(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略专题三三角函数、解三角形与平面向量第3讲平面向量练习理

第3讲 平面向量) (等于ABC ∠，则⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝BC →，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝BA →已知向量)课标全国丙(2016·．1 A ．30° B．45° C．60° D．120°答案 A，1＝|BC →|，1＝|BA →∵| 解析 30°.＝ABC ∴∠，32＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝ABC cos∠ ，则)n ＋m t ⊥(n 若.13〉＝n ，m 〈cos ，|n 3|＝|m 4|满足n ，m 已知非零向量)山东(2016·．2实数t 的值为( )94．－D 944 C.．－4 B ．A 答案 B2|n |〉＋n ，m 〈|cos n ||m |t ∴，0＝2n ＋n ·m ·t ，即0＝)n ＋m t ·(n ∴，)n ＋m t ⊥(n ∵ 解析 B.，故选4＝－t ，解得0＝2|n |＋13×2|n |34×t ，由已知得0＝ 3．(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连)(的值为BC →·AF →，则EF 2＝DE ，使得F 并延长到点DE 接 58．－A 18B. 14C. 118D.答案 B .DF →＋AD →＝AF →如图所示， 解析 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ，AB →12＝AD →，所以EF 2＝DE 且 DF →DE →12＋DE →＝EF →＋DE →＝ ，AC →34＝DE →32＝ .AC →34＋AB →12＝AF →所以 ，AB →－AC →＝BC →又 )AB →－AC →·(⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝BC →·AF →则 AB →·AC →34－2AC →34＋2AB →12－AC →·AB →12＝ .AB →·AC →14－2AB →12－2AC →34＝ ，60°＝BAC ∠，1＝|AC →|＝|AB →|又 .18＝12×1×1×14－12－34＝BC →·AF →故 故选B. 4．(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋．________的最大值是b ·a ，则6|≤e ·b |12答案 解析 由已知可得： 6，|e )·b ＋a |(＝|e ·b ＋e ·a |≥|e ·b |＋|e ·a ≥| 由于上式对任意单位向量e 都成立．成立．|b ＋a ≥|6∴ .b ·a 2＋22＋21＝b ·a 2＋2b ＋2a ＝2)b ＋a ∴6≥( .12≤b ·a ∴，b ·a 2＋6≥5即1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．＝θtan ，则b ∥a ，若1)，θ(cos ＝b ，)θcos ，θ(sin 2＝a ，向量π2<θ0<设(1) 1例______.)(，则CD →3＝BC →所在平面内一点，ABC △为D 设)课标全国乙(2)(2016· AC →43＋AB →13＝－AD →A. AC →43－AB →13＝AD →B. AC →13＋AB →43＝AD →C. AC →13－AB →43＝AD →D. (2)A 12(1) 答案 解析 (1)因为a ∥b ，.θ2cos ＝θcos θ2sin ，θ2cos ＝θsin 2所以 ，π2<θ0<因为 所以cos θ>0，.12＝θtan ，θcos ＝θ2sin 得 ，)AC →－AD →3(＝AB →－AC →∴，CD →3＝BC →(2)∵ .AC →43＋AB →13＝－AD →∴，AD →3＝AB →－AC →4即 思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中)(等于μ＋λ，则BC →μ＋AB →λ＝AO →点，若 1 ．A 12B. 13C. 23D. )(等于EF →的一个三等分点，那么BC 是F 的中点，点DC 是E 中，点ABCD 如图，正方形(2)AD →13－AB →12A. AD →12＋AB →14B. DA →12＋AB →13C. AD →23－AB →12D. 答案 (1)D (2)D，BC →13＋AB →＝BD →＋AB →＝AD →(1)∵ 解析 ，BC →13＋AB →＝AO →∴2 .BC →16＋AB →12＝AO →即 .23＝16＋12＝μ＋λ故 .CF →＋EC →＝EF →中，有CEF △在(2) .DC →12＝EC →的中点，所以DC 为E 因为点 .CB →23＝CF →的一个三等分点，所以BC 为F 因为点 DA →23＋AB →12＝CB →23＋DC →12＝EF →所以 D.，故选AD →23－AB →12＝ 热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ.2．三个结论.x2＋y2＝a·a ＝|a |，则)y ，x (＝a 若(1) ，则)2y ，2x (B ，)1y ，1x (A 若(2) .x2－x12＋y2－y12＝|AB →| 的夹角，b 与a 为θ，)2y ，2x (＝b ，)1y ，1x (＝a 若(3) .x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22＝a·b |a||b|＝θcos 则 AD→·AB →，则2＝BP →·AP →，PD →3＝CP →，5＝AD ，8＝AB 中，已知ABCD 如图，在平行四边形(1) 2例的值是________．) (的夹角为b ，a ，则向量2＝－b )·b ＋a 3(，且|b 2|＝|a |，⎝⎛⎭⎪⎫cos π12，cos 5π12＝b 若(2) π3A.2π3B. 5π6C. π6D. 