OB，∴四边形ODEB1是平行四边形，∴OB1∥DE，∴DE⊥AC，∴直线AC与直线DE所成的角为α=90°，∵OM⊥BC，OM⊥BB1，∴OM⊥平面BCC1B1，∴∠OB1M为直线DE与平面BCC1B1所成的角β，∴cos（α﹣β）=sinβ=，∵正方体的棱长AB=2，∴OM=1，OB==，∴OB1==，∴sinβ==．故选A．12．已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）A．lna＞b﹣1 B．lna＜b﹣1 C．lna=b﹣1 D．以上都不对【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出f（x）的导数得到b=3a﹣1，作差令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a＞0），根据函数的得到求出g（a）的最大值小于0，从而判断出lna和b﹣1的大小即可．【解答】解：f′（x）=3ax2﹣b﹣，∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=3a﹣b﹣1=0，即3a﹣1=b，令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a＞0），则g′（a）=﹣3=，令g′（a）＞0，解得：0＜a＜，令g′（a）＜0，解得：a＞，故g（a）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故g（a）max=g（）=1﹣ln3＜0，故lna＜b﹣1，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ=﹣1．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】先求得得和的坐标，再根据|+|=|﹣|，求得λ 的值．【解答】解：由题意可得=（2λ+2，2），=（﹣2，0），再根据|+|=|﹣|，可得=，解得λ=﹣1，故答案为：﹣1．14．在区间（0，6）上随机取一个实数x，则满足log2x的值介于1到2之间的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，则log2x的值介于1到2之间的概率P==，故答案为：．15．由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先画出由约束条件确定的可行域D，由可行域能被圆覆盖得到可行域是封闭的，判断出直线y=kx+1斜率小于等于即可得出k的范围．【解答】解：∵可行域能被圆覆盖，∴可行域是封闭的，作出约束条件的可行域：可得B（0，1），C（1，0），|BC|=，结合图，要使可行域能被为半径的圆覆盖，只需直线y=kx+1与直线y=﹣3x+3的交点坐标在圆的内部，两条直线垂直时，交点恰好在圆上，此时k=，则实数k的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：．16．在数列{a n }及{b n }中，a n +1=a n +b n +，b n +1=a n +b n ﹣，a 1=1，b 1=1．设c n =，则数列{c n }的前2017项和为 4034 ． 【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】由已知可得a n +1+b n +1=2（a n +b n ），a 1+b 1=2，a n +1b n +1=，即a n b n =2n﹣1．代入c n =，求得数列{c n }为常数数列得答案．【解答】解：∵a n +1=a n +b n +，b n +1=a n +b n ﹣，a 1=1，b 1=1．∴a n +1+b n +1=2（a n +b n ），a 1+b 1=2． ∴a n +b n =2n ．另一方面：a n +1b n +1=，∴a n b n =2n ﹣1．∴c n ===，则数列{c n }的前2017项和S 2017=2017×2=4034． 故答案为：4034．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 为边AB 上的一点，记∠BDC=θ，若＜θ＜π，CD=2，，a=，求sinθ与b的值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=，结合范围0＜B ＜π，可求B的值．（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理可得=，解得sinθ=，结合θ为钝角，利用诱导公式可求cos∠ADC的值，在△ADC中，由余弦定理，可得b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵，∴可得：，∵sinC＞0，∴=tanB=，∵0＜B＜π，∴B=…4分（Ⅱ）在△BCD中，∵=，∴=，∴sinθ=，…8分∵θ为钝角，∴∠ADC为锐角，∴cos∠ADC=cos（π﹣θ）==，∴在△ADC中，由余弦定理，可得：b=== (12)分18．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：（2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；（3）在空气质量指数分别属于[50，100）和[150，200）的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A”两天空气都为良“发生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）利用统计表和频率分布直方图能求出n，m的值，并能完成频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数．（3）空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分布抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．从中任取2天，利用列举法能求出事件A”两天空气都为良“发生的概率．【解答】解：（1）∵0.004×50=，解得n=100，∵20+40+m+10+5=100，解得m=25，=0.008，，，．完成频率分布直方图如右图：（2）由频率分布直方图知该组数据的平均数为：=25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95．∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为0.008×50=0.4，∴该组数据的中位数为：=87.5．（3）空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分布抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．从中任取2天的基本事件分别为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），（d ，e ），共10天，基其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共6天，∴事件A”两天空气都为良“发生的概率P （A ）=．19．如图，空间几何体ADE ﹣BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB=AD=DE=2，EF=4，M 是线段AE 上的动点． （1）求证：AE ⊥CD ；（2）试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由； （3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM ﹣BCF 的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出CD ⊥ED ，AD ⊥DC ，从而CD ⊥平面AED ，由此能证明AE ⊥CD ．（2）当M 是线段AE 的中点时，连结CE 交DF 于N ，连结MN ，则MN ∥AC ，由此得到AC ∥平面MDF ．（3）将几何体ADE ﹣BCF 补成三棱柱ADE ﹣B′CF ，空间几何体ADM ﹣BCF 的体积V ADM ﹣BCF =﹣V F ﹣DEM ，由此能求出空间几何体ADM ﹣BCF 的体积．【解答】证明：（1）∵四边形CDEF 是矩形，∴CD ⊥ED ，… ∵AD ⊥DC ，AD ∩ED=D ， ∴CD ⊥平面AED ，…∵AE ⊂平面AED ，∴AE ⊥CD ． …解：（2）当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF ，…证明如下：连结CE 交DF 于N ，连结MN ， ∵M 、N 分别是AE 、CE 的中点，…∴MN ∥AC ，又MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ，…∴AC ∥平面MDF … （3）将几何体ADE ﹣BCF 补成三棱柱ADE ﹣B′CF ，∴三棱柱ADE ﹣B′CF 的体积V=S △ADE •CD==8，…空间几何体ADM ﹣BCF 的体积：V ADM ﹣BCF =﹣V F ﹣DEM=8﹣﹣=．…∴空间几何体ADM ﹣BCF 的体积为．…20．已知抛物线x 2=2y ，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，且k PA k PB =﹣2． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由． 【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）直线PA ：y ﹣y 0=k PA （x ﹣x 0），代入抛物线方程，得出，同理，有，k PA ，k PB 分别为方程：k 2﹣2x 0k +2y 0=0的两个不同的实数根，利用韦达定理求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）求出直线AB 的方程，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设P （x 0，y 0），则直线PA ：y ﹣y 0=k PA （x ﹣x 0），代入抛物线方程：x 2﹣2k PA x ﹣2y 0+2k PA x 0=0，因为直线与抛物线相切，所以，…同理，有，…所以k PA ，k PB 分别为方程：k 2﹣2x 0k +2y 0=0的两个不同的实数根，…k PA k PB=﹣2=2y0，所以y0=﹣1，所以点P的轨迹方程为y=﹣1．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，y'=x，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为x1x﹣y﹣y1=0，x2x﹣y﹣y2=0，…又都过点P（x0，﹣1），所以…所以直线AB的方程为xx0﹣y+1=0，…所以直线AB恒过定点（0，1）．…21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．四、选做题22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，利用参数方程，求点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为=1直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4化为：（ρsinθ+ρcosθ）=4，化成直角坐标方程为：x+y﹣8=0；（2）P（cosα，sinα）到直线x+y﹣8=0的距离d==，∴sin（α+θ）=1时，d的最小值为．选做题23．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a的最大值为k，且m+n=2k（m＞0，n＞0），求证： +≥3．【考点】7F：基本不等式；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，即可得到a的范围，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得m+n=3，则（+）=（+）（m+n）=（1+4++），根据基本不等式即可证明．【解答】解：（Ⅰ）∵|2x﹣1|+|x+1|﹣a≥0，∴a≤|2x﹣1|+|x+1|，根据绝对值的几何意义可得|2x﹣1|+|x+1|的最小值为，∴a≤，证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a的最大值为k=，∴m+n=3，∴（+）=（+）（m+n）=（1+4++）≥（5+2）=3，问题得以证明．。

