椭圆型偏微分方程实验报告

数学专业的椭圆偏微分方程椭圆偏微分方程作为数学中的重要分支之一，广泛应用于科学、工程和经济等领域。

本文将对数学专业的椭圆偏微分方程进行详细的探讨，介绍其基本概念、求解方法以及在实际应用中的一些典型案例。

一、椭圆偏微分方程的基本概念椭圆偏微分方程是指形如：$$Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_x+Eu_y+Fu = G $$的二阶偏微分方程，其中A、B、C、D、E、F、G都是已知的函数。

椭圆偏微分方程的主要特点是其二阶导数的系数满足某些条件，使得方程的解具有良好的性质。

二、椭圆偏微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是求解椭圆偏微分方程常用的方法之一。

通过假设解具有形如$u(x,y)=X(x)Y(y)$的形式，将变量分离后代入方程，得到两个关于X(x)和Y(y)的常微分方程。

进一步求解这些常微分方程，得到原方程的解。

2. 特征线法对于一类特殊的椭圆偏微分方程，可以通过特征线法求解。

特征线法的关键是通过变换将原方程转化为关于新坐标系的常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。

3. 数值方法对于一些复杂的椭圆偏微分方程，往往很难得到解析解。

此时，可以借助数值方法求解，如有限差分法、有限元法等。

这些数值方法通过将偏微分方程转化为差分或代数方程，然后运用数值计算方法得到近似解。

三、椭圆偏微分方程的应用椭圆偏微分方程在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。

以下是一些椭圆偏微分方程应用的典型案例：1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部的温度分布随时间的变化。

通过求解热传导方程，可以模拟材料的热传导行为，对热传导问题进行分析和优化设计。

2. 电场方程电场方程描述了电荷在空间中的分布情况以及电场随时间的变化。

通过求解电场方程，可以研究电场的分布规律，解决电场问题，如电磁场的辐射问题、导体中的电磁场分布等。

3. 流体力学方程流体力学方程描述了流体在空间中的运动规律。

通过求解椭圆型流体力学方程，可以研究流体的运动行为，如空气动力学、水动力学、血液流动等问题。

一种求解带非线性边界条件的椭圆偏微分方程多解的数值方法的开题报告一、选题的背景和意义椭圆偏微分方程广泛应用于自然科学、工程技术和经济等领域中的问题。

鉴于实际问题中的非线性性和不均匀性，许多椭圆偏微分方程的求解变得十分困难。

尤其是在处理复杂的边界条件时，无法使用传统的方法，需要运用新的数值技术。

许多工程应用中的问题涉及到多个稳态解，如相变问题、非牛顿流体问题等。

针对这些多解问题，目前已有一些数值方法被提出。

因此，本文拟研究一种求解带非线性边界条件的椭圆偏微分方程多解的数值方法，并对该方法的数值稳定性、精度和可行性进行分析和讨论。

该方法将为相关领域的问题提供一种有力的数值求解方式。

二、主要研究内容和方法本文将进一步研究基于有限元法求解带非线性边界条件的椭圆偏微分方程多解的数值方法。

我们将利用数值离散化技术，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程。

我们将针对数值离散化方法常见的一些问题，如数值稳定性、精度和计算效率等，提出相应的解决方案。

具体来说，我们将考虑以下几个方面：（1）基于一般有限元法的算法实现：选取合适的有限元空间和插值方式，将偏微分方程离散化为代数方程组，并采用迭代求解该方程组的方法。

（2）多解问题的算法求解：对于多解问题，利用有限元空间的性质，将不同的解区分开来并进行求解。

（3）数值稳定性分析：分析数值离散化方法的稳定性和误差来源，并针对这些问题寻求改进的方法。

（4）计算实例分析：采用基于有限元方法的数值求解算法，对具体的几个实际问题进行求解和分析，比较分析算法的效果和优缺点。

三、拟完成的工作和预期成果本文旨在提出一种针对带非线性边界条件的椭圆偏微分方程多解问题的数值求解方法。

主要工作包括研究相关理论、建立数学模型、编程实现和计算实例分析。

预期成果如下：（1）提出一种数值稳定性好、可行性高的方法，能够对带非线性边界条件的椭圆偏微分方程多解问题进行有效求解。

（2）针对多解问题给出新的解法，从而可以解决多个解的求解问题。

五点差分格式求解椭圆型偏微分方程（解线性方程组方法）五点差分格式是一种常用的数值方法，用于求解椭圆型偏微分方程。

该方法将偏微分方程中的二阶导数项用差分近似替代，并将偏微分方程转化为一个线性方程组。

本文将介绍五点差分格式的推导过程，并使用该方法求解一个简单的椭圆型偏微分方程。

假设我们要求解的偏微分方程为：∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=f(x,y)其中，u是未知函数，f(x,y)是已知函数。

