人教版初三数学下册余弦与余切

1 2
，则下列结论正确的是（
D
）
A.cosA= 1 2
C.cosA= 3 3
B.tanA= 3 2
D.tanA= 1
3
课堂小结
余弦函数 和
正切函数
余弦
在直角三角形中，锐角 A 的邻边与 斜边的比叫做角 A 的余弦
正切
在直角三角形中，锐角 A 的对边与 邻边的比叫做角 A 的正切
性质
锐角∠A的大小确定的情况下，cosA， tanA为定值，与三角形的大小无关
新课讲解
练一练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， 12
则cosA＝ 13 .
新课讲解
练一练
2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5， α为其最小的锐 角，求α的正弦值和余弦值．
解：∵直角三角形的斜边与一直角边的比为7:5，令斜边为7x，则 该直角边为5x，另一直角边为 2 6x ＜5x，
新课导入
问题引入
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边
与斜边的比就随之确定.
此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
B
A
C
新课讲解
知识点1 余弦
合作探究
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，
∠C =∠F = 90°，则 AC DF 成立吗？为什么？
∴sinα= 2 6 ， cosα= 5 .
7
7
新课讲解
知识点2 正切 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C=∠F = 90°，则 BC EF 成立吗？为什么？
AC DF
B E

因此
16
知识点二：正 切
合作探究
如图，若点E为BC的中点，则 tan∠CAE的值是 .
17
知识点二：正 切
学以致用
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A的值 是( A )
A.
B.
C.
D.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍， 则tan B的值是( D )
的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( B )
A. B.
C. D.
11
知识点一：余 弦
学以致用
3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝ 30°，以点A为 圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心， AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接 AE，DE，则∠EAD的余弦值是( B )
28
知识点三：锐角三角函数
归纳总结
(3)sin2A表示sinA·sinA＝(sinA)2，不能写成sinA2; (4)由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均 为正数，所以锐角三角函数值都是正实数， 且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0. (5)正弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数， 如sin28°，cos8°，tan18°等.
A.
B. 3 C.
D.
18
知识点二：正 切
学以致用
3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB
＝AC，点D 为边AC的中点，DE⊥BC于点
E，连接BD，则tan ∠DBC的值为( A )
A.
B.
C.
D.
4.如图，P(12，a)在反比例函数 y= 图象
Байду номын сангаас

斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tan B 的值
是( D )
A．13
B．3
2 C. 4
D．2 2
6．【2019·广州】如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高 度 BC 为 30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若 tan ∠BAC ＝25，则此斜坡的水平距离 AC 为( A ) A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m
解：证明：∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径， ∴∠GAF＝90°. ∵AG∥BC，∴AE⊥BC. ∴CE＝BE.∴AB＝AC. ∴∠BAC＝2∠EAC. 又∵∠COD＝2∠EAC， ∴∠COD＝∠BAC.
(2)求⊙O 的半径 OC；
解：∵BC＝6，∴CE＝3.∵AE⊥BC，∴OE2＋CE2＝OC2. ∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝OOEC＝13. 设 OE＝x，则 OC＝3x.∴x2＋32＝(3x)2.
与点 G 重合．当两张纸片交叉所成的角 α 最小时，tanα
等于( )
1
1
8
8
A.4
B.2
C.17
D.15
【点拨】如图所示．∵∠ADC＝∠HDF＝90°，∴∠CDM＝ ∠ HDN. 又 ∵ CD ＝ DH ， ∠ C ＝ ∠ H ＝ 90°， ∴ △ CDM ≌ △ HDN(ASA)．∴MD＝ND.∵四边形 DNKM 是平行四边形， ∴四边形 DNKM 是菱形．
︵
︵
∵AD＝CD，∴AD＝CD.
∴OD⊥AC.∴AH＝CH＝4.
∴OH＝ OA2－AH2＝3.∴DH＝2.
∴CD＝ CH2＋DH2＝2 5.
∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CDB＝90°.
∴BD＝ BC2－CD2＝4 5. ∵∠ADE＝∠BDA，∠DAE＝∠ABD， ∴△ADE∽△BDA. ∴ABDD＝DADE.∴24 55＝2DE5. ∴DE＝ 5. ∴S△CDE＝12CD·DE＝12×2 5× 5＝5.