2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．i是虚数单位，复数z=1+在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函数的最小正周期为（）A．2πB． C．πD．4．如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A．B．C．D．5．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．86．设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（）A．B． C．D．7．已知实数a i，b i∈R，（i=1，2，…n），且满足a12+a22+…a n2=1，b12+b22+…b n2=1，则a1b1+a2b2+…+a n b n的最大值为（）A．1 B．2 C．n D．28．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（）A．2盏B．3盏C．4盏D．7盏9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．B．1+C．1+D．1++10．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜2011．已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=012．设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二.填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是．14．已知点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为．16．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则瓶子半径为cm时，每瓶饮料的利润最小．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列a n的各项为正数，前n和为S n，且．（1）求证：数列a n是等差数列；（2）设，求T n．18．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣GBF的体积．19．某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）设m、n表示某两个地区的零售价格，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．20．已知点P在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且•=2，tan∠OPF2=，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点M（﹣1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若=2，求直线l的方程；（3）作直线l1与椭圆D： +=1交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（﹣2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足•=4，求实数t的值．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．[选修4-4．坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5．不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|．（1）解不等式f（x）≥8；（2）若不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故选D．2．i是虚数单位，复数z=1+在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．【解答】解：复数z=1+=1=1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．函数的最小正周期为（）A．2πB． C．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：由可得最小正周期为T==2π，故选A．4．如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；扇形面积公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙P的面积比．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，其面积为⊙C的面积=π•r2，连接OC，延长交扇形于P．由于CE=r，∠BOP=，OC=2r，OP=3r，==；则S扇形AOB∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是．∴概率P=，故选C．5．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a 的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数奇偶性的性质．【分析】令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故选D．6．设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（）A．B． C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】根据向量平行时满足的条件，列出关系式，化简后得到sin2θ的值，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin2θ的值代入即可求出值．【解答】解：∵∥，∴=，即sin2θ=，则cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故选D7．已知实数a i，b i∈R，（i=1，2，…n），且满足a12+a22+…a n2=1，b12+b22+…b n2=1，则a1b1+a2b2+…+a n b n的最大值为（）A．1 B．2 C．n D．2【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】由条件利用柯西不等式可得（a12+a22+…+a n2）•（b12+b22+…+b n2）=1≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2，由此求得a1b1+a2b2+…+a n b n的最大值．【解答】解：∵a12+a22+…+a n2=1，b12+b22+…+b n2=1，则由柯西不等式可得（a12+a22+…+a n2）•（b12+b22+…+b n2）≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2，即1×1≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2，故（a1b1+a2b2+…+a n b n）2的最大值为1，故a1b1+a2b2+…+a n b n的最大值为1，故选：A．8．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（）A．2盏B．3盏C．4盏D．7盏【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设每层塔的灯盏数为a n，数列{a n}是公比为2的等比数列．由题意可得：，解得a1=3，故选：B．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．B．1+C．1+D．1++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原几何体是四分之一圆锥，根据数据计算即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个沿着对称轴切开的四分之一圆锥，该圆锥的母线l长，其侧面积为：•+2•=1+，故选：C．10．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】循环结构．【分析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A11．已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出D的坐标，由题意列式求出D的坐标，结|MF|=3|DF|，求得M的坐标，再把M的坐标代入双曲线方程求得答案．【解答】解：由x2+y2﹣y+=0，得x2+（y﹣）2=，则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．设切点D（x0，y0）（y0＞0），则由x2+y2﹣y+=0与（x0，y0﹣c）•（x0，y0﹣）=0，解得：x0=，y0=．∴D（，），由|MF|=3|DF|，得=3，得M（，﹣），代入双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±x．故选：D．12．设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB 的面积的取值范围是（0，1）． 故选：A ．二.填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f （x ）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a 的取值范围是 （1，3] ．【考点】指数函数单调性的应用．【分析】由题意可得 a ＞1且 a 0≥3a ﹣8，由此求得实数a 的取值范围．【解答】解：∵函数是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴a ＞1且 a 0≥3a ﹣8，解得 1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是（1，3]， 故答案为 （1，3]． 14．已知点 A （0，2）为圆M ：x 2+y 2﹣2ax ﹣2ay=0外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT=45°，则实数a 的取值范围是 ≤＜或≤ ． 【考点】圆的一般方程．【分析】化标准方程易得圆的圆心为M （a ，a ），半径r=a ，由题意可得1≥≥sin ∠MAT ，由距离公式可得a 的不等式，解不等式可得．【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2=2a 2，∴圆的圆心为M （a ，a ），半径r=|a |，∴AM=，TM=|a |，∵AM 和TM 长度固定，∴当T 为切点时，∠MA T 最大，∵圆M 上存在点T 使得∠MAT=45°，∴若最大角度大于45°，则圆M 上存在点T 使得∠MAT=45°，∴=≥sin ∠MAT=sin45°=，整理可得a 2+2a ﹣2≥0，解得a ≥或a ≤，又=≤1，解得a ≤1，又点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1综上可得≤a＜1或a≤故答案为：≤a＜1或a≤15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为4或．【考点】球的体积和表面积．【分析】设AB=2x，则AE=x，BC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，求出x，即可求出球O的直径．【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，∴AC=由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，∴x=1或，∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，或AB=2，BC=，球O的直径为=．故答案为：4或．16．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则瓶子半径为1cm时，每瓶饮料的利润最小．【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．【解答】解：由于瓶子的半径为rcm，每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6cm，∴每瓶饮料的利润是y=f（r）=0.2×πr3﹣0.8πr2，0＜r≤6，令f′（r）=0.8πr2﹣0.8πr=0，则r=1，当r∈（0，1）时，f′（r）＜0；当r ∈（1，6）时，f ′（r ）＞0．∴函数y=f （r ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增， ∴r=1时，每瓶饮料的利润最小． 故答案为：1．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列a n 的各项为正数，前n 和为S n ，且．（1）求证：数列a n 是等差数列；（2）设，求T n ．【考点】等差关系的确定；数列的求和．【分析】（1）先根据a 1=求出a 1的值，再由2a n =2（S n ﹣S n ﹣1）可得，将其代入整理可得到（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0，再由a n +a n ﹣1＞0可得到a n ﹣a n ﹣1=1，从而可证明{a n }是等差数列．（2）先根据（1）中的{a n }是等差数列求出其前n 项和Sn ，进而可表示出数列b n 的通项公式，最后根据数列求和的裂项法进行求解即可． 【解答】解：（1），n=1时，，∴所以（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0， ∵a n +a n ﹣1＞0∴a n ﹣a n ﹣1=1，n ≥2， 所以数列{a n }是等差数列（2）由（1），所以∴=18．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 的交点为G ，AD ⊥平面ABE ，AE ⊥EB ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥CE ． （Ⅰ） 求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求三棱锥C ﹣GBF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面ABE ，可得BC ⊥AE ．再利用线面垂直的判定定理可得AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）由三角形的中位线定理可得：FG ∥AE ，．利用线面垂直的性质可得FG⊥平面BCE ．再利用“等体积变形”即可得出V C ﹣GBF =V G ﹣BCF 计算出即可． 【解答】（I ）证明：∵AD ⊥面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥面ABE ，AE ⊂平面ABE ， ∴AE ⊥BC ．…又∵AE ⊥EB ，且BC ∩EB=B ，∴AE ⊥面BCE ．… （II ）解：∵在△BCE 中，EB=BC=2，BF ⊥CE ， ∴点F 是EC 的中点，且点G 是AC 的中点，…∴FG ∥AE 且． …∵AE ⊥面BCE ，∴FG ⊥面BCE ． ∴GF 是三棱锥G ﹣BFC 的高 …在Rt △BCE 中，EB=BC=2，且F 是EC 的中点．…∴．…19．