我们将该方程离散化，将坐标(x,y)分别用h表示，将u(x,y)用U(i,j)表示，其中i和j分别表示x和y的离散位置。

我们可以使用中心差分近似来计算二阶导数，得到：∂²u/∂x²≈(U(i+1,j)-2U(i,j)+U(i-1,j))/h²∂²u/∂y²≈(U(i,j+1)-2U(i,j)+U(i,j-1))/h²将上述近似代入原方程，得到：(U(i+1,j)-2U(i,j)+U(i-1,j))/h²+(U(i, j+1) - 2U(i, j) + U(i, j-1)) / h² = f(ih, jh)整理上述方程，得到：U(i+1, j) + U(i-1, j) + U(i, j+1) + U(i, j-1) - 4U(i, j) = h² * f(ih, jh)该方程表示了U(i,j)与其相邻四个点的关系。

我们可以将整个区域离散化为一个网格，每个网格点都满足类似的方程。

离散化后的方程可以写成一个线性方程组的形式。

例如，在一个矩形区域内，我们将x轴和y轴的区间划分为n个小区间，即x轴上的取值为0, h, 2h, ..., nh；y轴上的取值为0, h,2h, ..., nh。

在该区域内，一共有(n-1)²个内部网格点。

我们可以将这些网格点按照其中一种顺序依次编号，从而将线性方程组表示为一个矩阵方程。

《微分方程数值解法》期中作业实验报告二阶椭圆偏微分方程第一边值问题姓名：学号：班级：2013年11月19日二阶椭圆偏微分方程第一边值问题摘要对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题.课本上已经给出了相应的差分方程。

而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式.以及对系数进行赋值。

解决完这个问题之后.我在利用matlab 解线性方程组时.又出现“out of memory ”的问题。

因为99*99阶的矩阵太大.超出了分配给matlab 的使用内存。

退而求其次.当n=10.h=1/10或n=70.h=1/70时.我都得出了很好的计算结果。

然而在解线性方程组时.无论是LU 分解法或高斯消去法.还是gauseidel 迭代法.都能达到很高的精度。

关键字：二阶椭圆偏微分方程 差分方程 out of memory LU 分解 高斯消去法 gauseidel 迭代法一、题目重述解微分方程：()()2222((,))((,))()(,)()(,)(,)1y x x x y y x y yxxyxye u x y e u x y x y u x y x y u x y u x y y e x e e y x e--+++-+=-++++已知边界:(0,)1,(1,),(,0)1,(,1)y x u y u y e u x u x e ====求数值解, 把区域[0,1][0,1]G =?分成121/100,1/100h h ==.n =100 注：老师你给的题F 好像写错了.应该把22x y y e x e +改成22y x y e x e +。

二、问题分析与模型建立2.1微分方程上的符号说明()()22221y x xy xy y e x e e y x e -++++2.2课本上差分方程的缺陷课本上的差分方程为：举一个例子：当i=2,j=3时.；当i=3,j=3时.。

但是.显然这两个不是同一个数.其大小也不相等。

椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是数学中重要的一类偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。

本文将对椭圆型偏微分方程的定义、性质及求解方法进行探讨。

一、椭圆型偏微分方程的定义及性质椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的一类，其主要特点是其二阶导数的符号确定，即二阶导数的符号一致。

一个一般的椭圆型偏微分方程可以表示为：\[Lu = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{{\partial^2u}}{{\partialx_i\partial x_j}} + \sum_{i=1}^{n}b_i(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x_i}} + c(x)u = f(x)\]其中，\(L\)是椭圆算子，\(\frac{{\partial^2u}}{{\partial x_i\partialx_j}}\)是二阶偏导数，\(a_{ij}(x)\)、\(b_i(x)\)、\(c(x)\)是给定函数，\(f(x)\)是已知的源项函数。