,由此求得 AB= .
5
9
关闭
D
解析 答案
8
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核心知识概览
1
互动课堂理解
2 3 4
轻松尝试应用
4.已知直角三角形中较长的直角边长为 30,这边所对角的余弦值为
8 ,则此三角形的周长为 17
,面积为
.
关闭
80
240
答案
9
关闭
∵∠C=90° ,AB=3,BC=2, ∴AC= 32 -22 = 5, ∴cos A=
������������
������������
=
5 3
.
关闭
5 3
解析
答案
2
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3.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,我们把∠A 的对边与邻边的比叫做∠ ������ ∠������的对边 正切 A的 ,记作 tan A,即 tan A= ∠������的邻边 = ������ . 4 4.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=5,BC=4,则 tan A= . 5 5.∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的 锐角三角函数 .
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第2课时
余弦函数和正切函数
1
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1.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,我们把∠ A 的邻边与斜边的比叫做 ∠������的邻边 ������ 余弦 ∠A 的 ,记作 cos A,即 cos A= = ������ . 斜边 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AB=3,BC=2,则 cos A 的值 是 .

定 理 证 明
定 理 应 用
三角形中的边角关系
a2 b2 c2 2bc cos A b a c 2ac cos B
2 2 2
余弦定理
(1)已知三边，求三个角
c2 a2 b2 2ab cos C
(3)判断三角形形状
(2)已知 两边和 它们的 夹角， 求第 三边和 其它两 个角。
定 理 内 容
2 2 2
c a b 2 ab cos C
2 2 2
回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明 余弦定理的方法？ （1）坐标法
证 明 方 法
（2）直角三角形的边角关系
（3）正弦定理（三角变换）
坐标法证明余弦定理
教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出 坐标法证明．
证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点 ，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系 ，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到 原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由 三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A ，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是
A 56 2 0 2 2 2 2 2 2 a c b 134 . 6 161 . 7 87 . 8 cos B 0.8398 , 2 ac 2 134 . 6 161 . 7
B 32 5 3
C 180 A B 180 56 2 0 32 5 3 90 4 7
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断 三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例 作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主，利用向量法证 明余弦定理定理，引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正 弦定理法等多种方法证明余弦定理，使学生能够灵活应用所学知识， 加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出3个例题和变式， 通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要 性。 教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题，通 过例2 巩固掌握已知三边解三角形的问题，通过例3巩固掌握判断三角 形形状的问题，每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关 系证明余弦定理导，既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理 的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二 余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角 形的形状等知识。

余弦（cosine），记作cosA， 即
B
coAsA斜 的边 邻边 bc
斜边c
对边a
A 邻边b C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
tanA A A的 的邻 对边 边 ba
注意
• cosA，tanA是一个完整的符号，它表示 ∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符 号“∠”；
α
o
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
补充练习
A
３、如图所示，在△ABC中，∠ACB
＝90°，AC=12，AB=13，
B
∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和点B
到直线MC的距离．
M
C
课堂小结
• 1、什么叫一个锐角的正弦、余弦和正切？ 分别怎么表示？
• 2、对于锐角A的每一个确定的值，sinA有 唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函 数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．
知识拓展
如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边
长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的
格点上,则sin∠BAC的值为(
)
知识拓展
• 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上， 则cosA的值为___.
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努

小结
• 1.通过本节课的复习你有那些收获? • 2. 你还有哪些疑惑？
3
3．解直角三角形的依据
三边关系：
；
三角关系：
；
边角关系：sinA＝cosB＝
，cosA＝sinB＝
tanA= ， tanB = 。
┃简单应用┃
► 一 锐角三角函数定义 1 如 图 28 － 2 所 示 ， ∠ BAC 位 于 6×6 的 方 格 纸 中 ， 则
tan∠BAC＝___32_____.
数学·新课标（RJ）
• 7.准备在A、B两地之间修一条2千米的笔直 公路，经测量，在A的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7 千米的公园，问计划修建的公路会不会穿 过公园？为什么？
C
60°
45°
A B
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
8．如图28－10，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼 房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的 仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该 屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测 得 BE ＝ 21 米 ， 请 你 帮 小 刚 求 出 该 屏 幕 上 端 与 下 端 之 间 的 距 离 CD.(结果保留根号)
7千米的公园，问计划修建的公路会不会穿过公园？为什么？
2 3 2 6 3 6 6 1 5 如如图图， ，为为测测楼楼房房BBCC的的高高，，在在距距楼楼房房3300米米的的 AA处处测测得得楼楼顶顶的的仰仰角角为为 αα ，，则则楼楼高高BBCC为为
解：原式＝ 2 2× － ＋ － ＝2－ ＋ － ＝ . 第28章讲练 ┃ 试卷讲练 2 2 4 3 2 2 3 3 ► 一 锐角三角函数定义

