四川省凉山州高考数学一诊试卷(文科)

2020年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2020•凉山州模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，1，a+1}，且A⊆B，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．22．（5分）（2020•凉山州模拟）在复平面内，复数z＝（1+i）（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）（2020•凉山州模拟）抛物线x2+3y＝0的准线方程为（）A．x＝B．x＝﹣C．y＝D．y＝﹣4．（5分）（2020•凉山州模拟）已知2||＝||，（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5分）（2020•凉山州模拟）如图所示的程序框图，若输出值y＝1，则输入值x的集合是（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，2}D．{1}6．（5分）（2020•凉山州模拟）污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一．凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（）（精确到小数点后2位）A．0.13B．0.15C．0.20D．0.227．（5分）（2020•凉山州模拟）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）＝A sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．（5分）（2020•凉山州模拟）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝，b cos A＝sin B，则A＝（）A．B．C．D．9．（5分）（2020•凉山州模拟）已知平面α，β，γ和直线l，则“α∥β”的充分不必要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．l⊥α且l⊥βC．γ⊥α且γ⊥βD．α内的任何直线都与β平行10．（5分）（2020•凉山州模拟）函数f（x）＝，其图象的对称中心是（）A．（0，1）B．（1，﹣1）C．（1，1）D．（0，﹣1）11．（5分）（2020•凉山州模拟）已知点M为直线x+y﹣3＝0上的动点，过点M引圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则点P（0，﹣1）到直线AB的距离的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2020•凉山州模拟）若函数f（x）＝x2﹣ax+blnx在区间（1，2）上有两个极值点，则b的可能取值为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（共4小题．每小题5分，共20分）13．（5分）（2020•凉山州模拟）计算：2lg＝．14．（5分）（2020•凉山州模拟）已知0＜α＜，tanα＝，则sinα+cosα＝．15．（5分）（2020•凉山州模拟）在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是、、，则小球体积的最大值为．16．（5分）（2020•凉山州模拟）如图，直线PT和AB分别是函数f（x）＝x3﹣3x过点P（2，2）的切线（切点为T）和割线，则切线PT的方程为；若A（a，f（a）），B（b，f（b））（b＜a＜2），则a+b＝．三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤，共70分）17．（12分）（2020•凉山州模拟）S n为等差数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3＝9．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝a2n﹣1+a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）（2020•凉山州模拟）如在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示．（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求x（x＜10，x∈N）的值；（2）从甲班的样本不低于90分的成绩中任取2名学生的成绩，求这2名学生的成绩不相同的概率．19．（12分）（2020•凉山州模拟）在△ABC中（图1），AB＝5，AC＝7，D为线段AC上的点，且BD＝CD＝4，以BD为折线，把△BDC翻折，得到如图2所示的图形，M为BC 的中点，且AM⊥BC，连接AC．（1）求证：AB⊥CD；（2）求四面体ABCD外接球的表面积．20．（12分）（2020•凉山州模拟）已知函数f（x）＝（e＝2.71828…为自然对数的底数）•（1）若a≠0，试讨论f（x）的单调性；（2）对任意x∈（0，+∞）均有e x+x2﹣ax+1≥0，求a的取值范围．21．（12分）（2020•凉山州模拟）已知椭圆C：的离心率为，且与双曲线有相同的焦点•（l）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足，点P（1，），若直线MP 斜率为，求△ABP面积的最大值及此时直线l的方程．二.请考生在第22..23两题中选一题作答．注意：只能做所选定的题目加果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B庸笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）（2020•凉山州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（1，0），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）判断点M与直线l的位置关系；（2）设直线l与曲线C：（t为参数，t∈R）相交于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．（2020•凉山州模拟）已知f（x）＝|x+a|．（1）若a＝2，求不等式f（2x﹣2）＜3的解集；（2）若f（x）+f（x﹣2）≥m2+m对任意，x∈R恒成立，求m的取值范围．2020年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2020•凉山州模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，1，a+1}，且A⊆B，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．2【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】36：整体思想；49：综合法；5J：集合；65：数学运算．【分析】通过集合包含关系，可知元素的关系，可知2＝a+1，解出即可．【解答】解：因为集合A＝{1，2}，且A⊆B，所以A是B的子集，则A中有的元素，B中都有，则2∈B，因为B＝{﹣1，1，a+1}，且需要满足集合中元素的互异性，所以2＝a+1，即a＝1故选：A．【点评】本题考查集合包含关系，属于基础题．2．（5分）（2020•凉山州模拟）在复平面内，复数z＝（1+i）（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】化简复数z后可得其对应点为（3，1），从而可得答案．【解答】解：z＝（1+i）（2﹣i）＝3+i，故z对应的点在第一象限，故选：A．【点评】本题考查复数代数表示法及其几何意义，属基础题．3．