答案 (1)22 (2)C＝AB →－AB →14＋AD →＝AB →－AP →＝BP →，AB →14＋AD →＝DP →＋AD →＝AP →，AB →14＝DC →14＝DP →，得PD →3＝CP →由(1) 解析 2.＝2AB →316－AB →·AD →12－2AD →，即2＝)AB →34－AD →)·(AB →14＋AD →(，所以2＝BP →·AP →因为.AB →34－AD → 22.＝AD →·AB →，所以64＝2AB →，25＝2AD →又因为 5π122cos ＋π122cos＝2b (2) ，1＝π122sin ＋π122cos ＝所以|b |＝1，|a |＝2.，2＝－2b ＋a·b 3，可得2＝－b )·b ＋a 3(由 .3＝－a·b 故 .32＝－－32×1＝a·b |a||b|〉＝b ，a 〈cos 故 C.，故选5π6〉＝b ，a ，所以〈π]，∈[0〉b ，a 又〈 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．方AB →在AD →的方格点图的位置如图所示，则向量1在边长为D ，C ，B ，A 已知点(1) 2跟踪演练向上的投影为( )55．－A1．－B 21313．－C 55D. DC→·DE →；________的值为CB →·DE →边上的动点，则AB 是E ，点1的边长为ABCD 已知正方形(2)的最大值为________．答案 (1)A (2)1 1＝AB →，2,3)－(＝AD →为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A 不妨以点(1) 解析.55＝－－225＝AD →·AB →|AB →|方向上的投影为AB →在AD →，所以向量(4,2) 故选A.(2)方法一 分别以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，，－(0＝CB →，1)，－t (＝DE →，则∈[0,1]t ，0)t,(E ，设(0,1)D ，(1,1)C ，(1,0)B ，0)，(0A 则 1.＝1)，－1)·(0，－t (＝CB →·DE →，所以1) ，≤1t ＝1)·(1,0)，－t (＝DC →·DE →，所以(1,0)＝DC →因为 1.的最大值为DC →·DE →故 方法二 由图知，，1＝|·1CB →|＝CB →·DE →∴，1＝CB 方向上的投影都是CB →在DE →点在哪个位置，E 无论 ，1＝DC 方向上的投影最大即为DC →在DE →点时，B 运动到E 当 1.＝|·1DC →|＝max )DC →·DE →∴( 热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．．)R ∈x (x cos x sin 32＋x 22cos ＝)x (f 已知函数 3例 的单调递增区间；)x (f 时，求函数)π2，∈[0x 当(1) (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sinA )与向量n ＝(2，sinB )共线，求a ，b 的值．，1＋)π6＋x 2sin(2＝1＋x sin 23＋x cos 2＝x sin 23＋x 22cos ＝)x (f (1) 解 ，Z ∈k ，πk 2＋π2≤π6＋x π≤2k 2＋π2令－ ，Z ∈k ，π6＋πk ≤x ≤π3－πk 解得 ，)π2，∈[0x 因为 ．]π6，[0的单调递增区间为)x (f 所以 ，2＝1＋)π6＋C 2sin(2＝)C (f 由(2)，12＝)π6＋C sin(2得 ，)13π6，π6∈(π6＋C 2，所以π)，∈(0C 而 .π3＝C ，解得π56＝π6＋C 2所以 因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，.12＝sin A sin B 所以 ①，12＝a b 由正弦定理得 ，π3cos ab 2－2b ＋2a ＝2c 由余弦定理得 9.②＝ab －2b ＋2a 即 .32＝b ，3＝a ，解得①②联立 思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sinx )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )．(1)求函数f (x )的单调递减区间；的值．αsin ，求22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α2f 若(2) 解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )．x2cos －x cos x 2sin ＋x 2sin ＝)x (f 则 .⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4sin 2＝x cos 2－x sin 2＝ ，Z ∈k ，3π2＋πk ≤2π4－x ≤2π2＋πk 2则当 为减函数．)