数学---四川省德阳市中江县龙台中学2016-2017学年高一(下)期中试卷(解析版)

2016-2017学年四川省德阳市中江县龙台中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．经过圆（x+1）2+y2=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y+1=02．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，且BP=BD1，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．4．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=05．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．849．空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，MN=7，则异面直线AC和BD所成的角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．7πB．19πC．D．11．直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．1 B．﹣2 C．2+D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=．14．圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．16．已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为．三、解答题：（本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M为AB的中点．（I）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求点B到平面SCM的距离．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面AEC．（2）求异面直线BC1与AC所成的角．19．已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．20．如图为一组合几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD且PD=AD=2EC=2．（I）求证：AC⊥平面PDB；（II）求四棱锥B﹣CEPD的体积；（III）求该组合体的表面积．21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．22．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．2016-2017学年四川省德阳市中江县龙台中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．经过圆（x+1）2+y2=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y+1=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求得圆心坐标为（﹣1，0），根据直线x+y=0的斜率为1，可得所求直线的斜率为﹣1，用点斜式求得所求的直线的方程．【解答】解：由于（x+1）2+y2=1的圆心坐标为（﹣1，0），直线x+y=0的斜率为1，故所求直线的斜率为﹣1，故所求的直线的方程为y﹣0=﹣1（x+1），即x+y+1=0，故选B．2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B 的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，且BP=BD1，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】P到平面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：∵BP=BD1，∴P到平面ABCD的距离d=DD1=，===．∴V P﹣ABC故选：C．4．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【考点】圆的切线方程．【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．5．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，从而求出向量，的坐标，从而BM与AN所成角的余弦值为||=．【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；∴；∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：D．6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选B7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n ⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．84【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，长方体的体积为：6×6×3=108，棱锥的体积为：××4×3×4=8，故组合体的体积V=108﹣8=100，故选：B9．空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，MN=7，则异面直线AC和BD所成的角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由题意画出图形，得到异面直线AC和BD所成的角（或补角），由余弦定理求解得答案．【解答】解：如图，取AD中点G，连接MG，NG，∵AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，∴NG=5，MG=3，又MN=7，cos∠MGN=，∴cos∠MGN=120°，则异面直线AC和BD所成的角等于60°．故选：B．10．已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．7πB．19πC．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【解答】解：△BCD中，BD=1，CD=1，BC=，所以∠BDC=120°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=1，AD是球的弦，DA=，∴OM=，∴球的半径OD=．该球的表面积为：4π×OD2=7π；故选：A11．直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】直线与圆相交的性质．【分析】联立直线与圆的方程得到一个方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，由直线与圆的两交点关于y轴对称，得到两交点的横坐标互为相反数，即横坐标相加为0，利用韦达定理表示出两根之和，令其等于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：（k2+1）x2+2kx=0，设方程的两根分别为x1，x2，由题意得：x1+x2=﹣=0，解得：k=0．故选A．12．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．