（5分）（2020•凉山州模拟）抛物线x2+3y＝0的准线方程为（）A．x＝B．x＝﹣C．y＝D．y＝﹣【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；65：数学运算．【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．【解答】解：抛物线x2+3y＝0即：x2＝﹣3y的准线方程为：y＝．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4．（5分）（2020•凉山州模拟）已知2||＝||，（﹣）⊥，则与的夹角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用；65：数学运算．【分析】根据平面向量的数量积，计算夹角即可．【解答】解：由2||＝||，（﹣）⊥，所以（﹣）•＝0，即﹣•＝0，所以•＝＝，所以cosθ＝＝＝；又θ∈[0°，180°]，所以与的夹角是θ＝60°．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．5．（5分）（2020•凉山州模拟）如图所示的程序框图，若输出值y＝1，则输入值x的集合是（）A．{0，1}B．{1，2}C．{0，2}D．{1}【考点】EF：程序框图．【专题】32：分类讨论；4R：转化法；5K：算法和程序框图；65：数学运算．【分析】根据程序框图知该程序运行后输出分段函数，利用分类讨论法即可求出结果．【解答】解：根据程序框图知，该程序运行后输出函数y＝；当x≥1时，令y＝log2x＝1，解得x＝2；当x＜1时，令y＝﹣1＝1，解得x＝0；综上知，输出值y＝1时，输入值x的集合是{0，2}．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了分段函数应用问题，是基础题．6．（5分）（2020•凉山州模拟）污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一．凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（）（精确到小数点后2位）A．0.13B．0.15C．0.20D．0.22【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12：应用题；33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用；63：数学建模．【分析】设年平均增长率为x，则150（1+x）2＝216，由此求解x值得答案．【解答】解：设年平均增长率为x，则150（1+x）2＝216，∴＝1.44，则1+x＝1.20，得x＝0.20．∴这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为0.20．故选：C．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是关键，是基础题．7．（5分）（2020•凉山州模拟）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）＝A sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；57：三角函数的图象与性质；65：数学运算．【分析】由函数f（x）的最值求出A，求出函数的周期并利用周期公式算出ω．再由当x ＝时函数有最小值，建立关于φ的等式解出φ，从而得到f（x）．最后根据函数图象平移的公式加以计算，可得答案．【解答】解：设f（x）的周期为T，根据函数的图象，可得：＝﹣，得T＝2π，由＝π，可得ω＝1．∵A＞0，函数的最小值为﹣2，∴A＝2．函数表达式为f（x）＝2sin（x+φ），又∵当x＝时，函数有最小值，∴+φ＝﹣+2kπ（k∈Z），解之得φ＝﹣+2kπ（k∈Z），∵|φ|＜，∴取k＝1，得φ＝，因此，函数的表达式为f（x）＝2sin（x+），由此可得函数g（x）＝2sin x＝f（x﹣），∴将函数f（x）的图象右移个单位长度，即可得到g（x）＝2sin x的图象．故选：B．【点评】本题给出y＝A sin（ωx+φ）的部分图象，确定其解析式并讨论函数图象的平移．着重考查了三角函数的图象与性质、函数图象平移公式等知识，属于中档题．8．（5分）（2020•凉山州模拟）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝，b cos A＝sin B，则A＝（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形；65：数学运算．【分析】利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．【解答】解：∵a＝，b cos A＝sin B，∴b cos A＝a sin B，∴由正弦定理可得sin A sin B＝sin B cos A，∵B是三角形内角，sin B≠0，∴tan A＝，∴由A是三角形内角，可得：A＝．故选：D．【点评】本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．9．（5分）（2020•凉山州模拟）已知平面α，β，γ和直线l，则“α∥β”的充分不必要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．l⊥α且l⊥βC．γ⊥α且γ⊥βD．α内的任何直线都与β平行【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】2A：探究型；38：对应思想；49：综合法；5L：简易逻辑；62：逻辑推理．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及充分必要条件的判定逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由α内有无数条直线与β平行，不能得到α∥β，故A不是α∥β的充分条件；由l⊥α且l⊥β，得α∥β，反之，由α∥β，不一定有l⊥α且l⊥β，故B是α∥β的充分不必要条件；由γ⊥α且γ⊥β，不能得到α∥β，故C不是α∥β的充分条件；由α内的任何直线都与β平行，可得α∥β，反之，由α∥β，可得α内的任何直线都与β平行，故D是α∥β的充分必要条件．故选：B．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查充分必要条件的判定，是基础题．10．（5分）（2020•凉山州模拟）函数f（x）＝，其图象的对称中心是（）A．（0，1）B．（1，﹣1）C．（1，1）D．（0，﹣1）【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用；65：数学运算．【分析】利用诱导公式，进行化简，先构造奇函数，然后进行平移即可．【解答】解：f（x）＝＝＝﹣1，设g（x）＝，则g（x）是奇函数，g（x）关于（0，0）对称，则f（x）＝g（x）﹣1，则f（x）关于（0，﹣1）对称，故选：D．【点评】本题主要考查函数对称性的应用，根据条件构造一个奇函数，利用函数平移是解决本题的关键．比较基础．11．（5分）（2020•凉山州模拟）已知点M为直线x+y﹣3＝0上的动点，过点M引圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则点P（0，﹣1）到直线AB的距离的最大值为（）A．B．C．D．【考点】J7：圆的切线方程．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆；65：数学运算．【分析】求出切线的方程，结合切点弦的性质，求出直线AB，利用距离公式d，求出最大值即可．【解答】解：设M（a，3﹣a），切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），设直线MA上任意一点Q（x，y），由，得（x﹣x1，y﹣y1）（x1，y1）＝0，化简得xx1+yy1＝1，同理直线MA的方程为xx2+yy2＝1，因为（a，3﹣a）都在直线MA，MB上，且A，B都满足上面两式，所以直线AB的方程为：ax+（3﹣a）y＝1，由点P（0，﹣1）到直线AB的距离d＝令a﹣4＝t，a＝t+4，所以d＝＝＝＝，故选：D．