正切和余切(一)

直角三角形的正切与余切直角三角形是数学中常见的三角形之一，由于其特殊的性质，我们可以利用其中的角度关系来求解一些问题。

本文将重点讨论直角三角形中正切和余切的定义、性质以及求解实际问题的应用。

一、正切与余切的基本定义在直角三角形中，我们可以定义正切和余切的概念。

1. 正切（tangent）的定义：对于直角三角形ABC，若∠B为直角，则∠A为锐角或钝角，AC 为对边，AB为邻边，我们定义正切为：tan(A) = AC/AB2. 余切（cotangent）的定义：对于直角三角形ABC，若∠B为直角，则∠A为锐角或钝角，AB 为邻边，AC为对边，我们定义余切为：cot(A) = AB/AC二、正切和余切的性质在直角三角形中，正切和余切具有一些重要的性质，下面我们将逐一阐述。

1. 值域和定义域：正切函数的定义域是所有∠A为锐角或钝角的直角三角形上，其中的∠A∈(-π/2, π/2)，值域为实数集R。

余切函数的定义域是所有∠A为锐角或钝角的直角三角形上，其中的∠A∈(0, π)，值域为实数集R。

2. 正切和余切的关系：对于直角三角形ABC，由于∠B为直角，则∠A和∠C为锐角或钝角的补角关系，即∠A + ∠C = 90°。

则有 tan(A) = AC/AB = BC/AC = 1/cot(A)。

3. 正切和余切的性质：a. 正切函数和余切函数都是周期函数，其周期为π。

b. 当∠A为锐角时，tan(A) > 0，cot(A) > 0。

当∠A为钝角时，tan(A) < 0，cot(A) < 0。

c. 在同一个直角三角形中，正切和余切是变化相反的函数，即当∠A增大时，tan(A)增大，cot(A)减小。

三、正切和余切的应用正切和余切在实际中有着广泛的应用，以下将介绍一些常见的应用场景。

1. 测量高度：在实际测量中，我们可以利用正切的性质，通过测量一个物体的底边和顶部与测量点的连线之间的夹角，以及测量点到物体底边的距离，来计算物体的高度。

《正切和余切》数学教案第一章：正切和余切的定义与性质1.1 教学目标了解正切和余切的定义掌握正切和余切的基本性质能够运用正切和余切解决简单问题1.2 教学内容引出正切和余切的定义讲解正切和余切的性质举例说明正切和余切的运用1.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的定义和性质通过例题演示正切和余切的运用引导学生进行分组讨论和练习1.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的定义和性质的理解练习题：让学生运用正切和余切解决实际问题第二章：正切和余切的图像与性质2.1 教学目标了解正切和余切的图像特点掌握正切和余切的基本性质能够运用正切和余切图像解决简单问题2.2 教学内容讲解正切和余切的图像特点分析正切和余切的性质与图像的关系举例说明正切和余切图像的运用2.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的图像特点通过例题演示正切和余切图像的运用引导学生进行分组讨论和练习2.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切图像特点的理解练习题：让学生运用正切和余切图像解决实际问题第三章：正切和余切的三角函数值3.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数值能够运用正切和余切的三角函数值解决简单问题理解正切和余切三角函数值的应用范围3.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数值分析正切和余切三角函数值的运用举例说明正切和余切三角函数值的运用3.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数值通过例题演示正切和余切三角函数值的运用引导学生进行分组讨论和练习3.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数值的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数值解决实际问题第四章：正切和余切的三角函数公式4.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数公式能够运用正切和余切的三角函数公式解决简单问题理解正切和余切三角函数公式的应用范围4.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数公式分析正切和余切三角函数公式的运用举例说明正切和余切三角函数公式的运用4.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数公式通过例题演示正切和余切三角函数公式的运用引导学生进行分组讨论和练习4.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数公式的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数公式解决实际问题第五章：正切和余切的三角函数应用5.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数应用能够运用正切和余切的三角函数解决实际问题理解正切和余切三角函数应用的实际意义5.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数应用分析正切和余切三角函数应用的实例举例说明正切和余切三角函数应用的实际问题5.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数应用通过例题演示正切和余切三角函数应用的实际问题引导学生进行分组讨论和练习5.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数应用的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数解决实际问题第六章：正切和余切的三角函数化简6.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数化简方法能够运用正切和余切的三角函数化简实际问题理解正切和余切三角函数化简的实际意义6.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数化简方法分析正切和余切的三角函数化简实例举例说明正切和余切的三角函数化简的实际问题6.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数化简方法通过例题演示正切和余切的三角函数化简的实际问题引导学生进行分组讨论和练习6.