随机事件的概率

随机事件的概率在日常生活中，有很多随机事件，比如掷硬币的结果、抽彩票的概率、汽车事故的发生率等等。

我们常常会用到概率这个概念来描述这些随机事件的可能性。

那么，什么是概率？如何计算概率？本文将就此问题展开讨论。

一、概率的定义与性质概率是一个描述随机事件发生可能性的数值，它一般用0到1之间的小数来表示。

0表示事件不可能发生，1表示事件必然发生，其他值则表示事件发生的可能性大小。

例如，掷骰子得到1的概率是1/6，抽中特等奖的概率可能是几百万分之一。

概率有以下几个性质：1.非负性：任何事件的概率都是非负数，即P(A)≥0。

2.规范性：必然事件的概率为1，即P(S)=1。

3.可列可加性：对于任意两个不相交的事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。

二、概率的计算方法在实际应用中，概率的计算方法非常丰富，下面简单介绍几种常用的方法：1.古典概型如果一个随机试验有n个互不相同的基本事件，每个基本事件发生的可能性相等，且每个事件与试验的其他事件相互独立，那么这个试验就是一个古典概型。

例如，掷一枚硬币，得到正面或反面的概率都是1/2；从一副有5张红牌和5张黑牌的牌组中随机抽取一张牌，得到红牌或黑牌的概率都是1/2。

对于古典概型，可以采用排列组合的方法进行计算。

例如，从n个不同的元素中任选r个元素的方案数为C(n,r)，也称为组合数。

因此，在n个互不相同的元素中选取r个元素的概率为：P(r)=C(n,r)/C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n)2.几何概率几何概率是指利用几何形状来求解概率的方法。

例如，将一个点均匀地撒在正方形区域中，落在某个子区域内的概率就是这个子区域的面积与正方形面积之比。

对于N个互不相同的点，如果每个点落在某个子区域内的可能性相等，且每个点与试验的其他点相互独立，那么这个试验就是一个几何概型。

3.条件概率条件概率指的是在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。

例如，如果一个桶里有4个红球和3个蓝球，从中任取一个球，如果已知这个球是红球，那么再抽到红球的概率是多少？这个问题可以用条件概率来解答。

答：这枚骰子的质地不均匀，标有6点的那面比较
重，会使出现1点的概率最大，更有可能连续10次
都出现1点. 如果这枚骰子的质地均匀，那么抛掷一
次出现1点的概率为，连续10次都出现1点的概率为：
1
10
0.000000016538
6
这是一个小概率事件，几乎不可能发生.
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确 答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最 大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称 为极大似然法. 4.天气预报的概率解释：
巩固练习
1.从12个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中，任意
取3个的必然事件是（ D ）。
A、3个都是正品
B、至少有1个是次品
C、3个都是次品
D、至少有1个是正品
2.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取 100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是 48＋121＋208＋223＝600， ∴样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是600/1000=0.6 ∴灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
二.概率的意义： 1.概率的正确理解
诱思探究1
抛掷—枚质地均匀的硬币，出现正、反面的概 率都是0.5，那么连续两次抛掷一枚硬币，一定是 出现一次正面和一次反面吗？可能会出现哪几种不 同结果？
1-0.9991000≈0.632 即有63.2%的可能性中奖，但不能肯定中奖.
中奖的张数是随机的，但这种随机性中具有规
律性，随着所买彩票张数的增加，中奖彩票所占比 例越接近 1

第一节 随机事件的概率一.基本知识概要：1.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率10≤≤P2.如果是必然要发生的事件，则叫必然事件，其概率P=1；3.如果是不可能发生的事件，则叫不可能事件，其概率P=0。

4.事件的概率：在进行n 次重复同一试验中事件A 发生了m 次，随着试验次数的增大，事件A 发生的频率m/n 总是接近于某一常数P ，则P 就叫事件A 发生的概率。

5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

6.等可能事件：在一次实验中，所有可能的结果有n 个，则叫事件A 包含有n 个基本事件，如果每个基本事件发生的概率都是等可能的，则叫等可能事件，所以每个基本事件发生的概率是n1。

如果事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率P （A ）=nm 。

7.概率的计算：事件A 发生的概率P （A ）=种数所有事件发生的可能总发生的可能种数事件A =)()(I card A card （其中I为所有基本事件的集合，A 为事件A 所含基本事件的集合）。

二、例题： 例1、（1）给出下列四个命题：①“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是必然事件；②“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是不可能事件；③“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是随机事件；④“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是必然事件；其中正确的命题个数是：A ． 0；B 1；C 2；D 3（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。

”(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。

” （4解：（1）B ；（2）否；（3）是；（4）0.8.[思维点拔]：正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的． 例2、用数字1，2，3，4，5组成五位数，求其中恰有4个相同数字的概率。

三、 概率的公理化定义
公理化的必要性 任何一个数学概念都是对现实世界的抽象 这种抽象使
得其具有广泛的适应性 并成为进一步数学推理的基础 前面 指出 概率的频率解释为概率提供了经验基础 但不能作为一 个严格的数学定义 它没能抓住“概率”这一概念的抽象本 质 如果人们对概率的认识只停留在这一简单的直观上 那么 人们对概率论的研究便只能停留在对一些肤浅的问题的零散 研究上 概率论的研究和应用就会受到很大的局限
频率的性质
记一个事件 A 在 n 次重复试验中发生的次数为 rn(A) 则其
发生的频率
fn ( A)
rn(A) n
满足下列性质
(1) fn()1
(2)对任意事件A 有fn(A)0
(3)对任意一组两两不相容的事件A1 A2 An
P(
i1
Ai
)
i1
P(
Ai
)
说明 值得指出的是 fn(A)还满足许多其他性质 比如 比较显 然的性质有 fn()0 fn(A)1 然而这些性质均可由上述三条 性质导出 所以上述三条性质是反映频率特征的核心性质
一、 概率和频率解释
定义11(概率的直观定义) 随机事件A发生的可能性大小的度量(数值) 称为事件A
发生的概率 记作P(A)
说明 一个事件的概率是由事件本身特征所决定的客观存在
就好比一根木棒有它的长度一样 频率的稳定值是概率的外 在的必然表现 当进行大量重复试验时 频率会接近稳定值 因而 频率可用来作为概率的估计 就好比是测定概率的“尺 子” 随着试验次数的增加 测定的精度会越来越高
例110 观察某地区未来5天的天气情况 记Ai为事件 “有i 天不下雨”(i0 1 2 3 4 5) 已知P(Ai)iP(A0)(i1 2 3 4 5) 求下列各事件的概率