【点评】考查直线与圆的相切，切点弦问题，同时考查了求直线与圆的最值问题，中档题．12．（5分）（2020•凉山州模拟）若函数f（x）＝x2﹣ax+blnx在区间（1，2）上有两个极值点，则b的可能取值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【专题】37：集合思想；4M：构造法；53：导数的综合应用；62：逻辑推理．【分析】求导可知，函数g（x）＝x2﹣ax+b在（1，2）上有两个零点，进而得到a，b 的关系，由此即可得解．【解答】解：，令g（x）＝x2﹣ax+b，依题意，函数g（x）在（1，2）上有两个零点，则，则必有4b＜a2＜16，即b＜4．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，同时也涉及了二次函数的零点分布问题，难度不大．二、填空题（共4小题．每小题5分，共20分）13．（5分）（2020•凉山州模拟）计算：2lg＝2．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】11：计算题；36：整体思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；65：数学运算．【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【解答】解：原式＝lg2+lg5+1＝1+1＝2，故答案为：2．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．14．（5分）（2020•凉山州模拟）已知0＜α＜，tanα＝，则sinα+cosα＝．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值；65：数学运算．【分析】由已知利用同角三角函数的基本关系式即可求解．【解答】解：∵0＜α＜，tanα＝，∴cosα＝＝，sinα＝＝，∴sinα+cosα＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．（5分）（2020•凉山州模拟）在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是、、，则小球体积的最大值为．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】36：整体思想；49：综合法；5U：球；62：逻辑推理．【分析】小球与最小的棱长垂直的相对面相切时体积最大，且这时最小的棱长为小球的直径，进而求出小球的体积的最大值．【解答】解：设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，由题意得：a＝，b＝，c＝1，由题意得小球的最大直径为1，设小球的半径为r，则2r＝1，所以r＝，所以小球的体积V＝＝，故答案为：【点评】考查球内接多面体的最大体积的求法，及球的体积公式，属于基础题．16．（5分）（2020•凉山州模拟）如图，直线PT和AB分别是函数f（x）＝x3﹣3x过点P（2，2）的切线（切点为T）和割线，则切线PT的方程为y＝2；若A（a，f（a）），B（b，f（b））（b＜a＜2），则a+b＝﹣2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；44：数形结合法；52：导数的概念及应用；64：直观想象．【分析】由图象可得直线PT∥x轴，可得直线PT的方程，再由三点P，A，B共线可得k P A＝k PB，由直线的斜率公式，化简可得所求值．【解答】解：由直线PT∥x轴，可得直线PT的方程为y＝2，由P（2，2），A（a，a3﹣3a），B（b，b3﹣3b）三点共线，可得k P A＝k PB，由k P A＝＝＝（a+1）2，同样可得k PB＝（b+1）2，即有（a+1）2＝（b+1）2，因为a≠b，可得a+1+b+1＝0，可得a+b＝﹣2．故答案为：y＝2，﹣2．【点评】本题考查导数的几何意义和三点共线的条件，考查化简运算能力，属于基础题．三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤，共70分）17．（12分）（2020•凉山州模拟）S n为等差数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3＝9．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝a2n﹣1+a2n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算．【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的求和公式计算可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝a2n﹣1+a2n＝2（2n﹣1）﹣1+4n﹣1＝8n﹣4，由等差数列的求和公式可得所求和．【解答】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，由a1＝1，S3＝9，可得3+×3×2d＝9，解得d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）b n＝a2n﹣1+a2n＝2（2n﹣1）﹣1+4n﹣1＝8n﹣4，则前n项和T n＝4+12+…+（8n﹣4）＝n（4+8n﹣4）＝4n2．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18．（12分）（2020•凉山州模拟）如在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示．（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求x（x＜10，x∈N）的值；（2）从甲班的样本不低于90分的成绩中任取2名学生的成绩，求这2名学生的成绩不相同的概率．【考点】BA：茎叶图．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计；65：数学运算．【分析】（1）分别求出样本甲、乙两班的平均成绩、，由甲乙两个班级的平均分相同，能求出x的值．（2）由茎叶图得甲班的样本中成绩不低于90分的学生有4人，记他们的成绩分别为，A2，B，C，其中，，A2表示成绩为97分的两名学生的成绩，B，C分别表示成绩为105分和107分的两名学生的成绩，从这4名学生中任取两名学生的成绩，利用列举法能求出这2名学生的成绩不相同的概率．【解答】解：（1）设样本甲、乙两班的平均成绩分别为、，则＝（70×3+80×3+90×2+100×2+5×3+3+7×6）＝89，＝（70×2+80×3+90×4+100+8×2+3×2+1+2+4+5+x+9）＝84+，∵甲乙两个班级的平均分相同，∴84+＝89，解得x＝7．（2）由茎叶图得甲班的样本中成绩不低于90分的学生有4人，记他们的成绩分别为，A2，B，C，其中，，A2表示成绩为97分的两名学生的成绩，B，C分别表示成绩为105分和107分的两名学生的成绩，则从这4名学生中任取两名学生的成绩，不同的取法有6种，分别为：{A1，A2}，{A1，B}，{A1，C}，{A2，B}，{A2，C}，{B，C}，这2名学生的成绩不相同包含的基本事件有5种，分别为：{A1，B}，{A1，C}，{A2，B}，{A2，C}，{B，C}，∴这2名学生的成绩不相同的概率P＝．【点评】本题考查实数值、概率的求法，考查茎叶图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）（2020•凉山州模拟）在△ABC中（图1），AB＝5，AC＝7，D为线段AC上的点，且BD＝CD＝4，以BD为折线，把△BDC翻折，得到如图2所示的图形，M为BC 的中点，且AM⊥BC，连接AC．