1 B．﹣2 C．2+D．2【考点】两点间的距离公式．【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求PN﹣PM的最大值转化为PO2﹣PO1+1的最大值，再利用PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，即可求出对应的最大值．【解答】解：如图所示，圆O1：x2+（y﹣1）2=的圆心O1（0，1），圆O2：（x﹣2）2+y2=的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是；要使PN﹣PM最大，需PN最大，且PM最小，由图可得，PN最大值为PO2+，PM的最小值为PO1﹣，故PN﹣PM最大值是（PO2+）﹣（PO1﹣）=PO2﹣PO1+1，点P（t，t）在直线y=x上，O1（0，1）关于y=x的对称点O1′（1，0），直线O2O1′与y=x的交点为原点O，则PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，故PO2﹣PO1+1的最大值为1+1=2，即|PN|﹣|PM|的最大值为2．故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=3．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆的圆心代入对称轴方程即可求出a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2）；圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，可得：﹣a+2+1=0，解得a=3．故答案为：3．14．圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是（0，2）或．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先把圆的方程整理才标准方程，进而可知两圆的圆心坐标和半径，进而根据两圆心的距离小于半径之和，大于圆心距离之差，最后取交集答案可得．【解答】解：整理圆C1得（x﹣m）2+y2=4，整理圆C2得（x+1）2+（y﹣2m）2=9∴C1的圆心为（m，0），半径为2，圆C2：圆心为（﹣1，2m），半径为3，∵两圆相交∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之故答案为：（0，2）或15．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．16．已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为15．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程找出圆心坐标为（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，再由M的坐标，根据矩形的性质及勾股定理得到d12+d22=OM2，由M和O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM2，进而得到d12+d22的值，再由圆的半径，弦心距及弦长的一半，由半径的值表示出|AB|与|CD|的长，又四边形ABCD的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式变形后，将求出的d12+d22的值代入，即可得到面积的最大值．【解答】解：∵圆O：x2+y2=9，∴圆心O坐标（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，∵M（1，），则d12+d22=OM2=12+（）2=3，又|AC|=2，|BD|=2∴四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=2•≤18﹣（d12+d22）=18﹣3=15，当且仅当d 12 =d 22时取等号，则四边形ABCD 面积的最大值为15．故答案为：15．三、解答题：（本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图在三棱锥S ﹣ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=，M 为AB 的中点．（I ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求点B 到平面SCM 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）欲证AC ⊥SB ，取AC 中点D ，连接DS 、DB ，根据线面垂直的性质定理可知，只须证AC ⊥SD 且AC ⊥DB ，即得；（Ⅱ）设点B 到平面SCM 的距离为h ，利用等体积法：V B ﹣SCM =V S ﹣CMB ，即可求得点B 到平面SCM 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC 的中点D ，连接DS ，DB ．∵SA=SC ，BA=BC ，∴AC ⊥DS ，且AC ⊥DB ，DS ∩DB=D ，∴AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ，∴AC ⊥SB ．（Ⅱ）解：∵SD ⊥AC ，平面SAS ⊥平面ABC ，∴SD ⊥平面ABC ．如图，过D 作DE ⊥CM 于E ，连接SE ，则SE ⊥CM ，∴在Rt △SDE 中，SD=1，DE=，∴SE=．CM 是边长为2的正△ABC 的中线，∴CM=．∴=．=． 设点B 到平面SCM 的距离为h ，则由V B ﹣SCM =V S ﹣BCM 得，∴．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面AEC．（2）求异面直线BC1与AC所成的角．【考点】直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）利用线面平行的判定定理进行证明．（2）连结AD1、CD1，可证出四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．等边△AD1C中求出∠D1AC=60°，即得异面直线AC与BC1所成角的大小．【解答】解：（1）连结BD交AC于O，则O为BD的中点，连EO，因为E是DD1的中点，所以EO∥BD1，又EO⊂面AEC，BD1⊈面AEC，所以BD1∥平面AEC．（2）连结AD1、CD1，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．∵△AD1C是等边三角形，∴∠D1AC=60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°．19．