x (f 时，函数Z ∈k ，7π8＋πk ≤x ≤3π8＋πk 即.Z ∈k ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，kπ＋7π8的单调递减区间是)x (f 所以函数 ，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4sin 2＝)x (f 知，(1)由(2) ，22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α2f 又 .12＝⎝⎛⎭⎪⎫α－π4sin ，22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin 2则 ，1＝⎝⎛⎭⎪⎫α－π42cos ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π42sin 因为 .32±＝⎝⎛⎭⎪⎫α－π4cos 所以 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4sin ＝αsin 又 ，π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4cos ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin ＝ ，时32＝⎝⎛⎭⎪⎫α－π4cos 所以当 ；2＋64＝22×32＋22×12＝αsin 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时，sin α＝12×22－32×22＝2－64.，a ＝AB →，设N 于DE 交AM 边上的中线BC ，E 于AC 交BC ∥DE ，AB →13＝AD →中，ABC △．如图，在1)(等于AN →则.AN →表示向量b ，a ，用b ＝AC →) b ＋a (12A. )b ＋a (13B. ) b ＋a (16C. )b ＋a (18D. 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础．答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ，.AD AB＝AN AM ，所以AMB ∽△AND △则 ，AB →13＝AD →因为 .AM →13＝AN →所以 因为M 为BC 的中点，，)b ＋a (12＝)AC →＋AB →(12＝AM →所以 ．)b ＋a (16＝AM →13＝AN →所以 故选C.)(等于FE →·FD →，则FO →2＝BF →，的两条直径O 的圆1是半径为DE 、BC ．如图，234．－A 89．－B 14．－C 49．－D 押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式．答案 B，13＝|FO →∴|，1的半径为O ，圆FO →2＝BF →∵ 解析 .89＝－1－0＋2)13(＝OE →·OD →＋)OD →＋OE →·(FO →＋2FO →＝)OE →＋FO →)·(OD →＋FO →(＝FE →·FD →∴ ，sin 120°sin 208°)，(sin 60°sin 118°＝BC →，cos 58°)，(cos 32°＝AB →中，ABC △．在3则△ABC 的面积为( )14A. 38B. 32C. 34D. 押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点．答案 B，1＝cos232°＋sin232°＝cos232°＋cos258°＝|AB →| 解析 BC →，⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 28°，－32sin 28°＝.32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 28°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 28°2 ＝|BC →|所以 sin 28°32sin 32°×－cos 28°32cos 32°×＝BC →·AB →则 sin 32°sin 28°)－(cos 32°cos 28°32＝ ，34＝cos 60°32＝28°)＋cos(32°32＝ .12＝341×32＝AB →·BC →|AB →|×|BC →|〉＝BC →，AB →〈cos 故 ，60°〉＝BC →，AB →，所以〈180°]，∈[0°〉BC →，AB →又〈 120°.＝60°－180°〉＝BC →，AB →－〈180°＝B 故 故△ABC 的面积为B |sin BC →|×|AB →×|12＝S B.故选.38＝×sin 120°32×1×12＝ 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则．_____________________________________________________的最小值是BP →·OP →押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中．116－ 答案 OA，60°＝AOB ∠又因为.2BP →＋BP →·OB →＝BP →)·BP →＋OB →(＝BP →·OP →，所以BP →＋OB →＝OP →因为 解析BP →|12＝－BP →·OP →所以|.BP →|12＝－|cos 120°BP →|＝BP →·OB →所以1.＝OB ，60°＝OBA ∠，所以OB ＝.116取得最小值－BP →·OP →时，14＝|BP →|当且仅当.116－≥116－2)14－|BP →(|＝2|BP →|＋|A 组 专题通关) (等于λ，则CB →λ＋CA →13＝CD →，DB →2＝AD →边上一点，若AB 是D 中，已知ABC △．在1 23A. 13B. 13．－C 23．－D 答案 A解析 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，.23＝λ∴，CB →23＋CA →13＝)CA →－CB →(23＋CA →＝AB →23＋CA →＝AD →＋CA →＝CD →∴，CB →λ＋CA →13＝CD →，DB →2＝AD →∵ ，则下列结论正b ＋a 2＝AC →，a 2＝AB →满足b ，a 的等边三角形，已知向量2是边长为ABC △．