福建省福州市2017-2018学年高二下学期期中文科数学试卷Word版

福建省福州市2017-2018学年高二下学期四校期中考联考（文科）数学试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知i 是虚数单位，复数2(1),i Z i =+则z 的共轭复数是（ ）A.1i -+B.1i -C.1i --D.1i + 2.设集合A={x|213x -≤},集合B={x|y=lg(x-1)},则A ∩B 等于( )A. (1,2]B.[1,2]C.(1,2)D.[1,2) 3下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y=sinx （x ∈R ）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=sinx （x ∈R ）是周期函数． A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①4．下列命题中，真命题是( )A ．存在,0x x R e ∈≤B ．0a b +=的充要条件是1ab=- C ．任意2,2x x R x ∈> D ．1,1a b >>是1ab >的充分条件5.已知x,y 的值如表所示如果y 与x 呈线性相关且回归直线方程为=x+2,则=( ) A. 3 B.12C. 1D. 2 6.执行如图所示的程序框图,若输出的S 为2,则输入的x 应为( )A.-2B.16C.-1或4D. -2或167. 在极坐标系中，过点20(,)且与极轴垂直的直线方程是（ ） A ．2ρ= B. 2πθ=. C. cos 2ρθ= D.sin 2ρθ=8.曲线y ln x x =在点（1,0）处的切线方程为（ ）A ．1y x =- B.1y x =-+ C.22y x =- D.22y x =-+9．已知命题1:,2p x R x x ∀∈+≥；命题:[0,]2q x π∃∈，使sin cos x x +=则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧⌝D ． p q ⌝∧10. 若曲线 02sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数) 与曲线ρ=相交于B ,C 两点，则||BC 的值为 ( )A ．．72 C ．27 D ．30 11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体P ­ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ­ABC 的体积为V ，则r ＝（ ）A ．4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 412．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+< （其中()f x ' 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）()()34f ππ-<-()()34f ππ> C.(0)2()3f f π< D ．(0)()4f π>二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13．命题“对∃x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是14.若M ≥0),则M,N 的大小关系是 . 15.如图为函数f (x )的图像，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f (x)x'<0的解集为________． 16.运用合情推理知识可以得到:当n ≥2时22221111(1)(1)(1)(1)________234n ----= 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分10分）(1)实数m 取什么数值时，复数221(2)Z m m m i =-+--是纯虚数 （2）已知1,(,,1mni m n R i i=+∈+是虚数单位），求m, n 的值已知曲线1C的参数方程为13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求曲线1C 与曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）若点P 的坐标为()1,3-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求.PB PD ⋅19.（本小题满分12分）某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数.说明:如图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.(1)根据茎叶图,帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯. (2)根据以上数据完成2×2列联表:(3)能有多大把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？.下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表（1）要在这五名学生中选2名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率． （2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求出这些数据的线性回归直线方程．参考公式回归直线的方程是：ˆˆy bxa =+ （3）假如小明数学考100分，请预测其物理能考多少分？21. （本小题满分12分）命题：“{|22}x x x ∀∈-≤≤，都有不等式02<--m x x 成立”是真命题。

福建省福州市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文考试时间：120分钟 试卷满分：150分2017.4.27第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．在复平面内，复数2(12)i -对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是 ①y ＝cos x(x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x(x ∈R)是周期函数． A ．①②③B ．③②①C ．②③①D ．②①③3．根据所给的算式猜测1234567×9+8等于1×9+2=11 ；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；…… A ．1 111 110B ．1 111 111C ．11 111 110D ．11 111 1114．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是 A.没有一个内角是钝角 B. 至少有两个内角是钝角 C.有三个内角是钝角 D. 有两个内角是钝角5. 给出下列命题：①对任意x ∈R ，不等式x 2＋2x>4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则c a >cb ”的逆否命题．其中真命题只有A ． ①③B ．①②C ． ①②③D ．②③6．若圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离7．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是A ．3B ．4C ．5D ．68．已知x>0，y>0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是 A ．4B ．1C ．2D.0二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）9．