某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）设m 、n 表示某两个地区的零售价格，且已知m ，n ∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m ﹣n |＞1”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）价格在[16，17﹚内的频数为0.32，价格在[16，17﹚内的地区数为16，设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x﹣15）×0.38=0.5，能计该商品价格的中位数．（Ⅱ）由直方图知，价格在[13，14）的地区数为3，价格在[17，18）的地区数为4，由此能求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．【解答】解：（Ⅰ）价格在[16，17﹚内的频数为1﹣（0.06+0.08+0.16+0.38）=0.32，所以价格在[16，17﹚内的地区数为50×0.32=16，…设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x﹣15）×0.38=0.5，解得：x≈15.7（元）估计该商品价格的中位数为15.7．（Ⅱ）由直方图知，价格在[13，14）的地区数为50×0.06=3，记为x、y、z，价格在[17，18）的地区数为50×0.08=4，记为A、B、C、D，若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz 3种情况，若m，n∈[17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD6种情况，m n13141718事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种，∴事件“|m﹣n|＞1”的概率P（|m﹣n|＞1）=．…20．已知点P在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且•=2，tan∠OPF2=，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点M（﹣1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若=2，求直线l的方程；（3）作直线l1与椭圆D： +=1交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（﹣2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足•=4，求实数t的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出PF 2⊥OF 2，设r 为圆P 的半径，c 为椭圆的半焦距，由，，求出，再由点P在椭圆，求出a 2=4，b 2=2，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x +1），由N （0，k ），Q （x 1，y 1），，能求出直线l的方程．（Ⅲ）由题意知椭圆D ：，设直线l 1的方程为y=k （x +2），把它代入椭圆D 的方程得：（1+4k 2）x 2+16k 2x +（16k 2﹣4）=0，利用韦达定理能求出满足条件的实数t 的值．【解答】（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意知，在△OPF 2中，PF 2⊥OF 2，由，得：，设r 为圆P 的半径，c 为椭圆的半焦距，∵，∴，又，，解得：，∴点P 的坐标为，…∵点P 在椭圆C ：上，∴，又a 2﹣b 2=c 2=2，解得：a 2=4，b 2=2，∴椭圆C 的方程为．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的方程为，由题意知直线l 的斜率存在，故设其斜率为k ， 则其方程为y=k （x +1），N （0，k ），设Q （x 1，y 1），∵， ∴（x 1，y 1﹣k ）=2（﹣1﹣x 1，﹣y 1），∴，…又∵Q 是椭圆C 上的一点，∴，解得k=±4，∴直线l 的方程为4x ﹣y +4=0或4x +y +4=0．…（Ⅲ）由题意知椭圆D ：，由S （﹣2，0），设T （x 1，y 1），根据题意可知直线l1的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2），把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，由韦达定理得，则，y1=k（x1+2）=，所以线段ST的中点坐标为，，（1）当k=0时，则有T（2，0），线段ST垂直平分线为y轴，∴，由，解得：．…（2）当k≠0时，则线段ST垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x+），∵点G（0，t）是线段ST垂直平分线的一点，令x=0，得：，∴，由，解得：，代入，解得：，综上，满足条件的实数t的值为或．…21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．（Ⅱ）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），从而求得a的取值范围．（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可．则．由解得．所以，a的取值范围是．（Ⅲ）依题得，则．由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，解得．所以，b的取值范围是．[选修4-4．坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．[选修4-5．不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|．（1）解不等式f（x）≥8；（2）若不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求出函数f（x）的分段函数的形式，通过解各个区间上的x的范围去并集即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以不等式f（x）≥8的解集为{x|x≤﹣5或x≥3}．（2）因为f（x）=|x﹣1|+|x+3|≥4，又不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，所以，a2﹣3a＞4，所以a＞4或a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．2017年1月11日。

衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题答案 （考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 共150分，考试用时120分钟。

一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ） A. 向右平移π6 B. 向左平移π6 C. 向右平移 π12 D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ）A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ． 978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A 符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B．)+∞C．(1,2))⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B ) A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞) 【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ． ()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3 【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<< 二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B = 【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)则(0)f 的值是 .解：353(,,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662ππϕπϕ+=⇒+=+2,,3223k k Z ππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2)(0)2sin()33f x x f ππ∴=-∴=-= 16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三 解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。

某某省某某市2017届高考数学适应性考试（5月）试题 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位,复数z 满足z i=-1,则z 2017= ( )A.1B.-1C.iD.-i 2．已知集合2{280},A x x x {15}B x x ，U=R,则()U C A B ( )A.(-4,1]B.[-4,1)C.(-2,1]D.[-2,1)3．点A (2,1)为抛物线22(0)x py p 上一点,则A 到其焦点F 的距离为 ( )A.32B.122C. 2D.214．设m,n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( ) A.若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥nB.若m ⊥α,m ∥n,n ∥β,则α⊥β C.若m ⊥n,m ⊂α,n ⊂β,则α⊥βD.若α∥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ∥n 5．执行如图所示的程序框图.若输出的结果为3,则可输入的实数x 的个数 为 ( )A.1B.2 C.3D.46．在区间[0，]上随机地取一个数x ，则事件“sinx ≤12”发生的概率 为( )A.34B.23C.12D.137．下面是关于公差0d的等差数列{}n a 的四个命题:1p :数列{}n a 是递增数列;2p :数列n a 的前n项和{}n S 是递增数列;3p :数列{}na n是递增数列;4p :数列{}n a nd 是递增数列.其中的真命题为 ( )A.1p ，2p B.3p ,4p C.2p ,3p D.1p ,4p8．已知函数()3,0{1,0x sinx x f x x x -<=+≥，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 有极值点B.()f x 有唯一零点C.()f x 在R 上是增函数D.()f x 是奇函数9．设12,F F 是双曲线22221(0,0)xy a b ab 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P （O 为坐标原点），且123PF PF ，则双曲线的离心率为 （ ）A. 212B.21C.312D. 31 10．已知函数()()()xf x ex b b R =-∈，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值X 围是（ ）A. 8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 5,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 35,26⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．在平面内，定点A ，B ，C ，O 满足2,OAOB OC()ACAB OA ACAB()0BC BA OB BCBA，动点P ，M 满足21,,APPMMC BM 则的最大值是（ ）.A. 434B. 494C.374D. 37212．设函数122016(),()log ,(1,2,2016)2016iif x x f x x a i ，记213220162015()()()()()()kk k k k k k I f a f a f a f a f a f a ,1,2,k 则( )A.12I I B.12I I C.12I I D.12I I 与的大小关系无法确定第Ⅱ卷本卷包括必做题与选做题两部分，第13～21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在n元数集S={a1，a2，…a n}中，设X（S）=，若S的非空子集A 满足X（A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为f s（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．f s（4）=f s（5）B．f s（4）=f T（5）C．f s（1）+f s（4）=f T（5）+f T（8） D．f s（2）+f s（3）=f T（4）2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（1，2），=（2，x）若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．﹣2 B．0 C．4 D．14．已知a=log32，b=（log32）2，c=log4，则（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g （x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到6．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣87．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．C．2 D．8．设等差数列{a n}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1取值范围是（）A．（，）B．（，）C．[，]D．[，] 9．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．