2确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥b 1＝b ·a ．C BC →)⊥b ＋a (4．D 答案 D，b ＝a 2－b ＋a 2＝AB →－AC →＝BC →中，由ABC △在 解析得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，2|b |＋a·b 4＝b )·b ＋a (4＝BC →)·b ＋a (4所以 ＝4×(－1)＋4＝0，D.，故选BC →)⊥b ＋a (4所以 )(的值为BE →·AD →，则AE →3＝AC →，BD →2＝BC →，2＝AC ＝AB ，90°＝BAC ∠中，ABC △．在等腰3 43．－A 13．－B 13C. 43D. 答案 A，2AC →16＋BA →·AC →12＋AC →·AB →16＋2AB →12＝－)AC →13＋BA →)·(AC →＋AB →(12＝BE →·AD →由已知得到 解析＝2×216＋0＋0＋2×212＝－BE →·AD →，所以2＝AC ＝AB ，90°＝BAC ∠是等腰直角三角形，ABC △，43－ 故选A.4．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为( )π4A. π3B. π6C. 2π3D. 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，∵(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，∴1＋a·b －8＝－6，，12＝θ∴cos ，θ|cos a||b |＝1＝a·b ∴ B.，故选π3＝θ∴，π]，∈[0θ∵又 5．已知平面向量a 、b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C，如图，AB →＝OA →－OB →＝a －b ，则b ＝OB →，a ＝OA →令 解析∵b 与b －a 的夹角为30°，∴∠OBA ＝30°，，故选≤6OAB 6·sin∠＝|OB →|＝|b |得，|OB →|sin∠OAB＝|OA →|sin∠OBA 由正弦定理∴，3＝|OA →|＝|a ∵| C.的面积比值为ABC △与ABM △，则AC →3＋AB →＝AM →5所在平面内的一点，且满足ABC △是M ．若点6________．35答案 解析 设AB 的中点为D ，，AM →2－AD →2＝AC →3－AM →3，得AC →3＋AB →＝AM →5由 .MD →2＝CM →3即 ，CD →35＝MD →三点共线，且D ，M ，C 如图所示，故也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，.35的面积比值为ABC △与ABM △则 ．________的取值范围是|AB →|，则(2,0)＝OB →，)θsin ＋4，θcos ＋(5＝OA →．设向量7 答案 [4,6]，)θsin －4，－θcos －3－(＝OA →－OB →＝AB →∵ 解析 2)θsin －4－(＋2)θcos －3－(＝2|AB →∴| ＝6cos θ＋8sin θ＋26＝10sin(θ＋φ)＋26，，34＝φtan 其中 |≤6.AB →∴4≤|，≤362|AB →∴16≤| ，(2＝m ，已知向量)2b 2a ，1b 1a (＝b ⊗a ，定义一种向量积)2b ，1b (＝b ，)2a ，1a (＝a ．设向量8图象上的点，且满)x (f ＝y 是函数Q 的图象上运动，x sin ＝y 在)y ，x (P ，点0)，π3(＝n ，)12．________的值域是)x (f ＝y ，则函数)为坐标原点O 其中(n ＋OP →⊗m ＝OQ →足 ]12，12－[ 答案 sin 12，π3＋x (2＝0)，π3(＋)x sin 12，x (2＝n ＋OP →⊗m ＝OQ →，由新的运算可得)d ，c (Q 令 解析x )，，)π6－c 12sin(12＝d 得x 消去⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，∴ ．]12，12－[的值域是)x (f ＝y ，易知)π6－x 12sin(12＝)x (f ＝y ∴ ．)R ∈x (12＋x 2sin ＋x cos x sin 3＝)x (f ．已知函数9 的最小值和最大值；)x (f 时，求函数⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12∈x 当(1) ，(1＝m ，若向量2＝)C (f ，3＝c ，且c ，b ，a 所对的边分别为C ，B ，A 的内角ABC △设(2)a )与向量n ＝(2，b )共线，求a ，b 的值．，)R ∈x ( 12＋x 2sin ＋x cos x sin 3＝)x (f 函数(1)∵ 解 12＋1－cos 2x 2＋x 2 sin 32＝)x (f ∴ 1＋x cos 212－x sin 232＝1.＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6sin ＝ ，2π3≤π6－x ≤2π3－∴，5π12≤x ≤π12－∵ ，≤1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤sin 32－∴ ，1≤2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤sin 32－∴1 2.最大值是，32－1的最小值是)x (f ∴ ，2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6sin ＝)C (f (2)∵ ，π<C ∵0<，1＝⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6∴sin ，11π6<π6－C <2π6－∴ .