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数化简的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数化简解决实际问题第七章：正切和余切的三角函数变换7.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数变换方法能够运用正切和余切的三角函数变换解决实际问题理解正切和余切三角函数变换的实际意义7.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数变换方法分析正切和余切的三角函数变换实例举例说明正切和余切的三角函数变换的实际问题7.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数变换方法通过例题演示正切和余切的三角函数变换的实际问题引导学生进行分组讨论和练习7.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数变换的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数变换解决实际问题第八章：正切和余切的三角函数在几何中的应用8.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数在几何中的应用方法能够运用正切和余切的三角函数解决几何问题理解正切和余切三角函数在几何中的实际意义8.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数在几何中的应用方法分析正切和余切的三角函数在几何中的应用实例举例说明正切和余切的三角函数在几何中的实际问题8.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数在几何中的应用方法通过例题演示正切和余切的三角函数在几何中的应用实例引导学生进行分组讨论和练习8.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数在几何中的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数解决几何问题第九章：正切和余切的三角函数在物理中的应用9.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数在物理中的应用方法能够运用正切和余切的三角函数解决物理问题理解正切和余切三角函数在物理中的实际意义9.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数在物理中的应用方法分析正切和余切的三角函数在物理中的应用实例举例说明正切和余切的三角函数在物理中的实际问题9.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数在物理中的应用方法通过例题演示正切和余切的三角函数在物理中的应用实例引导学生进行分组讨论和练习9.4 教学评估课堂问答：检查学生对正切和余切的三角函数在物理中的理解练习题：让学生运用正切和余切的三角函数解决物理问题第十章：正切和余切的三角函数在工程中的应用10.1 教学目标掌握正切和余切的三角函数在工程中的应用方法能够运用正切和余切的三角函数解决工程问题理解正切和余切三角函数在工程中的实际意义10.2 教学内容讲解正切和余切的三角函数在工程中的应用方法分析正切和余切的三角函数在工程中的应用实例举例说明正切和余切的三角函数在工程中的实际问题10.3 教学方法采用讲授法讲解正切和余切的三角函数在工程中的应用方法通过例题演示正切和重点和难点解析一、正切和余切的定义与性质1. 环节重点：理解正切和余切的定义，掌握它们的基本性质。

第八讲 正切与余切（1）【基础知识精讲】1、正切、余切概念：(1) 在ABC Rt ∆中，A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。

即 的邻边的对边A A A ∠∠=t a n（或b a A =tan ）(2) 在ABC Rt ∆中，A ∠的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作A cot ， 即 的对边的邻边A A A ∠∠=cot （或a b A =cot ）2．A tan 与A cot 的关系A A cot 1tan =（或AA tan 1cot =， 1cot tan =⋅A A ） 3、 特殊角的正弦值与余弦值：3330tan =； 145tan = ； 360tan =； 330cot = ； 145cot = ； 3360cot = ． 【例题巧解点拨】例1：在ABC Rt ∆中，C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、。

3=a ，4=c ，求A tan ，A cot ，B tan ，B cot例2：求下列各式的值：（1）45cot 30tan 330sin 2++； （2）．︒+︒︒︒--︒-︒60tan 45cot 30cot 45tan 160cot 130tan 22b例3：填空：（1）若3tan =A ，则.______=∠A （2）.__________35cot 45tan 35tan =⋅⋅ （3）若1cot 47tan =⋅β ，则锐角._________=β【同步达纲练习】A 组一、选择题：1. ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，则ba叫A ∠的（ ）A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切2. 在ABC ∆中，33tan =A ，1cot =B ，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 3. 在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，下列关系式中正确的有（ ）（1）A a b tan ⋅= （2）B b a cot ⋅= （3）B a b tan ⋅= （4）A b a cot ⋅=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（ ）（A ）43 （B ）34 （C ）43或37 （D ）不同于以上 5．计算22)31(45tan 60sin ---⋅，结果正确的是（ ） A ．49 B ．49- C ．411 D ．411- 二、填空:6、 在ABC ∆中，︒=∠90C ，3=a ，5=c ，则A t a n =_________，A cot =__________ 7．在ABC ∆中，C ∠为直角，已知15=a ，30=∠A ，则b =_______. 8．在_________,1,2tan ,,===∠=∠∆b a B Rt C ABC Rt 则若中9．等腰梯形腰长为6，底角的正切为42，下底长为212，则上底长为 ，高为 。