210．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）12．对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是（）A．B．C．D．二.填空题（每题5分，共20分）13．（1﹣x）（1+x）6的展开式中x3系数为．14．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是．15．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在线段A1B1上，且=λ（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；（2）当λ=时，求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19．某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y．若|x﹣y|≥10，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率P1；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望．20．如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．（选修4-4：坐标系与参数方程）（共1小题，满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣1，0），其倾斜角是α，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程是ρ2=6ρcosθ﹣5．（Ⅰ）若直线l和曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设B（x，y）为曲线C任意一点，求的取值范围．（选修4-5：不等式选讲）23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在n元数集S={a1，a2，…a n}中，设X（S）=，若S的非空子集A 满足X（A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为f s（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．f s（4）=f s（5）B．f s（4）=f T（5）C．f s（1）+f s（4）=f T（5）+f T（8） D．f s（2）+f s（3）=f T（4）【考点】子集与真子集．【分析】根据新定义求出k元平均子集的个数，逐一判断．【解答】解：X（S）=5，将S中的元素分成5组（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）．则f S（1）==1，f S（2）==4，f S（3）=•=4，f S（4）==6，f S（5）=•=6，同理：X（T）=0，将T中的元素分成5组（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3），（4，﹣4），（0）．则f T（1）==1，f T（2）==4，f T（3）=•=4，f T（4）==6，f T（5）=•=6，f T（8）==1，∴f S（4）=f S（5）=6，f S（4）=f T（5）=6，f S（1）+f S（4）=f T（5）+f T（8）=7．故选：D．2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由足z（1﹣i）=（1+2i），得，∴z对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．3．已知向量=（1，2），=（2，x）若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．﹣2 B．0 C．4 D．1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解： +=（3，2+x），﹣=（﹣1，2﹣x），∵+与﹣平行，则﹣（2+x）﹣3（2﹣x）=0，解得x=4．故选：C．4．已知a=log32，b=（log32）2，c=log4，则（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的性质求解．【解答】解：∵0=log31＜a=log32＜log33=1，∴0＜b=（log32）2＜a=log32，∵c=log4＜log41=0，∴c＜b＜a．故选：B．5．已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g （x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，正弦函数、余弦函数的奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，故y=sin（x++φ）是偶函数，故φ+=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，结合φ∈（0，π），可得φ=，故f（x）=2sinxsin（x++）=sin2x=cos（2x﹣）．故函数g（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象，∵﹣=﹣+，可以由f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．6．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．﹣8【考点】简单线性规划．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选C．7．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．【解答】解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．8．设等差数列{a n}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1取值范围是（）A．（，）B．（，）C．[，]D．[，]【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．【解答】解：由=1，得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，∴sin（3d）=﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴3d∈（﹣3，0），则3d=，d=﹣．由=．对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴，解得：．∴首项a1的取值范围是．故选：B．9．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．2【考点】循环结构．【分析】根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，依此类推，当k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．【解答】解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3故选：C10．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．【解答】解：因为f（0）=（02﹣2×0）e0=0，排除C；因为f'（x）=（x2﹣2）e x，解f'（x）＞0，所以或时f（x）单调递增，排除B，D．故选A．11．已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数研究函数f（x）的最值问题，根据题意对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣x﹣1，（x＞0）∴f′（x）=﹣+==，若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；f（x）在x∈（0，2）上有极值，f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣+﹣1=﹣；∵g（x）=x2﹣2bx+4=（x﹣b）2+4﹣b2，对称轴x=b，x∈[1，2]，当b＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）min=g（1）=1﹣2b=4=5﹣2b；当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）min=g（b）=4﹣b2；当b＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）min=g（2）=4﹣4b+4=8﹣4b；∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，当b＜1时，≥5﹣2b，解得b≥，故b无解；当b＞2时，≥8﹣4b，解得b≥，综上：b≥，故选：A12．对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线方程与椭圆方程联立化为（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，由于直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，可得△≥0，解出即可得出．【解答】解：联立，化为（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，∵直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，∴△=64m2（n﹣1）2﹣4（1+4m2）[4（n﹣1）2﹣1]≥0，化为：4n2﹣8n+3≤4m2，由于对于任意的实数m上式恒成立，∴4n2﹣8n+3≤0，解得．∴n的取值范围是．故选：A．二.填空题（每题5分，共20分）13．（1﹣x）（1+x）6的展开式中x3系数为5．【考点】二项式系数的性质．【分析】展开（1﹣x）（1+x）6=（1﹣x）（++…），即可得出．【解答】解：（1﹣x）（1+x）6=（1﹣x）（++…），∴展开式中x3系数为=﹣=20﹣15=5．故答案为：5．14．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据抽样方法的定义，可判断①；根据相关系数与相关性的关系，可判断②；根据相关系数的几何意义，可判断③；根据独立性检验的方法和步骤，可判断④．【解答】解：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0，故②正确；在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位，故③正确；对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④错误；故正确的命题是：②③，故答案为：②③15．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据展开图的形状计算棱锥的棱长，得出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正三棱锥的棱长为a，则a+a•=，解得a=．∴棱锥的高为=，∴棱锥的体积V==．故答案为．16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为2300元．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=200x+300y．作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和，∴a1=11．当n≥2时，．又∵a n=6n+5对n=1也成立所以a n=6n+5，{b n}是等差数列，设公差为d，则a n=b n+b n=2b n+d．+1当n=1时，2b1=11﹣d；当n=2时，2b2=17﹣d由，解得d=3，所以数列{b n}的通项公式为；（Ⅱ）由，于是，，两边同乘以2，得．两式相减，得==﹣n•2n+2．所以，．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在线段A1B1上，且=λ（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；（2）当λ=时，求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断•=0，即AM⊥PN．（2）分别求出平面ABC的一个法向量和平面PMN的法向量，由此利用向量法能求出平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，以A为原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则P（λ，0，2），N（1，1，0），M（0，2，1），从而=（1﹣λ，1，﹣2），=（0，2，1），•=0，∴无论λ取何值，总有AM⊥PN．（2）平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），当λ=时，P（1，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0），=（﹣1，2，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），设平面PMN的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（3，2，1），设平面PMN与平面ABC所成锐二面角的平面角为θ，cosθ=||=||==，∴平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．19．某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y．若|x﹣y|≥10，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率P1；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可得出．