在极坐标系中，定点A(1，π2)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________ 10．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是______11．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下：根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a ∧∧=+，据此模型来预测当x= 20时，y 的估计值为 12. 给出下列等式：221121213-=⨯⨯；2223112132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯；3322411214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，…… 由以上等式推出一个一般结论：对于n n n n N n 21)1(22132421213,2*⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ =三、解答题（本大题共有３个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13．（本小题满分12分）已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x<4.若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数x的取值范围． 14. （本小题满分 12 分）已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．15．（本小题满分12分）已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos (θ－π4)＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x ，y)中x·y 的最大值和最小值．第Ⅱ卷四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 16．满足条件|z －i|＝|3－4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 A ．一条直线B ．圆C ．两条直线D ．椭圆17．用数学归纳法证明“42n －1＋3n ＋1(n ∈N ＋)能被13整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时为了使用归纳假设，对42k ＋1＋3k ＋2变形正确的是A ．3(42k －1＋3k ＋1)－13×42k －1B ．4×42k＋9×3kC ．(42k －1＋3k ＋1)＋15×42k －1＋2×3k ＋1D ．16(42k －1＋3k ＋1)－13×3k ＋118．设F 1和F 2是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，那么△F 1PF 2的面积是 A ．2B.52C ．1D ．519．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n 的最小值是A ．2nB.1nC.nD. n五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）20．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2rsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r>0)的公共弦所在直线的方程为21．已知关于x 的不等式 ()7a x 1x 22≥-+在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为_______六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 22．（本小题满分12分）已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线，直线与圆x 2＋y 2＝25交于B 、C 两点． (1)请写出该直线的参数方程以及BC 中点坐标； (2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标．23.（本小题满分14分）（1）已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值． （2）请用数学归纳法证明： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n(n≥2，n ∈N ＋)．高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 CDDB CBCA二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分 9. ⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4 10. (－∞，8] 11. 211.5 12. 1-n n 2)1(1∙+ 三、解答题：本大题共有4个小题，共36分 13．（本小题满分12分）解: 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，∴x≥3，或x≤－1.即p ：x≥3，或x≤－1. …………………２分 ∴非p ：－1<x<3.又∵q ：0<x<4，∴非q ：x≥4，或x≤0. …………………５分 由p 且q 为假，p 或q 为真知p ，q 一真一假，…………………６分当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，或x≤－1，x≥4，或x≤0，得x≥4，或x≤－1； …………………9分当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<3，0<x<4，得0<x<3，∴实数x 的取值范围是{x|x≤－1，或0<x<3，或x≥4}．………………１２分 14. （本小题满分12分）解：(1)因为f(x)＝|x ＋a|＋|x －b|＋c≥|(x＋a)－(x －b)|＋c ＝|a ＋b|＋c ，……３分当且仅当－a≤x≤b 时，等号成立． 又a>0，b>0，所以|a ＋b|＝a ＋b ，所以f(x)的最小值为a ＋b ＋c. …………………６分 又已知f(x)的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c×12＝(a ＋b ＋c)2＝16，……………9分即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. ………………１０分 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，高二数学（文）期中考答案 第1页 共3页故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87. ………………１２分 15．（本小题满分12分）解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① ………………２分因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．………………４分设cos θ＝2－2，sin θ＝2－2，所以参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)．…………………６分(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ) ＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②…………………８分 设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin (θ＋π4)，t ∈[－2，2]．