已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得圆C的圆心是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，先求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r，可以设p的坐标为（m，﹣1﹣m），结合直线与圆的位置关系可得（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m的值，即可得p的坐标，分析可得直线MN的斜率为1，由直线的点斜式方程可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，﹣2）∴直线AB的斜率…∴直线AB的垂直平分线的斜率为1 …又线段AB的中点坐标为∴线段AB的垂直平分线的方程是，即x﹣y﹣3=0…∵圆心C在直线l：x+y+1=0上∴圆心C的坐标是方程组的解，得圆心C的坐标（1，﹣2）…∴圆C的半径长…∴圆C的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9…（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r∵M，N是圆C上的两点，且M，N关于直线l：x+y+1=0对称∴点P在直线l：x+y+1=0上∴可以设点P坐标为（m，﹣1﹣m）…∵以MN为直径的圆经过原点O∴以MN为直径的圆的半径长…∵MN是圆C的弦，∴|CP|2+r2=9，即（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m=﹣1或∴点P 坐标为（﹣1，0）或…∵直线MN 垂直直线l ：x +y +1=0，∴直线MN 的斜率为1…∴直线MN 的方程为：x ﹣y +1=0或x ﹣y ﹣4=0…20．如图为一组合几何体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD 且PD=AD=2EC=2．（I ）求证：AC ⊥平面PDB ；（II ）求四棱锥B ﹣CEPD 的体积；（III ）求该组合体的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知结合线面垂直的性质可得PD ⊥AC ，又底面ABCD 为正方形，得AC ⊥BD ，再由线面垂直的判定得AC ⊥平面PDB ；（Ⅱ）由PD ⊥平面ABCD ，可得面PDCE ⊥面ABCD ，进一步得到BC ⊥平面PDCE ．求出S 梯形PDCE ，代入棱锥体积公式求得四棱锥B ﹣CEPD 的体积；（Ⅲ）求解直角三角形得△PBE 的三边长，再由三角形面积公式可得组合体的表面积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，又底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∵BD ∩PD=D ，∴AC ⊥平面PDB ；（Ⅱ）解：∵PD ⊥平面ABCD ，且PD ⊂面PDCE ，∴面PDCE ⊥面ABCD ，又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PDCE ．∵S 梯形PDCE =（PD +EC ）•DC=×3×2=3，∴四棱锥B ﹣CEPD 的体积V B ﹣CEPD =S 梯形PDCE •BC=×3×2=2；（Ⅲ）解：∵BE=PE=，PB=2，∴S PBE =×2×=．又∵S ABCD =2×2=4，S PDCE =3，S PDA ==2，S BCE ==1，S PAB ==2，∴组合体的表面积为10+2+．21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN，推导出PM⊥AB，MN⊥AB，从而∠PMN为二面角P﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣C的大小．（Ⅱ）设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC，推导出MF⊥PN，CD⊥MF，从而MF⊥平面PCD，推导出四边形EMFG为平行四边形，从而EG⊥平面PCD，由此得到存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．【解答】解：（Ⅰ）如图，设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN…∵PA=PB，M是AB的中点∴PM⊥AB又在正方形ABCD中有MN⊥AB∴∠PMN为二面角P﹣AB﹣C的平面角…∵，AB=2，M是AB的中点∴PM=2同理可得PN=2，又MN=2∴△PMN是等边三角形，故∠PMN=60°∴二面角P﹣AB﹣C为60°，…（Ⅱ）存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．理由如下…如图，设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC…由（Ⅰ）知△PMN是等边三角形，故MF⊥PN∵CD⊥MN，CD⊥PN，MN∩PN=N∴CD⊥平面PMN，故CD⊥MF又CD∩PN=N∴MF⊥平面PCD…∵F，G分别为PN和PC的中点∴FG=∥又E为线段MB的中点∴FG=∥ME，故四边形EMFG为平行四边形…∴EG∥MF∴EG⊥平面PCD又EG⊂平面PCE∴平面PCE⊥平面PCD．…22．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，进而得到b的取值范围；（2）b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．【解答】解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，即b2﹣4＜0，解得：﹣2＜b＜2；（2）当b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r=，故|AB|的最大值为2，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=，|AB|=2=2，故|AB|的最小值为2．2017年1月6日。

龙台中学2015年下期高一年级半期考试数学学科试题时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝()．A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}2．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( )． A ．{0,2,3} B ．{1,2,3} C ．{－3,5} D ．{－3,5,9} 3．函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( )．A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞)D ．R 4．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋4(a ，b 不为零)，且f (5)＝10，则f (－5)等于( )． A ．－10 B ．－2 C ．－6 D ．145．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在区间(1,4]上的值域是( )． A ．[－1，＋∞) B ．(0,3] C ．[－1,3]D ．(－1,3]6．函数2()2f x ax bx =+-是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 在区间[]1,2上是( )A ． 增函数B ． 减函数C ． 先增后减函数D ．先减后增函数7如果幂函数()n f x x =的图象经过点)2,2(,则(4)f 的值等于 ( )A 、16B 、2C 、116 D 、128．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x (x ≤0)，log 2x (x >0)，那么f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛81f 的值为( )． A ．27B.127C ．－27D ．－1279π＝( )：A ． 4B ． 2 4π－C ．2 4π－或4D ． 4 2π－10．在同一直角坐标系中，函数xy a =与log a y x =的图像只能是：( )11．如图所示的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象.