对于椭圆型偏微分方程，有以下一些性质：1. 解的正则性：解的导数有界，满足一定的光滑性条件。

2. 最大值原理：在定义域上的解在边界上取得其最大（或最小）值时，只能在边界上取得。

3. 边值问题的唯一性：给定边界条件，边值问题有唯一解。

二、椭圆型偏微分方程的求解方法椭圆型偏微分方程的求解可以使用多种方法，下面介绍其中的两种常见方法：有限差分法和变分法。

1. 有限差分法有限差分法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过对离散方程的求解得到近似解。

该方法将解域进行网格划分，利用差分代替导数，将方程离散化。

通过求解离散方程组，得到近似解。

有限差分法简单易实现，但对于复杂的几何形状或边界条件的问题可能需要较高的计算资源。

2. 变分法变分法通过泛函的极值问题来求解椭圆型偏微分方程。

将方程转化为泛函的极值问题后，通过极值问题的变分推导和变分运算得到数学模型的解。

椭圆型偏微分方程的
椭圆型偏微分方程是一个表示椭圆型函数的微分方程，它可以在数学或物理中应用于模式的建立，也可以应用于求解复杂问题。

它又被称为椭圆型积分方程，是一个非常重要的微分方程。

椭圆型偏微分方程一般用数学语言来描述，它的基本形式为：∂y/∂x+P(x, y) ∂y/∂x+Q(x, y)=0，其中P(x, y)和Q(x, y)是关于x和y的函数，有时也称为P函数和Q函数。

由于椭圆型偏微分方程收敛得很快，因此它可以用于模拟各种重要问题，如流体动力学，热传导，电场和热流的研究。

椭圆型偏微分方程,也可以用来描述双曲线的性质，求解半调性问题，甚至求解高阶微分方程。

椭圆型偏微分方程是数学研究中使用最多的方程之一，也是所有函数和曲线都有可能拟合到它的一种方程。

椭圆型偏微分方程为人们研究微分方程提供了一个极为强大的工具。

总之，椭圆型偏微分方程是一个广泛用于求解复杂问题的强大工具，可以应用于各种模型的建立及高阶微分方程的求解。

它的出现和应用为数学领域的发展提供了重要的支撑和助力，使这一领域得以深入研究，产生了许多有价值的成果。

数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称椭圆型方程数值解
所属课程名称微分方程数值解法
实验类型验证
实验日期
班级信计0902
学号
姓名
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设
计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。

数学中的椭圆型偏微分方程在数学领域中，椭圆型偏微分方程是一类重要的方程类型。

它在物理学、工程学和计算机科学等各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍椭圆型偏微分方程的定义、性质和求解方法，从而帮助读者更好地理解和应用这一方程类型。

一、椭圆型偏微分方程的定义椭圆型偏微分方程是指具有标准形式的二阶偏微分方程，其中二次项系数的行列式不为零。

一般而言，椭圆型偏微分方程可以表示为：∑[i,j=1 to n] {aij(x) ∂²u/∂xi ∂xj} + ∑[i=1 to n] bi(x) ∂u/∂xi + cu = f其中，a_ij、b_i、c、f是相关系数或函数；u是未知函数，表示问题的解；x_1，x_2，…，x_n是自变量。

