最新专题7.1 与数学文化相关的数学考题(解析版)

2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题7.1平面直角坐标系（1）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一．选择题（共10小题）1．（2020春•天津期末）若电影院中“5排8号”的位置，记作（5，8），丽丽的电影票是“3排1号”．则下列有序数对表示丽丽在电影院位置正确的是（）A．（3，1）B．（1，3）C．（13，31）D．（31，13）【分析】由题意可得：第一个数字表示“排”，第二个数字表示“号”，据此即可解答问题．【解析】∵“5排8号”的位置，记作（5，8），∴丽丽的电影票是“3排1号”，记作（3，1）．故选：A．2．（2020春•津南区校级月考）如图是象棋残局，已知棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（）A．（﹣3，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（0，3）【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以解答本题．【解析】由题意可得，建立的平面直角坐标系如右图所示，则表示棋子“炮”的点的坐标为（1，3），故选：C．3．（2019秋•罗湖区校级期末）若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第3列第2排的位置表示为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（2，1）D．（3，3）【分析】理清有序实数对与教室座位的对应关系，据此说明其它实数对表示的意义．【解析】类比（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第3列第2排的位置表示为（3，2）．故选：B．4．（2020春•泸县期末）如图，象棋盘上，若“将”位于点（3，﹣2），“车”位于点（﹣1，﹣2），则“马”位于（）A．（1，3）B．（5，3）C．（6，1）D．（8，2）【分析】直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．【解析】如图所示：“马”位于（6，1）．故选：C．5．（2020•宜昌）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列【分析】根据坐标确定位置，从有序数对的两个数的实际意义考虑解答．【解析】根据题意画出图形可得：A、小李现在位置为第1排第4列，此选项说法错误；B、小张现在位置为第3排第2列，此选项说法正确；C、小王现在位置为第2排第3列，此选项说法错误；D、小谢现在位置为第4排第4列，此选项说法错误；故选：B．6．（2020春•海淀区校级期末）如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣1，﹣1），表示本仁殿的点的坐标为（2，﹣2），则表示中福海商店的点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣1，﹣2）【分析】根据弘义阁的点的坐标和本仁殿的点的坐标，建立平面直角坐标，进而得出中福海商店的点的坐标．【解析】根据题意可建立如下坐标系：由坐标系可知，表示中福海商店的点的坐标是（﹣4，﹣3），故选：A．7．（2020春•集贤县期末）间操时，小红，小华和小军的位置如图，小华对小红说：“如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，3）表示，那么你的位置可以表示成（）A．（6，4 ）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，3）【分析】以小华的位置为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出小红的位置即可．【解析】建立平面直角坐标系如图所示，小红的位置可以表示成（3，2）．故选：C．8．（2020•昌平区二模）昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑．如图，分别以正东、正北方向为x 轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为（2，0），表示园中园的点的坐标为（﹣1，2），则表示弘文阁所在的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣3，﹣3）D．（﹣3，﹣4）【分析】直接利用文节亭的点的坐标为（2，0），进而得出原点位置进而得出答案．【解析】如图所示：弘文阁所在的点的坐标为：（﹣2，﹣2）．故选：B．9．（2020春•官渡区期末）棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是局象棋残局，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示“炮”的点的坐标为（）A．（1，3）B．（3，1）C．（2，3）D．（1，2）【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解析】如图所示：“炮”的点的坐标为（1，3）．故选：A．10．（2020秋•河南期中）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用（3，2）表示教学楼，（4，0）表示旗杆，则实验楼的位置可表示成（）A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解析】如图所示：实验楼的位置可表示成（2，﹣3）．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•市中区期末）某会场座位号将“7排4号”记作（7，4），那么“3排5号”记作（3，5）．【分析】由于将“7排4号”记作（7，4），根据这个规定即可确定3排5表示的点坐标．【解析】∵“7排4号”记作（7，4），∴3排5号记作（3，5）．故答案为：（3，5）．12．（2019春•临海市期末）如果将电影票上“6排3号”简记为（6，3），那么“10排12号”可简记为（10，12）．【分析】根据第一个数表示排数，第二个数表示号数解答．【解析】∵“6排3号”简记为（6，3），∴“10排12号”可表示为（10，12）．故答案为：（10，12）．13．（2019秋•商河县期末）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”的坐标是（4，1），那么“帅”的坐标为（0，﹣1）．【分析】直接利用“相”的坐标是（4，1），得出原点位置，进而得出“帅”的坐标．【解析】如图所示：“帅”的坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．14．（2019秋•上城区期末）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A、B，其中A的位置可以表示成（60°，6），那么B可以表示为（150°，4），A与B的距离为2√13．【分析】根据度数表示横坐标，圆圈数表示纵坐标，可得答案，再利用勾股定理得出AB的长．【解析】B可以表示为（150°，4），由题意可得：√42+62=2√13．故答案为：（150°，4），2√13．15．（2018秋•杏花岭区校级期中）若电影院的5排3号记为（5，3），那么3排5号记为（3，5）．【分析】明确对应关系，排在前，号在后，然后解答．【解析】电影院中的5排3号记为（5，3），则3排5号记为（3，5）．故答案为：（3，5）．16．（2020春•红河州期末）如图，这是一所学校的部分平面示意图，教学楼、实验楼和图书馆的位置都在边长为1的小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是（﹣1，1），实验楼位置的坐标是（3，﹣2），则图书馆位置的坐标是（2，3）．【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．【解析】如图所示：图书馆位置的坐标是（2，3）．故答案为：（2，3）．17．（2020秋•郫都区期中）如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2，90°），B的位置为（4，210°），则C的位置为（4，150°）．【分析】根据题意写出坐标即可．【解析】由题意，点C的位置为（4，150°）．故答案为（4，150°）．18．（2020春•海淀区校级期末）“健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园（路线：森林公园﹣玲珑塔﹣国家体育场﹣水立方），如图，假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为（﹣1，0），森林公园的坐标为（﹣2，2），则终点水立方的坐标为（﹣2，﹣4）．【分析】先根据玲珑塔的坐标和森林公园的坐标建立平面直角坐标系，再结合坐标系可得答案．【解析】根据题意，可建立如图所示平面直角坐标系，则水立方的坐标为（﹣2，﹣4），故答案为：（﹣2，﹣4）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，在一台雷达的屏幕上的A，B，C，D，E各点处同时发现可疑目标，如果你是一名雷达兵，你如何向上级报告各目标所在的位置（图中的1个单位长度表示10千米）？【分析】根据坐标的第一个数表示到中心的距离，第二个数表示角度，分别写出各目标的坐标即可．【解析】A（20，60°），B（30，30°），C（40，0°），D（30，120°），E（40，240°）．20．（2020春•永年区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小明家可用坐标（﹣1，2）表示，汽车站可用坐标（3，﹣1）表示．（1）建立平面直角坐标系，画出x轴和y轴；（2）某星期日早晨，小明同学从家出发，沿（0，1）→（﹣2，﹣1）→（﹣1，﹣2）→（0，﹣1）→（1，0）→（2，﹣1）→（2，2）的路线转了一圈，又回到家里，写出他路上经过的地方；（3）连接他在上一问中经过的地点，你得到了什么图形？【分析】（1）根据平面直角坐标系的定义建立即可；（2）根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后连接即可，再写出各地方的名称；（3）根据图形形状解答．【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系；（2）小明家﹣学校﹣奶奶家﹣宠物店﹣医院﹣公园﹣邮局﹣游乐场﹣消防站﹣小明家；（3）连接他在上一问中经过的地点，得到“箭头”状的图形．21．（2019春•台江区期中）如图是某市部分路段简图，若以超市为原点．（1）请写出文化宫的坐标．（2）李红家的坐标为（1，﹣1），请在图中标出李红家的位置．（3）从超市到市场的一条线路可用（0，0）→（1，0）→（2，0）→（3，0）→（3，1）表示，类比上面的线路表示法，请你写出一条李红家到文化宫的路线图．【分析】（1）根据超市为原点，横坐标向右为正，向左为负，纵坐标向上为正，向下为负，可得文化宫的坐标．（2）根据题中规定的原点及横纵坐标的正负，在图中标出李红家的位置即可．（3）结合（2）中图上所标信息写出答案即可．【解析】（1）以超市为原点，横坐标向右为正，向左为负，纵坐标向上为正，向下为负，可得文化宫的坐标为：（﹣1，2）．（2）李红家的坐标为（1，﹣1），在图中标出李红家的位置如下：（3）一条李红家到文化宫的路线图如下：（1，﹣1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（0，2）→（﹣1，2）．22．（2019春•滦南县期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，点C为OP的中点，回答下列问题：（1）图中距小明家距离相同的地方是哪个？（2）请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．【分析】（1）由点C为OP的中点，可得出OC＝2km，结合OA＝2km，即可得出距小明家距离相同的是学校和公园；（2）观察图形，根据OA，OB，OP的长度及图中各角度，即可得出结论．【解析】（1）∵点C为OP的中点，∴OC=12OP=12×4＝2km，∵OA＝2km，∴距小明家距离相同的是学校和公园．（2）学校在小明家北偏东45°的方向上，且到小明家的距离为2km，商场在小明家北偏西30°的方向上，且到小明家的距离为3.5km，停车场在小明家南偏东60°的方向上，且到小明家的距离为4km．23．（2019春•大兴区期末）小莹、小亮准备参加中考模拟考试，学校规定考生每人占一个桌子，按考号人座．考号按如图方式贴在桌子上，请回答下面的问题：（1）小莹的考号是13，小亮的考号是24，在图中对应的“□”中，请用他们的名字分别标出他们在考场内座位的位置；（2）某同学座位的位置在第a行和第b列的相交的“□”处，用数对表示是（a，b），那么小莹的位置用数对表示是（1，3），小亮的位置用数对表示是（1，4）．【分析】（1）按照数字排列顺序可得答案；（2）第一个数字表示行、第2个数字表示列，据此可得答案．【解析】（1）小莹和小亮的位置如图所示．（2）小莹的位置用数对表示是（1，3），小亮的位置用数对表示是（1，4），故答案为：1，3；1，4．24．（2018秋•鄠邑区期末）中国棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图所示是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形对角线走．例如：图中“马”所在位置可以直接走到点A、B处．（1）如果“相”位于点（4，2），“帅”位于点（0，0），则“马”所在点的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（3，1）．（2）若“马”的位置在C点，为了到达“D”点，请按“马”走的规则，写出一种你认为合理的行走路线，（在答题纸图中标出行走路线即可）．【分析】（1）由“相”与“帅”的坐标，可求“马”与D的坐标；（2）路线不唯一，标出一种即可．【解析】（1）由“相”位于点（4，2），“帅”位于点（0，0），∴“马”的坐标为（﹣3，0），D的坐标（3，1），故答案为（﹣3，0），（3，1）；（2）如图所示：。

五、数学文化与三角函数例54. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________.【解析】 依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7例55. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是S =,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边为.若sin 2sin cos C A B =，且222b c +=，则ABC 面积S 的最大值为________.【解析】sin 2sin cos C A B = ，222222cos 22a c b c a B a a b a b ac+−∴==⋅⇒=⇒=又222b c +=，222a c ∴=−，S ∴==245c ∴=时，ABC ∆面积S. 故答案为：例56. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．58【解析】设AB r =，圆心角为α，则整个折扇的面积为212S r α=，扇面的面积为2221132228r s r r ααα⎛⎫=−= ⎪⎝⎭， 若在整个扇形区域内随机取一点，记此点取自扇面（扇环）部分为事件M ，则根据几何概型的概率公式得()22338142r P M r αα==故选：C例57. 《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈10=尺100=寸， 3.14π≈，5sin22.513≈)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸【解析】连接,,OA OB OD ，设⊙O 的半径为R ，则()22215R R −+=，所以13R =.由于5sin 13AD AOD R ∠==，所以22.5AOD ∠=︒，即45AOB ∠=︒.所以OAB ACB OACB S S S ∆=−弓形扇形 2451311012 6.333602π⨯=−⨯⨯≈平方寸． ∴该木材镶嵌在墙中的体积为100633ACB V S =⨯≈弓形立方寸， 故选D ．例58. 赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【解析】设1AF =，则3,1AD BD AF ===，如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+−⋅⋅∠，所以AB =AC AB ==),B C ⎝⎭，()0,0A又sin sin sin BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠，所以cos BAD ∠=所以()cos ,sin BAD BAD D AD AD ∠∠，即D ⎝⎭所以()2113339,13,02626,AD AB ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，1322AC ⎛ ⎝⎭=，又AD AB AC λμ=+所以913313λμ⎧=+=⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩，所以1213λμ+=，故答案为：1213例59. 干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数2()sincos33x f x x =+的最小正周期为（ ）A ．15πB ．12πC ．6πD ．3π【解析】由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数：60 故可得：2sin 3x y =的周期13T π=, cos3y x =的周期223T π=, 12T T 、的最小公倍数为6π，故()f x 的最小正周期为6π.故选：C.例60. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.3 B ．2 C ．3 D.6【解析】 根据正弦定理，由a 2sin C ＝4sin A ，得ac ＝4.再结合(a ＋c )2＝12＋b 2，得a 2＋c 2－b 2＝4，则S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222＝ 16－44＝3，故选A.例61. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”．“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为5－12≈0.618，这一比值也可以表示为m ＝2sin 18°.若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 27°－1＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【解析】由题设n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝2(2sin 18°cos 18°)cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2.故选B ．例62. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离(等于半径长与圆心到弦的距离之差)，现有圆心角为2π3，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是________平方米．(结果保留根号)【解析】如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝6.所以在Rt △AOD 中，∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×6＝3，可得CD ＝6－3＝3.由AD ＝AO ·sin π3＝6×3＝33，可得AB ＝2AD＝2×33＝6 3.所以弧田面积S ＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(63×3＋32)＝93＋92(平方米)．。

一、单选题（题数：40，共40.0分）1拓扑学是数学的一个分支,是()引出来的。

（1.0分）1.0分A、阿基米德B、罗素C、欧拉D、华罗庚正确答案：C我的答案：C2在(),第一次数学危机得到了真正解决。

（1.0分）1.0分A、17世纪B、18世纪C、19世纪D、16世纪正确答案：C我的答案：C3运用9个平面,空间可以分为()部分。

（1.0分）1.0分A、64B、93C、130D、42正确答案：C我的答案：C4第一次用计算机证明数学定理发生在1972年,主要是证明()。

（1.0分）1.0分A、多边形内角和B、哥尼斯堡七桥问题C、勾股定理D、四色问题正确答案：D我的答案：D5子集N的对称集合S(N)不是一个普通集合,它是一个具有()的集合。

（1.0分）1.0分A、常数结构B、有理数结构C、代数结构D、玄数结构正确答案：C我的答案：C6数学发展史上一共有()次危机,都是数学的基本部分收到了质疑;但每一次危机,都引发了数学的思想解放。

()（1.0分）1.0分A、一B、二C、三D、四正确答案：C我的答案：C7第一次数学危机是由()提出的。

（1.0分）1.0分A、牛顿学派B、毕达哥拉斯学派内部C、贝克莱大主教D、阿基米德正确答案：B我的答案：B8哥德尔是哪一国家的?()（1.0分）1.0分A、德国B、奥地利C、瑞士D、法国正确答案：B我的答案：B9数学让人受益终身的精华是()。

（1.0分）1.0分A、数学思维B、数学知识C、数学素养D、数学分数正确答案：C我的答案：C10自然数集是()的真子集,但是却能和它一一对应。

（1.0分）1.0分A、有理数集B、无理数集C、实数集D、素数集正确答案：A我的答案：A11数学的起源时期指的是(),这一时期人类建立了自然数的概念,认识了简单的几何图形;但算数和几何尚未分开。