已知n 分别取1-，1，12，2四个值，则与曲线1C 、2C 、3C 、4C 相应的n 依次为：( )A ．2，1，12，1- B ．2，1-，1，12 C ．12，1，2，1-D ．1-，1，2，1212.若指数函数)10(<<=a a y x在[-1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 为：A.251- B. 251+- C. 451+ D. 451+- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213. 0312)21(5lg 216lg 21)278(25.0+--+--= 14．若y ＝f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f (－2)＝0，则不等式x ·f (x )<0的解集为________．15. 方程 96370x x-⋅-=的解是 ．16. 关于下列命题：①若函数xy 2=的定义域是｛}0|≤x x ，则它的值域是}1|{≤y y ； ② 若函数x y 1=的定义域是}2|{>x x ，则它的值域是}21|{≤y y ； ③若函数2x y =的值域是}40|{≤≤y y ，则它的定义域一定是}22|{≤≤-x x ； ④若函数x y 2log =的值域是}3|{≤y y ，则它的定义域是}80|{≤<x x .其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上).三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间与减区间．18．(本小题满分10分)利用对数的换底公式化简下列各式：()()23454839(1)log log ;(2)log 3log 4log 5log 2;(3)log 3log 3log 2log 2a c c a ••••++19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．20．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1或x ≥4}．(1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．21(本小题满分12分)已知函数22()log (1)log (1)f x x x =--+. （1）求函数()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性；22．(本小题满分14分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ＝f (x )－f (y )． (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎪⎭⎫⎝⎛31＜2.。

数学试题全卷满分为150分，完卷时间为120分钟一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分，请将答案填在题后指定位置)1、已知集合{}7654321，　，　，　，　，　，　=U ，{}542，　，　=A ，{}7531，　，　，　=B ，则()=B A C U ( )(A) {}531，　，　； (B) {}731，　，　； (C) {}751，　，　； (D) {}753，　，　． 2、已知集合{}531，　，　-=A ，若12:-→x x f 是集合A 到B 的映射，则集合B 可以是( )(A) {}320，　，　； (B) {}321，　，　； (C) {}53，　-； (D) {}953，　，　-． 3、指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是( ) (A)41 (B)21 (C)2 (D)4 4、已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为 ( ) A ．3 B ．2 C ．－2D ．－3 5、下列各计算中，正确的是（ ） (A) 22313a a =- (B) 03232=÷-a a (C) 33132a a a =÷ (D) a a =-221)( 6、式子82log 9log 3的值为( ) (A)23 (B) 32(C)2 (D)3 7、设()x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，()()1-=x x x f ，则()=-2f ( )(A) 2； (B) 1； (C) 1-； (D) 2-．8、下列函数是同一函数的是 。

A. x y =与xx 2y = B. x y =与44x y = C. x y =与x y 2log 2= D. 22log x y =与x y 2log 2=9、若3.02=a ，3.0)21(=b ，3.0log 2=c ，则 。

A. c b a >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>10、若函数(x)f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0(1)=f ，则使得0(x)<f 的x 得取值范围是 。

2014-2015学年四川省德阳市中江县龙台中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项当中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}，N={2，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A．{5}B．{1，3}C．{2，4}D．{2，3，4}2．（5.00分）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（x+2） B．C．D．3．（5.00分）下列四组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x+1|，g（x）= B．f（x）=，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x﹣1 D．f（x）=2，g（x）=x4．（5.00分）化简的结果是（）A．B．x C．1 D．x25．（5.00分）设则f[f（2）]=（）A．2 B．3 C．9 D．186．（5.00分）下列各图形中，是函数的图象的是（）A．B．C．D．7．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，]B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2]D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）8．（5.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x﹣2），则当x＜0时f（x）上的表达式为（）A．y=x（x﹣2）B．y=x（x+2）C．y=﹣x（x﹣2）D．y=﹣x（x+2）9．（5.00分）函数f（x）=ax2+2（a﹣3）x+1在区间[﹣2，+∞）上递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[﹣3，0]C．[﹣3，0）D．[﹣2，0]10．（5.00分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（）=0，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．（5.00分）已知a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则a，b，c的大小关系为．