（2）依题意可得：第四组人数为：=12，可得P1=．（3）依题意可得：样本总人数为：=80，成绩不低于120分的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率==．由已知ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ～B，即可得出．【解答】解：（1）频率分布直方图见解析，M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5；（2）依题意可得：第四组人数为：=12，故P1==；（3）依题意可得：样本总人数为：=80，成绩不低于120分的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率==．由已知ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ～B，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．ξ的分布列如下故Eξ==．20．如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x ﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（选修4-4：坐标系与参数方程）（共1小题，满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣1，0），其倾斜角是α，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程是ρ2=6ρcosθ﹣5．（Ⅰ）若直线l和曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设B（x，y）为曲线C任意一点，求的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程，联立直线l的方程，消去y，运用判别式大于等于0，可得斜率的范围，再由斜率公式，可得倾斜角的范围；（Ⅱ）求得曲线C的参数方程，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程转化成直角坐标方程是C：x2+y2﹣6x+5=0，由题意知直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+1），其中k=tanα．联立消去y得（1+k2）x2+2（k2﹣3）x+k2+5=0．因为直线l和曲线C有交点，所以△=4（k2﹣3）2﹣4（1+k2）（k2+5）≥0，即，即，所以．（Ⅱ）曲线C：x2+y2﹣6x+5=0即（x﹣3）2+y2=4的参数方程是（θ为参数），所以点B（x，y）的坐标可以写成（3+2cosθ，2sinθ），所以，因为sin（θ+）∈[﹣1，1]，所以x+y∈[3﹣4，3+4]．（选修4-5：不等式选讲）23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数的分段函数形式，然后求解不等式f（x）＜3的解集即可；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求出f（x）的最小值的表达式，利用最小值为1，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=；且f（1）=f（﹣1）=3，所以，f（x）＜3的解集为{x|﹣1＜x＜1}；…（Ⅱ）|2x﹣a|+|x+1|=|x﹣|+|x+1|+|x﹣|≥|1+|+0=|1+|当且仅当（x+1）（x﹣）≤0且x﹣=0时，取等号．所以|1+|=1，解得a=﹣4或0．…2017年2月23日。

2017届高三年级第二次高考模拟试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次高考模拟试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞） B．（3，+∞）C.（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2.已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里D．24里4.设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A．B．C．D．25.已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B．C．D．6.己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A． B．C． D．7.已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A.（0，1）B.（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8.已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48） D．（15，24）9.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）11.已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥512.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= ．14.已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为．15.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是．16.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数()[)1,0cos,0,2xf xx xπ∈-=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为．三.解答题（共8题，共70分）17.（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．18.（本题满分12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区P M2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．19.（本题满分12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由．20.（本题满分12分）已知A，B分别为椭圆C： +=1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|=．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a的取值范围．选做题（本题满分10分）22.[选修4-4坐标系与参数方程]以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23.[选修4-5不等式选讲]设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．衡阳八中2017届高三年级第二次高考模拟参考答案理科数学13.7014.π15.①③④⑤16.π+417.（Ⅰ）数列{an}满足Sn=2an+1，则Sn=2an+1=2（Sn+1﹣Sn），即3Sn=2Sn+1，∴，即数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，∴（n∈N*）．∴S1=，S2=；（Ⅱ）在数列{bn}中，，Tn为{bn}的前n项和，则|Tn|=|=．而当n≥2时，，即．18.（1）①由第四组的频率为1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；P（X=k）=•（1﹣0.9）3﹣k•0.9k，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列为：（1）E为CD中点，∴四边形ABCE为矩形，∴AE⊥CD，当t=时，Q为AD中点，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，∵PQ⊂面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，所以面MNPQ⊥面SAE．（2）如图，以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；设ED=a，则M（（1﹣t）a，（﹣）a， a），E（0，0，0），A（0，，0），Q（（1﹣t）a，，0），=（0，，），面ABCD一个方向向量为=（1，0，0），设平面MPQ的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（0，，2），平面ABCD的法向量为=（0，0，1）∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为，∴由题意：cosθ===，解得t=或t=，由图形知，当t=时，二面角M﹣PQ﹣A为钝二面角，不合题意，舍去综上：t=．20.（1）由丨AB丨==， =，解得：a=2，b=，c=1则椭圆离心率e==；（2）由（1）可知：椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由直线l与圆x2+y2=2相切，则=，则m2=2（k2+1），则丨MN丨=•=，=，令3k2+4=t，t∈[4，16]，则丨MN丨=•=•，由≤≤，∴f（）=，在[，]单调递增，则≤丨MN丨≤，∴|MN|的取值范围[，]．21.（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+，∴φ′（x）==；x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0∴函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增∴x=4时，φ（x）min=2ln2﹣；（2）方程e2f（x）=g（x）可化为x2=﹣，∴a=﹣x3，设y=﹣x3，则y′=﹣3x2，∵x∈[]∴函数在[]上单调递增，在[，1]上单调递减∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，∴y∈[]∴a∈[]22.（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23.(Ⅰ)当a＝2时，f(x)≥3x＋2可化为|x－2|≥2，由此可得x≥4或x≤0.(Ⅱ)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0，。

湖南省衡阳八中、长郡中学等十三校重点中学2017届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知i为虚数单位，若复数z=（a∈R）的实部为﹣3，则|z|=（）A．B．2C．D．52．（5分）同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）下列函数既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数的是（）A．y=tan x B．y=x﹣1C．y=log D．y=（3x﹣3﹣x）4．（5分）“a=2”是“ax+y﹣2=0与直线2x+（a﹣1）y+4=0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）圆（x﹣2）2+y2=4关于直线对称的圆的方程是（）A．B．C．x2+（y﹣2）2=4 D．6．（5分）等差数列{a n}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5=5，S n为数列{a n}的前n项和，则数列{}的前n项和取最小值时的n为（）A．3 B．3或4 C．4或5 D．5 7．（5分）已知实数x，y满足，则z=x+的最大值为（）A．7 B．1 C．10 D．08．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，面积为S，若S+a2= （b+c）2，则tan A=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）在△ABC中，D为三角形所在平面内的一点，且=+；则=（）A．B．C．D．10．（5分）如图所示，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形及每个正方形内一段半径为1，圆心角为90°的圆弧，则该几何体的体积是（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数的图象与直线x﹣2y=0相切，当函数g（x）=f（f（x））﹣t恰有一个零点时，实数t的取值范围是（）A．{0} B．[0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，是两个向量，||=1，||=，且（+）⊥，则与的夹角为．14．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n为．15．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PE⊥BC于E，EC=1，，BC=3，PE=2，则四棱锥P﹣ABCD外接球半径为．16．（5分）已知数列{a n}满足，且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则5﹣6a10=．三、解答题17．（12分）已知函数，且函数y=f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的对称柚方程；（Ⅱ）在△ABC，中，角A，B，C的对边分別为a，b，c．若，求b的值．18．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金，在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由：（下面的临界值表供参考）（Ⅱ）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E，F分别为AD，PC的中点．