（1）求证：AB⊥CD；（2）求四面体ABCD外接球的表面积．【考点】LG：球的体积和表面积；LW：直线与平面垂直．【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；62：逻辑推理．【分析】（1）证线的垂直，证明线面的垂直，先证与相交直线的垂直即可，注意翻折前后哪些线的垂直关系不发生变化；（2）由（1）两两相互垂直的四面体可补充成长方体，由长方体的对角线为外接球的直径，进而求出外接球的表面积．【解答】解：（1）证明：在图①中，AC＝7，BD＝CD＝4，∴AD＝3，在△ABD中，AB＝5，AD＝3，BD＝4，∵AD2+BD2＝AB2，∴BD⊥CD，翻折后仍有BD⊥CD，又AD，BD都在面ABD，AD∩BD＝D，∴CD⊥面ABD，AB在面ABD内，∴AB⊥CD；（2）由（1）知，四面体ABCD可补为一个以DA，DB，DC为长，宽，高的长方体，所以四面体ABCD外接球的半径R＝＝，所以四面体ABCD的外接球的表面积S＝4πR2＝41π．【点评】考查线面垂直的判定定理及性质定理，和四面体的外接球的半径的求法，再求球的表面积，属于中档题．20．（12分）（2020•凉山州模拟）已知函数f（x）＝（e＝2.71828…为自然对数的底数）•（1）若a≠0，试讨论f（x）的单调性；（2）对任意x∈（0，+∞）均有e x+x2﹣ax+1≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】49：综合法；53：导数的综合应用；65：数学运算．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解，（2）由题意可得，a，构造函数h（x）＝，x＞0，然后结合导数判断单调性，求解最值即可求解．【解答】解：（1）函数的定义域{x|x≠0}，∵f′（x）＝，当a＞0时，若x∈（1，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增，若x∈（﹣∞，0），（0，1），f′（x）＜0，函数单调递减，当a＜0时，若x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函数单调递减，若x∈（﹣∞，0），（0，1），f′（x）＞0，函数单调递增，（2）由题意可得，a，令h（x）＝，x＞0，则h′（x）＝，令g（x）＝e x+x+1，则g′（x）＝e x+1＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）＝1，即e x+x+1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x＝1时，函数h（x）取得最小值h（1）＝e+2，故a的范围为（﹣∞，e+2]．【点评】本题主要考查了函数的导数与单调性的关系及利用函数的单调性求解函数的最值，解决恒成立问题．21．（12分）（2020•凉山州模拟）已知椭圆C：的离心率为，且与双曲线有相同的焦点•（l）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足，点P（1，），若直线MP 斜率为，求△ABP面积的最大值及此时直线l的方程．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题；65：数学运算．【分析】（1）离心率及焦点及a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）分M是原点和不是原点两种情况，设直线AB的方程，与椭圆联立，求出两根之和及之积，求出弦长AB，及P到直线AB的距离，求出面积的表达式，用均值不等式或导数的方法，求出面积最大时的直线AB的方程．【解答】解：（1）由题意，双曲线的焦点（±1，0）所以由题意知椭圆中：c＝1，e＝＝，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：；（2）∵，∴M为线段AB的中点，又k MP＝＝k PO，1）当M为坐标原点时，①当AB的斜率不存在时，此时，A，B为短轴的两个端点，S△ABP＝2b•|x P|＝＝，②当AB的斜率存在时，设的斜率为k，设A（x，y），B（x'，y'），则直线AB：y＝kx（k）代入椭圆方程整理：（3+4k2）x2﹣12＝0，x+x'＝0，xx'＝，∴|AB|＝＝＝4，P到直线AB的距离d＝，所以S ABP＝•|AB|•d＝2＝，令t＝6﹣12k，∴＝＝，∵要得面积S△ABP的最大值，则t＞0，t+≥24，∴＝3，这时t＝，即t＝12，∴6﹣12k＝12，k＝﹣时等号成立，∴（S△ABP）max＝2，直线方程为：y＝﹣x．2）当M不为原点时，由k MP＝k OP＝，∴M，O，P三点共线，∴k MO＝，设A（x，y），B（x'，y'），M（x0，y0），l AB的斜率为：k AB，x+x'＝2x0，y+y'＝2y0，＝，因为A，B在椭圆上：，∴+＝0，∴1+＝0，∴1+•k AB＝0，即1+＝0，∴k AB＝﹣，设直线l AB：y＝﹣x+m代入椭圆整理得：x2﹣mx+m2﹣3＝0，△＝m2﹣4（m2﹣3）＞0，m2＜4，x+x'＝m，xx'＝m2﹣3∴|AB|＝＝•，P到直线AB的距离为：d ＝＝2，∴S△ABP＝＝••2＝•，令g（m）＝（2﹣m）3（2+m），（﹣2＜m＜2），g'（m）＝﹣4（2﹣m）2（m+1），m∈（﹣2，﹣1），g'（m）＞0，g（m）单调递增，m∈（﹣1，2），g'（m）＜0，g（m）单调递减，所以g（﹣1）max＝27，∴S△ABP）max＝，∴直线AB的方程：y＝﹣﹣1，综上所述，面积的最大值为，直线AB的方程：y＝﹣﹣1．【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．二.请考生在第22..23两题中选一题作答．注意：只能做所选定的题目加果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B庸笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）（2020•凉山州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（1，0），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）判断点M与直线l的位置关系；（2）设直线l与曲线C：（t为参数，t∈R）相交于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程；62：逻辑推理．【分析】（1）l在平面直角坐标系的方程为x+y﹣1＝0，将M（1，0）代入成立，从而点M在直线l上．（2）曲线C的直角坐标系为y2＝4x，直线l的参数方程为，（t为参数），将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，得，由此能求出点M到A，B两点的距离之积．【解答】解：（1）l在平面直角坐标系的方程为x+y﹣1＝0，将M（1，0）代入得1+0﹣1＝0，∴点M在直线l上．（2）曲线C的直角坐标系为y2＝4x，直线l的参数方程为，（t为参数），将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，得：，∴点M到A，B两点的距离之积为：|t1t2|＝8．【点评】本题考查点与直线的位置关系的判断，考查点到两点的距离之积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2020•凉山州模拟）已知f（x）＝|x+a|．（1）若a＝2，求不等式f（2x﹣2）＜3的解集；（2）若f（x）+f（x﹣2）≥m2+m对任意，x∈R恒成立，求m的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用；62：逻辑推理．【分析】（1）将a＝2代入，解绝对值不等式得到答案；（2）由绝对值不等式的性质可知，只需2≥m2+m成立即可，由此得到m的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，f（2x﹣2）＜3即|2x﹣2+2|＜3，解得，故所求不等式的解集为；（2）f（x）+f（x﹣2）＝|x+a|+|x+a﹣2|≥|x+a﹣x﹣a+2|＝2，∴只需2≥m2+m成立即可，∴﹣2≤m≤1，即实数m的取值范围为[﹣2，1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的恒成立问题，属于基础题．。