（1.0分）1.0分A、远古-公元前5世纪B、远古-原始社会C、远古-公元5世纪D、远古到公元元年正确答案：A我的答案：A12“把未知的问题转化为已知的问题;把待解决的问题归结为已解决的问题,从而解决问题。

数学文化练习题数学在不同文化中的应用数学文化练习题:数学在不同文化中的应用数学作为一门学科，在全球范围内都扮演着重要的角色。

它不仅仅是一种计算工具，更是一种文化载体。

数学在不同的文化中，以各种形式得以应用和发展。

本文将通过几个具体的例子，探讨数学在不同文化中的应用。

一、古埃及文化中的数学应用古埃及文化是世界上最古老的文明之一，而数学在古埃及文化中也占据非常重要的地位。

古埃及人善于利用数学解决日常生活中的问题，尤其是建筑和土地测量方面。

他们使用了一种独特的计数系统，基于“凑十法”。

这种计数方法中，数字1~9被表示为横线和点，而数字10则用一个卜字符号表示。

这种计数系统使得古埃及人能够进行复杂的计算，并设计出精确的建筑和工程方案。

二、古希腊文化中的几何学古希腊文化对现代数学几何学的发展影响深远。

古希腊人将几何学从实际问题中提炼出来，形成了独立的数学学科。

他们研究了三角形、多边形和圆形等几何图形的性质和定理。

其中最著名的是欧几里得的《几何原本》。

这本书系统概述了数学公理和定理，并建立了一套完整且严密的推理方法，对后世的数学研究产生了深远的影响。

三、中国古代文化中的“六艺”之数学中国古代文化中的数学应用有着独特的特点。

在古代中国，数学与其他五种艺术技能一起，统称为“六艺”。

古代中国人将数学应用于土地测量、日历制定、农业技术等方面。

在数学的传承和发展中，中国出现了许多杰出的数学家，如《九章算术》的编纂者秦九韶、《数书九章》的作者刘徽等。

他们的研究成果对于后世的数学发展起到了重要的推动作用。

四、阿拉伯文化中的代数学阿拉伯文化对代数学的发展做出了巨大贡献。

阿拉伯数学家通过将字母和符号引入数学，创造性地解决了一系列复杂的代数问题。

阿拉伯人的代数学成果在欧洲中世纪时期被传入，对于欧洲数学的发展产生了极大的影响。

举例来说，阿拉伯数学家穆罕默德·本·穆萨所著的《和合分之法》是西方最早的代数学专著之一，其中介绍了二次方程的求根方法，对于后来的代数学发展起到了重要的推动作用。

压轴题13数学文化与新情景问题数学文化与新情景问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、填空题为主，难度较难．考向一：融合传统文化和数学史的数学阅读题考向二：融合其他学科知识的数学阅读题考向三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题考向四：融合生活实际的数学阅读题数学文化与新情景问题试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材，将数学文化、生活情境与高中数学知识有机结合．其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际问题转化为数学问题，然后再将数学问题转化为问题结果．具体地说，就是先通过阅读情境、审读题目，在明确对象、分析过程（或状态）的基础上过滤情境，并构造出符合题意的数学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；接着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，对解题过程作出评价．其中过滤情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的数学问题的前提，也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用．一、单选题1．（2023·北京·高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12；②当32a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +1；④若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅ 的值为12.其中所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．③④C ．①③④D ．①②④【答案】C【解析】对于①，设黑色部分区域的面积为1S ，整个圆的面积为S ，由对称性可知，112S S =，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为112S P S ==，故①正确；对于②，当32a =-时，直线的方程为332y x =--，即3260x y ++=，圆心()0,0到直线3260x y ++=613213=<，下方白色小圆的方程为()2211x y ++=，圆心为()0,1-，半径为1，圆心()0,1-到直线3260x y ++=的距离为1d =，如下图所示：由图可知，直线332y x =--与与白色部分无公共点，故②错误；对于③，黑色阴影部分小圆的方程为()2211x y +-=，设z x y =+，如下图所示：当直线z x y =+与圆()2211x y +-=相切时，z 取得最大值，且圆()2211x y +-=的圆心坐标为()0,1，半径为11=，解得1z =由图可知，0z >，故max 1z =，故③正确；对于④，由于MN 是圆224x y +=中过点()0,1P 的直径，则M 、N 为圆224x y +=与y 轴的两个交点，可设()0,2M 、()0,2N -，当AB y ⊥轴时，AB 取最小值，则直线AB 的方程为1y =，可设点()3,1A -、)3,1B，所以，)3,1AM = ，()3,3BN =-，()3,0AB = ，()3,4AM BN -= ，所以，()12AM BN AB -⋅=，故④正确.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆()2200x y ay a +-=>于点P ，交直线y a =于点Q ，过P 和Q 分别作x 轴和y 轴的平行线交于点M ，则点M 的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为()f x ，设AOQ θ∠=，下列说法正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．点M 的横坐标为tan M a x θ=C ．点M 的纵坐标为2cos M y a θ=D ．()f x 的值域是(],1-∞【答案】C【解析】连接AP ，则AP OP ⊥，圆()2200x y ay a +-=>的标准方程为22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，该圆的直径为a，设点()0,Q x a ，当点Q 不与点A 重合时，直线OQ 的方程为0ay x x =，联立02200a y x x x y ay y ⎧=⎪⎪⎪+-=⎨⎪≠⎪⎪⎩，解得3220a y x a =+，当点Q 与点A 重合时，点A 的坐标也满足方程322a y x a =+，所以，()322a f x x a=+，对任意的x ∈R ，220x a +>，即函数()f x 的定义域为R ，()()()332222a a f x f x x a x a -===+-+ ，故函数()f x 为偶函数，A 错；当点Q 在第一象限时，Q M x x =，因为tan Q x aθ=，此时tan Q M x x a θ==，B 错；当点Q 不与点A 重合时，0M P y y =>，因为cos OP a θ=，则2cos cos M P y y OP a θθ===，当点Q 与点A 重合时，点P 也与点A 重合，此时0θ=，点P 的纵坐标也满足2cos P y a θ=，综上所述，点M 的纵坐标为2cos M y a θ=，C 对；对于D 选项，222x a a +≥ ，所以，()(]3220,a f x a x a =∈+，D 错.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[],y x x =∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意知，当0x =时，()1f x =-，所以0不是函数()f x 的零点，当0x ≠时，(){}21f x x x x =--0=可得，{}121x x=+，令{}[]121222,1y x x x y x==-=+，作出函数{}[]121222,1y x x x y x==-=+的图象如图所示：由图象可知，除点()1,0-外，函数{}[]121222,1y x x x y x==-=+图象其余交点关于（0，1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即1230x x x +++⋅⋅⋅=，由函数零点的定义知，函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为1231101x x x -++++⋅⋅⋅=-+=-.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD 传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为2E kv t =，其中v 为传感器在静水中行进的速度(单位：km /h )，t 为行进的时间(单位：h )，k 为常数，如果待测量的河道的水流速度为3km /h ，则该传感器在水中逆流行进10km 消耗的能量的最小值为（）A ．60kB ．120kC ．180kD ．240k【答案】B【解析】由题意，该传感器在水中逆流行进10km 所用的时间10(3)3t v v =>-，则所消耗的能量210(3)3E kv v v =⋅>-.方法一：2222210[(3)3][(3)2(3)33]910101010[(3)6]33333v v v v E kv k k k k v v v v v v -+-+⋅-⋅+=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅-++≥----106]1012120k k k ⋅=⋅=，当且仅当933v v -=-，即6v =时等号成立，此时2103E kv v =⋅-取得最小值120k .方法二：221010(3)33v E kv k v v v =⋅=⋅>--，求导得22610(3)v v E k v -'=⋅-，令226100(3)v v E k v -'=⋅=-，得6v =，当36v <<时，0E '<，2103E kv v =⋅-单调递减；当6v >时，0E '>，2103E kv v =⋅-单调递增，所以当6v =时，2103E kv v =⋅-取得最小值，为210612063k k ⨯⨯=-.故选：B.5．（2023·江西·校联考二模）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm ，横约95cm ，其挂在墙壁上的最低点B 离地面194cm.小南身高160cm （头顶距眼睛的距离为10cm ），为使观赏视角θ最大，小南离墙距离S 应为（）A ．2cmB ．76cmC ．94cmD ．445cm【答案】D【解析】由题意可得θ为锐角，故要使θ最大，只需tan θ最大，设小南眼睛所在的位置点为点D ，过点D 做直线AB 的垂线，垂足为O ，如图，则依题意可得()1941601044=--=BC （cm ），=CD S （cm ），0S >，设,αβ∠=∠=ADC BDC ，则θαβ=-，且17644220tan α++===AB BC CD S S，44tan β==BC CD S，故()222044tan tan 176176tan tan 2204496801tan tan 96801αβθαβαβ--=-===++++S S S S S S S S1762596802≤SS9680=S S即445=S 时等号成立，故使观赏视角θ最大，小南离墙距离S 应为445故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程()()2224431m x y y x y +-+=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A ．()10,+∞B ．()0,10C ．()0,5D ．()5,+∞【答案】B【解析】由()()2224431m x y y x y +-+=-+，0m >，得222[(2)](31)m x y x y +-=-+，22(2)31m x y x y +-=-+，222222(2)13103113x y x y m m +-+==-++，可得动点(,)P x y 到这点(0,2)和定直线310x y -+=10m101m>，解得010m <<，故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线l 交抛物线214y x =于A ，B 两点，若OA ，OB 恰好是Rt OAB V 的“勾”“股”（O 为坐标原点），则此直线l 恒过定点（）A ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,4【答案】D【解析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，由根与系数的关系可得：124x x k +=，124x x b =-，若OA ，OB 恰好是Rt OAB V 的“勾”“股”（O 为坐标原点），可得222OA OB AB +=，所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥ ，所以12120OA OB x x y y ⋅=+= ，()2221212*********y y x x x x =⨯=，所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-=，即240b b -=，解得4b =或0b =（舍）所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4，故选：D8．（2023·河南郑州·统考二模）世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．14B ．27C ．13D ．25【答案】B【解析】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数27C 21n ==，其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)，共6个，所以62217P ==.故选：B9．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）宋神宗熙宁九年文学家苏轼在《水调歌头·明月几时有》中有一名句“月有阴晴圆缺”表达了他超脱的胸怀。

【方法综述】关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.【解答策略】类型一、取材数学游戏游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念.例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为. 【指点迷津】以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏.例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识.本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力.【举一反三】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，,11,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个.类型二、取材数学名著如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有关的数学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养. 例2、我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =，且1210a a a <<<，若485i a M =，则i =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【指点迷津】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.学*科网【举一反三】【辽宁省丹东市2019届高三测试（一)】我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（ ）A ．0.9升B ．1升C ．1.1升D ．2.1升类型三、取材数学名题数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联，数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一.例3、【江西省南昌市2019届高三第一次模】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )A．4072 B．2026 C．4096 D．2048【指点迷津】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【举一反三】【广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三3月调研】2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．类型四、取材数学推理数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识和思想方法.例4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378【指点迷津】合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).【举一反三】【湖北省恩施州2019届高三2月检测】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（）A．9 B．16 C．18 D．20类型五、取材数学图形例5、一幅图胜过一千字，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，图形不仅包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形较小的锐角为，则（）A．B．C．D．【举一反三】1.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取，立方寸=升，则商鞅铜方升的容积约为（）A．升B．升C．升D．升2.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三二模】牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义是函数零点近似解的初始值，过点的切线为，切线与轴交点的横坐标，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数，满足应用上述方法，则（）A．B．C．D．类型六、取材数学文化与现代科学：数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景，抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息.例6、【福建省2019届高考适应（三)】习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为，则山高约为______米.（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：.【指点迷津】1.命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.2.注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.【举一反三】【河北省沧州市2019年高考模拟】中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（）A．B．C．D．【强化训练】一、选择题1．【河南省八市重点高中2019届高三第二次测评】《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗，则下列判断正确的是（）A．且B．且C．且D．且2．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )A．23 B．32 C．35 D．383．【陕西省宝鸡中学2019届高三一模】我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是A．24里B．36里C．48里D．60里4．【河北省沧州市2019年高考模拟】中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（）A．B．C．D．5．【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为AD的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（）A．B．C．D．8.【北师大实验中学2019届高三二模】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( )A．B．C．D．9．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（）A．B．C．D．10．【山东省济南市2019届高三3月模拟】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体：① ② ③ ④图①是底面直径和高均为的圆锥；图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为的正四棱锥；图④是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（）A．①B．②C．③D．④11．【山西省吕梁市2019年高考模拟】孔明锁，也叫鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它是用6根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是其中3根木条的三视图，记这3根木条的体积分别为，则（）A．B．C．D．二、填空题12.【福建省2019届高三模拟】我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为__________．13．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三第一学期期中】九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．14．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．15．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三一模】太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为___________.16．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米__________斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率）17．【江苏省南通市通州区2019届高三下期末】对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．。

“数学文化”专题1 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( )A ．134石B ．169石C ．268石D ．338石解析 设这批米内夹谷约为x 石，根据随机抽样事件的概率得x 1 534＝28254，得x ≈169，故选B 。

答案 B2 《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道 “竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升。

问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)。

问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为( )A.72B.3733C.6766D.1011 解析 设从最下节往上的容量构成等差数列{a n }，公差为d 。

则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝4a 9＋a 8＋a 7＋a 6＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝44a 1＋26d ＝3，解得a 1＝9566，d ＝－766，中间为第五节，即a 5＝a 1＋4d ＝9566＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－766＝6766，故选C 。

答案 C3 如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( )A．0B．2 C．4D．14解析由题知，若输入a＝14，b＝18，则第一次执行循环结构时，由a＜b知，a＝14，b＝b－a＝18－14＝4；第二次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝14－4＝10，b ＝4；第三次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝10－4＝6，b ＝4；第四次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝6－4＝2，b＝4；第五次执行循环结构时，由a＜b知，a＝2，b＝b－a＝4－2＝2；第六次执行循环结构时，由a＝b知，输出a＝2，结束，故选B。

新高考趋势是重点强调知识点活学活用和重视科技发展与进步与生活的实际应用。

如果知识点不理解那么将很难做题。

所以考生死记硬背肯定难拿到高分了，只有知识点融入贯通不能留下知识盲区才能考好试，考生扫描知识点盲区尤为重要。

每年高考过后，数学习题都会上热搜，飚榜第一名，近年来，高考出题的角度更是接近生活与文化，从去年高考试题中可以看出，题型越来越接近文化，比如今年的测量珠穆朗玛峰高度（三角高程测量法），前两年的埃及金字塔、“一朵云”、断臂维纳斯这些在当年都是难倒了很多考生的。

归根结底来说，数学考试也没有那么难，只是考题比较新颖，换了一种出题方式，知识点是不变的，这就需要同学们在平时做题时要打开思路，更广的解题思维！数学与文化的考查在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养，不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养，同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就，增强爱国情怀，引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。

这是新高考考察的目的，从而这类问题也是新高考必考题型。

高考数学与文化命题的角度常有以下四个方面：（1）源于数学名著，如《九章算术》《算法统宗》《周髀算经》《律学新说》等．（2）以数学成就为背景创设数学问题，如斐波那契数列、杨辉三角等．（3）以数学故事为背景创设数学问题，如阿基里斯悖论、贝特朗悖论等．（4）以数学名词、数学中有名的猜想或结论为背景创设数学问题，如阿波罗尼斯圆、哥德巴赫猜想、勾股定理、阿基米德三角形、蒙日圆等．这些内容在历年高考中时有考查， 因此在复习备考中，有意识地加强对这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维视野，提升解题能力． 无论是以数学传统文化还是实际民生为载体的创新题，都要求学生们在短时内读懂并理解一个陌生的数学问题的情景，然后运用所学的知识和已掌握的解题技能灵活的进行解题。