（Ⅰ）证明：DF∥平面PBE（Ⅱ）求点F到平面PBE的距离．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且该三角形的面积为1．（Ⅰ）求椭圆年C的方程；（Ⅱ）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=ln x，g（x）=（x﹣1）f′（x），其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（e，1）处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）在[3，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ2（3+sin2θ）=12，曲线C2的参数方程为（t为参数，）．（1）求曲线C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线C2与曲线C1的交点为A，B，P（1，0），当时，求cosα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣3，3]．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≤2m﹣m2，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题1．D【解析】∵z==的实部为﹣3，∴，解得a=7．∴z=﹣3﹣4i，则|z|=5．故选：D．2．B【解析】同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌选出两首歌进行表演，基本事件总数n==6，《爱你一万年》未选取的对立事件是《爱你一万年》被选取，则《爱你一万年》未选取的概率p=1﹣=1﹣=．故选：B．3．C【解析】对于A，y=tan x是奇函数，在（﹣，）上是增函数，不满足题意；对于B，y=x﹣1，在x=0处没有定义，不满足题意；对于C，y=是定义域（﹣3，3）上的奇函数，且y==（﹣1）在（﹣3，3）上是减函数，满足题意；对于D，y=（3x﹣3﹣x）是定义域R上的奇函数，且在R上是增函数，不满足题意．故选：C．4．A【解析】由a（a﹣1）﹣2=0，解得a=2或﹣1．a=﹣1时两条直线重合，舍去．∴“a=2”是“ax+y﹣2=0与直线2x+（a﹣1）y+4=0平行”的充分必要条件．故选：A．5．D【解析】设圆（x﹣2）2+y2=4的圆心关于直线对称的坐标为（a，b），则，∴a=1，b=，∴圆（x﹣2）2+y2=4的圆心关于直线对称的坐标为，从而所求圆的方程为．故选D．6．B【解析】∵等差数列{a n}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，a5=5，S n为数列{a n}的前n项和，∴，由d≠0，解得a1=﹣3，d=2，∴==﹣3+n﹣1=n﹣4，由n﹣4≥0，得n≥4，∴数列{}的前n项和取最小值时的n为3或4．故选：B．7．C【解析】由约束条件作出可行域如图，A（10，0），化目标函数z=x+为y=﹣2x+2z，由图可知，当直线y=﹣2x+2z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．故选：C．8．B【解析】由S+a2=（b+c）2，∴sin A=b2+c2﹣a2+2bc，化为：sin A=2cos A+2，又sin2A+cos2A=1，A∈（0，π），联立解得sin A=，cos A=．则tan A==﹣．故选：B．9．B【解析】由已知，在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且=+；点D在平行于AB的中位线上，且为靠近AC边，从而有S△ABD=S△ABC．S△ACD=S△ABC．所以S△BCD=（1﹣﹣）S△ABC=S△ABC．所以则=故选：B．10．C【解析】由三视图可知：该几何体为一个棱长为1的正方体去掉一个球的，其中球心为正方体的一个顶点，半径为1．∴该几何体的体积V=1﹣=1﹣．故选：C．11．B【解析】由题意，|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．故选B．12．A【解析】由题意，f′（x）=，取切点（m，n），则n=，m=2n，=，∴a=e．∴f（x）=，f′（x）=，函数f（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）上单调递减，f（1）=0，x→+∞，f（x）→0，由于f（e）=1，f（1）=0，∴当函数g（x）=f（f（x））﹣t恰有一个零点时，实数t的取值范围是{0}，故选A．二、填空题13．【解析】设向量、的夹角为θ，∵||=1，||=，且（+）⊥，∴（+）•=+•=1+1××cosθ=0，∴cosθ=﹣；又θ∈[0，π]，∴θ=．故答案为：．14．13【解析】由程序框图知：算法的功能是求满足S=1×××…＜的最大的正整数n+2的值，∵S=1×3×…×13＞2017，∴输出n=13．故答案为：13．15．2【解析】由已知，设三角形PBC外接圆圆心为O1，由正弦定理可求出三角形PBC外接圆半径为，F为BC边中点，求出，设四棱锥的外接球球心为O，外接球半径的平方为，所以四棱锥外接球半径为2．故答案为2．16．【解析】由于{a2n﹣1}是递减数列，因此a2n+1﹣a2n﹣1＜0，于是（a2n+1﹣a2n）+（a2n﹣a2n﹣1）＜0 ①．因为，所以|a2n+1﹣a2n|＜|a2n﹣a2n﹣1|②．由①②知a2n﹣a2n﹣1＜0．因为{a2n}是递增数列，所以a2n+2﹣a2n＞0，a2n+2﹣a2n+1+a2n+1﹣a2n＞0，|a2n+2﹣a2n+1|＜|a2n+1﹣a2n|，所以a2n+1﹣a2n＞0．于是a10=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a10﹣a9）=1﹣﹣ (1)=．所以5﹣6a10==．故答案为：．三、解答题17．解：函数化简可得：===；（Ⅰ）由函数y=f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，得，解得ω=1．当ω=1时，，由，求得．即f（x）的对称轴方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即．∴，解得：A=kπ或（k∈Z）又∵A∈（0，π），∴A=．由sin C=，C∈（0，π），∴C，故得．∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=，∵a=由正弦定理得：b=．18．解：（Ⅰ）K2==3＞2.706∴有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关（Ⅱ）设3名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，20～30岁之间的人数是2人P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==Eξ=0×+1×+2×=119．（Ⅰ）证明：取PB的中点G，连接EG、FG，则FG∥BC，且FG=．∵DE∥BC且DE=BC，∴DE∥FG且DE=FG，∴四边形DEGF为平行四边形，∴DF∥EG，又EG⊂平面PBE，DF⊄平面PBE，∴DF∥平面PBE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DF∥平面PBE，∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等，故转化为求D到平面PBE的距离，设为d，利用等体积法：V D﹣PBE=V P﹣BDE，即．，∵，，∴．∴d=．20．解：（1）由勾股定理可知：丨PF1丨+丨PF2丨=丨F1F2丨，即2a2=4c2，则a=c，b2=a2﹣c2=c2，S=丨F1F2丨×丨OP丨=×2c×b=1，即b=c=1，∴a=，∴椭圆的标准方程为：；（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，则，整理得：（t2+2）y2+2ty﹣1=0，由韦达定理，得：y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴|y1﹣y2|===，∴S△OAB=+=丨OF丨•|y1﹣y2|=，椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S△OAB=，令m=≥1，则S=f（m）==，注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S max=f（1）=4，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为4．21．解：（Ⅰ）∵f（x）=ln x，∴f′（x）=，则f′（e）=．又f（e）=lne=1，∴求曲线y=f（x）在点（e，1）处的切线方程为y﹣1=，即x﹣e y=0；（Ⅱ）g（x）=（x﹣1）f′（x）=，f（x）≥ag（x）在[3，+∞）上恒成立，即ln x≥a（1﹣）在[3，+∞）上恒成立，也就是a≤在[3，+∞）上恒成立，令h（x）=（x≥3），h′（x）==．令t（x）=x﹣ln x﹣1，则t′（x）=1﹣=＞0，∴t（x）在[3，+∞）上单调递增，又t（3）=2﹣ln3＞0，∴h′（x）＞0在[3，+∞）上恒成立，即．∴a≤．∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．22．解：（1）由ρ2（3+sin2θ）=12得，该曲线为椭圆．（2）将代入得t2（4﹣cos2α）+6t cosα﹣9=0，由直线参数方程的几何意义，设|P A|=|t1|，|PB|=|t2|，，，所以，从而，由于，所以．23．解：（Ⅰ）对于任意x∈R，f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|∈[﹣|a﹣4|，|a﹣4|]，可知|a﹣4|=3，解得：a=1或a=7；（Ⅱ）依题意有﹣3≤2m﹣m2，即m2﹣2m﹣3≤0，解得：m∈[﹣1，3]．。

2017年湖南省衡阳八中高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A.{0，1}B.{-1，0}C.{-1，0，1}D.{0，1，2}【答案】A【解析】解：集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|＜0}={x|-1＜x＜2}，∴A∩B={0，1}．故选：A．先分别求出集合A，B，由此能求出交集A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解：1+i=，∴z===i．在复平面内，复数z所对应的点，在第一象限．故选：A．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知，，，，若与共线，则实数x=（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】解：∵，，，，∴，∵与共线，∴1×1-2×（1-x）=0∴x=故选B．利用向量共线时，坐标之间的关系，我们可以建立方程就可求实数x的值向量共线时坐标之间的关系，与向量垂直时坐标之间的关系是我们解决向量共线、垂直的一种方法．4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，则sin （2θ+）=（）A. B.- C. D.-【答案】A【解析】解：由题意，已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x 上，可知θ在第一或第三象限．根据正余弦函数的定义：可得sinθ=，cosθ=±，则sin（2θ+）=sin2θcos+cos2θsin=sinθcosθ+==故选：A．根据定义求解sinθ和cosθ的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可化简并求解出答案．本题主要考查了正余弦函数的定义的运用和两角和与差的公式以及二倍角公式的化简和计算能力，属于中档题．5.已知单调递增的等比数列{a n}中，a2•a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n项和S n=（）A. B. C.2n-1 D.2n+1-2【答案】B【解析】解：∵a2•a6=16，a3+a5=10，∴由等比数列的性质可得a3•a5=16，a3+a5=10，∴a3，a5为方程x2-10x+16=0的实根，解方程可得a3=2，a5=8，或a3=8，a5=2，∵等比数列{a n}单调递增，∴a3=2，a5=8，∴q=2，，∴故选：B．由等比数列的性质和韦达定理可得a3，a5为方程x2-10x+16=0的实根，解方程可得q 和a1，代入求和公式计算可得．本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题．6.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A.（-1，+∞）B.（-∞，-1）C.（1，+∞）D.（-∞，1）【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=kx+y得y=-kx+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y-kx+z，要使目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），即直线y=-kx+z经过点A（1，1）时，截距最小，由图象可知当阴影部分必须在直线y=-kx+z的右上方，此时只要满足直线y=-kx+z的斜率-k大于直线OA的斜率即可直线OA的斜率为1，∴-k＞1，所以k＜-1．故选：B作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1，1），得到直线y=-kx+z斜率的变化，从而求出k的取值范围本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．根据目标函数在A（1，1）取得最小值，得到直线斜率的关系是解决本题的关键7.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A.1-B.C.D.1-【答案】A【解析】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-，故选：A．由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A.200πB.50πC.100πD.