11 3
的大小关系是（
）
蓸 蔀 蓸 蔀 蓸 蔀 A援 f
2 3
跃f
5 2
跃f
11 3
蓸 蔀 蓸 蔀 蓸 蔀 B援 f
2 3
跃f
11 3
跃f
5 2
蓸 蔀 蓸 蔀 蓸 蔀 C援 f
5 2
跃f
2 3
跃f
11 3
蓸 蔀 蓸 蔀 蓸 蔀 D援 f
5 2
跃f
11 3
跃f
2 3
第域卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
4. 某网店对今年 11 月 11 日 9 时到 15 时的销售情况进行统计，
频率
销售额频率分步直方图如图所示，已知 11 时到 13 时的销售
组距
额为 5 万元.则 9 时到 11 时的销售额为（ ）
A. 1.5 万元
B. 2 万元
C. 2.5 万元
D. 3 万元
5.
吟A
BC
中，蚁A
=
仔 3
，A C=2，BC=姨 3
13.
函数
（f x）=ln
1 x-1
的定义域为
援
D援 4姨 6 仔
14. 已知吟A BC 的面积是 3，A B·A C =6姨 3 ，则蚁A =
.
15.
已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1（a跃b跃0）的两个焦点分别为
F1，F2，离心率
e=
姨2 2
，点 P 为椭圆的上顶点，若
吟PF1F2 的面积为 1，则右焦点 F2 的坐标为
凉山州 2022 届高中毕业班第一次诊断性检测

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|15A x x =<<，{}2|320B x x x =-+<，则A B =ð（ ） A ．{}|25x x << B ．{}|25x x ≤< C ．{}|25x x ≤≤ D ．∅【答案】B 【解析】考点：集合的运算. 2.212ii+-的虚部是（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C 【解析】 试题分析：()()()()2122121212i i i i i i i +++==--+,所以该复数的虚部为1，故选C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算. 3. 在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，b =a =（ ）ABC．D ．3【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理sin 3sin 2ba A B===，故选D. 考点：正弦定理.4. 已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若1||1PF =，则2||PF =（ ）A ．3B ．C ．4D ．2【答案】A 【解析】考点：双曲线的定义及几何性质.5. 函数()ln cos f x m x x =-在1x =处取到极值，则m 的值为（ ） A ．sin1 B ．sin1-C ．cos1D ．cos1-【答案】B 【解析】 试题分析：()sin mf x x x'=+,由(1)sin10f m '=+=得sin1m =-，故选B. 考点：导数与函数的极值.6. 某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．43B ．83C ．4D ．6+【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知，该三棱锥底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，该棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为114222323V =⨯⨯⨯⨯=，故选A.7. 设数列{}n a 满足1a a =，2121n n n a a a +-=+（*n N ∈），若数列{}n a 是常数列，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．(1)n-【答案】A 【解析】考点：1.数列数的概念；2.数列的递推关系. 8. 设向量(cos ,sin )a x x =-，(cos(),cos )2b x x π=--，且a tb =，0t ≠，则sin 2x 的值等于（ ） A ．1 B ．1-C ．1±D ．0【答案】C 【解析】试题分析：因为(cos(),cos )(sin ,cos )2b x x x x π=--=-,a tb =，所以()()cos cos sin sin 0x x x x ---=，即22cos sin 0x x -=，所以2tan 1,tan 1x x ==±，()24k x k Z ππ=+∈， 2()2x k k Z ππ=+∈，sin 21x =±，故选C. 考点：1.向量的坐标运算；2.三角恒等变换；3.三角函数的性质.9. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差()D X =（ ） A ．2 B ．1C ．23D ．34【答案】C 【解析】试题分析：每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为13，所以取出红球的概率服从二项分布，即2(3,)3x B ~,所以222()3(1)333D x =⨯⨯-=，故选C.10. 下列四个结论：①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0x x -=，则0x =”的逆否命题为“若0x ≠，则sin 0x x -≠”； ③“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件； ④命题“x R ∀∈，ln 0x x ->”的否定是“0x R ∃∈，00ln 0x x -<”． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】考点：1.向量的坐标运算；2.三角恒等变换；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题考查逻辑联结词与命题、特称命题与全称命题，属中档题；全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.11. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（ 1.732≈，sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B 【解析】考点：1.数学文化；2.程序框图.【名师点睛】本题考查数学文化与程序框图，属中档题；数学文化是高考新增内容，程序框图是第年高考的必考内容，掌握循环程序的运行方法，框图以赋值框和条件框为主，按照框图箭线方向和每个框的指令要求运行，注意条件框的要求是否满足，运行程序时要准确.12. 若直线0ax y -=（0a ≠）与函数22cos 1()2ln2x f x x x+=+-图象交于不同的两点A ，B ，且点(6,0)C ，若点(,)D m n 满足DA DB CD +=，则m n +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．