这类问题的关键就是通过认真阅读，深刻理解题意，从中找到数学信息。

数学文化题目及解答数学文化题目及解答（一）1、毕达哥拉斯学派发现第一个不能被整数比的数是根号二2、数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式：恩格斯3、四色猜想的提出者：英国人古德里4、不属于数学起源的河谷地带：密西西比河5、平面图形对称中用到的三种运动：平移折叠旋转7、现代数学起源于：19世纪20年8、相容的体系一定是不完全的,得出这个结论的是：哥德尔第一定理9、高等数学的研究范围不包括：常量10、反证法是依据逻辑学中的：排中律11、被称为理发师悖论的悖论是：罗素悖论12:、上海路佳明发现的元朝玉桂：1986年13、1993年，经哥德尔证明，把“连续统假设”加紧急合论的zf 系统中是相容的，不会导致矛盾：康托集合论14、被积函数不连续，其定积分也可能存在的理论的提出者：黎曼15、根据两个事物之间的相同或相拟之处，推知她们在其他方面也有可能相同或相拟的推理方法：类比16、极限理论的创立者：柯西18、.下列不属于黄金分割点的是（C）A．印堂 B. 膝盖 C.鼻子D都不对19、5个平面分空间，最多可分为（C）A22 B25 C26 D2820、.Ｓ（Ｎ）中任意两个元素，相继作用的结果仍保持Ｎ整体不变，仍在Ｓ（Ｎ）中，称之为Ｓ（Ｎ）中的运算满足（Ｂ）A幺元律B封闭率C结合律D都不对21、南开大学每年出的杂志，收录数学文化课的学生优秀读书报告：数学之美22、下列公式中不对称的是（Ａ）A．勾股定理B海伦定理C正玄定理D都不对23、为了庆祝毕达哥拉斯定理的发现，当时的毕达哥拉斯学派宰了什么：牛24、《几何学》的作者是：笛卡尔25、直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一定理在西方叫做毕达哥拉斯定理26、1820-1870年是现代数学的（C）A．形成阶段 B.繁荣阶段 C.酝酿阶段 D.衰落阶段27、下列不属于形式的公理化方法在逻辑上所要满足的要求的是：客观性28、数学文化这个词最早出现于（C）A．1986 B. 1974 C.1990 D.199629、大多数植物的花瓣数都符合（C）A．黄金分割 B.素数分割C裴波那契数列 D.都不对1、保持平面上任意两点间距离不变的运动是保距变换：对2、父女关系与夫妻关系是一种对称关系：不是，错3、之有数学专业的人在需要数学素养：错4、不懂数学的人也可以搞社会学：错5、数学的研究对象和具体的自然科学的研究对象很不一样，具有、、、：对6、近代数学时期是公元17世纪到19世纪，和工业革命、天文、航天业的发展有关。

2024年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．【详解】解：由五日气温为得到，，∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．故选：A．2.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则．【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意；C．，故此选项符合题意；D．，故此选项不符合题意．故选：C．3.如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D．【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，∴，∴B、C、D选项不符合题意，故选：A．4.下列数中，能使不等式成立的x的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可．【详解】解：∵，∴．∴符合题意的是A故选A．5.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（）A.角平分线B.高线C.中位线D.中线【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．【详解】解：由作图可得：，∴线段一定是的高线；故选B6.如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数，由该方向上的小正方体个数最多的那个来确定，通过观察即可得出结论．掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键．【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有列，每列上小正方体个数从左往右分别为、、．故选：D．7.节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若x减小，则y也减小D.若x减小一半，则y增大一倍【答案】C【解析】【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．∴，∴，当时，，故A不符合题意；当时，，故B不符合题意；∵，，∴当x减小，则y增大，故C符合题意；若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C．8.若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．【详解】解：由题意得：，∴，∴，故选：A．9.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（）A.1B.C.D.1或【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得方程，利用公式法求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：或（舍）故选：C．10.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：四边形是平行四边形．证明：∵，∴．∵，，，∴①______．又∵，，∴（②______）．∴．∴四边形是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．【详解】证明：∵，∴．∵，，，∴①．又∵，，∴（②）．∴．∴四边形是平行四边形．故选：D．11.直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．【详解】解：正六边形每个内角为：，而六边形的内角和也为，∴，∴，∵，∴，故选：B．12.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）A.点AB.点BC.点CD.点D【答案】B【解析】【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案．【详解】解：设，，，∵矩形，∴，，∴，，，∵，而，∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；故选：B．13.已知A为整式，若计算的结果为，则（）A.xB.yC.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．由题意得，对进行通分化简即可．【详解】解：∵的结果为，∴，∴，∴，故选：A．14.扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，，∴，∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，∴，∴，∴是的正比例函数，∵，∴它的图像是过原点的一条射线．故选：C．15.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A.“20”左边的数是16B.“20”右边的“□”表示5C.运算结果小于6000D.运算结果可以表示为【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项．【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和如图：则由题意得：，∴，即，∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；当时，则，如图：，∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴上面的数应为，如图：∴运算结果可以表示为：，∴D选项符合题意，当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，故选：D．16.平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（）A.或B.或C.或D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为．【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故选：D．二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）17.某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______．【答案】89【解析】【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数．根据众数的定义求解即可判断．【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，89出现的次数最多，以上数据的众数为89．故答案为：89．18.已知a，b，n均为正整数．（1）若，则______；（2）若，则满足条件a的个数总比b的个数少______个．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；（1）由即可得到答案；（2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案．【详解】解：（1）∵，而，∴；故答案为：；（2）∵a，b，n均为正整数．∴，，为连续的三个自然数，而，∴，，观察，，，，，，，，，，，而，，，，，∴与之间的整数有个，与之间的整数有个，∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个），故答案为：．19.如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．（1）的面积为______；（2）的面积为______．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；（2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．【详解】解：（1）连接、、、、，∵的面积为，为边上的中线，∴，∵点，，，是线段的五等分点，∴，∵点，，是线段的四等分点，∴，∵点是线段的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴的面积为，故答案为：；（2）在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴、、三点共线，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案；（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．【小问1详解】解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，∴，，，∴；【小问2详解】解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，∴，∴，解得：；21.甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．【答案】（1）（2）填表见解析，【解析】【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式计算即可；（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．【小问1详解】解：当时，，，，∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；【小问2详解】解：补全表格如下：∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，∴和为单项式的概率为．【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键．22.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P 到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）（1）求的大小及的值；（2）求的长及的值．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；（1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；（2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：，，，，，∴，，，∴，∴，；【小问2详解】解：∵，，∴，如图，过作于，∵，设，则，∴，解得：，∴，∴．23.情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段的长；（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．【答案】（1）；（2），；的长为或．【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度．（1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可；（2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可．【详解】解：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，∴，由拼接可得：，由正方形的性质可得：，∴，，为等腰直角三角形，∴为等腰直角三角形，设，∴，∴，，∵正方形的边长为，∴对角线的长，∴，∴，解得：，∴；（2）∵为等腰直角三角形，；∴，∴，∵，，∴；如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，此时，，符合要求，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，此时，，∴，综上：的长为或．24.某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：当时，；当时，．（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩；（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：原始成绩（分）95100105110115120125130135140145150人数1225810716201595①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．【答案】（1）甲、乙的报告成绩分别为76，92分（2）125（3）①130；②【解析】【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分；（2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时和②时均不符合题意，③时，，，解得；（3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：．【小问1详解】解：当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分；【小问2详解】解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时，，，由①②得，∴，∴，故不成立，舍；②时，，，由③④得：，∴，∴，∴，∴，故不成立，舍；③时，，，联立⑤⑥解得：，且符合题意，综上所述；【小问3详解】解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，∴中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，∴由表格得到原始成绩为110及110以上人数为，∴合格率为：．【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键．25.已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；（2）当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；（3）设点O到的距离为d．①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值．【答案】（1）（2）点B到的距离为；（3）①；②【解析】【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式可得答案；（2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案；（3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案；②如图，当为中点时，过作于，过作于，，此时最短，如图，过作于，而，证明，求解，再结合等角的三角函数可得答案．【小问1详解】解：如图，连接，，∵的半径为3，，∴，∴为等边三角形，∴，∴的长为；【小问2详解】解：过作于，过作于，连接，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，而，∴，∴点B到的距离为；∵，，∴，∴，∴；【小问3详解】解：①如图，∵过点A的切线与垂直，∴过圆心，过作于，过作于，而，∴四边形为矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即；②如图，当为中点时，过作于，过作于，∴，∴，此时最短，如图，过作于，而，∵为中点，则，∴由（2）可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，∴，解得：（不符合题意的根舍去），∴的最小值为．【点睛】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键．26.如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P．（1）直接写出a的值和点Q的坐标．（2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．（3）当时，①求直线PQ的解析式；②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．（4）设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．【答案】（1），（2）两人说法都正确，理由见解析（3）①；②或（4）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点；（3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可；（4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可．【小问1详解】解：∵抛物线过点，顶点为Q．∴，解得：，∴抛物线为：，∴；小问2详解】解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，当时，∴，∴在上，∴嘉嘉说法正确；∵，当时，，∴过定点；∴淇淇说法正确；【小问3详解】解：①当时，，∴顶点，而，设，∴，解得：，∴为；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），∴，∴交点，交点，由直线，设直线为，∴，解得：，∴直线为：，当时，，此时直线与轴交点的横坐标为，同理当直线过点，直线为：，当时，，此时直线与轴交点的横坐标为，【小问4详解】解：如图，∵，，∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，∴四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，∵，，∴的横坐标为，∵，，∴横坐标为，∴，解得：；【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．。

历年高考数学文化题集锦一. 数学名著中的立几题，例如：2015年全国1卷文6理6题6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书屮有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问''积及为米几何？”其意思为广在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）（A） 14斛（B） 22 斛（C） 36斛（D） 66 斛答案：B2012年湖北理科数学第10题10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积〃，求其直径〃的一个近似公式d 珂尹.人们还用过一些类似的近似公式.根据71=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是A. B. d =何 C・d = J型7—vV 9 V157考点分析：考察球的体积公式以及估算.解析：由卩二彳龙上几削二:胚‘设选项中常数为纟，则好④；力中代入得好空=3.375,3 2 V 7C b a163中代入得K空=3, C中代入得好空卫=3.14,科代入得好空丄3.142857,2 300 21曲于I）中值最接近加勺真实值，故选择D。

二、数学名著中的数列题，例如：2011年湖北卷文9理13题;13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为【解析】设该数列的杵项为公筮为依题总应该疇（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"。

执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18,则输出的玄= ___________【答幻B晦】師atWTil®中，a, 6的值依次为a = 14. 6 = 18； 6 = 4； a = 10； a = 6； a=2 b = 2・d匕时a = b = 2程牌抹,输岀a的值为2・故选B・数学名著中的统计题，例如：2015年湖北卷文2理2题2. （5分）（2015-湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（A. 134 石)B. 169 石C. 338 石D. 1365 石升。

中考数学重难考点突破——数学文化题型分类解析数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。

数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。

在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解．考点1以数学名著为题材例1《九章算术》中，将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，主视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A．2 B．4＋2 2C．4＋4 2 D．6＋4 2例题分层分析(1)通过阅读，你知道“堑堵”是什么样的图形吗？(2)根据“堑堵”的定义，你能推断出该几何体的底面是什么图形？侧面又是什么图形？【解答】C[解析]依题意得，该几何体为三棱柱，且底面为等腰直角三角形，两直角边长均为2，高为2，所以其侧面积为S＝2×2＋2 2×2＝4＋4 2，故选C.[赏析] 该题以我国古代数学名著《九章算术》中所描述的特殊几何体“堑堵”为背景，是一道新概念信息的信息迁移题．试题以三视图为依托，在考查空间想象能力的同时传播数学文化．|针对训练|1．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约()A．134石B．169石C．268石D．338石2．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为()A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝(10－x)2C．x2＋6＝(10－x)2D．x2＋62＝(10－x)23．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图，则井深为()A ．1.25尺B ．57.5尺C ．6.25尺D ．56.5尺4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国目前已知最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈136L2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551135． 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x 、y 人，则可以列方程组为________．6． 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图Z11－11)，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有________两．(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)7． 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S 矩形NFGD ＝S △ADC －(S △ANF ＋S △FGC)，S 矩形EBMF ＝S △ABC －(________＋________)．易知，S △ADC ＝S △ABC ，________＝________，________＝________．可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF.8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．9． 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12()m2－n2，b ＝mn ，c ＝12()m2＋n2.其中m>n>0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．10．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解．考点2以科技或数学时事为题材例2“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图Z2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是()图1图2A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d例题分层分析(1)根据题目所给的直观图，你发现“牟合方盖”有哪些特征？(2)“牟合方盖”的主视图和俯视图分别是什么？【解答】A[解析]当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且对角线为两条实线．故选A.[赏析]“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．试题从识“图”到想“图”，再到构“图”，要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”、“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在中考中考查，值得我们注意．|针对训练|11．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图3所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那幅图是()图3图412．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图5)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于________．图5 图613．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数．如图Z11－6，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为________．14． 阅读理解：如图7①，⊙O 与直线a ，b 都相切．不论⊙O 如何转动，直线a ，b 之间的距离始终保持不变(等于⊙O 的直径)．我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”．图②是利用圆的这一特性的例子．将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进．据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．图7拓展应用：如图8①所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”，如图②，夹在平行线c ，d 间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c ，d 之间的距离等于2 cm ，则莱洛三角形的周长为________cm.图8考点3 以数学名人为题材例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n.记第n 个k 边形数为N(n ，k )(k≥3)， 以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式．三角形数 N(n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N(n ，4)＝n 2，五边形数 N(n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ，……可以推测，N(n ，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．【解答】1000[解析] 由N(n ，4)＝n 2，N(n ，6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N(n ，k)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ， 于是N(n ，24)＝11n 2－10n ，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1000.|针对训练|15． 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项和(a ＋b)n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．(a ＋b)0…………… ①(a ＋b)1……………① ①(a ＋b)2…………① ② ①(a ＋b)3………① ③ ③ ①(a ＋b)4……① ④ ⑥ ④ ①(a ＋b)5…① ⑤ ⑩ ⑩ ⑤ ①…… ……根据“杨辉三角”请计算(a ＋b)20的展开式中第三项的系数为( )A ．2017B ．2016C ．191D ．19016． 正如我们小学学过的圆锥体积公式V ＝13πr 2h(π表示圆周率，r 表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习．下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9 3π，则这个圆锥的高等于()A．5 3πB．5 3 C．3 3πD．3 317．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点(Brocard point)由法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 1780－1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845－1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°.若Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝1，则EQ＋FQ的值为()A．5 B．4 C．3＋ 2 D．2＋ 218．庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图①，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：1＝12＋122＋123＋…＋12n＋….图②也是一种无限分割：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将△ABC分成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn－2Cn－1Cn、….假设AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是__________．针对训练答案解析1.【答案】B[解析] 设这批米内夹谷约为x石，根据随机抽样事件的概率得x1534＝28254，解得x≈169.故选B.2.【答案】D[解析]如图，折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10－x，BC＝6, 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即x2＋62＝(10－x)2.3.【答案】B[解析]如图，由题意，得BC∥DE，从而△ABF∽△ADE，因此BFDE＝ABAD，即0.45＝55＋BD，解得BD＝57.5，所以井深为57.5尺．4.【答案】B[解析] 由题意知275L2h≈13πr2h，∴275L2≈13πr2，而L≈2πr，代入得π≈258.5.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝100，3x＋y3＝100[解析] 根据“大、小和尚共有100人”可得x ＋y ＝100；由“大和尚一人分3个”可知x 个大和尚共分得3x 个馒头，由“小和尚3人分一个”可知y 个小和尚共分得y3个馒头，根据“大、小和尚分100个馒头”可得3x ＋y3＝100，故可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，3x ＋y3＝100. 6.【答案】46[解析] 设这群人人数为x ，根据题意得7x ＋4＝9x －8，解得x ＝6，银子的数量为46两． 7.【答案】S △AEF ；S △CFM ；S △ANF ；S △AEF ；S △FGC ；S △CFM 8. 【答案】1.6[解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6.解得x ＝1.6.9. 解：当n ＝1时，a ＝12(m 2－1)①，b ＝m②，c ＝12(m 2＋1)③， 因为直角三角形有一边长为5，分情况如下：情况1：当a ＝5时，即12(m 2－1)＝5，解得m ＝±11(舍去)；情况2：当b ＝5时，即m ＝5，再将它分别代入①③得a ＝12×(52－1)＝12，c ＝12×(52＋1)＝13；情况3：当c ＝5时，即12(m 2＋1)＝5，m ＝±3，因m>0，所以m ＝3，把m ＝3分别代入①②得a ＝12×(32－1)＝4，b ＝3.综上所述，直角三角形的另两边长为12，13或3，4.10.解：设鸡有x 只，兔有y 只． 依题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝35，2x ＋4y ＝94，解得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝12.答：鸡有23只，兔有12只． 11.【答案】C 12.【答案】45 [解析] 如图，∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，∴大正方形边长AD ＝5，小正方形的边长EF ＝1.设DE ＝AF ＝x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE 2＋DE 2＝AD 2，∴(x ＋1)2＋x 2＝52，解得x 1＝－4(舍去)，x 2＝3，即DE ＝3，AE ＝3＋1＝4，∴cos θ＝cos ∠DAE ＝AE AD ＝45. 13.【答案】－3[解析] 根据题意可知正放表示正数，斜放表示负数，组合在一起表示相加，由正放2根，斜放5根组合在一起表示(＋2)＋(―5)＝－3. 14.【答案】2π[解析] 由题意知，莱洛三角形周长是半径为2，圆心角是60°的三段弧长的和，60π×2180×3＝2π.15.【答案】D[解析] 观察可得(a ＋b)n 的展开式中第三项的系数为n （n －1）2，因此，可得(a ＋b)20的展开式中第三项的系数为190.16.【答案】D[解析] 如图，∵圆锥的侧面展开图是个半圆，∴设这个半圆的半径为R ，则AC ＝R ，∴这个半圆的弧长为πR ，设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝πR ，得：R ＝2r ，∴AC ＝2r.由圆锥的母线AC ＝2r ，OC ＝r 得在Rt △AOC 中，h ＝AO ＝3r ，∵圆锥的体积等于9 3π，∴13πr2·3r ＝93π，∴r ＝3，h ＝AO ＝3r ＝33.17.【答案】D[解析] 因为Q 是△EDF 的布洛卡点，所以∠QDF ＝∠QFE ＝∠QED ，又因为∠QFD ＝45°－∠QFE ，∠QEF ＝45°－∠QED ，所以∠QFD ＝∠QEF ，所以△QDF ∽△QFE ，所以QF ∶EQ ＝DQ ∶QF ＝DF ∶EF ＝1∶2(△EDF 是等腰直角三角形)，所以DQ ∶QF ＝1∶2，其中DQ ＝1， 所以QF ＝2，且QF ∶EQ ＝1∶2，所以EQ ＝2，所以EQ ＋FQ ＝2＋ 2.故选D. 18.【答案】23＝32[1＋34＋(34)2＋(34)3＋…＋(34)n ＋…][解析] 根据三角形的面积来列出等式．由∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，可得三角形的面积为12×AC ×BC ＝12×2×2 3＝23.又因为三角形的面积可表示为n 个三角形的面积和，则可得到12×1×3＋12×32×32＋12×34×3 34＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n＋…＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n＋….所以根据面积相等得2 3＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n＋…。