正切和余切（一）教学目的一（知识）使学生了解正切、余切的概念，能够正确的用tanA 、cotA 表示直角三角形（其中一个锐角为∠A ）中两边的比，了解tanA 与cotA 成倒数关系，熟记30º、45º、60º角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出各角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系二（能力）逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.三（德育）培养学生独立思考、勇于创新的精神重点难点重点是了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值；难点是了解正切和余切的概念.教学手段投影仪教学过程（一）明确目标1．什么是锐角∠A 的正弦、余弦？（结合图6-5回答）C B3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系？4．当角度在0º~90º变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们学习正切和余切.因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口1．引入正切、余切概念①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？（图6-9）述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切.”②给出正切、余切概念如图6-5，在Rt ⊿ABC 中，把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA . 即 tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边并把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA .即 cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边2.tanA 与cotA 的关系请学生观察tanA 与cotA 的表达式，得结论tanA ×cotA=1(或cotA=1/tanA,tanA=1/cotA). 这个关系式极重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与tanA=cot(90º-A)区别开.3．锐角三角函数由上图，sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=b a ,cotA=ab ,把锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数.锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目.问：锐角三角函数能否为负数？学生回答这个问题很容易.请同学观察2块三角板可知30º、45º、60º角的正切、余切值.tan30º=30º角的对边/30º角的邻边==31=33 tan45º=45º角的对边/45º角的邻边=11=1 tan60º=60º角的对边/60º角的邻边=13=3 cot30º=030tan 1=13=3 cot45º=054tan 1=1; cot60º=006tan 1=31=33 5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系.结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值.即 tgA=ctg(90º-A),ctgA=tg(90º-A).4．特殊角的三角函数练习：1）请学生回答tan45º与cot45º得值各是多少？tan60º与cot30º？tan30º与cot60º呢? tan60º与cot60º有何关系?为什么？tan30º与cot30º呢?2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：(1)tan52º;(2)tan 36º20’;(3)t an 75º17’;(4)c ot19º;(5)cot 24º48’;(6)c ot 15º23’.6.例题例1 求下列各式的值：(1)2sin30º+3tan30º+cot45º;(2)cos²45º+tan60ºcos30º.解：(1)2sin30º+3tan30º+cot45º=2×21+3×33+1 =2+3；(2)cos²45º+tan60ºcos30º=（22）²+3×23 =21+23 =2.练习：求下列各式的值：(1) sin30º-3tan30º+2cos30º+cot90º;(2)2cos30º+tan60º-6cot60º;(3)5cot30º-2cos60º+2sin60º+tan30º;(4)cos²45º+sin²45º;(5)(sin60º-cot45º)/(tan60º-2tan45º).学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力(四)总结扩展请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及tanA与cotA的关系.知道特殊角的正切、余切值及互为余角的正切值与余切值的关系.本节课用到了数形结合的数学思想.。