a【答案】B 【解析】试题分析：因为222cos ()12cos 1()()22ln ln 22x x f x f x x x x x-++-===--+-+-，且直线0ax y -=通过坐标原点，所以函数22cos 1()2ln2x f x x x +=+-图象两个交点A ，B 关于原点对称，即0,0A B A B x x y y +=+=，又(,),(,),A A B B DA x m y n DB x m y n =--=--(6,)CD m n =-，由DA DB CD +=得，6,,A B A B x m x m m y n y n n -+-=--+-=，解之得2,0m n ==，所以2m n +=，故选B.考点：1.向量的坐标运算；2.函数的奇偶性.【名师点睛】本题考查向量的坐标运算，函数的奇偶性，属中档题；平面向量是高考的重点和热点内容，且常与函数、数列、三角、解析几何等交汇命题，解决此类问题的解题思路是转化为代数运算，其主要转化途径一是利用平面向量平行或垂直的条件，二是利用平面向量的线性运算或数量积的公式及性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A D 与'AB 所成角的大小是 ． 【答案】3π【解析】BD'考点：1.正方体的性质；2.异面直线所成的角.14. 若x ，y 满足不等式2,6,20,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则z x y =-的取值范围是 ．【答案】[2,2]- 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出不等式组2,6,20,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示，由图可知目标函数z x y =-取得最小值时的最优解为点(4,2)B ，即m a x 422z =-=，取得最小值的最优解为点(2,4)C ，即min 242z =-=-，所以z x y =-的取值范围是[2,2]-.考点：线性规划.15. 设数列{}n a 是首项为1公比为2的等比数列前n 项和n S ，若4log (1)4k S +=，则k = ．【答案】8 【解析】考点：1.等比数列的性质与求和公式；2.对数的性质.【名师点睛】本题考查等比数列的性质与求和公式，对数的性质，属基础题；等比数列的求和公式是高考的热点内容，本题直接利用求和公式求和，利用对数性质运算即可，体现命题以考纲为主导，以教材为主线，取之于教材而高于教材. 16. 已知函数21()21x f x x +=-，则122016()()()201720172017f f f +++=… ． 【答案】2016 【解析】试题分析：因为212(1)12123()(1)2212(1)12121x x x x f x f x x x x x +-++-+-=+=+=-----，令122016()()()201720172017S f f f =+++… ，则1201622015201612()()()()()()22016201720172017201720172017S f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…，所以122016()()()2016201720172017S f f f =+++=…. 考点：1.函数的对称性；2.倒序相加法求和.【名师点睛】本题考查.函数的对称性与倒序相加法求数列的和，属中档题；数列是特殊的函数，将数列与函数综合是情理之中，倒序相加法是等差数列求和的重要思想，利用函数的对称性特点考查倒序相加法，是本题的亮点.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，10120S =，求n a ；（2）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-，63x ππ-≤≤，求()f x 的值域．【答案】（1）21n a n =-；（2）[]0,2 【解析】试题分析：（1）基本量法，即用1,a d 表示10S ,列出关于d 的方程，解出d ，即可求数列{}n a的通项公式；（2）由平方降幂公式及二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简函数解析式可得()2sin(2)3f x x π=+，由63x ππ-≤≤可得023x ππ≤+≤，由三角函数性质可求出值域.考点：1.等差数列的性质及前n 项和公式；2.三角恒等变换；3.三角函数的图象与性质. 18. 化为推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户：男性用户：（1）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列22⨯列联表，并回答是否有95%的把握认为性别对手机的“认可”有关：合计附：22()()()()()n a d b c K a b c d a c b d +-+=++++（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户中评分小于90分的概率． 【答案】（1）列联表120有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关． (2)35. 【解析】试题分析：（1）从频数分布表算出女性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数，填入表格，同理算出男性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数，填入表格可得22⨯列联表，由公式计算出2k 的值与临界值中数据比较即可；(2) 评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A ，B ，C ，D ，评分不小于90分的人数为2，记为a ，b ,写出从6人中任取2人的所有基本事件，从中找出两名用户评分都小于90分的基本事件，即可求其概率.考点：1.独立性检验；2.古典概型.【名师点睛】本题考查独立性检验及古典概型，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以选择题形式出现，命题的主要角度有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.已知2K 的观察值，判断几种命题的正确性.19. 如图，已知四边形ABCD 和BCGE 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG 且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCGE ，222BC CD CE AD BG =====．（1）求证：//AG 平面BDE ； （2）求三棱锥G BDE -的体积．【答案】(1)见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）由题意可证,,CD CB CD CE CB CE ⊥⊥⊥，所以以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线AG 的方向向量(2,1,1)AG =-与平面BDE 的法向量m ，由0AG n ⋅=证之即可；（2）应用等体积转换求体积即可，即13G DBE D BEG BEG V V S h --∆==⨯⋅求之.∵(2,1,1)AG =-，∴0AG n ⋅=，∴AG n ⊥， ∵AG ⊄平面BDE ，∴//AG 平面BDE ． （2）13G DBE D BEG BEG V V S h --∆==⨯⋅， ∵CD BC ⊥，面ABCD ⊥面BVEG ，而面ABCD 面BCEG BC =，∴CD ⊥平面BCEG ， ∴2h CD ==， ∴112122323G BDE V -=⨯⨯⨯⨯=． 考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.20. 设椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)且倾斜角为60︒的直线交椭圆E 于A ，B 两点，求AOB ∆的面积．【答案】(1) 22143x y +=；(2)15.