第七单元扇形统计图7.1 扇形统计图的特点和绘制【基础巩固】一、选择题1．小红家上个月的工资总收入是8000元，如果按照下图进行支配，那么生活费约是（）元。

A．2000 B．1200 C．800 D．40002．下列信息中，最适合用扇形统计图表示的是（）。

A．小明6～12岁的身高变化B．牛奶的营养成分C．小红5次数学检测的成绩D．某班男生的体重3．近年来，西山区火力发展特色乡村游，位于团结街道某网红农庄种了三种树，其中有杨树400棵，槐树400棵。

玉兰树200棵。

下面统计图中能正确表示该农庄所种树木占比情况的是（）。

A．B．C．D．4．一个花坛内种了三种花，这三种花的面积分布如图：如果用条形统计图表示各种花占地面积，应是（）。

A．B．C．5．植树节当天，六（2）班学生共植树200棵（见图），下面说法正确的是（）。

A．松树植了45棵B．杨树比松树少植9棵C．桂花树棵数占植树总棵数的19%棵D．桂花树棵数占植树总棵数的19%二、填空题6．如图是某校教师喜欢看的电视节目统计图。

(1)喜欢《走近科学》的老师占老师总人数的( )%。

(2)喜欢《焦点访谈》和喜欢《大风车》的人数最简整数比是( )∶( )。

(3)喜欢( )节目的人数最少。

(4)若该校有150名老师，则喜欢新闻联播的老师有( )人。

7．如下图是光明小学四年级学生参加学校兴趣小组的情况统计图。

(1)参加美术组的人数占全年级人数的( )%。

(2)参加学校兴趣小组的四年级学生一共有( )人。

8．乐乐家10月份各种支出计划如下图。

(1)如果10月份计划支出2400元，那么食品支出( )元，教育支出( )元。

(2)如果计划服装支出300元，那么10月份的总支出是( )元。

9．下图是六年级参加兴趣小组的扇形统计图。

(1)六年级共有( )人。

(2)参加科技小组的有( )人，歌咏组的有( )人。

(3)参加歌咏组的比参加美术组的人数多( )人。

10．如图是某校图书馆三种书册数统计图，根据统计图完成统计表。

2023学年二轮复习解答题专题四十九：与数学文化有关的阅读理解典例分析例. （2022郑州二模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF=EF．证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT．∵DT，BT与⊙O相切∴… …，①∴BT=DT∵AB是半⊙O的直径，∠ADB=90°，②在△BDH中，BT=DT，得到∠TDB=∠TBD，可得∠H=∠TDH，∴BT=DT=HT．又∵DE∥BH，∴DFHT=AFAT，EFBT=AFAT∴EFBT=DFHT又∵BT=HT，∴DF=EF．任务：（1）请将①部分证明补充完整；（2）证明过程中②的证明依据是；（3）如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）CE=【解析】【分析】（1）通过DT、BT为切线，易得Rt△ODT≌Rt△OBT，从而可以继续证明；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）先根据∠EBD=60°，得到∠DBA=30°，由外角得到∠DOC=60°，△ODA为等边三角形，并求出OC、CD，再求出BD、ED，最后再Rt△EBC求出结果即可．【小问1详解】如图，连接OD，OT，∴∠ODT=∠OBT=90°，在Rt△ODT和Rt△OBT中，OD OB OT OT=ìí=î，∴Rt△ODT≌Rt△OBT（HL）；【小问2详解】直径所对的圆周角是直角；故答案为：直径所对的圆周角是直角．【小问3详解】如图，连接OD，CE，∵△BED 是等边三角形，∴∠EBD =60°，∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBA =90°，∴∠DBA =30°，∴∠DOC =60°，∵OD =OA ，∴△ODA 为等边三角形，∵OD =2，CD ⊥AB ，∴OC =12OA =1，DC∴BD =BE ，∵OB =2，∴BC =3，在Rt △EBC 中，由勾股定理得：CE ．【点睛】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的性质、利用相切转化直角并通过勾股定理求出线段是解题的关键．专题过关1. （2022济宁中考）知识再现：如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ．∵sin a A c =，sin b B c=∴sin a c A =，sin b c B=∴sin sin a b A B =（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ．请探究sin a A ，sin b B ，sin c C之间的关系，并写出探究过程．（2）解决问题：如图3，为测量点A 到河对岸点B 的距离，选取与点A 在河岸同一侧的点C ，测得AC ＝60m ，∠A ＝75°，∠C ＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A 到点B 的距离．【答案】（1）sin sin sin ab c A B CÐÐ==，证明见解析（2）【解析】【分析】拓展研究：作CD ⊥AB 于点D ，AE ⊥BC 于点E ，根据正弦的定义得AE = c sin B ，AE = b sin ∠BCA ，CD = a sin B ，CD = b sin ∠BAC ，从而得出结论；解决问题：由拓展探究知，sin sin AB AC C CBA=Ð 代入计算即可．【小问1详解】（拓展探究）证明：作CD ⊥AB 于点D ，AC ⊥BC 于点E ．在Rt ΔABE 中，sin AE AE B AB c==，同理：sin CD CD B BC a==，sin ,sin CD CD AE AE BAC BCA AC b AC bÐÐ====．sin ,sin ,AE c B AE b BCA Ð\==sin ,sin CD a B CD b BAC Ð==．sin sin ,sin sin c B b BCA a B b BAC ÐÐ\==．,sin sin sin sin b c a b B BCA BAC BÐÐ\==．sin sin sin a b c BAC B BCAÐÐ\==．【小问2详解】（解答问题）解：在ΔABC 中，180180756045.CBA A C ÐÐÐ=--=--=o o o o o ,sin sin AB AC C CBA=ÐQ ∴60sin 60sin 45AB \=o o解得：AB =答：点A 到点B 的距离为AB =．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出sin sin sin a b c BAC B BCA==ÐÐ是解题的关键．2. （2022兰州中考）综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A 沿圆周移动，直到AB AC =，在圆上标记A ，B ，C 三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A ，B 点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D 点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，连接AD ，BC 相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，链接AD ，BC 相较于点O ，即O 为圆心．（1）问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O ．如图3，点A ，B ，C 在O e 上，AB AC ^，且AB AC =，请作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB 和AC 不相等，用三角板也可以确定圆心O ．如图4，点A ，B ，C 在O e 上，AB AC ^，请作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）（3）拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A ，B ，C 是O e 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）作∠ABD =90°，　BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交 于点O ，即可；（2）作∠ABD =90°，　BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交 于点O ，即可；（3）作AB 的垂直平分线DE ，作AC 的垂直平分线MN ，DE 交MN 于O ，即可，则垂径定理得出确定圆心的理由即可．【小问1详解】解：如图所示，点O 就是圆的圆心．作∠ABD =90°，　BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交 于点O ，∵∠CAB =∠ABC =90°，∴BC 、AD 是圆的直径，∴点O 是圆的圆心．小问2详解】解：如图所示，点O 就是圆的圆心．作∠ABD =90°，　BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交 于点O ，∵∠CAB =∠ABC =90°，∴BC 、AD 是圆的直径，∴点O 是圆的圆心．【小问3详解】解：如图所示 ，点O就是圆的圆心．【作AB 的垂直平分线DE ，作AC 的垂直平分线MN ，DE 交MN 于O ，∵DE 垂直平分AB ，∴DE 经过圆心，即圆心必在直线DE 上，∵MN 垂直平分AC ，∴MN 经过圆心，即圆心必在直线MN 上，∴DE 与MN 的交点O 是圆心．确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．3. （2022台州中考） 图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD 各边上分别取点1B ，1C ，1D ，1A ，使111145AB BC CD DA AB ====，依次连接它们，得到四边形1111D C B A ；再在四边形1111D C B A 各边上分别取点2B ，2C ，2D ，2A ，使121212121145A B B C C D D A A B ====，依次连接它们，得到四边形2222A B C D ；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．图1（1）求证：四边形1111D C B A 是正方形；（2）求11A B AB的值；（3）请研究螺旋折线123BB B B …中相邻线段之间关系，写出一个正确结论并加以证明．【答案】（1）见解析 （2（3）螺旋折线123BB B B …，见解析【解析】【分析】（1）证明1111AB A BC B △≌△，则1111A B B C =，同理可证11111111B C C D D A A B ===，再证明有一个角为直角，即可证明四边形为正方形；（2）勾股定理求解11A B 的长度，再作比即可；（3）两个结论：螺旋折线123BB B B …中相邻线段的比均为；螺旋折线123BB B B …中相邻线段的夹角的度数不变，选一个证明即可，证明过程见详解．【小问1详解】在正方形ABCD 中，AB BC =，90A B Ð=Ð=°，的又∵111145AB BC CD DA AB ====，∴1115AA BB AB ==．∴1111AB A BC B △≌△．∴1111A B B C =，1111AB A BC B Ð=Ð．又∵111190BC B BB C Ð+Ð=°，∴111190BB C AB A Ð+Ð=°．∴11190A B C Ð=°．同理可证：11111111B C C D D A A B ===．∴四边形1111D C B A 是正方形．【小问2详解】∵111145AB BC CD DA AB ====，设5AB a =，则14AB a =．∴11B B AA a ==．∴由勾股定理得：11A B =．∴11A B AB ==【小问3详解】结论1：螺旋折线123BB B B …中相邻线段．证明：∵145AB AB =，∴115BB AB =．同理，121115B B A B =．…∴11211B B AB B B A B ==．同理可得1223B B B B =，…的∴螺旋折线123BB B B …．结论2：螺旋折线123BB B B …中相邻线段的夹角的度数不变．证明：∵12111214B B B B BC B C ==，11190A B C ABC Ð=Ð=°，∴11122BB C B B C ∽△△，∴11122BB C B B C Ð=Ð．同理得：122233B B C B B C Ð=Ð，∵11222390C B B C B B Ð=Ð=°，∴11112122223BB C C B B B B C C B B Ð+Ð=Ð+Ð，即12123BB B B B B Ð=Ð．同理可证123234B B B B B B Ð=Ð=×××．∴螺旋折线123BB B B …中相邻线段的夹角的度数不变．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定是解题的关键．4. （2022张家界中考） 阅读下列材料：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，求证：a sinA =b sinB ．证明：如图1，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则：在Rt △BCD 中，CD =asinB在Rt △ACD 中，CD =bsinA∴asinB =bsinA ∴a sinA =b sinB根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，求证：b sinB =c sinC ；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A =67°，∠B =53°，AC =80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)21.【答案】(1)证明：如图2，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，AD =csinB ，在Rt △ACD 中，AD =bsinC ，∴csinB =bsinC ，∴b sinB =c sinC ；(2)解：如图3，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵∠BAC =67°，∠B =53°，∴∠C =60°，在Rt △ACE 中，AE =AC ⋅sin60°=80×2=，又∵AC sinB =BC sin ∠BAC ，即800.8=BC 0.9，∴BC =90m ，∴S△ABC =12×90×m 2).【解析】(1)根据题目提供的方法进行证明即可；(2)根据(1)的结论，直接进行计算即可．本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．5.（2022郑州枫杨外国语二模） 在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项．（比例中项的定义：如果a 、b 、c 三个量成连比例即::a b b c =，则b 叫做a 和c 的比例中项）（1）为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“己知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图，A 是圆O 外一点，AB 是圆O 的切线，直线ACD 为圆O 的割线．求证：证明：（2）已知2AC =，4CD =，则AB 的长度是 ．【答案】（1）2AB AC AD =×，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据比例中项的定义写出“求证”， 连接BO 并延长交O e 于点E ，连接,,BC BD CE ，先根据圆的切线的性质可得BE AB ^，再根据圆周角定理可得90,BCE E ADB Ð=°Ð=Ð，从而可得ABC ADB Ð=Ð，然后根据相似三角形的判定证出ABC ADB V :V ，根据相似三角形的性质即可得证；（2）先根据线段和差求出6AD =，再根据（1）的结论即可得．【小问1详解】求证：2AB AC AD =×．证明：如图，连接BO 并延长交O e 于点E ，连接,,BC BD CE ，AB Q 是O e 的切线，BE AB \^，90ABC EBC \Ð+Ð=°，由圆周角定理得：90,BCE E ADB Ð=°Ð=Ð，90ADB EBC E EBC \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ABC ADB \Ð=Ð，在ABC V 和ADB △中，ABC ADB BAC DAB Ð=ÐìíÐ=Ðî，ABC ADB \V :V ，AB AC AD AB\=，2AB AC AD \=×．【小问2详解】解：2AC =Q ，4CD =，6AD AC CD \=+=，由（1）已证：2AB AC AD =×，22612AB \=´=，解得AB =或0AB =-<（不符题意，舍去），故答案为：【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．6. （2022驻马店六校联考三模）复习巩固切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圓相切，我们把这条直线叫做圓的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l 1为⊙O 的切线割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l 2为⊙O 的割线切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.阅读材料《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圓的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程已知：如图2，A 是⊙O 外一点， ．求证： [提示]辅助线可先考虑作⊙O 的直径DE ．【答案】AD 是⊙O 的切线，直线ABC 为⊙O 的割线；2AD AB AC =g ；证明见解析．【解析】【分析】按照题设要求，写出“已知”和“求证”，然后证明△ABD ∽△ADC ，即可求解．【详解】解：（已知：如图，A 是⊙O 外一点，）AD 是⊙O 的切线，直线ABC 为⊙O 的割线．求证：2AD AB AC =g ．故答案为：AB 是⊙O 的切线，直线ACD 为⊙O 的割线，2AD AB AC =g ．证明：连接BD ，连接DO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，∵AD 是⊙O 的切线，∴90ADB BDE Ð+Ð=°，∵DE 是圆的直径，∴90DBE E BDE Ð=°=Ð+Ð，∴ADB E Ð=Ð，又∵E C Ð=Ð，∴ADB C Ð=Ð，∵BAD DAC Ð=Ð，∴△ABD ∽△ADC ，∴AB AD AD AC=，∴2AD AB AC =g ．【点睛】本题主要考查了切线的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等以及相似三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键．7.（2022河南商城一模） 弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有非常重要的作用，为了说明弦切角定理的正确性，小明同学进行了以下探索过程：问题的提出：若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．