π【答案】B【解析】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．9.椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知PF1=2a-PF2=2a-2b，又MF1=PF1=（2a-2b）=a-b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a-b）2+b2=c2，又a2-b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2-c2），由此可求得离心率e==，故选：D．设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△FPF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用离心率公式和椭圆的定义：椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数2a．10.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A.k＜6？B.k＜7？C.k＞6？D.k＞7？【答案】C【解析】解：由题意可知，输出结果为S=720，通过第1次循环得到S=1×2=2，k=3；通过第2次循环得到S=1×2×3=6，k=4；通过第3次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5；通过第4次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6；通过第6次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7；此时执行输出S=720，结束循环，所以判断框中的条件为k＞6？．故选：C．由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框中应填写的条件是什么．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目．11.设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A.（，]B.（，）C.（，]D.（，）【答案】D【解析】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足-＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：-+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选D先作出函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，得到x2+x3=6，且-＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12.已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=0.76f（0.76），b=log6f（log6），c=60.6f（60.6），则a，b，c的大小关系是（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.a＞c＞b【答案】D【解析】解：定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，可知函数是偶函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），可知函数y=xf（x）是增函数，x＞0时是减函数；0.76∈（0，1），60.6＜（2，4），log6≈log1.56∈（4，6）．所以a＞c＞b．故选：D．利用导数判断函数的单调性，判断函数的奇偶性，然后求解a，b，c的大小．本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+-3-3=-3，当且仅当x=时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．变形利用基本不等式即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．14.若双曲线＞，＞的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2-6y+m=0相切，则m= ______ ．【答案】8【解析】解：∵双曲线＞，＞的离心率为3，∴c=3a，∴b=2a，取双曲线的渐近线y=2x．∵双曲线＞，＞的渐近线与x2+y2-6y+m=0相切，∴圆心（0，3）到渐近线的距离d=r，∴，∴m=8，故答案为：8．由于双曲线＞，＞的离心率为3，得到双曲线的渐近线y=2x，渐近线与圆x2+y2-6y+m=0相切，可得圆心到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．15.已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为______ ．【答案】16π【解析】解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，设AA1=2a，E为AA1的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），则=（-2，2，0），=（-2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，则，即，即a2-2=0，解得a=，∴球O的半径R满足：2R==4，故球O的表面积S=4πR2=16π，故答案为：16π．根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．16.函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x-alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是______ ．【答案】[3e3，+∞）【解析】解：由题意可得|e x-alnx+c-g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e-0+c-g（1）|=|e+c-e|=|c|＞0．由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：f（x）=e x-alnx+c在（2，3）上无极值点，即有f′（x）=e x-=，则xe x-a=0无实数解，由y=xe x，可得y′=（1+x）e x＞0，在（2，3）成立，即有函数y递增，可得y∈（2e2，3e3），则a≥3e3，故答案为：[3e3，+∞）．由题意可得|e x-alnx+c-g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1求得常数．再由题意可得f（x）=e x-alnx+c在（2，3）上无极值点，运用导数和构造函数，转化为方程无实根，即可得到a的范围．本题考查新定义的理解和运用，考查函数零点问题的解法，考查转化思想的运用，注意运用导数，判断单调性，同时考查构造法的运用，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在数列{a n}中，已知a1=1，a2=3，a n+2=3a n+1-2a n．（Ⅰ）证明数列{a n+1-a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（a n+1），{b n}的前n项和为S n，求证＜2．【答案】证明：（Ⅰ）由a n+2=3a n+1-2a n得：a n+2-a n+1=2（a n+1-a n），又∵a1=1，a2=3，即a2-a1=2，所以，{a n+1-a n}是首项为2，公比为2的等比数列．…（3分）a n+1-a n=2×2n-1=2n，…（4分）a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=1+2+22+…+2n-1==2n-1；…（7分）（Ⅱ）b n=log2（a n+1）=log22n=n，…（8分）S n=，…（9分），所以=2＜2．…（14分）【解析】（Ⅰ）由a n+2=3a n+1-2a n得：a n+2-a n+1=2（a n+1-a n），结合a1=1，a2=3，即a2-a1=2，可得：{a n+1-a n}是首项为2，公比为2的等比数列，进而利用叠加法可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（a n+1）=n，则，利用裂项相消法，可得=2＜2．本题考查数列的概念及简单表示法，考查等比关系的确定及等比数列的求和，考查转化与分析推理能力，属于中档题．18.某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成2×2列联表：（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率．下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【答案】解：（1）由2×2列联表，计算K2的观测值为k==＞7.879，对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）根据分层抽样原理，从第一次月考数学优良成绩中抽取×5=3个，记为A、B、C；从第二次月考数学优良成绩中抽取×5=2个，记为d、e；则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是AB、AC、A d、A e、BC、B d、B e、C d、C e、de共10个，其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有AB、AC、BC、de共4个，故所求的概率为P==．【解析】（1）由2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（2）根据分层抽样比例求出所抽取的5个成绩，利用列举法计算基本事件数、计算对应的概率值．本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.如图，在四棱锥中P-ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．【答案】证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB．解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，∵AQ∥BC，∴，∵PN∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，∴，综上，得，∴MC=2PM，∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．【解析】（1）连结BD，则△ABD为正三角形，从而AD⊥BQ，AD⊥PQ，进而AD⊥平面PQB，由此能证明AD⊥PB．（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，由AQ∥BC，得，根据线面平行的性质定理得MN∥PA，由此能求出实数λ的值．本题考查线线垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C 于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．【答案】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（-3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（-2，0），可设直线PQ的方程为x=my-2，则PQ的斜率．由⇒（m2+3）y2-4my-2=0，所以＞，于是，从而，即，，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即k OT=k ON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=-1，此时点T的坐标为（-3，1）或（-3，-1）．【解析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．21.已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）-f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）b=1时，函数F（x）=g（x）-f（x）=1+lnx--x，x＞0，则F′（x）=-ax-1=-因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，即ax2+x-1＞0，有x＞0的解．①a＞0时，y=ax2+x-1为开口向上的抛物线，y=ax2+x-1＞0总有x＞0有解；②a＜0时，y=ax2+x-1为开口向下的抛物线，而y=ax2+x-1＞0总有x＞0的解；则△=1+4a＞0，且方程y=ax2+2x-1=0至少有一个正根，此时，＜＜．综上所述，a的取值范围为（-，0）∪（0，+∞）；（Ⅱ）设点M、N的坐标是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，则点P、Q的横坐标为，C1点在P处的切线斜率为，C2点Q处的切线斜率为假设C1点P处的切线与C2在点Q处的切线平行，则k1=k2即，则∴．设，则，＞①令，＞．则′因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在（1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0则＞．这与①矛盾，假设不成立．故C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线不平行．【解析】（Ⅰ）先求函数F（x）的解析式，因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，求出a的取值范围；（Ⅱ）利用反证法证明设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行．