金融数学课件

AB
1 N N cov( RA , RB ) (rAi rA )(rBi rB ) (rA rB rA rB ) N 1 N 1 t 1
AB
AB A B
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第一章 基础知识
解
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第一章 基础知识
第二节 效用函数
引例1
按照期望收益率最大准则,
dRA ( x) 0 dx
将绝对风险厌恶函数代入上式展开,得到
U ( x)U ( x) [U ( x)]2 0 2 [U ( x)]
即：绝对风险厌恶型投资者的效用函数须同时满足：
U ( x) 0
U ( x) 0
U ( x) 0
至少在某一点不等号成立.
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p( R ri ) hi
投资机会的盈利性（收益）和风险可表示为：
u ER rh i i
i
2 ( R) (ri u)2 hi
i
实际应用中，常常用样本均值与方差，来做近似替代：
1 N u ER r ri N i 1
N 1 N 2 1 N 2 2 2 2 ˆ ( R) (ri r ) ( r 2 rr r ) [ r r ] i i N 1 i 1 N 1 i 1 N 1
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第一章 基础知识
效用函数的具体应用分为确定性状态和不确定性状态两种. 确定性状态下的效用函数:（如商品配置问题）
不确定性状态下的效用函数（期望效用函数） 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个 随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学 期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望”.
即 亦即
E[U (u)] E[U ( x)]
U [ E ( x)[ E[U ( x)]
证毕.
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第一章 基础知识

风险爱好型
这类投资者（现实生活中很少）的效用函数满足：
U ( x) 0
U ( x) 0 至少在某一点不等号成立.
显然,该函数是增函数,而且是凸函数,其曲线如图所示
同理,可以证明风险爱好型投资者的期望的效用小于效用的期望,即
之间的协方差，即
1m 2m
2 m
为证券i和证券j的收益率
ij cov(Ri , Rj )
显然，协方差矩阵是对称矩阵。
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第一章 基础知识
协方差矩阵通常有如下性质：
证明
E(Y 2 ) E(Y Y ) E[C( R - ER)( R - ER)C]
( x 0, 0 1)
RR ( x) x RA ( x) 1
第一章 基础知识
如果假设参赌者具有对数效用函数,就能解决圣彼得堡悖论，于是又称对数效 用函数为Bernoulli函数。
假设参加赌博者都是风险厌恶型，他们都具有相同的效用函数
U ( x) b ln
x a
( x 0, 0 1)
LPV (r ) (ri r ) hi
2 r ri
还有用概率来刻画风险的，如Domar认为：如果某一投资机会的最小 容许量用r0表示，就可以用p(R≤ r0)的大小来描述风险。 实际上，我们可以采用一个一般的数学度量—范数来描述风险，以上对风 险的描述方法只不过是其中的特例罢了。
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第一章 基础知识
P( RA rA , RB rB ) hi
投资机会的风险可以用两种证券收益率的协方差来表示：
AB cov(RA , RB ) [rA E(rA )][rB E(rB )]hi
i i
AB
cov(rA , rB )
A B
（无量纲！）
实际应用中，由于无法得到证券整体的指标，一般用样本指标来近似替代。
2n U ( x) b ln b[n ln 2 ln a] a
1 E[U ( x)] n 1 b[n ln 2 ln a] b n 1 2
而
n ln 2 ln a b n 1 n 1 2 2 n 1 n 1 n n 1 n n 1 n 1 n 2 n1 2 n 1 2 n 1 2 2
可以证明,在确定状态下的序数效用函数存在，在不确定性状态下基数 效用函数存在.
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第一章 基础知识
效用函数的应用—风险态度

风险厌恶型
这类投资者的效用函数满足：
U ( x) 0
至少在某一点不等号成立. U ( x) 0
实际上,绝大多数的投资者都具有该类效用函数,即属于风险厌恶型投资者. 如假定,效用函数的二阶导数小于零,即人们通常所说的边际效用递减规律.
效用函数概述

效用（utility）
效用的本意是一种主观感受,是一种主观意愿的满足程度. 本课程考察的是在投资活动中对投资结果的满意程度,即为投资的效用.