二、椭圆型偏微分方程的性质1. 正定性：椭圆型偏微分方程的二次项系数矩阵是正定矩阵。

这意味着椭圆型方程的解在定义域上满足一定的正定性条件。

2. 内部渐进性：椭圆型方程的解在区域的内部是光滑且渐进的。

3. 边界条件：椭圆型方程需要通过边界条件来获得唯一解。

常见的边界条件包括：泊松方程中的迪里切特边界条件和诺依曼边界条件。

三、椭圆型偏微分方程的求解方法1. 分离变量法：分离变量法是椭圆型偏微分方程求解的一种常见方法。

通过假设解可以表示为各个自变量分量的乘积形式，然后将未知函数与其各个自变量的分量进行分离，最终得到一个由各自变量分量的常微分方程组成的代数方程。

2. 特征线法：特征线法适用于一类特殊的椭圆型偏微分方程。

通过求解特征方程，我们可以找到解的参数化表示，从而将原方程化为一个更简单的常微分方程。

3. 有限差分法：有限差分法是一种通过在空间和时间上离散化方程来数值求解椭圆型偏微分方程的方法。

通过将偏微分方程转化为差分方程，可以用迭代方法求解离散问题。

四、椭圆型偏微分方程的应用1. 热传导方程：热传导方程可以描述物体内部温度分布随时间变化的情况。

通过求解热传导方程，我们可以研究热量在不同材料中的传导行为。

用差分法解椭圆型偏微分方程-（Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0<x<2; 0<y<1U(0,y)=sin(pi*y),U(2,y)=e^2sin(pi*y); 0=<y<=1U(x,0)=0, U(x,1)=0; 0=<x<=2先自己去看一下关于五点差分法的理论书籍Matlab程序：unction [p e u x y k]=wudianchafenfa(h,m,n,kmax,ep) % g-s迭代法解五点差分法问题%kmax为最大迭代次数%m,n为x,y方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200;%e为误差，p为精确解syms temp;u=zeros(n+1,m+1);x=0+(0:m)*h;y=0+(0:n)*h;for(i=1:n+1)u(i,1)=sin(pi*y(i));u(i,m+1)=exp(1)*exp(1)*sin(pi*y(i));endfor(i=1:n)for(j=1:m)f(i,j)=(pi*pi-1)*exp(x(j))*sin(pi*y(i));endendt=zeros(n-1,m-1);for(k=1:kmax)for(i=2:n)for(j=2:m)temp=h*h*f(i,j)/4+(u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i-1,j))/4;t(i,j)=(temp-u(i,j))*(temp-u(i,j));u(i,j)=temp;endendt(i,j)=sqrt(t(i,j));if(k>kmax)break;endif(max(max(t))<ep)break;endendfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1)p(i,j)=exp(x(j))*sin(pi*y(i));e(i,j)=abs(u(i,j)-exp(x(j))*sin(pi*y(i)));endEnd在命令窗口中输入：[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.1,20,10,10000,1e-6) k=147surf(x,y,u) ;xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);zlabel(‘u’);Title(‘五点差分法解椭圆型偏微分方程例1’)就可以得到下图ｓｕｒｆ（ｘ，ｙ，ｐ）ｓｕｒｆ（ｘ，ｙ，ｅ）[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.05,40,20,10000,1e-6)[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80,40,10000,1e-6)为什么分得越小，误差会变大呢？我们试试运行：[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80，40,10000,1e-8) K=2164surf(x,y,e)误差变小了吧还可以试试[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80，40,10000,1e-10) K=3355误差又大了一点再试试[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80,40,10000,1e-11) k=3952误差趋于稳定总结：最终的误差曲面与网格数有关，也与设定的迭代前后两次差值（ep,看程序）有关；固定网格数，随着设定的迭代前后两次差值变小，误差由大比变小，中间有一个最小值，随着又增大一点，最后趋于稳定。

偏微分方程数值解法上机报告（一）一、实验题目：用Ritz-Galerkin 方法求解边值问题2u '',01(0)0,(1)1u x x u u ⎧-+=<<⎨==⎩的第n 次近似()n u x ，基函数()sin(),1,2,...,i x i x i n ϕπ==.二、实验目的：通过本次上机实验，理解求解初值问题的变分问题的最重要的近似解法——Ritz-Galerkin 方法，以便为学习有限元法打好基础。

此外，要熟悉用Matlab 解决数学问题的基本编程方法，提高运用计算机解决问题的能力。

三、实验代码：n=5;syms x;for i=1:np(i)=sin(i*pi*x);q(i)=-i^2*pi^2*sin(i*pi*x);endfor i=1:nb(i)=2*int(p(i),0,1);for j=1:nA(i,j)=int((-q(j)+p(j))*p(i),0,1);endendt=inv(A)*b'四、运行结果：t=2251799813685248/3059521645650671/pi281474976710656/9481460623939047/pi281474976710656/43582901062631895/pi五、总结：通过本次上机，我了解了Ritz-Galerkin 方程 n j j p f cj p i p a n i i ,...,2,1)),(,())(),((1==∑=，明白了用Ritz-Galerkin 方法解决边值问题的变分问题的基本原理，并接近一步提高自己的编程动手能力，受益匪浅。

偏微分方程数值解法上机报告（二）一、 实验题目：用线性元求下列边值问题的数值解2''2sin ,0142(0)0,'(1)0y y x x y y ππ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩二、 实验目的：通过本次上机，熟悉和掌握用Galerkin 法观点出发导出的求解处置问题数值解的线性有限元法。

五点差分格式求解椭圆型偏微分方程华南理工大学 数创班 张华富【1】简述采用五点差分格式求解椭圆型偏微分方程，通过求解线性方程组AU=F 得到数值解；对数值解与精确解进行误差分析，分析收敛性及收敛阶。