【解析】试题分析：(1) 由题意12c a =，1a c -=，解出,a c 及b 的值即可；(2)先求出直线的方程2y =+，代入椭圆方程得21540x ++=，由弦长公式求出弦长AB ，再求出点O 到直线的距离即可求AOB ∆的面积.由点O 到直线AB 的距离1d ==，∴||2ABC AB S d ∆==． 考点：1.椭圆的定义与标准方程、几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属中档题.求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 21. 设k R ∈，函数()ln f x x kx =-．（1）若2k =，求曲线()y f x =在(1,2)P -处的切线方程； （2）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围．【答案】(1) 10x y ++=；(2) 1(,)e+∞. 【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数得1'()kxf x x-=，当2k =时，'(1)1f =-，由点斜式写出切线方程即可；(2)当0k <时，由(1)()0kf f e ⋅<可知函数有零点，不符合题意；当0k =时，函数()ln f x x =有唯一零点1x =有唯一零点，不符合题意；当0k >时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可.在区间1(0,)k上，'()0f x >，函数()f x 是增函数； 在区间1(,)k+∞上，'()0f x <，函数()f x 是减函数；故在区间(0,)+∞上，()f x 的极大值为11()ln1ln 1f k kk=-=--， 由于()f x 无零点，须使1()ln 10f k k =--<，解得1k e >，故所求实数k 的取值范围是1(,)e+∞．考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与方程. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3241x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）M ，N 分别是曲线1C 和曲线2C 上的动点，求||MN 最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为43110x y +-=,2C 直角坐标方程：22(1)1x y +-=；（2）35. 【解析】试题解析：（1）1C ：32,21,34x t x y =-+⎧⎪--⎨=⎪-⎩∴2134x y --=-，整理得4833x y -=-+， ∴1C 的普通方程为43110x y +-=，曲线2C ：2sin ρθ=，22sin ρρθ=，2220x y y +-=，整理得22211x y y +-+=，∴2C 直角坐标方程：22(1)1x y +-=．（2）如图，圆心(0,1)O 到直线1C 的距离为d ，|311|855d -==， ∴min 3||5MN d r =-=． 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直角坐标与极坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.23. 选修4-5:不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =+-+．（1）若不等式()0f x ≥的解集为空集，求实数a 的取值范围； （2）若方程()f x x =有三个不同的解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[1,)+∞；（2）10a -<<. 【解析】试题分析：（1）（2）（2）在同一坐标系内作出函数()|1|||g x x x =+-图象和y x =的图象如下图所示，由题意可知，把函数()y g x =的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y x =的图象始终有3个交点，从而10a -<<．考点：1.绝对值的意义；2.分段函数的表示；3.函数与方程、不等式.。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|15A x x =<<，{}2|320B x x x =-+<，则A B =ð（ ） A ．{}|25x x << B ．{}|25x x ≤< C ．{}|25x x ≤≤ D ．∅【答案】B 【解析】考点：集合的运算. 2.212ii+-的虚部是（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C 【解析】 试题分析：()()()()2122121212i i i i i i i +++==--+,所以该复数的虚部为1，故选C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算. 3. 在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，b =a =（ ）ABC．D ．3【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理sin 3sin 2ba A B===，故选D. 考点：正弦定理.4. 已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若1||1PF =，则2||PF =（ ）A ．3B ．C ．4D ．2【答案】A 【解析】考点：双曲线的定义及几何性质.5. 函数()ln cos f x m x x =-在1x =处取到极值，则m 的值为（ ） A ．sin1 B ．sin1-C ．cos1D ．cos1-【答案】B 【解析】 试题分析：()sin mf x x x'=+,由(1)sin10f m '=+=得sin1m =-，故选B. 考点：导数与函数的极值.6. 某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．43B ．83C ．4D ．6+【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知，该三棱锥底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，该棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为114222323V =⨯⨯⨯⨯=，故选A.7. 设数列{}n a 满足1a a =，2121n n n a a a +-=+（*n N ∈），若数列{}n a 是常数列，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．(1)n-【答案】A 【解析】考点：1.数列数的概念；2.数列的递推关系. 8. 设向量(cos ,sin )a x x =-，(cos(),cos )2b x x π=--，且a tb =，0t ≠，则sin 2x 的值等于（ ） A ．1 B ．1-C ．1±D ．0【答案】C 【解析】试题分析：因为(cos(),cos )(sin ,cos )2b x x x x π=--=-,a tb =，所以()()cos cos sin sin 0x x x x ---=，即22cos sin 0x x -=，所以2tan 1,tan 1x x ==±，()24k x k Z ππ=+∈， 2()2x k k Z ππ=+∈，sin 21x =±，故选C. 考点：1.向量的坐标运算；2.三角恒等变换；3.三角函数的性质.9. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差()D X =（ ） A ．2 B ．1C ．23D ．