《正切和余切》数学教案第一章：正切和余切的定义1.1 引入正切和余切的定义通过生活中的实际例子，让学生感受正切和余切的概念利用直角三角形，引导学生理解正切和余切的定义1.2 学习正切和余切的功能和性质通过图形和实例，让学生了解正切和余切的功能和性质引导学生探索正切和余切的单调性、周期性等特性1.3 练习正切和余切的计算提供一些简单的正切和余切计算题目，让学生进行练习引导学生总结正切和余切的计算方法和解题技巧第二章：正切和余切的图像2.1 学习正切和余切的图像通过图形和实例，让学生了解正切和余切的图像特点引导学生探索正切和余切图像的周期性、奇偶性等特性2.2 分析正切和余切的图像提供一些正切和余切的图像题目，让学生进行分析和解答引导学生运用正切和余切的图像解决实际问题第三章：正切和余切的应用3.1 学习正切和余切的应用通过实例，让学生了解正切和余切在实际问题中的应用引导学生运用正切和余切解决几何、物理等问题3.2 练习正切和余切的应用题目提供一些正切和余切的应用题目，让学生进行练习引导学生总结正切和余切在实际问题中的应用方法和技巧第四章：正切和余切的综合练习4.1 综合练习正切和余切的知识提供一些综合性的正切和余切题目，让学生进行练习引导学生运用正切和余切的知识解决综合问题4.2 分析正切和余切的综合题目提供一些正切和余切的综合题目，让学生进行分析和解答引导学生运用正切和余切的知识解决实际问题第五章：正切和余切的巩固与提高5.1 巩固正切和余切的知识提供一些巩固性的正切和余切题目，让学生进行练习引导学生总结正切和余切的知识点和解题技巧5.2 提高正切和余切的能力提供一些提高性的正切和余切题目，让学生进行练习引导学生运用正切和余切的知识解决复杂问题第六章：正切和余切的三角函数6.1 引入正切和余切的三角函数通过生活中的实际例子，让学生感受正切和余切的三角函数的概念利用直角三角形，引导学生理解正切和余切的三角函数的定义6.2 学习正切和余切的三角函数的功能和性质通过图形和实例，让学生了解正切和余切的三角函数的功能和性质引导学生探索正切和余切的三角函数的单调性、周期性等特性6.3 练习正切和余切的三角函数的计算提供一些简单的正切和余切的三角函数计算题目，让学生进行练习引导学生总结正切和余切的三角函数的计算方法和解题技巧第七章：正切和余切的三角函数图像7.1 学习正切和余切的三角函数图像通过图形和实例，让学生了解正切和余切的三角函数的图像特点引导学生探索正切和余切的三角函数图像的周期性、奇偶性等特性7.2 分析正切和余切的三角函数图像提供一些正切和余切的三角函数图像题目，让学生进行分析和解答引导学生运用正切和余切的三角函数图像解决实际问题第八章：正切和余切的三角函数的应用8.1 学习正切和余切的三角函数的应用通过实例，让学生了解正切和余切的三角函数在实际问题中的应用引导学生运用正切和余切的三角函数解决几何、物理等问题8.2 练习正切和余切的三角函数的应用题目提供一些正切和余切的三角函数的应用题目，让学生进行练习引导学生总结正切和余切的三角函数在实际问题中的应用方法和技巧第九章：正切和余切的三角函数的综合练习9.1 综合练习正切和余切的三角函数的知识提供一些综合性的正切和余切的三角函数题目，让学生进行练习引导学生运用正切和余切的三角函数的知识解决综合问题9.2 分析正切和余切的三角函数的综合题目提供一些正切和余切的三角函数的综合题目，让学生进行分析和解答引导学生运用正切和余切的三角函数的知识解决实际问题第十章：正切和余切的三角函数的巩固与提高10.1 巩固正切和余切的三角函数的知识提供一些巩固性的正切和余切的三角函数题目，让学生进行练习引导学生总结正切和余切的三角函数的知识点和解题技巧10.2 提高正切和余切的三角函数的能力提供一些提高性的正切和余切的三角函数题目，让学生进行练习引导学生运用正切和余切的三角函数的知识解决复杂问题重点解析本《正切和余切》数学教案的重点和难点如下：重点：1. 正切和余切的定义及其性质2. 正切和余切的图像特点和周期性3. 正切和余切的应用方法和技巧4. 正切和余切的三角函数的概念和性质5. 正切和余切的三角函数的图像特点和周期性6. 正切和余切的三角函数的应用方法和技巧7. 正切和余切的三角函数的综合练习和解题技巧难点：1. 正切和余切的性质和图像的深入理解2. 正切和余切的三角函数的复杂计算和解题技巧3. 正切和余切的三角函数在实际问题中的应用方法和技巧4. 正切和余切的三角函数的综合题目分析和解答。