难点：求出块三对角系数矩阵A ，以及右端项F ；【2】例题编程计算：采用五点差分格式求如下椭圆型方程2222uu x y f (x,y),(x,y);∂∂∂∂--=∈Ω其中f (x,y)、Ω及边值条件为：f (x,y)0,= (1,2)(0,1)Ω=⨯， 边值条件如下：222u(x,0)2ln x,u(x,1)ln(x 1)1x 2;u(1,y)ln(1y ),u(2,y)ln(4y ),0y 1.⎧==+<<⎪⎨=+=+<<⎪⎩， 问题存在精确解为： 22(,)ln()u x y xy =+【3】代码(1)q1.m%求解例题clearclc M=[5 10 20 30 40 50 60 70 80 90]; %网格剖分步数N=M;f_jingque=@(x,y)log(x^2+y^2); %方程的精确解f=@(~,~)0; %方程的右端项u_0=@(y)log(1+y^2); %边界条件u_M=@(y)log(4+y^2);v_0=@(x)2*log(x);v_N=@(x)log(x^2+1);for i=10:-1:1[h(i),n(i)]=Question(1,2,0,1,f_jingque,f,u_0,u_M,v_0,v_N,M(i),N(i));%对每一个剖分，返回其误差向量的无穷范数n与步长hendn=log(n);h=log(h);p=polyfit(h,n,1) %拟合曲线表达式figureplot(h,n,'*',h,polyval(p,h),'b-') %作图，画出拟合曲线legend('原始数据点','拟合曲线');（2）调用函数 Question.mfunction [h,n]=Question(a,b,c,d,f_jingque,f,u_0,u_M,v_0,v_N,M,N) %a,b,c,d为边界点，f_jingque为偏微分方程的精确解，f为方程右端项，u及v为边界条件，M、N为网格剖分步数h1=(b-a)/M;h2=(d-c)/N; %x,y方向的步长h=sqrt(h1^2+h2^2);for i=1:M-1x(i)=a+i*h1;V_0(i)=v_0(x(i));V_N(i)=v_N(x(i));endfor j=1:N-1y(j)=c+j*h2;U_0(j)=u_0(y(j));U_M(j)=u_M(y(j));endalpha_1=1/(h1^2); %五点差分格式的系数alpha_2=1/(h2^2);alpha_3=1/(h1^2);alpha_4=1/(h2^2);alpha_0=alpha_1+alpha_2+alpha_3+alpha_4;B=zeros(M-1,M-1); %求块三对角矩阵A中的主对角线元素B，B为三对角矩阵B(1,1)=alpha_0;B(1,2)=-alpha_1;B(end,end)=alpha_0;B(end,end-1)=-alpha_3;for i=2:M-2B(i,i)=alpha_0;B(i,i-1)=-alpha_3;B(i,i+1)=-alpha_1;endD=-alpha_4*eye(M-1);C=-alpha_2*eye(M-1);A=release(B,D,C,M,N); %生成块三对角矩阵A%线性方程组AU=F的右端项F的计算F=zeros((M-1)*(N-1),1);%四个顶角的FF(1)=f(x(1),y(1))+alpha_3*U_0(1)+alpha_4*V_0(1);F(M-1)=f(x(M-1),y(1))+alpha_1*U_M(1)+alpha_4*V_0(M-1);F((M-1)*(N-2)+1)=f(x(1),y(N-1))+alpha_2*V_N(1)+alpha_3*U_0(N-1);F((M-1)*(N-1))=f(x(M-1),y(N-1))+alpha_1*U_M(N-1)+alpha_2*V_N(M-1); for k=2:M-2 %第一层F(k)=f(x(k),y(1))+alpha_4*V_0(k);endfor k=(M-1)*(N-2)+2:(M-1)*(N-1) -1 %第N-1层F(k)=f(x(k-(M-1)*(N-2)),y(N-1))+alpha_2*V_N(k-(M-1)*(N-2));endl=1;k=1+(M-1)*l; %第一列while k<(M-1)*(N-2)+1F(k)=f(x(1),y(l+1))+alpha_3*U_0(l+1);l=l+1;k=1+(M-1)*l;endl=1;k=M-1+(M-1)*l; %第M-1列while k<(M-1)*(N-1)F(k)=f(x(M-1),y(l+1))+alpha_1*U_M(l+1);l=l+1;k=M-1+(M-1)*l;endU_shuzhi2=A\F; %左除求数值解向量U_shuzhi1=reshape(U_shuzhi2,[M-1,N-1]); %将向量转换为矩阵Accurate1=zeros(N-1,M-1);for j=1:N-1for i=1:M-1Accurate1(i,j)=f_jingque(x(i),y(j)); %精确解矩阵endendAccurate2=reshape(Accurate1,[(M-1)*(N-1),1]); %精确解矩阵化为按自然顺序排序的向量error=Accurate2-U_shuzhi2; %精确解与数值解的误差向量n=norm(error,inf); %误差向量的无穷范数plot_123(x,y,U_shuzhi1,Accurate1); %作图，画出数值解、精确解与误差矩阵的图像（3）调用函数 release.m%生成块三对角矩阵Afunction A=release(B,D,C,M,N)A=zeros((M-1)*(N-1));A(1:M-1,1:M-1)=B;A(1:M-1,M:2*(M-1))=C;A((M-1)*(N-2)+1:(M-1)*(N-1),(M-1)*(N-3)+1:(M-1)*(N-2))=D;A((M-1)*(N-2)+1:(M-1)*(N-1),(M-1)*(N-2)+1:(M-1)*(N-1))=B;for k=2:N-2A((M-1)*(k-1)+1:(M-1)*k,(M-1)*(k-1)+1:(M-1)*k)=B;A((M-1)*(k-1)+1:(M-1)*k,(M-1)*(k-2)+1:(M-1)*(k-1))=D;A((M-1)*(k-1)+1:(M-1)*k,(M-1)*k+1:(M-1)*(k+1))=C;end（4）调用函数 plot_123.mfunction plot_123(x,y,U_shuzhi,Accurate)figuresubplot(1,3,1)surf(x,y,U_shuzhi'); %按自然顺序排序输出，需将矩阵转置xlabel('x')ylabel('y')title('数值解图像')subplot(1,3,2)surf(x,y,Accurate');xlabel('x')ylabel('y')title('精确解图像')subplot(1,3,3)surf(x,y,(U_shuzhi-Accurate)');xlabel('x')ylabel('y')title('误差图像')【4】运行m文件q1.m，得到取不同步长时的数值解图像与精确解图像，以及误差图像；通过对步长与误差的拟合，可以得到收敛性以及收敛阶；比如，当M=N=30时，对应的图像如下图所示：拟合h与n，得到图像如下：得到的拟合函数为一次函数，且其系数为：可见，该方程的五点差分格式收敛，且收敛阶约为二阶，这与理论收敛阶数相一致。