问题的证明：（只证明劣交角即可）（1）请将不完整的已知和求证补充完整，并写出证明过程；已知：如图1，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，过点B 作 ．求证：∠ABD ＝ ．（2）如图2，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，AD 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，交DA 的延长线于点C ，若AD ＝BC ，AC ＝2，求⊙O 的半径．【答案】（1）O e 的切线DE ，∠C ，证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据弦切角的定义，进行填空即可，如图1，连接OA OB OC 、、，由题意知90OBD ABD OBA Ð=°=Ð+Ð，OAB OBA Ð=Ð，OCA OAC Ð=Ð，OCB OBC Ð=Ð，有90ABD OBA Ð=°-Ð，在ABC V 中根据三角形内角和定理等找出角度的数量关系90OCA OCB OBA Ð+Ð=°-Ð，然后证明即可；（2）如图2，连接BD ，由（1）可知ABC CDB Ð=Ð，DC AC AD AC BC =+=+，ABC BDC ∽△△，有AC BC BC DC=，求解满足要求的BC 值，进而可得半径．【小问1详解】解：由题意知： 已知：如图1，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，过点B 作 O e 的切线DE ．求证：∠ABD ＝C Ð．证明：如图1，连接OA OB OC 、、，由题意知90OBD ABD OBA Ð=°=Ð+Ð，OAB OBA Ð=Ð，OCA OAC Ð=Ð，OCB OBCÐ=Ð∴90ABD OBAÐ=°-Ð∵180OAB OBA OCA OAC OCB OBC Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°∴222180OCA OCB OBA Ð+Ð+Ð=°∴90OCA OCB OBAÐ+Ð=°-Ð∵90ACB OCA OCB OBAÐ=Ð+Ð=°-Ð∴ABD ACBÐ=Ð即结论得证．故答案为： O e 的切线DE ，∠ABD ＝C Ð．【小问2详解】解：如图2，连接BD ，由（1）可知ABC CDB Ð=Ð，DC AC AD AC BC=+=+∴ABC BDC∽△△∴AC BC BC DC=∴22BC BC BC =+解得1BC =+ 或1BC =（不符合题意，舍去）∴22AD BC r ===∴⊙O ．【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形相似等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．8. （2022商丘二模） 请阅读下列材料，并完成相应的任务．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图1，AB AB 与O e 相切于点A ．当圆心O 在弦AC 上时，容易得到90CAB Ð=°，所以弦切角90BAC D Ð=Ð=°．如图2，AB 与O e 相切于点A ．当圆心O 在BAC Ð的外部时，过点A 作直径AF 交O e 于点F ，连接FC ．∵AF 是直径，∴90ACF Ð=°，∴90CFA FAC Ð+Ð=°，∵AB 与O e 相切于点A ，∴90FAB Ð=°，∴90CAB FAC Ð+Ð=°；∴CAB CFA Ð=Ð．（1）如图3，AB 与O e 相切于点A ，当圆心O 在BAC Ð的内部时，过点A 作直径AD 交O e 于点D ，在 AC 上任取一点E ，连接,,EC ED EA ，求证：CEA CAB Ð=Ð；（2）如图3，已知O e 的半径为1，弦切角130CAB Ð=°，求 AC 的长．【答案】（1）见解析（2）59p 【解析】【分析】（1）根据直径的性质及切线的特点即可求解；（2）先求出 AC 的圆心角度数，利用弧长公式即可求解．【详解】（1）∵AD 是O e 的直径∴∠DEA =90°∵AB 与O e 相切于点A ，∴∠DAB =90°∵∠CED =∠CAD∴∠CED +∠DEA =∠CAD +∠DAB∴CEA CABÐ=Ð（2）如图，连接CO∵130CAB Ð=°∴1309040CAD Ð=°-°=°∴180240100COA Ð=°-´°=°∴ AC 的长=1001180p ´=59p ．【点睛】此题主要考查切线的性质与弧长的求解，解题的关键是熟知切线的性质定理、弧长公式的运用．9. （2022三门峡一模）请阅读材料，并完成相应的任务．在数学探究课上，同学们发现改变图1中圆周角APB Ð的顶点P 的位置，可以得到类似1APB Ð和2AP B Ð这样顶点在圆外和圆内的角．结合数学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边都与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内的角叫做圆内角，如图1，1APB Ð和2AP B Ð分别是AB 所对的圆外角和圆内角．如图2，点A ，B 在O e 上，APB Ð为 AB 所对的一个圆外角．AP ，BP 分别交O e 于点C ，D ．若120AOB Ð=°， CD所对的圆心角为50°，求APB Ð的度数．探索小组的解题过程（部分）如下：解：如图2，连接AD ，OC ，O D ．∵ADB Ð是 AB 所对的圆周角，且120AOB Ð=°，∴1602ADB AOB Ð=Ð=°．…任务：（1）将探索小组的解题过程补充完整；（2）如图3，当点P 在O e 内时，APB Ð AB 所对的一个圆内角，延长AP 交O e 于点C ，延长BP 交O e 于点D ，若设AOB m Ð=°， CD所对的圆心角为n °，则∠APB 的度数为______．【答案】（1）见解析 （2）2m n +æöç÷èøo【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠60ADB °=，∠25PAD °=，再根据三角形外角的性质求解即可；（2）和（1）的思路相同即可求解．【小问1详解】连接,,AD OC OD ，如图2，∵∠ADB 是 AB 的圆周角，且∠120AOB °=∴∠1602ADB AOB °=Ð=∵∠50COD °=∴∠11502522PAD COD °°=Ð=´=∵∠ADB 是△ADP 外角∴∠602535APB ADB PAD °°°=Ð-Ð=-=；【小问2详解】连接,,AD OC OD ，如图3∵∠ADB 是 AB 的圆周角，且∠AOB m°=∴∠1122ADB AOB m °=Ð=∵∠COD n °=∴∠111222PAD COD n n °°=Ð=´=∵∠APB 是△ADP 外角∴∠1()2APB ADB PAD m n °°=Ð+Ð=+=2m n +æöç÷èøo 故答案为：2m n +æöç÷èøo【点睛】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，以及三角形外角的性质，正确识别图形是解答本题的关键，这种探究性问题，通常按照题目的顺序逐次求解，一般容易解答．的的10. （2022南阳内乡一模）弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有非常重要的作用，为了说明弦切角定理的正确性，小明同学进行了以下探索过程：问题的提出：若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．问题的证明：（只证明劣交角即可）（1）请将不完整的已知和求证补充完整，并写出证明过程；已知：如图1，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，过点B 作 ．求证：∠ABD ＝ ．（2）如图2，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，AD 为⊙O 直径，BC 切⊙O 于点B ，交DA 的延长线于点C ，若AD ＝BC ，AC ＝2，求⊙O 的半径．【21题答案】【答案】（1）O e 的切线DE ，∠C ，证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据弦切角的定义，进行填空即可，如图1，连接OA OB OC 、、，由题意知90OBD ABD OBA Ð=°=Ð+Ð，OAB OBA Ð=Ð，OCA OAC Ð=Ð，OCB OBC Ð=Ð，有90ABD OBA Ð=°-Ð，在ABC V 中根据三角形内角和定理等找出角度的数量关系90OCA OCB OBA Ð+Ð=°-Ð，然后证明即可；的（2）如图2，连接BD ，由（1）可知ABC CDB Ð=Ð，DC AC AD AC BC =+=+，ABC BDC ∽△△，有AC BC BC DC=，求解满足要求的BC 值，进而可得半径．【小问1详解】解：由题意知： 已知：如图1，直线l 与⊙O 相交于点A ，B ，过点B 作 O e 的切线DE ．求证：∠ABD ＝C Ð．证明：如图1，连接OA OB OC 、、，由题意知90OBD ABD OBA Ð=°=Ð+Ð，OAB OBA Ð=Ð，OCA OAC Ð=Ð，OCB OBCÐ=Ð∴90ABD OBAÐ=°-Ð∵180OAB OBA OCA OAC OCB OBC Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°∴222180OCA OCB OBA Ð+Ð+Ð=°∴90OCA OCB OBAÐ+Ð=°-Ð∵90ACB OCA OCB OBAÐ=Ð+Ð=°-Ð∴ABD ACBÐ=Ð即结论得证．故答案为： O e 的切线DE ，∠ABD ＝C Ð．【小问2详解】解：如图2，连接BD ，由（1）可知ABC CDB Ð=Ð，DC AC AD AC BC=+=+∴ABC BDC∽△△∴AC BC BC DC=∴22BC BC BC =+解得1BC =+ 或1BC =（不符合题意，舍去）∴22AD BC r ===∴⊙O ．【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形相似等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．11. （2022洛阳伊川一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．已知：如图①，过O e 外一点P 作O e 的两条割线，一条交O e 于A 、B 点，另一条交O e 于C 、D 点．求证：PA PB PC PD ×=×．证明一：连接AD 、BC ，∵A Ð和C Ð为 BD所对的圆周角，∴______．又∵P P Ð=Ð，∴______，∴______．即PA PB PC PD ×=×．研究后发现，如图②，如果连接AC 、BD ，即可得到学习过的圆内接四边形ABDC ．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．证明二：连接AC 、BD ，【答案】证明一：A C Ð=Ð，ADP △∽CBP V ，AP DP CP BP=；证明二见解析【解析】【分析】（1）证明ADP △∽CBP V 即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质可得PBD ACD Ð=Ð，进一步证明ACP △∽DBPV 【详解】解：证明一：连接AD 、BC ，∵A Ð和C Ð为 BD所对的圆周角，∴A C Ð=Ð．又∵P P Ð=Ð，∴ADP △∽CBP V ，∴AP DP CP BP=．即PA PB PC PD ×=×．故答案为：A C Ð=Ð，ADP △∽CBP V ，AP DP CP BP =，证明二：连接AC 、BD ，∵四边形ABDC 为圆内接四边形，∴180ABD ACD Ð+Ð=°，又∵180ABD PBD Ð+Ð=°，∴PBD ACD Ð=Ð，又∵P P Ð=Ð，∴ACP △∽DBP V ，∴AP CP DP BP=，即PA PB PC PD ×=×．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．12. （2022河南邓州二模）（1）[教材呈现]圆周角定理推论：90°的圆周角所对的弦是直径．如图①，已知：A 、B 、C 三，点在O e 上，90ACB Ð=°求证：AB 为O e 直经．证明：∵AB 为圆周角ACB Ð所对的弦，AOB Ð为圆周角ACB Ð所对应的圆心角∴12ACB AOB Ð=Ð，且90ACB Ð=°∴180AOB Ð=°……（）∴点O 在线段AB 上，即三点共线．则AB 为O e 的直径．上述推理：得180AOB Ð=°，依据为_____________．（2）[小试牛刀]如图②，A 、B 、C 三点在O e 上且90ACB Ð=°，过点A 作AD 垂直O e 的切线CD 于点D ，若4AC =，3BC =．求AD 的长．（3）[拓展应用]如图③，已知ABC V 是等边三角形，以AC 为底边在ABC V 外作等腰直角ACD △，点E 为BC 的中点，连接DE ，请直接写出ADE DEC Ð+Ð的度数．【答案】（1）圆周角定理（2）165（3）105°【解析】【分析】（1）根据圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，解答即可；（2）连接AB ，OC ，先证AB 是⊙O 的直径，即点O 在AB 上，再由勾股定理求出AB 长，再证△ADC ∽△ACB ，得出AD AC AC AB=，代入即可求解；（3）连接AE ，利用圆周角定理推论，证明A ，E ，C ，D 在以AC 为直径的圆上，然后由等边三角形的性质、等腰直角三角形性质与圆周角定理，求出∠ADE =60°，∠DEC =45°，代入即可求解．【详解】解：（1）证明：∵AB 为圆周角ACB Ð所对的弦，AOB Ð为圆周角ACB Ð所对应的圆心角，∴12ACB AOB Ð=Ð，且90ACB Ð=°∴180AOB Ð=°……（圆周角定理）∴点O 在线段AB 上，即三点共线．则AB 为O e 的直径．上述推理：得180AOB Ð=°，依据为圆周角定理．故答案为：圆周角定理；（2）如图①，连接AB ，OC ，∵90ACB Ð=°∴AB 是⊙O 的直径，即点O 在AB 上，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ，在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB5==，∵CD是⊙O的的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=，即445AD=，∴AD=16 5，（3）如图②，连接AE，∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵△ACD为等腰直角三角形，∴∠ADC=90°，由（1）可知A，E，C，D在以AC为直径的圆上，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ADE=∠ACB=60°，∵△ACD为等腰直角三角形，∴∠DAC=45°，∴∠DEC =∠DAC =45°，∴∠ADE +∠DEC =60°+45°=105°．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13. （2022山西三模）阅读下列材料，并完成相应的任务．用对称思想解决几何问题对称思想是一种借助“形”或“式”的对称关系来解决数学问题的思想方法．通过研究线段、角、等腰三角形及一些特殊四边形等平面图形的时称性质，我们得到启发，可以运用对称思想来巧妙地解决一类几何问题．下面以两个例题来说明．例1．如图1，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，15ABC Ð=°，6AB =，求ABC V 的面积．解题思路：可作辅助线，延长AC 到点M 使CM AC =，连接BM ，过点M 作MN AB ^于点N ．先求出MN 的长，再求出ABM V 的面积，从而求出ABC V 的面积．例2．如图2，ABC V 中，135BAC Ð=°，AH 是ABC V 的高线，且3BH =，2CH =，求ABC V 的面积．解题思路：分别作点H 关于AB ，AC 的对称点D ，F ，连接AD ，BD ，AF ，CF ，延长BD 和CF 交于点E ．可证V V ≌ADB AHB ，®==V V ≌AFC AHC AD AF AH ，BD BH =，CF CH =，90Ð=Ð=Ð=Ð=°ADB AHB AFC AHC ，Ð=ÐBAD BAH ，Ð=ЮCAF CAH 判定四边形ADEF 的形状→判定BCE V 的形状→设AH x =，并列方程求解．任务：（1）请根据例1的解题思路，写出解答过程．（2）填空：例2中四边形ADEF 的形状为____________；例2中ABC V 的面积为__________．【答案】（1）92（2）正方形；52【解析】【分析】（1）根据题目所给思路解题补充完整即可；（2）根据题目所给思路解题补充完整即可．【小问1详解】解：延长AC 到点M 使CM AC =，连接BM ，过点M 作MN AB ^于点N ．∵AC CM BCM BCABC BC =ìïÐ=Ðíï=î()ABC MBC SAS D @D ∴156MBC ABC AB BM Ð=Ð=°==∴，30ABM \Ð=°132MN BM ==∴1119632242ABC S AB MN D éù=×=´´=êúëû∴【小问2详解】解：分别作点H 关于AB ，AC 的对称点D ，F ，连接AD ，BD ，AF ，CF ，延长BD和CF 交于点E ．∵AH AD DAB HABAB AB =ìïÐ=Ðíï=î()ADB AHB SAS D D ∴≌∴BAD BAH Ð=Ð，同理()AFC AHC SAS D D ≌∴CAF CAHÐ=Ð135BAC Ð=°Q 360290DAF BAC Ð=°-Ð=°∴90ADB AHB AFC AHC Ð=Ð=Ð=Ð=°∵，AD AF AH==∴四边形ADEF 是正方形∵3BD BH ==，2CF CH ==，设AH x=222BE EC BC +=即，()()()2223232x x +++=+解得：1216x x ==-，（舍去）1AH \=1522ABC S BC AH D =×=∴【点睛】本题主要考查图形对称的性质、三角形的全等、勾股定理，正确理解题意是解题的关键．14. （2022运城二模）阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB 是一条定线段，且90APB Ð=°，则所有满足条件的直角顶点P 组成的图形是定边AB 为直径的O e （直径两端点A 、B 除外）（1）已知：如图2，四边形ABCD 是边长为8的正方形，点E 从点B 出发向点C 运动，同时点F 从点C 出发以相同的速度向点D 运动，连接AE ，BF 相交于点P ．①当点E 从点B 运动到点C 的过程中，APB Ð的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出APB Ð的度数．②当点E 从点B 运动到点C 的过程中，点P 运动的路径是（ ）A. 线段；B. 弧；C. 半圆；D. 圆③点P 运动的路经长是_____．（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP，请直接写出E、F运动过程中，CP的最小值．【答案】（1）①90°；②B；③2π；-（2）4【解析】Ð=90°始终成【分析】（1）①由题意可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质可得APB立；②根据题目所给材料可以推得点P运动的路径是一条以AB为直径的圆弧；③根据弧长公式计算即可；（2）设AB的中点为O，连接OC，与⊙O交于点Q，则CQ的长度即为所求CP的最小值．【小问1详解】①如图，由题意可得在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，BE=CF，∴△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∴∠BEA+∠CBF=∠BEA+∠BAE=90°，∴∠APB=90°；②∵E、F刚出发时，P点即点B，E、F到达终点时，P点即AC与BD的交点G，∴由题中所给材料可以得到：。