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学科教师辅导讲义定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且值域：R ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 周期：π=T奇偶性：奇函数单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减【典型例题分析】例1、比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πΘ4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 又：⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan 即 变式练习：不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小解：∵90°＜135°＜138°＜270°又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数∴tan135°＜tan138°例2、求函数tan(3)3y x π=-的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解析：令33t x π=-，则由,2t k ππ≠+得5()318k x k Z ππ≠+∈，4、函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π］的值域为 5、函数y ＝cot x －tan x 的周期为6、函数y ＝xx 22tan 1tan 1+-的周期为 7、作出函数y ＝｜tan x ｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间8、试证cot x ＝－tan （2π＋x ），并指出通过怎样的图象变换可由y ＝tan x 的图象得到y ＝cot x 的图象9、作出函数y ＝xx 2tan 1tan 2-的图象，并观察函数的周期参考答案： 1C 2B 3C 4［－122,122+-］ 5 2π 6π 7函数y ＝｜tan x ｜的图象如下图：函数y ＝｜tan x ｜的周期为π单调递增区间为［k π，2π＋k π］，k ∈Z 单调递减区间为(－2π＋k π，k π］，k ∈Z8(略)9函数y ＝xx 2tan 1tan 2-的图象如下图： 周期为π【课堂总结】本节课我们研究了正切函数和余切函数的图象和性质，并能在解题中应用【课后练习】1、正切函数在其定义域上有最值吗?答：没有，因为正切函数的值域为R 且不等于k π＋2π (k ∈Z )．2、在下列函数中，同时满足的是( )①在(0，2π)上递增；②以2π为周期；③是奇函数 A y ＝tan x B y ＝cos xC y ＝tan 21x D y ＝－tan x 答案：C3、函数y ＝tan(2x ＋4π)的图象被平行直线)(82Z ∈+=k k x ππ隔开，与x 轴交点的坐标是))(0,82(Z ∈-k k ππ与y 轴交点的坐标是(0，1)，周期是2π，定义域的集合是},82|{Z R ∈+≠∈k k x x x ππ且，值域的集合是R ，它是非奇非偶函数4、函数y ＝x sin -＋x tan 的定义域是( )A (2k ＋1)π≤x ≤(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z B (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z C (2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π，k ∈Z D (2k ＋1)π＜x ＜(2k ＋1)π＋2π或x ＝k π，k ∈Z 解：由⎩⎨⎧≥≤0tan 0sin x x ，得(2k ＋1)π≤x ＜(2k ＋1)π＋2π 答案：C5、已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，求它的最小值解：y ＝(tan x －1)2＋2,当tan x ＝1时，y min ＝2。

三角函数之正切与余切三角函数是数学中非常重要的概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

其中，正切和余切是三角函数中的两个重要概念。

本文将深入探讨正切和余切的定义、性质以及应用。

一、正切的定义与性质1.1 正切的定义在直角三角形中，正切是指一个角的对边与邻边的比值。

设直角三角形中的一个角为θ，邻边长度为a，对边长度为b，则正切的定义为tanθ = b/a。

1.2 正切的周期性正切函数是一个周期函数，其周期为π。

也就是说，对于任意实数x，有tan(x + π) = tanx。

这一性质使得正切函数在数学和物理问题中有着广泛的应用。

1.3 正切的图像与性质通过绘制正切函数的图像，我们可以发现以下性质：- 正切函数在每个周期内都是单调递增的。

- 当角θ接近90°或270°时，正切函数的值趋于无穷大。

- 正切函数在0°和180°之间的值为负数，而在180°和360°之间的值为正数。

二、余切的定义与性质2.1 余切的定义余切是正切的倒数，即cotθ = 1/tanθ。

它表示一个角的邻边与对边的比值。

2.2 余切的周期性与正切函数类似，余切函数也是一个周期函数，其周期也为π。

对于任意实数x，有cot(x + π) = cotx。

2.3 余切的图像与性质余切函数的图像与正切函数的图像相似，但是在0°和180°之间的值为正数，而在180°和360°之间的值为负数。

余切函数在每个周期内都是单调递减的。

三、正切与余切的应用3.1 几何学中的应用正切和余切在几何学中有着广泛的应用。

例如，在解决三角形的边长和角度问题时，可以利用正切和余切的关系来求解未知量。

此外，正切和余切还可以用于计算两条直线的斜率。

3.2 物理学中的应用在物理学中，正切和余切的应用非常广泛。

例如，在力学中，可以利用正切和余切来计算物体在斜面上的受力情况。

正切余切正切和余切各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢正切和余切第一课时一、教学目标1.使学生了解正切、余切的概念,能够正确地用、表示直角三角形(其中一个锐角为)中两边的比,了解与成倒数关系,熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值,会计算含有这三个非凡锐角的三角函数值的式子,会由一个非凡锐角的三角函数值说出这个角的度数,了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系。