开题报告信息与计算科学椭圆型偏微分方程的求解及其应用一、选题的背景、意义早期建立的数学物理方程有根据牛顿引力理论而推导出的描述引力势的拉普拉斯方程和泊松方程。

在连续介质力学中，从质量、动量、能量守恒定律出发，建立了流体力学中的纳维-斯托克斯方程组（有黏性）和欧拉方程组（无黏性）以及弹性力学中的圣维南方程组等。

另外，像描述波的传播的波动方程；描述传热和扩散现象的热传导方程都是古典的数学物理方程。

随着现代科学和技术的进步，将会不断涌现新的数学物理方程，而其产生和应用的范围已经并且更多地超出了传统的物理学、力学、天文学等领域。

例如，在化学、生命科学、经济学等自然科学和社会科学各个领域，以及在资源勘探与开发、大型建筑与水利工程、金属冶炼工程、通信工程、新能源开发、大气物理、气象预报、航天工程、医疗诊断与材料无损探伤、遗传工程等广泛的工程技术各个领域都涉及到数学物理方程的理论及其重要应用。

许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。

当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。

当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程[1]-[6]。

众所周知，偏微分方程可根据它的数学特征分为三大类型，即抛物型、双曲型、椭圆型。

这三类偏微分方程描述了不同本质的物理现象，其应用是极其广泛的。

对于理论研究和实际应用问题中提出的许多偏微分方程，由于其边界和边界条件复杂等原因，寻求解的解析表达式相当困难，有时甚至是不可能的，所以必须利用计算机研究偏微分方程的数值解。

简而言之，这种研究的任务在实用中主要表现于两个方面。

一是关于用有效地数值方法离散偏微分方程及其边界条件。

对此，差分法和有限元法是目前被普遍认为行之有效的两类主要的数值方法。

二是关于高效率高精度求解离散微分方程。

对此，解同样的离散微分方程，采用好的算法与采用一般算法的计算效果往往相差很大，采用好的算法不但能使求解过程数值稳定、数值解的精度得到提高，而且能数十倍、数百倍地节省计算工作量[7]-[10]。