12．（5.00分）幂函数在（0，+∞）是减函数，则m=．13．（5.00分）已知函数f（x）与函数g（x）=x的图象关于直线y=x对称，则函数f（x）的单调递减区间是．14．（5.00分）函数f（x）=log a（x2﹣x）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是．15．（5.00分）给出以下结论：①f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数；②g（x）=既不是奇函数也不是偶函数；③F（x）=f（x）f（﹣x）（x∈R）是偶函数；④h（x）=lg是奇函数．其中正确的序号是．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（12.00分）设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．17．（12.00分）计算：（1）log89•log2732﹣（）lg1+log535﹣log57；（2）0.027﹣﹣（﹣）﹣2+2560.75﹣+（）0．18．（12.00分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明：函数f（x）在内是增函数．19．（12.00分）目前，成都市B档出租车的计价标准是：路程2km以内（含2km）按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）=2.85元/km）．（现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）将乘客搭乘一次B档出租车的费用f（x）（元）表示为行程x（0＜x≤60，单位：km）的分段函数；（2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？20．（13.00分）已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）﹣f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．21．（14.00分）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0对任意x ∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年四川省德阳市中江县龙台中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项当中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}，N={2，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A．{5}B．{1，3}C．{2，4}D．{2，3，4}【解答】解：由图象知，阴影部分表示的集合的元素为从集合M中去掉集合M、N的公共元素后剩余的元素构成的集合又N={2，5}∴M∩N={5}∴阴影部分表示的集合为{1，3}故选：B．2．（5.00分）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（x+2） B．C．D．【解答】解：A，y=ln（x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A正确；B，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除BC，在R上为减函数；排除CD，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D故选：A．3．（5.00分）下列四组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x+1|，g（x）= B．f（x）=，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x﹣1 D．f（x）=2，g（x）=x【解答】解：A．g（x）==|x+1|，两个函数的定义域和对应法则相同，∴f（x）和g（x）表示同一函数．B．f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同，不表示同一函数．C．f（x）==x﹣1，的定义域为{x|x≠﹣1}，两个函数的定义域不同，不表示同一函数．D．f（x）的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不同，不表示同一函数．故选：A．4．（5.00分）化简的结果是（）A．B．x C．1 D．x2【解答】解：===x0=1．故选：C．5．（5.00分）设则f[f（2）]=（）A．2 B．3 C．9 D．18【解答】解：因为，可得f（2）==1，1＜2，f（1）=2e1﹣1=2，∴f[f（2）]=2；故选：A．6．（5.00分）下列各图形中，是函数的图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=f（x）中，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，∴函数y=f（x）的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点故A，B，C均不正确故选：D．7．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，]B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2]D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）【解答】解：﹣≤x＜﹣1或1＜x≤．∴y=的定义域为[﹣，﹣1）∪（1，]．故选：A．8．（5.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x﹣2），则当x＜0时f（x）上的表达式为（）A．y=x（x﹣2）B．y=x（x+2）C．y=﹣x（x﹣2）D．y=﹣x（x+2）【解答】解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∵当x≥0时，f（x）=x（x﹣2），∴当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）•（﹣x﹣2）]=﹣x（x+2）．故选：D．9．（5.00分）函数f（x）=ax2+2（a﹣3）x+1在区间[﹣2，+∞）上递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[﹣3，0]C．[﹣3，0）D．[﹣2，0]【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣6x+1，∵﹣6＜0，故f（x）在R上单调递减满足在区间[﹣2，+∞）上递减，当a＞0时，二次函数在对称轴右侧递增，不可能在区间[﹣2，+∞）上递减，当a＜0时，二次函数在对称轴右侧递减，若函数f（x）=ax2+2（a﹣3）x+1在区间[﹣2，+∞）上递减，仅须，解得﹣3≤a＜0综上满足条件的实数a的取值范围是[﹣3，0]故选：B．10．（5.00分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（）=0，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0综上xf（x）＞0的解集为故选：B．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．