3. 已知 ∠A，∠B 为锐角， (1) 若∠A =∠B，则 cosA = cosB； (2) 若 tanA = tanB，则∠A = ∠B. (3) 若 tanA ·tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为： ∠A +∠B = 90° .
3 4. tan30°= 3 ，tan60°= 3 .
(2)若 DH＝9，tan C＝34，求直径 AB 的长． 解：∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB. ∵∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C. ∴tan C＝tan∠ODB＝HDFF＝34. 设 HF＝3x，则 DF＝4x，∴DH＝5x＝9，则 x＝95. ∴DF＝356，HF＝257. ∵∠FDH＝∠C，∠DFH＝∠CFD，∴△DFH∽△CFD.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C. ∴∠AOP＝∠BOP. 在△AOP 和△BOP 中， OA＝OB， ∠AOP＝∠BOP， OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP(SAS)．∴∠OBP＝∠OAP. ∵PA 为⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°. ∴∠OBP＝90°. ∴PB 是⊙O 的切线．
(2)求证：E 为△PAB 的内心； 证明：如图，连接 AE. ∵∠OAP＝90°，∴∠PAE＋∠OAE＝90°. ∵AD⊥ED，∴∠DAE＋∠AED＝90°. ∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED. ∴∠PAE＝∠DAE，即 AE 平分∠PAD. ∵PA，PB 为⊙O 的切线， ∴PD 平分∠APB.∴E 为△PAB 的内心．
当堂检测
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的邻边与 __斜__边____的比叫做∠A 的余弦，记作 cos A，即 cos A＝ b ___c_____．
2．(中考·哈尔滨)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，

∵
在Rt
△
ADB中 tan
α=
BD
，
在Rt △ ADC中
ห้องสมุดไป่ตู้
AD
B
tan β= CD ． AD
α
Aβ
D
∴ BD=AD·tan α=120×tan 30°
=120× 3 = 40 3 ， 3
C
CD=AD·tan β=120×tan 60° =120× 3 = 120 3．
∴ BC=BD+CD=40 3 + 120 3
= 160 3
≈277（m）．
答：这栋楼高约为 277 m．
练习2 中考总复习：104页 20题
反思归纳
（1）将实际问题抽象为数学问题，回顾利用直角 三角形的知识解决实际问题（根据平面图形，转 化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数 等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的解； （4）得到实际问题的解．
B αD Aβ
C
B
A
C
回顾
（1）三边之间的关系
B
a2+b2=c2（勾股定理） ； （2）两锐角之间的关系
c
a
∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系
A
b
C
回顾
你知道 30° 45°，60°角的三角函数值吗？
锐角 A 锐角三角函数
sin A cos A tan A
30°
1 2 3 2 3 3
45°
2 2 2 2 1
60°
3 2 1 2
3
练习1
如下图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sin A , cosA,tanA的值．

AC . AB
A
邻边 C
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α)
从而有
sin α = cos (90°－α)
练一练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， 12
则cosA＝ 13 .
2. 求 cos30°，cos60°，cos45°的值．
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山。 宁负天下不负你，尽管世人唾千年。容颜迟暮仍为伴，倾尽温柔共缠绵。 ►蜜蜂深深地迷恋着花儿，临走时留下定情之吻，啄木鸟暗恋起参天大树， 转来转去想到主意，便经常给大树清理肌肤。你还在等待什么呢？真爱是 靠追的，不是等来的！
3 4. tan30°= 3 ，tan60°= 3 .
5. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 (D) A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70°
4
4
∴ AB AC 2BC2 82 62 10，
∴ sin A BC 6 3，cos B BC 6 3 .
AB 10 5
AB 10 5
当堂练习
1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，
∠A=35°，则直角边 BC 的长是
( A)
A. msin 35 B.m cos35
如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对 边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A =