微分方程数值解实验指导（一）实验一: 二阶椭圆型方程差分格式的程序实现1. 实验内容用五点差分格式求解Poisson 方程边值问题⎩⎨⎧∂∈=∈=-=∆,),(,0,),(,:2G y x u G y x f u （1） 其中}1|||,||),{(<=y x y x D 。

（1）用正方形网格)(h k =列出相应的差分方程。

（2）对161,81,51,21=h 分别求出数值解，观察数值解的情况，分析计算结果。

（最好画出数值解的图形）注意：在区域G 的边界上为齐次Dirichlet 条件，在这类边界上不需要给出差分格式。

2. 实验目的及要求按照给定的差分格式编程实现求出数值解；结合格式的相容性和收敛性条件简单分析计算结果。

要求在实验课上算出数值结果；按要求格式写出实验报告；下次实验课前交本次实验的实验报告。

3. 实验原理与实验过程: 以下是求解问题的步骤第一步: 对求解区域作网格剖分。

按照要求得网格剖分图如下（图1为21=h 的情况，图2为51=h 的情况）-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81区域划分示意图图1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81区域划分示意图图2第二步: 差分法的目的是：求边值问题的解),(y x u 在节点),(j i y x 的近似值ij u （m j n i ,...,2,1,,2,1==， ）。

为此，需要构造逼近微分方程定解问题的差分格式。

采用五点差分格式，取定x 轴和y 轴方向的步长相等，即h=k ，作两族与坐标轴平行的直线：ih x i +-=1，i=0,1,…,2/h,jh y j +-=1，j=0,1,…,2/h,两族直线的交点为网点（或节点）。

位于G 内的节点为内点，位于G 的边界上的节点为界点。

n=length(t);
s=a*k/h;
[X,T]=meshgrid(x,t);
Z=zeros(n,m);
U=zeros(n,m);
for i=2:m-1
U(1,i)=feval(fx1,x(i));
U(2,i)=U(1,i)+k*feval(fx2,x(i))+k^2/2*(a^2/h^2*...
要求：
1．写出数值求解格式；
2．给出所用程序代码；
function varargout=wang(varargin)
a=1;T=1;b=;h=1/5;k=1/20;
f=inline('0','x','t');
fx1=inline('exp(x)');
fx2=inline('exp(x)');
ft1=inline('exp(t)');
for i=n-1:-1:1
x1(i)=Y(i)-B1(i)*x1(i+1);
end
x=x1;
function z=f0(x,t)
z=exp(x+t)
3、给出实验结果。
xtz
00
实验总结：本次实验我学会了利用Crank-Nicolson差分格式计算抛物型方程定解问题，掌握了用Matlab为其编写程序。
U(i,1)=feval(fx,x(i));
end
for j=2:n
U(1,j)=feval(ft1,t(j));
U(m,j)=feval(ft2,t(j));
end
A=-r/2*ones(1,m-2);
B=(1+r)*ones(1,m-2);

end
for j=1:n
U(1,j)=feval(g1y,y(j));
U(m,j)=feval(g2y,y(j));
end
for i=2:m-1
for j=2:n-1
qu=f0(x(i),y(j));
Z(i,j)=abs(qu-U(i,j));
end
end
function z=f0(x,y)
z=exp(x)*sin(pi*y)
实验地点及时间
机房127 2012年10月31日
实验容：
利用Crank-Nicolson差分格式计算抛物型方程定解问题
实验习题：
用Crank-Nicolson差分格式求解抛物型方程定解问题：
该问题的精确解为：
要求：
1、写出数值求解格式；
2、给出所用程序代码；
function varargout=liu(varargin)
g1x=inline('0');
g2x=inline('0');
g1y=inline('sin(pi*y)');
g2y=inline('exp(2)*sin(pi*y)');
[X,Y,Z]=chfenmethed(f,g1x,g2x,g1y,g2y,a,b,c,d,h1,h2);
function [X,Y,Z]=chfenmethed(f,g1x,g2x,g1y,g2y,a,b,c,d,h1,h2)
f1(m-2)=f1(m-2)+r/2*U(m,j);
U(2:m-1,j)=zgf(A,B,C,f1);
Z(2:m-1,j)=abs(U(2:m-1,j)-UU');
end