（5.00分）已知a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则a，b，c的大小关系为a＞b ＞c．【解答】解：∵y=3x是定义域上的增函数，∴30.4＞30=1；∵y=0.4x是定义域上的减函数，∴0＜0.43＜0.40=1；∵y=log0.4x是定义域上的减函数，∴log0.43＜log0.41=0；∴a＞b＞c．故答案为：a＞b＞c．12．（5.00分）幂函数在（0，+∞）是减函数，则m=﹣1．【解答】解：∵f（x）=（m2﹣2m﹣2）在（0，+∞）是减函数，∴∴m=﹣1．故答案为：﹣1．13．（5.00分）已知函数f（x）与函数g（x）=x的图象关于直线y=x对称，则函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）与函数g（x）=x的图象关于直线y=x对称，∴函数f（x）与函数g（x）=x互为反函数，∴f（x）=，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，+∞）故答案为（﹣∞，+∞）14．（5.00分）函数f（x）=log a（x2﹣x）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是{a|a＞1} ．【解答】解：令t=x2﹣x=﹣＞0，求得x＜0，或x＞1，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞1}且f（x）=log a t．由于函数t在[2，4]上是增函数，且t＞0，函数f（x）=log a（x2﹣x）在[2，4]上是增函数，则a＞1，故答案为：{a|a＞1}．15．（5.00分）给出以下结论：①f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数；②g（x）=既不是奇函数也不是偶函数；③F（x）=f（x）f（﹣x）（x∈R）是偶函数；④h（x）=lg是奇函数．其中正确的序号是①③④．【解答】解：对于①，∵f（﹣x）=|﹣x+1|﹣|﹣x﹣1|=﹣（|x+1|﹣|x﹣1|）=﹣f（x），∴f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数，①正确；对于②，由1﹣x2≥0得：﹣1≤x≤1，∴g（x）===，满足g（﹣x）=﹣g（x），故y=g（x）是奇函数，②错误；对于③，∵F（x）=f（x）f（﹣x），∴F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x）（x∈R），∴F（x）=f（x）f（﹣x）是偶函数，③正确；对于④，由＞0得，﹣1＜x＜1，又h（﹣x）=lg=lg=﹣lg=﹣h（x），∴h（x）=lg是奇函数，④正确．故答案为：①③④．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（12.00分）设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，∵A∩B=B知，B⊆A，∴B={0}或B={﹣4}或B={0，﹣4}或B=∅，若B={0}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的根0，则，∴a=﹣1，若B={﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的根﹣4，则，∴a无解，若B={0，﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个不相等的根0和﹣4，则，∴a=1，当B=∅时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0无实数根，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，得a＜﹣1，综上：a=1，a≤﹣1．17．（12.00分）计算：（1）log89•log2732﹣（）lg1+log535﹣log57；（2）0.027﹣﹣（﹣）﹣2+2560.75﹣+（）0．【解答】（本小题满分12分）解：（1）log89•log2732﹣（）lg1+log535﹣log57==﹣1+1=．（2）0.027﹣﹣（﹣）﹣2+2560.75﹣+（）0==32．18．（12.00分）已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明：函数f（x）在内是增函数．【解答】解：（1）函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）（1分）∵，∴f（x）是奇函数．（5分）（2）设，且x 1＜x2 （6分）则=，（7分）∵，∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣2＞0，x1x2＞0（10分）∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）（11分）故f（x）在内是增函数．（12分）19．（12.00分）目前，成都市B档出租车的计价标准是：路程2km以内（含2km）按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）=2.85元/km）．（现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）将乘客搭乘一次B档出租车的费用f（x）（元）表示为行程x（0＜x≤60，单位：km）的分段函数；（2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？【解答】解：（1）由题意得，车费f（x）关于路程x的函数为：=．（6'）（2）只乘一辆车的车费为：f（16）=2.85×16﹣5.3=40.3（元），（8'）换乘2辆车的车费为：2f（8）=2×（4.2+1.9×8）=38.8（元）．（10'）∵40.3＞38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．（12'）20．（13.00分）已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）﹣f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=2x，∴g（x）=f（2x）﹣f（x+2）=22x﹣2x+2．（3'）因为f（x）的定义域是[0，3]，所以，解之得0≤x≤1．于是g（x）的定义域为{x|0≤x≤1}．（或写成[0，1]，否则扣1分）（6'）（2）设g（x）=（2x）2﹣4×2x=（2x﹣2）2﹣4．（8'）∵x∈[0，1]，即2x∈[1，2]，∴当2x=2即x=1时，g（x）取得最小值﹣4；（10'）当2x=1即x=0时，g（x）取得最大值﹣3．（12'）21．（14.00分）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0对任意x ∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，∴f（x2﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数，∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；（3）∵函数f（x）为奇函数，∴不等式可化为，又∵f（x）为增函数，∴，令t=log2x，则0≤t≤1，问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞y max，而（0≤t≤1），∴当时，，则．∴m的取值范围就为．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。