2.逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。

3.培养学生独立思考、勇于创新的精神。

二、学法引导1.教学方法:运用类比法指导学生探索研究新知。

2.学生学法:运用类比法主动探索研究新知。

三、重点、难点、疑点及解决办法1.重点:了解正切、余切的概念,熟记非凡角的正切值和余切值。

2.难点:了解正切和余切的概念。

3.疑点:正切与余切概念的混淆.4.解决办法:通过类比引出概念和性质,再通过大量直接应用,巩固概念和性质。

四、教具预备投影机、投影片(自制)、三角板五、教学步骤(一)明确目标1.什么是锐角的正弦、余弦?(结合下图回答)。

2.填表3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系?4.当角度在0°~90°变化时,锐角的正弦值、余弦值有何变化规律?5.我们已经把握一个锐角的正弦(余弦)是指直角三角形中该锐角的对边(邻边)与斜边的比值,那么直角三角形中,两直角边的比值与锐角的关系如何呢?在锐角三角函数中,除正、余弦外,还有其他一些三角函数,本节课我们学习正切和余切。

(二)整体感知正切、余切的概念,也是本间的重点和关键,是全章知识的基础,对学生今后的学习或工作都十分重要,教材在继第一节正弦和余弦后,又以同样的顺序安排第二节正切余切,像这样,把概论、计算和应用分成两块,每块自与一个整体小循环,第二循环又包含了第一循环的内容,可以有效地克服难点,同时也使学生通过对比,便于把握锐角三角函数的有关知识。

直角三角形的正切与余切直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，正切和余切是两个重要的三角函数，它们可以帮助我们计算角度和边长之间的关系。

本文将详细介绍直角三角形的正切和余切，以及它们的性质和应用。

一、什么是正切和余切？在直角三角形中，正切（tan）是指直角三角形一直角边上的边长与另一直角边的比值。

正切的定义可以用以下公式表示：tan(θ) = 对边 / 临边其中，θ为直角三角形的一个非直角角度，对边指与该角相对的直角边，临边指与该角相邻的直角边。

余切（cot）则是指正切的倒数，即余切等于临边与对边的比值。

余切的定义可以用以下公式表示：cot(θ) = 临边 / 对边二、正切和余切的性质1. 范围：正切和余切的值没有上限和下限，可以是任何实数。

2. 周期性：正切和余切的图像在每个周期内都是重复的。

正切的周期为180度或π弧度，余切的周期为360度或2π弧度。

3. 对称性：正切和余切的图像关于坐标原点对称。

即tan(-θ) = -tan(θ)，cot(-θ) = -cot(θ)。

4. 奇偶性：正切和余切都是奇函数，即tan(-θ) = -t an(θ)，cot(-θ) = -cot(θ)。

5. 关系：正切和余切之间存在以下关系：tan(θ) = 1 / cot(θ)cot(θ) = 1 / tan(θ)6. 值域：正切和余切的值域均为实数集合R。

三、正切和余切的应用正切和余切在实际问题中有广泛的应用，尤其在测量和工程领域。

1. 角度测量：正切和余切可以帮助我们计算角度的大小。

通过已知两条边的长度，可以借助正切和余切函数求解对应的角度。

2. 斜率计算：在平面几何中，直线的斜率可以利用正切和余切来计算。

斜率等于直线与x轴的夹角的正切值，或者直线与y轴的夹角的余切值。

3. 距离测量：若已知直角三角形中一条直角边的长度和另一条角上的边长，则可以利用正切和余切来计算未知边的长度。

4. 三角恒等式：正切和余切与其他三角函数之间存在多种恒等式，这些恒等式在解决三角方程和化简复杂三角式等问题时起到重要作用。