7.1条件概率及全概率公式考法一条件概率【例1-1】（2023·云南）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件A 为“选取的两名学生性别相同”，事件B 为“选取的两名学生为男生”，则()|P B A =（）A ．14B ．34C ．13D ．23【例1-2】（2024·陕西汉中）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（）A ．0.25B ．0.4C ．0.5D ．0.6【一隅三反】1．（2024·辽宁）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A ：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B ：“两家选择景点不同”.则概率()P B A =（）A ．23B ．59C ．45D ．892．（2024·全国·高二假期作业）现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件A =“第一次摸球摸出黑球”，事件B =“第二次摸球摸出白球”，则()P B A =（）A ．625B ．825C ．35D ．453．（2024·北京）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为1331，下雨的概率为1131，既刮风又下雨的概率为731.记事件A 为“8月份某天刮风”，事件B 为“8月份某天下雨”，则()P B A =（）A ．711B ．713C ．731D ．11314．（2024·江西）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点相同”，则()P B A 等于（）A ．111B ．211C ．19D ．29考法二条件概率性质【例2-1】（2024·湖北）已知A ，B 是一个随机试验中的两个事件，若()12P A B =，()13P B A =，则()()()P AB P AB P AB +等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6【例2-2】（2023上·高二课时练习）下列式子成立的是（）A ．()()P AB P B A =∣∣B ．()01P BA <<∣C ．()()()P AB P A P BA =⋅∣D ．()()()P AB P B P BA =⋅∣【例2-3】（2023·云南保山）（多选）,AB 为随机事件，已知()0.5P A =，()0.3P B =，下列结论中正确的是（）A ．若,AB 为互斥事件，则()0.8P A B +=B ．若,A B 为互斥事件，则()0.8P A B +=C ．若,A B 相互独立，则()0.65P A B +=D ．若()|0.3P B A =，则,A B 相互独立【一隅三反】1．（2024·广西）（多选）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且1()2P A =，11()24P B =，7(24P AB AB +=，则下列结论中正确的是（）A ．1()8P AB =B ．5()6P A B +=C ．9()11|P A B =D ．()||)(P A B P B A =2．（2024·福建）（多选）已知随机事件,,A B C 满足()01P A <<，()01P B <<，()01P C <<，则下列说法正确的是（）A ．不可能事件∅与事件A 互斥B ．必然事件Ω与事件A 相互独立C ．()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣D ．若()()||P A B P A B =，则()()12P A P A ==3．（2024下·全国·高二随堂练习）（多选）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为1A ，“第一次取得白球”为2A ，“第二次取得黑球”为1B ，“第二次取得白球”为2B ，则（）A ．()()1122P AB P A B =B ．()()1221P A B P A B =C ．()()11211P B A P B A +<∣∣D ．()()21121P B A P B A +>∣∣4．（2023·河南平顶山）（多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机取出一个球，若取到红球，则往口袋里再放入一个白球，若取到白球，则往口袋里再放入一个红球，取出的球不放回.像这样取两次球，设事件()1,2i A i =为“第i 次取到红球”，事件()1,2j B j =为“第j 次取到白球”，事件C 为“两次取到的球颜色相同”，则（）A ．1A 与2A 相互独立B ．()2135P B A =∣C ．()12825P B A =D ．()825P C =考法三全概率公式【例3-1】（2024·黑龙江）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为P ，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数P 的值为（）A．0.9B．0.85C．0.8D．0.75【例3-2】（2024·河南南阳）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A．521B．940C．745D．720【一隅三反】1．（2024·黑龙江）小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A．0.24B．0.14C．0.077D．0.0672．（2024·全国·高二假期作业）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（）A．0.48B．0.52C．0.56D．0.653．（2023·湖北）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、5箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（）A．29B．38C．112D．584．（2023·湖北）（多选）某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则王同学（）A．第二天去甲游乐场的概率为0.63B．第二天去乙游乐场的概率为0.42C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为23D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为135．（2024·陕西汉中）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为．考法四贝叶斯公式【例4】（2024·福建）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为13和23，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为34，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为12，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（）．A．37B．47C．15D．45【一隅三反】1．（2024湖南）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占13，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占14，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（）A．14B．13C．12D．232．（2023·全国·高二课堂例题）张宇去某地参加会议，他乘汽车或飞机去的概率分别为0.6、0.4．如果他乘汽车或飞机前去，迟到的概率如图所示．结果他迟到了，求张宇乘的是汽车的概率．3．（2023·湖南）某一地区患有某疾病的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是患者的概率有多大？（保留小数点后四位）考法五综合运用【例5-1】（2024·吉林）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.【例5-2】（2023·河北保定）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.【一隅三反】1．（2023下·安徽芜湖·高二统考期末）（多选）一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和2个白球，每次从中不放回地取出一球，现取出2个球，则下列说法正确的是（）A．两个都是红球的概率为625B．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为12C．第二次取到红球的概率为3 5D．第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为122．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）（多选）已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有一个1号球，一个2号球和两个3号球；2号盒子内装有一个1号球，两个3号球；3号盒子内装有两个1号球，三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为12B．第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为1 4C．第二次抽到2号球的概率为3 16D．如果第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大3．（2023下·湖北武汉·高二校联考期末）某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.(1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；(2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；(3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？一．单选题1．（2024·北京昌平）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）A ．22.5%B ．30%C ．40%D ．75%2．（2023·广东肇庆）已知()0.5P A =，()0.3P B =，()0.1P B A ⋂=，求()|P B A =（）A ．110B ．13C ．15D ．13．（2023·山东德州）掷一个均匀的骰子．记A 为“掷得点数大于2”，B 为“掷得点数为奇数”，则()P B A 为（）A ．56B ．34C ．23D ．124．（2023下·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）某货车为某书店运送书籍，共10箱，其中5箱语文书、3箱数学书、2箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．385．（2024下·全国·高二随堂练习）袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（）A ．14B ．16C ．110D ．256．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）下列各式中不能判断事件A 与事件B 独立的是（）A ．()()()P A B P A P B ⋂=B ．()()()()()P A B P A P B P A P B =+- C ．()()1P A B P A +=D ．()()1P A B P A B +=7．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）下列有关事件的说法正确的是（）A ．事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大B ．若()()()1P A B P A P B =+= ，则事件A ，B 为对立事件C ．若A ，B 为互斥事件，则()()1P A P B +≤D ．若事件A ，B ，C 满足条件()0P B >，A 和C 为互斥事件，则()()()()P A C B P A B P C B <+∣∣∣ 8．（2023下·浙江台州·高二统考期末）已知()P A ，()P B ，()P C ，()P AC ，()P AB ，()P BC 均大于0，则下列说法不正确的是（）A ．()()()P AB P A P B =B ．若()()P B A P B =，则()()P A B P A =C ．若()()P B A P A B =，则()()P A P B =D ．()()()()P ABC P A P C A P B AC =二．多选题9．（2023·吉林长春·）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件=i A “第i 次取球，取到白球”，事件i B =“第i 次取球，取到正品”，1,2i =．则下列结论正确的是（）A ．()1123P A B =B ．()212P B =C ．()2113P A B =D ．()2134P B A =10．（2024·全国·高二假期作业）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出的两球不同色”，则（）A ．A 与B 互斥B ．C 与D 互为对立事件C ．A 与C 相互独立D ．()13P D B =11．（2023下·山东聊城·高二统考期末）若A 、B 分别为随机事件A 、B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列结论正确的是（）A ．()()1P B A P B A +=B ．()()()()P A B P B P B A P A=C ．()()()P A B P A B P B +=D ．若()()P A B P A =，则()()P B A P B =12．（2024·河南）深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人选择社团一样的概率为19B ．三人选择社团各不相同的概率为227C ．至少有两人选择篮球社的概率为727D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57三．填空题13．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率是0.6，超过20岁的概率是0.2.那么该地区内，一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是.14．（2023上·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出的两球不同色”，则以下命题所有正确的序号是.①A 与B 互斥②C 与D 互为对立事件③A 与C 相互独立④1(|)3P D B =15．（2024下·全国·高二随堂练习）甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件:A 甲和乙选择的景点不同，事件:B 甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率()P B A =；16．（2023下·河北张家口·高二统考期末）已知离散型随机事件A ，B 发生的概率()0.3P A =，()0.4P B =，若()0.5P A B =，事件A ，B ，A B +分别表示A ，B 不发生和至少有一个发生，则()P B A B +=，()P A B A B ++=.四．解答题17．（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是0.8，0.9，0.7．现从这10个球中任取1个球，设事件B 为“取得的球是合格品”，事件123,,A A A 分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．(1)求(),1,2,3i P A i ；(2)求()P B ．18．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.(1)求这个零件是次品的概率；(2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.19．（2023下·福建泉州·高二校考期末）在,,A B C 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%5%4%，，的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人(1)求这个人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人选自A 地区的概率.20．（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A ，B 两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．(1)如果A 同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；(2)如果A 同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B 同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．21．（2024·全国·高二假期作业）2023年FIBA世界杯届时在印度尼西亚、日本以及菲律宾进行小组赛的角逐，而决赛阶段的比赛将集中在菲律宾首都马尼拉进行，这届世界杯是首次在多个国家举办的世界杯，也为我们呈现了许多扣人心弦的比赛．(1)球员甲每次投篮，选择投两分球的概率为23，命中率为45；投三分球的概率为13，命中率为23，求球员甲每次投篮命中的概率；(2)“大心脏”通常形容篮球员在最后时刻有良好的心理素质，以高命中率进行得分．在比赛最后几分钟内，乙有三次投篮机会，第一投篮的命中率为0.5，从第二次开始，每次投中的命中率会发生改变，若前一次投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次未投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加0.15，求乙在第三次投中的概率．22．（2023上·山东日照·高二日照一中校考阶段练习）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A（123i ，，）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．(1)求()P B的值：(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．。