…１０分所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1. 当t ＝－2时xy 有最小值为1；当t ＝2时，xy 有最大值为9. ………………１２分第Ⅱ卷一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 16-19 ＢＤＣＤ二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分 20. 2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 21. ２三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分 22． （本小题满分１２分） 解: (1)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t (t 为参数)，…………………２分代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0，∴t M ＝t 1＋t 22＝275，则x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4425，3325.…………………５分 (2)设切线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋tcos α，y ＝－3＋tsin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sin α)t ＋9＝0. Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，…………………８分 整理得cos α(8cos α－15sin α)＝0， cos α＝0或tan α＝815.∴过A 点切线方程为x ＝5,8x －15y －85＝0. …………………１０分 又t 切＝－b2a＝3sin α－5cos α，由cos α＝0得t 1＝3，由8cos α－15sin α＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝817，cos α＝1517，可得t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4017，－7517.…………１２分23. （本小题满分１４分）解：（1）由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a－1)＋2(b ＋2)＋c －3]2， …………………４分∴9[(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a＋2b ＋c －1)2. …………………５分 ∵2a＋2b ＋c ＝8，∴(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，∴(a－1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.…………………６分（2）证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.所以等式成立．…………………８分(2)假设当n ＝k(k≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k≥2，k ∈N ＋)．…………………１０分当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（k ＋1）2＝k ＋12k ·（k ＋1）2－1（k ＋1）2＝（k ＋1）k·（k ＋2）2k·（k ＋1）2＝k ＋22（k ＋1）＝（k ＋1）＋12（k ＋1），…13分 所以当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n≥2，n ∈N ＋时，等式成立．………………１４分。

2017-2018学年高二下学期期中试卷（文科数学）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜13．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=x a ﹣ax （0＜a ＜1），则f （x ）在[0，+∞）内的极大值点x 0等于（ ）A ．0B ．aC ．1D ．1﹣a5．函数f （x ）=x 2﹣2lnx 的单调减区间是（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]及（0，1]D ．[﹣1，0）及（0，1]6．已知函数f （x ）=x 2+2xf′（1），则f （﹣1）与f （1）的大小关系是（ ）A ．f （﹣1）=f （1）B ．f （﹣1）＞f （1）C ．f （﹣1）＜f （1）D ．不能确定7．已知椭圆+=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．98．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣29．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．1611．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=112．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．16．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假【考点】复合命题的真假．【分析】根据“非p”为真，得到p 假，根据命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，若“非p”为真，则p 为假，∴p 假q 真，故选：B ．2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得．【解答】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x ≥1．故选：A3．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．等于（）4．设f（x）=x a﹣ax（0＜a＜1），则f（x）在[0，+∞）内的极大值点xA．0 B．a C．1 D．1﹣a【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，推出极值点即可．【解答】解：令f′（x）=ax a﹣1﹣a=0（0＜a＜1），得x a﹣1=1，所以x=1．=1是函数f（x）在[0，+∞）内的极大值点．经验证，x故选：C．5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]及（0，1] D．[﹣1，0）及（0，1]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数，再解不等式f′=（x）＜0，可得出函数的单调减区间．【解答】解：求出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，得（﹣1，1）因为函数的定义域为（0，+∞）所以函数的单调减区间为（0，1]故选A6．已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜f（1） D．不能确定【考点】导数的运算．【分析】由f（x）的解析式，利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出f′（1）的值，从而确定出f（x）的解析式，然后分别把x等于1和﹣1代入即可求出f（1）和f（﹣1）的值，即可比较出大小．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，∴f（x）=x2﹣4x，∴f（﹣1）=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=5，f（1）=12﹣4×1=﹣3，则f（﹣1）＞f（1）．