求出函数的导数，求得切线的斜率，通过构造函数，求导数判断单调性，结论即可得证本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【答案】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x-2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x-2）2+y2=4得：（tcosα-1）2+（tsinα）2=4，化简得t2-2tcosα-3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1-t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．【解析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1-t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，本题难度适中，属于中档题．23.已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x-b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【答案】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x-b|=|x+a|+|x-|+|x-|，∵|x+a|+|x-|≥|（x+a）-（x-）|=a+且|x-|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵-a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x-b|=，＜，＜，，显然f（x）在（-∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2-a）≥ta（2-a）恒成立，∴2ta2-（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2-326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．【解析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．。

衡阳八中2016年下期高三年级第五次月考试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第五次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I 卷 选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知集合A ⊆{0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．32.已知复数的实部为﹣1，则复数z ﹣b 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ．若a=b ，A=2B ，则cos B=（ ）A ．B ．C ．D ．4.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（ ）A ．1B ．C ．D ．5.当 0,0>>y x ，191=+yx 时，y x +的最小值为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．166.如图直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为（ ）A． B． C． D．7.过点A（﹣2，﹣4）作倾斜角为45°的直线交抛物线y2=2px（p＞0）于点P1、P2，若|P1P2|2=|AP1|•|AP2|，则实数p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．149.已知a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*）．我们把使乘积a1•a2•a3•…•a n为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）A．1024 B．2003 C．2026 D．204810.右图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A﹣B﹣C﹣M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．11.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a ，b 是方程x 2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ） A ．，B ．，C ．，D ．，12.如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.（x 2+x+2）5的展开式中，x 7的系数为 ．14.已知直线AB ：x+y ﹣6=0与抛物线y=x 2及x 轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt △AOB 区域内任取一点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为 ．15.已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y 2的取值范围为 ．16.已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC ⊥OA ，SC ⊥OB ，△OAB 为等边三角形，三棱锥S ﹣ABC 的体积为，则球O 的表面积是 ．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}满足b3=3，b5=9．（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设C n=（n∈N*），求证C n+1＜C n．18.（本题满分12分）如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．19.（本题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；x,.若（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为yx，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率-y10||≥P；1（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望.20.（本题满分12分）设函数.（1）若关于的不等式在为自然对数的底数）上有实数解, 求实数的取值范围；（2）设,若关于的方程至少有一个解, 求的最小值；（3）证明不等式：.21.（本题满分12分）在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．选做题（从22、23题中任选一题作答，共10分）22.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．23.（选修4-5：不等式选讲）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．衡阳八中2016年下期高三实验班第五次月考理数参考答案13.5014.15.（，8]16.16π17.（1）①当n≥2时，由a n+1=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n．由a1=1，∴a2=2a1+1=3=3a1．∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列．∴．（3分）②等差数列{b n}满足b3=3，b5=9．设公差为d，则，解得．∴b n=﹣3+（n﹣1）×3=3n﹣6．（6分）（2）由（1）可得=．∴=c n．（9分）∵3n=（1+2）n=…+2n≥3n，∴．（12分）18.（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，∴BC⊥平面EFGH．（5分）（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，则，（7分）∵x轴⊂平面ACD，∴平面ACD的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，（8分）又∵z轴∥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为，∴，得，即，（9分）设二面角B﹣AD﹣C的大小为θ，那么，∴，（11分）∴二面角B﹣AD﹣C的正弦值为．（12分）19.（1）频率分布直方图见解析，114.5；（2）25；（3）分布列见解析，910.5.11405.01451.013515.012535.011515.01052.095=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=M .（4分）（6分） （9分）故ξ的分布列如下依题意)10,3(~B ξ，故109103=⨯=ξE .（12分） 20.（1）（-∞，e 2-2];（4分）（2）0；（8分）（3）略.（12分） 21.（Ⅰ）如右图，O'为双曲线的中心，OO'为轴l 与平面α的距离|OO'|=2， A 为双曲线的顶点，∠AOO'=60°，∴．…（1分）在轴l上取点C，使得|OC|=4，过C作与轴l垂直的平面，交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D、E，DE的中点为B，由题意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2，从而双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）．…（4分）设双曲线的标准方程为，将点（2，4）代入方程得b2=4，所以双曲线的标准方程为…（5分）证明：（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，双曲线Γ的两切线PM、PN都不垂直x轴，…（6分）设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y=k（x﹣x0）+y0，：…（8分）由△=0，化简得：…（9分）令PM、PN的斜率分别为k1、k2，，…（10分）因点P（x0，y0）在圆Γ'上，则有，得：，∴k1k2=﹣1，…（11分）知PM⊥PN，线段MN是圆O的直径，|MN|=4．…（12分）22.（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4，设Q（x，y），则，代入圆的方程可得，化为（x﹣4）2+y2=16．即为点Q的直角坐标方程．（5分）（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入（x﹣4）2+y2=16．得令A，B对应参数分别为t1，t2，则，t1t2＞0．∴．（10分）23.（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（5分）（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当﹣时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．（10分）。

湖南省衡阳市第八中学2017届高三数学上学期第三次（10月）月考试题理（扫描版）一、选择题二、填空题 13.95 14. 11212nn --+ 15. 12- 16. 3n n g 17.解：（1）把A （0，1），B （3，8）的坐标代入()xf x k a -=g 得031{8k a k a -== 解得：11,2k a ==。

（2）()g x 是奇函数。

理由如下：由（1）知：()2xf x =，所以()121().()121x x f x g x f x --==++ 函数()g x 的定义域为R ，又()12121()().()12121x x x x f x g x g x f x -------===-=--+++ 所以函数()g x 是奇函数。

18. ∵(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-，∴||(cos AC ，||10BC =． 由||||AC BC =得sin cos αα=．…………………………………4分 又3(,)22ππα∈，∴54απ=．…………………………………6分（2）由1AC BC =-，得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴sin()04πα+=>．……………………………9分又由322ππα<<，∴344ππαπ<+<，∴cos()4πα+=．故tan()4πα+=…12分19.解答：解答：（1）证明：111,n n n n n n b a a b a a +--=+=-11233n n n n n nb a a a a a b a a a a +-+++===++所以{}n b 是等比数列（2）由（1）得11115,53n n n b b b q --===⨯所以1153n n n a a -++=⨯则211103(2)n n n a a n -+--=⨯≥所以{}n a 奇数项差是首项为10的等比数列，偶数项差是首相为30的等比数列；21253344n n a -=⨯-，222153344n n a --=⨯+因此n a =11533(1)44n n --??20. 解：(1)在Rt ∆POA 中，，在Rt ∆POB 中，OB ＝h ，在Rt ∆AOB 中，d 2h)2+h 2-2⋅⋅hcos30︒，其中：d ＝40，得：h=40，故建筑物的高度为40.(2) ∵tan α=4h dh d +，tan β=4d ∴tan(β-α)=244(4)161(4)h d d h h d h -+++=216(4)16d d h h ++=1616(4)h d h d++≤当且仅当d(h+4)=16hd即d=5时“=”成立故当d=5时，tan(β-α)最大， ∵0<α<β<2π，∴0<β-α<2π， 当时，β-α最大21.{}1n b Q （）为等差数列，设公差为15,1,15,d b S ==551015,1S d d =+==1(1)1n b n n \=+-?。