专题7.1数列的概念与简单表示练基础1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n =a n-1+a n-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于（）A ．6B ．7C ．8D ．92．（2021·全国高二课时练习）下列说法错误的是（）A ．递推公式也是数列的一种表示方法B ．a n =a n-1，a 1=1(n ≥2)是递推公式C ．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法D ．a n =2a n-1，a 1=2(n ≥2)是递推公式3．（2019·绥德中学高二月考）数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2015S =A ．1008B ．2015C ．1008-D ．504-4．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列{}n x 中，212n n n x x x +++≤，1n ≥，设其前n 项和为n S ，则下列命题正确的是（）A ．()1012110x x x x -≥-B ．1101011099x x S x x +≤≤+C ．122kk x x x +≤D ．若11n n n x x n +-=+，则1(1)2n n n n S nx ++>-5．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）数列{}n a 的首项13a =，且122n n a a -=-()2n ≥，则2021a =（）A ．3B ．43C ．12D ．2-6．（2021·河南高二三模（理））分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n 行黑圈的个数为n a ，则6a =（）A ．55B ．58C ．60D ．627．（2021·河南高三其他模拟（文））数列{}n a 满足递推公式21++=+n n n a a a ，且12a a =，201920202020a a ⋅=，则222122019a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．1010B ．2020C ．3030D ．40408.（2019·浙江高考模拟）已知数列{}n a 满足10a >，114a =，2112n n n a a a +=+，数列{}n b 满足0n b >，112b a =，21112n n n b b b ++=+，*n N ∈若存在正整数(),m n m n ≤，使得14m n b b +=，则（）A．10,12m n ==B．9,11m n ==C．4,6m n ==D．1,3m n ==9.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2019S =______．10.（山东省单县第五中学月考）数列{}n a 的通项()()*10111nn a n n N ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.练提升1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列{}n a 满足123232nn a a a na ++++= ，则239101229444a a a a a a +++ 的值为（）A ．710B ．1310C ．95D ．9202．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即2t）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 中必存在值为1的项．若01a =，则5a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．43.（2021·辽宁高二月考）设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n +=∈N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,3]B ．(1,3)C ．()2,3D ．3(1,24．（2021·全国高三其他模拟（理））大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（）A ．1270a =B ．1384a =C ．当n 为偶数时，1121n n n S S S n +--+=+D ．当n 为奇数时，()1121n n n S S S n n +--+=>5．（2020·四川高一期末（理））已知数列{}n a 满足2*12222()n n a a a n n N +++=∈ ，2211log log n n n b a a +=⋅，n S 为数列{}n b 的前n 项和.若对任意实数λ，都有n S λ<成立，则实数λ的取值范围为（）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．1(,)2+∞D ．1[,)2+∞6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））已知数列{}n a ，{}n b ，其中数列{}n a 满足()*5n n a a n +=∈N ，前n 项和为n S 满足()112nn n n S a =-+()316n n +-≤≤；数列{}n b 满足：11b =，且对任意的m ､*n N ∈都有：n m n m b b b nm +=++，则数列2n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第47项的值为（）A ．384B ．47C ．49D ．3767．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知数列{}n a 满足：1n a n=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，()ln 1n n n a b a +=，下列命题正确的是（）A ．11ln n n n a a n ++⎛⎫<<⎪⎝⎭B ．数列{}n b 是递增数列C ．202120201ln 2021S S ->>D ．ln 2ln 3n b ≤<8．【多选题】（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{}n a ，121a a ==，()123n n n a a a n --=+≥，边长为斐波那契数n a 的正方形所对应扇形面积记为()*n b n ∈N ，则（）A ．()2233n n n a a a n -+=+≥B ．123201920211a a a a a +++⋅⋅⋅+=+C ．()2020201920182021π4b b a a -=⋅D ．123202*********π4b b b b a a +++⋅⋅⋅+=⋅9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列{}n a 满足()211232222n n n a a a a n n N *+++⋯+⋅∈﹣＝.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若51n n S a λ-≥恒成立，求实数λ的取值范围.10．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列{}n a 中，12a =，1(1)()2(1)n n n n a a a n ++-=++.（1）求2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n a 的通项公式是1n a n =+，21n a n =+，2n a n n =+中的一个，设数列1{}na 的前n 项和为n S ，1{}n n a a +-的前n 项和为n T ，若360nnT S >，求n 的取值范围．练真题1．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+==∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．100332S <<B ．10034S <<C ．100942S <<D ．100952S <<2.（2019·浙江高考真题）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈,则（）A．当101,102b a =>B．当101,104b a =>C．当102,10b a =->D．当104,10b a =->3．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I 理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（）A．11010 B．11011C．10001D．110015．（2020·全国高考真题（文））数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =______________.6.（2021·全国高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.。

专题07 数列专题（数学文化）一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（ ）． A ．一尺五寸 B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸【答案】B【分析】十二个节气日影长构成一个等差数列{}n a ，利用等差数列通项公式、前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出芒种日影长． 【详解】由题意知：∴从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{}n a ，设公差为d ，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，∴147191393159898552a a a a d S a d ++=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得1135a =，10d =−， ∴芒种日影长为12111135111025a a d =+=−⨯=（寸）2=尺5寸．故选：B2．（2022秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的2倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是16，则该洞窟的浮雕像的总个数为（ ） A ．1016 B ．512 C ．128 D ．1024【答案】A【分析】设从上到下第()N ,17n n n *∈≤≤层的浮雕像个数为n a ，分析可知数列{}n a 为等比数列，且公比为2，根据已知条件求出1a 的值，利用等比数列求和公式可求得结果.【详解】设从上到下第()N ,17n n n *∈≤≤层的浮雕像个数为n a ，由题意可知，数列{}n a 为等比数列，且该数列的公比为2，由已知可得3222216a a a a −=−=，可得216a =，故2182a a ==， 因此，该洞窟的浮雕像的总个数为()78128127101612−=⨯=−.故选：A.3．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的13是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．30【答案】B【分析】设五个人所分得的面包为2a d −，a d −，a ，a d +，2a d +，（其中0d >），则由总和为100可求得20a =，再由较大的三份之和的13是较小的两份之和，可得123d a =，从而可求出d ，进而可求出2a d −【详解】设五个人所分得的面包为2a d −，a d −，a ，a d +，2a d +，（其中0d >）， 则有()()()()225100a d a d a a d a d a −+−+++++==， ∴20a =，由()232a a d a d a d a d ++++=−+−，得()33323a d a d +=−； ∴123d a =， ∴5d =．∴最少的一份为2201010a d −=−=. 故选：B4．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有2块筒瓦，以下每一层均比上一层多2块筒瓦，如果侧面共有11层筒瓦且顶部4个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？（ ）A ．440B ．484C ．528D ．572【答案】C【分析】由题意知每层筒瓦数构成等差数列{}n a，由等差数列求和公式可求得每一面的筒瓦总数，由此可得四个侧面筒瓦总数.【详解】一个侧面中，第一层筒瓦数记为2，自上而下，由于下面每一层比上一层多2块筒瓦，∴每层筒瓦数构成等差数列{}n a，其中12a=，2d=.一个侧面中共有11层筒瓦，∴一个侧面筒瓦总数是()1111111221322⨯−⨯+⨯=，∴顶层四个侧面筒瓦数总和为1324528⨯=.故选：C.5．（2023·全国·高三专题练习）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，2n放置在n行n列()3n≥的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（）图1 图2A．91B．169C．175D．180【答案】C【分析】根据“幻和”的定义，将自然数1至2n 累加除以n 即可得结果. 【详解】由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为12 (49)1757+++=.故选：C6．（2022·全国·高三专题练习）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：121a a ==，()*123,.n n n a a a n n N −−=+≥∈ 已知2222123mma a a a a ++++是该数列的第100项，则m =（ ）A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】B【分析】根据题意推出2121a a a =，222321a a a a a =−，L ，211m m m m m a a a a a +−=−， 利用累加法可得211mi m m i a a a +==∑，即可求出m 的值.【详解】由题意得，2121a a a =，因为12n n n a a a −−=−，得222312321()a a a a a a a a =−=−，233423432()a a a a a a a a =−=−，L ，21111()m m m m m m m m a a a a a a a a +−+−=−=−，累加，得222121m m m a a a a a ++++=，因为22212m ma a a a +++是该数列的第100项，即1m a +是该数列的第100项，所以99m =. 故选：B.7．（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第50层球的个数为（ ）A ．1255B ．1265C ．1275D ．1285【答案】C【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的个数与层数的关系，得到(1)2n n n a +=，进而求解结论．【详解】解：设各层球的个数构成数列{}n a ，由题意可知，11a =，21212a a =+=+，323123a a =+=++，⋯，1123n n a a n n −=+=+++⋯+， 故(1)1232n n n a n +=+++⋯+=， 50505112752a ⨯∴==， 故选：C ．8．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间1[0,]3和2[,1]3；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：1[0,]9，21[,]93，27[,]39，8[,1]9；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】根据三分康托集的构造过程可知：经历第n 步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度都是13n⎛⎫⎪⎝⎭，根据规律即可求出20212022属于1112,133n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯−⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进而根据不等式可求解.【详解】20212022不属于剩下的闭区间，20212022属于去掉的开区间经历第1步，剩下的最后一个区间为2[,1]3，经历第2步，剩下的最后一个区间为8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……，经历第n步，剩下的最后一个区间为1113n⎡⎤⎛⎫−⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，去掉的最后开区间为1112,133n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯−⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由120111121320223n n⎛⎫⎛⎫−⨯<<−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4044320223nn⎧>⎨<⎩，解得7n=故选:A9．（2022春·江苏南通·高二统考期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A．333B．335C．337D．341【答案】B【分析】根据给定条件，求出230的全部整数和，再求出2到30的全部素数和即可计算作答.【详解】2到30的全部整数和123029464 2S+=⨯=，2到30的全部素数和22357111317192329129S=+++++++++=，所以剔除的所有数的和为464129335−=.故选：B10．（2022·全国·高三专题练习）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．则下列埃及分数113⨯、135⨯、157⨯、L、120212023⨯的和是（）A．20222023B．20232022C．10112023D．20231011【答案】C【分析】利用裂项相消法可求得结果.【详解】当N n *∈时，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=− ⎪−+−+⎝⎭，因此，11111111111111335572021202323355720212023⎛⎫++++=−+−+−++− ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1110111220232023⎛⎫=−=⎪⎝⎭. 故选：C.11．（2022春·四川资阳·高一统考期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，书中有这样一个问题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传．据此，前五个孩子共分得的棉花斤数为（ ） A ．362 B ．430 C ．495 D ．645【答案】C【分析】设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列{}n a ，由题设求得其首项与公差，即可求得结果． 【详解】解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列{}n a ， 由题意知：公差17d =， 又12381878179962a a a a a ⨯+++⋯+=+⨯=，解得165a =， 故412351545455651749522a a a a a d a ⨯⨯++=+=⨯⨯=+++. 故选：C ．12．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（ ） A ．壬午年 B ．辛丑年C ．己亥年D ．戊戌年【答案】A【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合1001010÷=，1001284÷=，分别求出100年后天干为壬，地支为午，得到答案.【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于1001010÷=，余数为0，故100年后天干为壬，由于1001284÷=，余数为4，故100年后地支为午，综上：100年后的2122年为壬午年.故选：A13．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所以论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，……则该数列的第8项为（）A．99B．131C．139D．141【答案】D【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为x，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：根据规律补全：由图可得341295yx y−=⎧⎨−=⎩，则14146xy=⎧⎨=⎩.故选：D14．（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之粟9斗，猪主曰：“我猪食半羊．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了（）斗．A ．35B ．95C ．3D ．215【答案】B【分析】转化为等比数列进行求解，设出未知数，列出方程，求出马主人比猪主人多赔偿了斗数. 【详解】由题意得：猪、羊、马、牛的主人赔偿的粟斗数成等比数列，公比为2， 设猪的主人赔偿的粟斗数为x ， 则2489x x x x +++=，解得：35x =，故马主人赔偿的粟斗数为1245x =， 所以马主人比猪主人多赔偿了斗数为1239555−=. 故选：B15．（2021秋·河南商丘·高二校联考期中）《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军2由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军80由旬到达地方城市.下列说法正确的是（ ） A ．前四天共行1877由旬 B ．最后三天共行53由旬C ．从第二天起，每天比前一天多行的路程为237由旬 D ．第三天行了587由旬 【答案】D【分析】由题意，每天行军的路程{}n a 为等差数列，且12a =，780S =，利用基本量1,a d 表示可得227d =，依次分析，即得解 【详解】由题意，不妨设每天行军的路程为数列{}n a ，则12a =又以后每天均比前一天多行相同的路程，故{}n a 构成一个等差数列，不妨设公差为d 七天一共行军80由旬，即780S = 故71767802S a d ⨯=+=，解得227d =4143188427S a d ⨯=+=，A 错误；567741883728077a a a S S ++=−=−=，B 错误； 由于227d =，故从第二天起，每天比前一天多行的路程为227由旬，C 错误；31225822277a a d =+=+⨯=，D 正确 故选：D16．（2022·全国·高三专题练习）“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n⎛⎫− ⎪⎝⎭万元，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【分析】先依次求出各层货物总价，再利用裂项抵消法进行求解. 【详解】由题意，得第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元， 第三层货物总价为293()10⨯万元，……，第n 层货物总价为19()10n n −⨯万元.设这堆货物总价为y 万元， 则21999123()()101010n y n −=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 23999992()3()()1010101010n y n =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， 两式相减，得2311999991+()()()()101010101010n n y n −=+++⋅⋅⋅+−⨯，即91()199910()1010()()910101010110nn n n y n n −=−⋅=−⨯−⋅−，则999100100()10()=100(10010)()101010n n ny n n =−⨯−⋅−+⨯，令99100(10010)()=100200()1010n ny n =−+⨯−⨯，得10n =. 故选：B.17．（2021秋·吉林松原·高二长岭县第三中学校考阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，则当42m =时，则使1n a =需要的雹程步数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】B1n a =使得需要多少步雹程.【详解】解：根据题意，当42m =，根据上述运算法则得出42→21→64→32→16→8→4→2→1， 所以共需经过8个步骤变成1，故使1n a =需要的雹程步数为8. 故选：B18．（2022·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n −−=+≥∈N .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则其中不正确结论的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=−C ．1352121n n a a a a a −++++=−D ．()121)4(3n n n n c c a n a π−−+−≥=⋅【答案】C【分析】A 选项由前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形即可判断；B 选项由()*123,n n n a a a n n −−=+≥∈N 结合累加法即可判断；C 选项通过特殊值检验即可；D 选项表示出221111,44n n n n c a c a ππ−−==，作差即可判断. 【详解】由题意知：前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形，其面积为()211111n n n n n n n S a a a a a a +++++=+=+，A 正确；32143221,,,n n n a a a a a a a a a ++=+=+=+，以上各式相加得，()34223112()n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++，化简得2212n n a a a a a +−=+++，即1221n n a a a a ++++=−，B 正确；12345613561,2,3,5,8,817a a a a a a a a a a ======∴++=≠−=，C 错误；易知221111,44n n n n c a c a ππ−−==，()()()221111214()(3)n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a n πππ−−−−−+∴−=−=−+=≥，D 正确.故选：C.19．（2023·全国·高三专题练习）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n 代“勾股树”中所有正方形的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2022n S >恒成立，则n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】根据第1代“勾股树”，第2代“勾股树”中，正方形的个数，以此类推，得到第n 代“勾股树”中所有正方形的个数，即n a ，从而得到n S 求解.【详解】解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为11321+=−，第2代“勾股树”中，正方形的个数为21721+=−，…， 以此类推，第n 代“勾股树”中所有正方形的个数为121n +−，即121n n a +=−，所以()24122412n n n S n n +−=−=−−−，因为0n a >，所以数列{}n S 为递增数列， 又810122022S =<，920352022S =>， 所以n 的最小值为9． 故选：C ．20．（2022·海南省直辖县级单位·“贾宪三角”，后被南宋数学家杨辉引用、n 维空间中的几何元素与之有巧妙联系、例如，1维最简几何图形线段它有2个0维的端点、1个1维的线段：2维最简几何图形三角形它有3个0维的端点，3个1维的线段，1个2维的三角形区域；……如下表所示.从1维到6维最简几何图形中，所有1维线段数的和是（ ）A ．56B ．70C ．84D ．28【答案】A【分析】根据题意可得1n n a a n −−=，可求得()12n a n n +=，即可求解. 【详解】设从1维到n 维最简几何图形的1维线段数构成数列{}n a ， 由题意可得21312a a −=−=，32633a a −=−=，431064a a −=−=，…， 以此类推，可得1n n a a n −−=， 所以()()()121321n n n a a a a a a a a −=+−+−++−()11232n n n +=++++=，所以12345613610152156a a a a a a +++++=+++++=. 故选：A.21．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，通项公式为221,2,2n n n a n n ⎧−⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若把这个数列{}n a 排成下侧形状，并记),A m n 表示第m 行中从左向右第n 个数，则()9,5A 的值为（ ）A ．2520B ．2312C ．2450D ．2380【答案】D【分析】确定()9,5A 在数列{}n a 中的项数，结合数列{}n a 的通项公式可求得结果.【详解】由题可知，设数阵第n 行的项数为n b ，则数列{}n b 是以1为首项，公差为2的等差数列， 数列{}n b的前8项和为87182642⨯⨯+⨯=，所以，()9,5A 是数列{}n a 的第64569+=项，因此，()26919,523802A −==.故选：D.22．（2022·全国·高三专题练习）在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列{}()N n a n *∈中，其前n 项和不可能为1028的数列是（ ） (参考公式：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=)A ．1028n a n =+B ．2744125n a n n =−+C ．127(1)45n n a n +=−−D ．1122n n a −=+【答案】A【分析】利用等差数列、等比数列的前n 项和公式以及参考公式求数列{}n a 前n 项和n S ，令1028n S =，看是否有正整数解即可判定选项A 、B 、D 的正确性；通过分类讨论分别求出2k S 和21k S −，然后可得到20k S <，令211028k S −=，看是否有正整数解即可选项C 的正确性． 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 对于A ：由等差数列的前n 项和公式，得： 1()(533)10282n n n a a S n n +==+=， 因为方程无正整数解，即选项A 错误；对于B ：不妨令24n b n =，74125n c n =−+， 数列{}n b 和{}n c 的前n 项和分别为n T 和n Q ， 则n n n a b c =+，n n n S T Q =+，由参考公式和等差数列的前n 项和公式，得： 22(1)(21)4(123)3n n n n T n ++=++++=，21()44625n n n c C Q n n +==−+， 所以22(1)(21)446102835n n n n n n S T Q n n ++=+=−+=，解得*10N n =∈，即选项B 正确； 对于C ：①当*N )2(n k k =∈时， 222222271234(21)(2)245n k S S k k k ==−+−++−−−⨯ 14(3741)045kk =−+++−−<，故此时1028n S ≠； ②当()*21N n k k =−∈时， 22222222171234(23)(22)(21)(21)45n k S S k k k k −==−+−++−−−+−−− 27(3745)(21)(21)45k k k =−++⋅⋅⋅+−+−−− 2(1)(345)7(21)(21)245k k k k −+−=−+−−−27232(21)45k k k =−+−− 令27232(21)102845k k k −+−−=，解得23k =， 即223145n =⨯−=时，1028n S =， 即选项C 正确；对于D ：由等比数列的前n 项和公式可知，1(12)112110281222n n n S n n ⨯−=+=+−=−，解得*10N n =∈，即选项D 故选：A ．23．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（ ） A ．200 B ．210C ．220D ．242【答案】C【分析】由数列奇数项的前几项可归纳出奇数项上的通项公式，从而得到答案.【详解】根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、40，有22221357113151710,4,12,24,2222a a a a −−−−========⋯故其奇数项上的通项公式为21,2n n a −=故221211=2202a −=， 故选：C24．（2022春·云南红河·高二弥勒市一中校考阶段练习）斐波那契数列（Fibonacci Sequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ） A ．5052022B ．2522022C ．5042022 D ．14【答案】A【分析】依次写出数列各项除以3所得余数，寻找后可得结论.【详解】根据斐波那契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，…，余数数列是周期数列，周期为8，202225286=⨯+，所以数列的前2022项中能被3整除的项有25221505⨯+=，所求概率为5052022P =， 故选A ．25．（2022·高二课时练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n n a ，则6a =（ ）A ．55B ．58C ．60D ．62【答案】A【分析】n a 表示第n 行中的黑圈个数，设n b 表示第n 行中的白圈个数，由题意可得112,n n n n n n a a b b a b ++=+=+，根据初始值，由此递推，不难得出所求.【详解】已知n a 表示第n 行中的黑圈个数，设n b 表示第n 行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，∴112,n n n n n n a a b b a b ++=+=+， 又∵110,1a b ==; 221,1a b ==;332113112a b =⨯+==+=，; 442328,325a b =⨯+==+=;5528521,8513a b =⨯+==+=; 62211355a =⨯+=,故选：A.26．（2022·全国·高三专题练习）如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（N n ∈，从左数第1根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线:1l y x =+交于点n A （n x ，n y ）和n B （n x '，n y '），则200n nn y y ='=∑( ) 参考数据：取221.18.14=.A ．814B ．900C ．914D ．1000【答案】C【分析】求出n n y y '、 ，用错位相减法求和即可.【详解】由条件可得()2020011920011.11 1.12 1.120 1.121 1.1n n nn n y y n =='=+=⨯+⨯++⨯+⨯∑∑①，所以2012202101.11 1.12 1.120 1.121 1.1n nn y y ='⨯=⨯+⨯++⨯+⨯∑②，－②得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.121 1.121 1.11 1.1=−'−⨯=+++−⨯=−⨯−∑n nn y y ，2121221 1.10.121 1.11 1.118.1491.40.10.10.1−+⨯⨯++====−−−−，所以20914n nn y y ='=∑. 故选：C.27．（2022秋·陕西渭南·高二校考期中）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA '，BB '，CC '，DD '是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中1DD ，1CC ，1BB ，1AA 是举，1OD ，1DC ，1CB ，1BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为110.5DD OD =，111CC k DC =，121BBk CB =，131AA k BA =，已知1k ，2k ，3k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则2k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】B【分析】设1111OD DC CB BA ===，则可得关于2k 的方程，求出其解后可得正确的选项 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则10.5,DD =111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有21230.1,0.1k k k k −=+=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以20.530.7254k +=，故20.8k =， 故选：B28．（2022秋·陕西咸阳·高二校考阶段练习）《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里”．在上述问题中，此马第二天所走的路程大约为（ ） A ．170里 B ．180里C ．185里D ．176里【答案】D【分析】根据题意，可知此马每天走的路程形成等比数列，利用等比数列的前n 项和公式求得基本量，从而得解.【详解】由题意得，设这匹马的第n 天走的路程为n a ，则有112n n a a +=，7700S =， 所以数列{}n a 是12q =的等比数列， 故71112700112a ⎡⎤⎛⎫−⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=−，解得1350128127a ⨯=，所以21175128176.4127a a q =⨯=≈． 故选：D.29．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第n 行有n 个数且两端的数均为()12n n≥，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如111111111,,1222363412=+=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则第8行第4个数（从左往右数）为（ ）A ．1280B ．1168C ．1140D ．1105【答案】A【分析】利用“莱布尼兹调和三角形”的性质，依次运算即可. 【详解】设第n 行第m 个数为(),a n m ，则()15,15a =，()16,16a =，()17,17a =，()18,18a =，故()()()16,25,16,130a a a =−=，()()()17,26,17,142a a a =−=，()()()18,27,18,156a a a =−=，()()()17,36,27,2105a a a =−=，()()()18,37,28,2168a a a =−=，()()()18,47,38,3280a a a =−=， 故选：A.二、多选题30．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（ ） A ．将这1864人派谴完需要16天 B ．第十天派往筑堤的人数为134 C ．官府前6天共发放1467升大米D ．官府前6天比后6天少发放1260升大米 【答案】ACD【分析】记数列{}n a 为第n 天派遣的人数，数列{}n b 为第n 天获得的大米升数，依题意可得{}n a 是以64为首项，7为公差的等差数列，{}n b 是以192为首项，21为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算可得；【详解】解：记数列{}n a 为第n 天派遣的人数，数列{}n b 为第n 天获得的大米升数，则{}n a 是以64为首项，7为公差的等差数列，即757n a n =+，{}n b 是以192为首项，21为公差的等差数列，即21171n b n =+，所以106479127a =+⨯=，B 不正确.设第k 天派遣完这1864人，则()716418642k k k −+=，解得16k =（负值舍去），A 正确； 官府前6天共发放6519262114672⨯⨯+⨯=升大米，C 正确， 官府前6天比后6天少发放211061260⨯⨯=升大米，D 正确. 故选：ACD31．（2022秋·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）若正整数m ．n 只有1为公约数，则称m ，n 互质，对于正整数k ，ϕ（k ）是不大于k 的正整数中与k 互质的数的个数，函数ϕ（k ）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()21ϕ=，(3)2ϕ=，(6)2ϕ=，(8)4ϕ=．已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互质，那么()()()mn m n ϕϕϕ=，例如：(6)(2)(3)ϕϕϕ=，则（ ） A ．(5)(8)ϕϕ=B ．数列(){}2n ϕ是等比数列 C ．数列(){}6nϕ不是递增数列D ．数列()16nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于35【答案】ABD【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】(5)4,(8)4,(5)(8)ϕϕϕϕ==∴=，A 对；∵2为质数，∴在不超过2n 的正整数中，所有偶数的个数为12n −， ∴()11222=2ϕ−−−=nnn n 为等比数列，B 对；∵与3n 互质的数为1,2,4,5,7,8,10,11,,32,3 1.−−n n共有11(31)323n n −−−⋅=⋅个，∴1(3)23,ϕ−=⋅n n又∵()6=(2)(3)ϕϕϕn n n =126−⋅n ，∴()6ϕn一定是单调增数列，C 错；()1626nn ϕ−=⋅，()16nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为 111263131156516nn n S ⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==−<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦−，D 对. 故选：ABD ．32．（2022·全国·高三专题练习）我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走970.5里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（ ） A ．长安与齐国两地相距1530里 B ．3天后，两马之间的距离为328.5里 C ．良马从第6天开始返回迎接驽马 D ．8天后，两马之间的距离为377.5里 【答案】AB【分析】A, 设良马第n 天行走的路程里数为n a ，驽马第n 天行走的路程里数为n b ，求出良马和驽马各自走的路程即得A 正确；B ，计算得到3天后，两马之间的距离为328.5里，即可判断B 正确； C,计算得到良马前6天共行走了1353里1530<里，故C 不正确；D ，计算得到8天后，两马之间的距离为390里，故D 不正确.【详解】解：设良马第n 天行走的路程里数为n a ，驽马第n 天行走的路程里数为n b ，则。