效用函数（utility function）
效用函数是对满意程度的量化.效用函数可分为: 序数效用函数（ordinal utility function）: 这种效用函数只反映一种满意程度的顺序关系. 基数效用函数（cardinal utility function） 这种效用函数能够度量效用的具体数值.因此它不仅能反映投资 效用的顺序,也度量出了它们之间的大小数量关系.
, m )Y
i yi2 min
i
2 y i minY Y minCPPC i
min C C min Ci2
i
min
m
.
证毕.
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第一章 基础知识
具体到由收益率为RA 和 RB 两种证券组成的投资组合而言，假定收益率 均为离散型随机变量，并且联合分布律为
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第一章 基础知识
风险厌恶型效应函数为凹函数,即期望的效用大于效用的期望,这就是重 要的不等式—Jensen不等式.
证明
y U (u) U (u)( x u)
，
y U (u) U (u)( x u) U ( x)
不等式两边同时求期望,可得
E[U (u)] U (u)( Ex u) E[U ( x)]
W aW0 (1 id ) (1 a)W0 (1 i f ) W0[1 i f a(i f id )]
于是，该投资者的期望效用为
E[U (W )] p
{W0 [a(iu i f ) 1 i f ]}
2
2
第一章 基础知识
有时也用R的下侧方差（lower partial variance,简记为LPV）来描述风险。 若收益率服从分布函数为F(r)的连续型分布，则其下侧方差为：
LPV (r )

2 ( x r ) dF ( x)
r
若收益率服从分布律为P(R=ri)=hi的离散型分布，则其下侧方差为：
第一章 基础知识
第一节 风险与收益的数学度量
证券投资收益率的数学公式
Pt Pt 1 Dt Rt Pt 1
Pt 1 为证券第t期初的价格；
Pt
为证券第t期末的价格； 为证券在第t期的股息、红利等现金收入；
Dt
1
第一章 基础知识
单个证券收益和风险的度量
对于单个证券而言，若收益率服从离散型分布
投资机会的风险可以用 R ( R1 , R2 ,
, Rm ) 的协方差矩阵来表示：
12 12 2 21 2 E[( R ER)( R ER)] m1 m 2 2 2 ij 其中 i E(Ri ERi ) 为证券i收益率的方差；


于是
E[U ( x)] b[n ln 2 ln a] b ln
2 U (2) U ( E ( x)) a
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这说明，如果参赌者的偏好真正由效用函数确定,那么他们至多只会花2元来参加赌博.
第一章 基础知识
单期Merton比率
资产分配优化中的一个重要的比率—Merton比率，是1997年诺贝尔经济学奖 获得主Merton于1969年在他的一篇重要论文中推导出来的。
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第一章 基础知识
另外，一个周期末，风险性资产的期望收益率为
m piu (1 p)id p(iu id ) id
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第一章 基础知识
W aW0 (1 iu ) (1 a)W0 (1 i f ) W0[a(iu Ai ) 110%=10%
E(rBi ) (20%) 1/10+0 6/10+50% 3/10=13%
应该选择投资机会B。 然而，对于投资机会A而言，虽然期望收益率低于投资机会B，但是它的收益是 确定的，而投资机会B却有7/10的可能得到的为负或者是零收入,对于一个谨慎的投资 者而言，宁愿选择投资机会A，而不选择B。
RR ( x) x RA ( x) x 0
2、幂效用函数 U ( x) 显然
x 1
U ( x) x 1 0 U ( x) ( 1) x 2 0 U ( x) ( 1)( 2) x 3 0 U ( x) 1 RA ( x) ( 1) x 1 0 RR ( x) x RA ( x) x 1 0 U ( x) x 幂效用函数的投资者是绝对风险厌恶递减型。
CE[( R - ER)( R - ER)]C CC 0
E(Y 2 ) CC 0
证毕.
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第一章 基础知识
证明
2 C12 C2 m 2 Cm
(C i)2 1 m2 m2
CC CPP PPC CPdiag (1 , 2