刘宪高椭圆型偏微分方程刘宪高是中国著名的数学家，也是世界上最早研究和解决椭圆型偏微分方程的数学家之一。

他对椭圆型偏微分方程进行了深入的研究，提出了一些重要的理论和方法，为这一领域的发展做出了重要贡献。

在这篇文章中，我们将介绍刘宪高对椭圆型偏微分方程的研究及其影响。

首先，我们来了解一下什么是椭圆型偏微分方程。

椭圆型偏微分方程是一类重要的数学方程，其一般形式为：Lu = f其中，L是一个二阶椭圆型偏微分算子，u是未知函数，f是已知函数。

这类方程在数学和物理问题中都有广泛应用，如热传导方程、泊松方程、拉普拉斯方程等。

刘宪高对椭圆型偏微分方程的研究主要从两个方面展开，一是对方程的解的存在性和唯一性进行研究，二是对解的性质和行为进行讨论。

在解的存在性和唯一性方面，刘宪高主要利用偏微分方程的逼近和凸性理论进行研究。

他首先证明了当方程满足一定的凸性条件时，存在解的唯一性。

之后，他进一步研究了方程的正则性问题，得到了解的光滑性和边界椭圆性的重要结果。

这些结果为后来研究者提供了重要的理论基础。

在解的性质和行为方面，刘宪高提出了一些重要的方法和技巧。

他首先引入了极其关于方程的极值原理，通过对极值原理的研究，他证明了具有非负弗罗贝尼乌斯指标的方程解必然是凸函数。

他还提出了一些关于解的增长性和衰减性的估计方法，这些方法为研究解的解析性质提供了重要的手段。

刘宪高的研究不仅对椭圆型偏微分方程的理论发展有着重要的推动作用，也对实际问题的应用有着深远的影响。

他的研究成果在数学物理、工程学和金融学等领域都有广泛的应用。

例如，他的理论成果被应用于求解流体力学中的各种流动问题，如不可压缩流体的流动、边界层理论等。

总结一下，刘宪高是中国著名的数学家，他对椭圆型偏微分方程进行了深入的研究。

他提出了一些重要的理论和方法，包括解的存在性和唯一性、解的性质和行为等方面。

他的研究成果不仅在数学领域有着重要的影响，也对实际问题的应用有着深远的影响。

设计（20 届）椭圆型偏微分方程的求解及其应用所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：本文叙述了椭圆型偏微分方程的历史背景，阐述了相关概念，如什么是偏微分方程，椭圆型偏微分方程以及几种定解问题的概念。

弹性力学中的平衡问题，位势场问题，热传导中的温度分布等实际应用问题都可用椭圆型方程的定解问题来描述。

本文还讨论了求解椭圆型偏微分方程的定解问题的几种基本方法，如分离变量法、积分变换法、差分法，最后综述了这三种方法的适用性和特点。

关键字：偏微分方程；椭圆型；分离变量法；积分变换法；差分法Solution of Elliptic Partial Differential Equation and ItsApplicationAbstract: This thesis describes the historical background of elliptic partial differential equation and the related concepts, such as what partial differential equation and elliptic partial differential equation are and several concepts of the solution of problems. The balance of elasticity, the potential field problems and the temperature distribution of heat conduction in the practical application are available to the solution of elliptic equation to describe the practical problems. This thesis also discusses several basic ways to solve the solution of problems of the elliptic partial differential equation, for instance, the method of separation of variables, integral transformation method and difference method. And at the end of this thesis, it summarizes the applicability and features of the three methods above.Key Words: partial differential equation; elliptic; the method of separation of variables; integral transformation method; difference method目录1 引言 (1)2 基本概念的介绍 (2)2.1 偏微分方程的基本概念 (2)2.1.2 定解条件和定解问题 (3)2.2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简 (3)2.3 典型方程 (5)3 椭圆型偏微分定解问题的几种基本解法 (6)3.1 分离变量法 (6)3.1.1 预备知识 (6)3.1.2 分离变量法求解定解问题的具体步骤 (7)3.1.3 具体应用（用分离变量法求解） (7)3.2 积分变换法 (9)3.2.1 傅里叶积分变换 (9)3.2.2 具体应用（用积分变换法求解） (11)3.3 差分法 (13)3.3.1 化微分方程为差分方程 (13)3.3.2 边值问题的差分逼近 (16)3.3.3 差分解的存在、唯一性和收敛性 (18)3.3.4 椭圆型差分方程的求解——逐次超松弛法 (19)3.4 总结 (21)4 致谢 (22)参考文献 (23)1 引言数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分积分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系[1]。