【方法综述】关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.【解答策略】类型一、取材数学游戏游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念.例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为.【答案】【解析】由题意可知：将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，44，233，377，610，987，……该数列的一个规律是，第4，8，12，16，……4n项是3的倍数；甲同学报数的序数是1，6，11，16，……，5m-4；甲同学报的数为3的倍数，依次为第15，35，55，75，95位数，共5个，所以，甲同学拍手的总次数是5次.【指点迷津】以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏.例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识.本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力.【举一反三】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，,11,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则 （Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n ＋1（n ∈N+）位回文数有______个. 【答案】910n⨯()21n n ++∈N 位回文数与()22n n ++∈N 位回文数个数相等，均为910n ⨯个. 类型二、取材数学名著如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有关的数学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养. 例2、我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =，且1210a a a <<<，若485i a M =，则i =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】C 【解析】【指点迷津】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n na d n a S，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.学*科网【举一反三】【辽宁省丹东市2019届高三测试（一)】我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（）A．0.9升B．1升C．1.1升D．2.1升【答案】B【解析】依题意得，故，即，解得，故升.故选B.类型三、取材数学名题数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联，数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一.例3、【江西省南昌市2019届高三第一次模】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )A．4072 B．2026 C．4096 D．2048【答案】A【解析】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选：A．【指点迷津】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【举一反三】【广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三3月调研】2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由时，，可得，时，，可得,排除，由，可排除,故选C.类型四、取材数学推理数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识和思想方法.例4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C【指点迷津】合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).【举一反三】【湖北省恩施州2019届高三2月检测】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（）A．9 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项，公差的等差数列，该问题中的1864人全部派遣到位的天数为，则，依次将选项中的值代入检验得，满足方程，故选B.类型五、取材数学图形例5、一幅图胜过一千字，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，图形不仅包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形较小的锐角为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的边长为，小正方形边长为.设四个全等的直角三角形的长直角边为，则短直角边为由勾股定理得，解得为直角三角形较小的锐角，所以所以【举一反三】1.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取，立方寸=升，则商鞅铜方升的容积约为（）A．升B．升C．升D．升【答案】B【解析】由三视图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，（如图所示）故其体积（立方寸），（升），故选:B2.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三二模】牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义是函数零点近似解的初始值，过点的切线为，切线与轴交点的横坐标，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数，满足应用上述方法，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，切线斜率，切线方程，令，得，切线斜率，切线方程，令，得，切线斜率，切线方程，令，得，故选D项类型六、取材数学文化与现代科学：数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景，抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息.例6、【福建省2019届高考适应（三)】习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为，则山高约为______米.（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：.【答案】【解析】过C做CM⊥BD于M,CN⊥AD于N,设BM=h,则CM=,解得h=20(),∴BD=h+20【指点迷津】1.命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.2.注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.【举一反三】【河北省沧州市2019年高考模拟】中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：，当且仅当，即时等号成立.综上可得，输出的中最大的一个数为.本题选择D选项.【强化训练】一、选择题1．【河南省八市重点高中2019届高三第二次测评】《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗，则下列判断正确的是（）A．且B．且C．且D．且【答案】B【解析】由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，由等比数列的性质可得．故选：B．2．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )A．23 B．32 C．35 D．38【答案】C【解析】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为，其中公差，，即，解得，故选C.3．【陕西省宝鸡中学2019届高三一模】我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是A．24里B．36里C．48里D．60里【答案】B【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，．所以此人第4天和第5天共走了里，故选B．4．【河北省沧州市2019年高考模拟】中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：，当且仅当，即时等号成立.综上可得，输出的中最大的一个数为.本题选择D选项.5．【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，，两式相减得，则,解得，故选D.6．【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为AD的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设是中点，连接，由于分别是中点，是三角形的中位线，故，所以是两条异面直线所成的角.根据鳖臑的几何性质可知.故，在三角形中，由余弦定理得，故选C.7．【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设为第等人的得金数，则为等差数列，由题设可知，，故，而，故选C．8.【北师大实验中学2019届高三二模】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，p＝10，S8，∴此三角形面积的最大值为8．故选：C．9．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，因此，又由题意可得，所以，因此；延长交于，记，，则，所以；又由题意易知，则，在三角形中，由正弦定理可得，即，因此，，所以，因为，所以，即，整理得，所以.故选D10．【山东省济南市2019届高三3月模拟】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体：① ② ③ ④图①是底面直径和高均为的圆锥；图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为的正四棱锥；图④是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】A【解析】几何体是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为，切线对应的横坐标为，切线为，即，横截面面积图①中的圆锥高为1，底面半径为，可以看成由直线绕轴旋转得到横截面的面积为.所以几何体和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选A项.11．【山西省吕梁市2019年高考模拟】孔明锁，也叫鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它是用6根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是其中3根木条的三视图，记这3根木条的体积分别为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由题意可知几何体是正四棱柱去掉部分棱柱的几何体，由题意可知V1＝32﹣8＝24；V2＝32﹣10＝22；V3＝32﹣6＝26，这3根木条的体积分别为V1，V2，V3，满足V2＜V1＜V3．故选：C．二、填空题12.【福建省2019届高三模拟】我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为__________．【答案】【解析】【分析】利用四分之一圆的面积和直角三角形面积公式求得阴影部分的面积，进而求得圆柱的体积.【详解】表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是，所以区域的面积为，所以圆柱的体积.13．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三第一学期期中】九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．【答案】【解析】设牛、马、羊的主人应赔偿的斗栗分别为x,y,z.由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，则，羊的主人应赔偿斗粟；牛主人比羊主人多赔偿斗粟．故答案为：；．14．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．【答案】120【解析】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为，其公差为，前项和为.根据题意可知，，法一：，，.法二：，解得所以15．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三一模】太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为___________.【答案】【解析】如图，作出直线：，当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，此时圆心到直线的距离等于半径1，即：.解得：16．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米__________斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率）【答案】【解析】,圆柱形容器体积为,所以此容器能装斛米．17．【江苏省南通市通州区2019届高三下期末】对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．【答案】【解析】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知，则，则三角形的面积，，，则三角形的面积，当且仅当a=b=取等即这个直角三角形面积的最大值等于，故答案为：．。