故选B（﹣4，0），则m=（）7．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1A．2 B．3 C．4 D．9【考点】椭圆的简单性质．（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．8．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程 y=﹣=﹣1．故选：A．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长【解答】解：由椭圆+=1，可知焦点在x轴，a=5，b=4，c=3，由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=20，故选：B．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0故f（x）﹣4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）错误；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是若a≤0，则a2≤0 ．【考点】四种命题．【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．【解答】解：命题的条件是：a＞0，结论是：a2＞0．∴否命题是：若a≤0，则a2≤0．故答案是若a≤0，则a2≤0．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．【考点】双曲线的定义．【分析】根据双曲线的性质知，（4+k）（1﹣k）＜0，进而求得k的范围．【解答】解：要使方程为双曲线方程需（4+k）（1﹣k）＜0，即（k﹣1）（k+4）＞0，解得k＞1或k＜﹣4故答案为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣316．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m≥4或m≤﹣4 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解关于p，q的不等式，求出￢q，￢p的关于x的取值范围，从而求出m的范围．【解答】解：∵条件p：x2﹣3x﹣4≤0；∴p：﹣1≤x≤4，∴￢p：x＞4或x＜﹣1，∵条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，∴q：3﹣|m|≤x≤3+|m|，∴￢q：x＞3+|m|或x＜3﹣|m|，若￢q是￢p的充分不必要条件，由m=0，显然不成立．则，解得：m≥4或m≤﹣4，故答案为：m≥4或m≤﹣4．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，可得△=4a2﹣4×4＜0，﹣2＜a＜2．由命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，且a≠2，可得5﹣2a＞1，a＜2．由p∨q为真，p∧q为假，可得命题p与q必然一真一假．解出即可．【解答】解：命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，∴△=4a2﹣4×4＜0，解得﹣2＜a＜2．命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，∴5﹣2a＞1，解得a＜2．∵p∨q为真，p∧q为假，∴命题p与q必然一真一假．当p真q假时，，且a≠2，此时a∈∅．当q真p假时，，且a≠2，解得a≤﹣2．综上可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2﹣8x+1，∴f′（x）=x2﹣2x﹣8，令f′（x）=0，得x=﹣2或x=4．当x∈（﹣6，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，4）时，f′（x）＜0；当x∈（4，6）时，f′（x）＞0．∴f（x）的递增区间为[﹣6，﹣2），（4，6]，递减区间为[﹣2，4]．当x=﹣2时，f（x）取得极大值f（﹣2）=；当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=﹣．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【考点】抛物线的标准方程．【分析】依题意，设抛物线方程为y2=2px，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=﹣x+p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为y2=﹣2px时的结果．【解答】解：如图所示，依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=﹣x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+，即x1++x2+=8．①又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2﹣3px+=0，∵△=9p2﹣4×=8p2＞0．∴x1+x2=3p．将其代入①得p=2，∴所求抛物线方程为y2=4x．当抛物线方程设为y2=﹣2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2=﹣4x．故所求抛物线方程为y2=4x或y2=﹣4x．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得．故所求椭圆方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为，则m≠0．设B（x1，y1），C（x2，y2），代入椭圆方程并化简得，由△=2m2﹣4（m2﹣2）=2（4﹣m2）＞0，可得0＜m2＜4①．由①，得，故．又点A到BC的距离为，故=，当且仅当m2=4﹣m2，即m=时取等号，满足①式．所以△ABC面积的最大值为．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）极小∴f（x）在x=1处取得极小值1；（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增．。

4 ， f 0 5，
A.
,1 B.
,0
C.
0,
D.
1,+
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 请把答案填在答题卡相应
位置．）
13、若 loga 3 m, log a 2 n, 则 am 2n =
;
3、下列函数在 (0, ) 上为减函数的是（
）
A. f ( x) ln x B. f ( x) e x C.
f (x)
x D.
f (x) 1 x
4、设 m R ，则“ m 1”是“ f ( x) m 2x 2 x ”为偶函数的 （ ）
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
B. D.
必要不充分条件 既不充分也不必要条件
1
A．
2
1
B．
2
31
C．
4
D ．1 3 4
11、设 p ： x3 4 x 0 ， q ： x2 2x
2m 1 x m2 m 0 ，若 p 是 q 的必要不充分条件，
则实数 m 的取值范围为（
）
A. 2,1 B.
3,1
C.
2,0 0,1 D.
2, 1 0,1
12、已知定义在 R 上的函数 f x ，其导函数为 f x ，若 f x f x 则不等式 f x ex 4 的解集是（ ）
2017—2018学年度第二学期八县( 市) 一中期末联考
高中二年数学文科试卷
命 题：长乐一中 完卷时间 ：120 分钟
满 分： 150 分
： 号 证 考 准
线
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求） 。