π3＝C 解得，π2＝π6－C ∴2 ∵向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，∴b －2a ＝0，即b ＝2a .①，π3cos ab 2－2b ＋2a ＝2c 由余弦定理得， 3.②＝ab －2b ＋2a 即 由①②得a ＝1，b ＝2.10．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cosα)，其中0<α<x <π.的值；x 的最小值及相应c ·b ＝)x (f ，求函数π4＝α若(1) 的值．αtan 2，求c ⊥a ，且π3的夹角为b 与a 若(2) 解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，，π4＝α，)α2cos ＋x cos ，α2sin ＋x (sin ＝c ∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α．)x cos ＋x (sin 2＋x cos x 2sin ＝ ，⎝⎛⎭⎪⎫π4<x<πx cos ＋x sin ＝t 令 .2<t 1<，且－1－2t ＝x cos x 2sin 则 ，2<t 1<，－32－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22＝1－t 2＋2t ＝y 则 ，22＝－x cos ＋x sin ，此时32＝－min y 时，22＝－t ∴ ，22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin 2即 ，π54<π4＋x <π2∴，<πx <π4∵ .11π12＝x ∴，π76＝π4＋x ∴ .11π12的值为x ，相应32的最小值为－)x (f 函数∴ ，π3的夹角为b 与a (2)∵ x sin αsin ＋x cos αcos ＝a·b |a|·|b|＝π3∴cos ＝cos(x －α)．.π3＝α－x ∴，<πα－x ∴0<，<πx <α∵0<∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，0.＝α2sin 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin 即 ，0＝αcos 232＋αsin 252∴ .35＝－α∴tan 2 B 组 能力提高11．已知非零单位向量a 与非零向量b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则向量b －a 在向量a 上的投影为( )1 ．A 22B.1．－C 22．－D 答案 C解析 因为|a ＋b |＝|a －b |，，2)b －a (＝2)b ＋a (所以 ＝a·b －a |a|〉＝a －b ，a 〈|cos a －b |上的投影为a 在向量a －b ，所以向量0＝b ·a 解得0－|a|2|a| ＝－|a |＝－1.的两个C 是2F ，1F 上的一点，1＝2y －x22：C 是双曲线)0y ，0x (M 已知Ⅰ)课标全国(2015·．12)(的取值范围是0y ，则<0MF2→·MF1→焦点，若 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233D. 答案 A，3＝c ，1＝b ，2＝a 由题意知 解析 ，0)，3(2F ，0)，3－(1F ∴ ．)0y ，－0x －3(＝MF2→，)0y ，－0x －3－(＝MF1→∴，<020y ＋)0x －3)(0x －3－∴(，<0MF2→·MF1→∵ 在双曲线上，)0y ，0x (M 点<0.∵20y ＋3－20x 即 ，20y 2＋2＝20x ，即1＝20y －x202∴ A.故选.33<0y <33－∴，<020y ＋3－20y 2＋∴2 满足b ，a 若平面向量.α·ββ·β＝β∘α，定义β和α．对任意两个非零的平面向量13＝b ∘a 中，则}Z ∈n |n 2{都在集合a ∘b 和b ∘a ，且⎝⎛⎭⎪⎫0，π4∈θ的夹角b 与a ，|>0b |≥|a |________. 32答案 ，又<1θ≤cos θcos |b||a|＝b·a a·a ＝a ∘b ，22>θs ≥co θcos |a||b|＝a·b b·b ＝b ∘a 因为 解析，12cos θ＝|b||a|，即12＝θcos |b||a|＝a ∘b 中，所以}Z ∈n |n 2{都在集合a ∘b 和b ∘a ，>1θ22cos ，又<2θ22cos ＝θcos |a||b|＝b ∘a 所以 .32＝b ∘a ，即<2b ∘a 1<所以 14．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．；|OP →|，求0＝PC →＋PB →＋PA →若(1) 的最大值．n －m ，并求n －m 表示y ，x ，用)R ∈n ，m (AC →n ＋AB →m ＝OP →设(2) ，0＝PC →＋PB →＋PA →∵ 方法一(1) 解 ，)y 3－6x,3－(6＝)y －2x,－(3＋)y －3x,－(2＋)y －1x,－(1＝PC →＋PB →＋PA →又 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，∴ .22＝|OP →|，故(2,2)＝OP →即 ，0＝PC →＋PB →＋PA →∵ 方法二 ，0＝)OP →－OC →(＋)OP →－OB →(＋)OP →－OA →(则 .22＝|OP →∴|，(2,2)＝)OC →＋OB →＋OA →(13＝OP →∴，AC →n ＋AB →m ＝OP →(2)∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，∴，)n ＋m 2，n 2＋m (＝)y ，x ∴( 两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.。