34【答案】C 【解析】试题分析：每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为13，所以取出红球的概率服从二项分布，即2(3,)3x B ~,所以222()3(1)333D x =⨯⨯-=，故选C.10. 下列四个结论：①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0x x -=，则0x =”的逆否命题为“若0x ≠，则sin 0x x -≠”； ③“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件； ④命题“x R ∀∈，ln 0x x ->”的否定是“0x R ∃∈，00ln 0x x -<”． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】考点：1.向量的坐标运算；2.三角恒等变换；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题考查逻辑联结词与命题、特称命题与全称命题，属中档题；全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.11. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（ 1.732≈，sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B 【解析】考点：1.数学文化；2.程序框图.【名师点睛】本题考查数学文化与程序框图，属中档题；数学文化是高考新增内容，程序框图是第年高考的必考内容，掌握循环程序的运行方法，框图以赋值框和条件框为主，按照框图箭线方向和每个框的指令要求运行，注意条件框的要求是否满足，运行程序时要准确.12. 若直线0ax y -=（0a ≠）与函数22cos 1()2ln2x f x x x+=+-图象交于不同的两点A ，B ，且点(6,0)C ，若点(,)D m n 满足DA DB CD +=，则m n +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．a【答案】B 【解析】试题分析：因为222cos ()12cos 1()()22ln ln 22x x f x f x x x x x-++-===--+-+-，且直线0ax y -=通过坐标原点，所以函数22cos 1()2ln2x f x x x +=+-图象两个交点A ，B 关于原点对称，即0,0A B A B x x y y +=+=，又(,),(,),A A B B DA x m y n DB x m y n =--=--(6,)CD m n =-，由DA DB CD +=得，6,,A B A B x m x m m y n y n n -+-=--+-=，解之得2,0m n ==，所以2m n +=，故选B.考点：1.向量的坐标运算；2.函数的奇偶性.【名师点睛】本题考查向量的坐标运算，函数的奇偶性，属中档题；平面向量是高考的重点和热点内容，且常与函数、数列、三角、解析几何等交汇命题，解决此类问题的解题思路是转化为代数运算，其主要转化途径一是利用平面向量平行或垂直的条件，二是利用平面向量的线性运算或数量积的公式及性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A D 与'AB 所成角的大小是 ． 【答案】3π【解析】BD'考点：1.正方体的性质；2.异面直线所成的角.14. 若x ，y 满足不等式2,6,20,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则z x y =-的取值范围是 ．【答案】[2,2]- 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出不等式组2,6,20,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示，由图可知目标函数z x y =-取得最小值时的最优解为点(4,2)B ，即m a x 422z =-=，取得最小值的最优解为点(2,4)C ，即min 242z =-=-，所以z x y =-的取值范围是[2,2]-.考点：线性规划.15. 设数列{}n a 是首项为1公比为2的等比数列前n 项和n S ，若4log (1)4k S +=，则k = ．【答案】8 【解析】考点：1.等比数列的性质与求和公式；2.对数的性质.【名师点睛】本题考查等比数列的性质与求和公式，对数的性质，属基础题；等比数列的求和公式是高考的热点内容，本题直接利用求和公式求和，利用对数性质运算即可，体现命题以考纲为主导，以教材为主线，取之于教材而高于教材. 16. 已知函数21()21x f x x +=-，则122016()()()201720172017f f f +++=… ． 【答案】2016 【解析】试题分析：因为212(1)12123()(1)2212(1)12121x x x x f x f x x x x x +-++-+-=+=+=-----，令122016()()()201720172017S f f f =+++… ，则1201622015201612()()()()()()22016201720172017201720172017S f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…，所以122016()()()2016201720172017S f f f =+++=…. 考点：1.函数的对称性；2.倒序相加法求和.【名师点睛】本题考查.函数的对称性与倒序相加法求数列的和，属中档题；数列是特殊的函数，将数列与函数综合是情理之中，倒序相加法是等差数列求和的重要思想，利用函数的对称性特点考查倒序相加法，是本题的亮点.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，10120S =，求n a ；（2）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-，63x ππ-≤≤，求()f x 的值域．【答案】（1）21n a n =-；（2）[]0,2 【解析】试题分析：（1）基本量法，即用1,a d 表示10S ,列出关于d 的方程，解出d ，即可求数列{}n a的通项公式；（2）由平方降幂公式及二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简函数解析式可得()2sin(2)3f x x π=+，由63x ππ-≤≤可得023x ππ≤+≤，由三角函数性质可求出值域.考点：1.等差数列的性质及前n 项和公式；2.三角恒等变换；3.三角函数的图象与性质. 18. 化为推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户：男性用户：（1）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列22⨯列联表，并回答是否有95%的把握认为性别对手机的“认可”有关：合计附：22()()()()()n a d b c K a b c d a c b d +-+=++++（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户中评分小于90分的概率． 【答案】（1）列联表120有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关． (2)35. 【解析】试题分析：（1）从频数分布表算出女性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数，填入表格，同理算出男性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数，填入表格可得22⨯列联表，由公式计算出2k 的值与临界值中数据比较即可；(2) 评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A ，B ，C ，D ，评分不小于90分的人数为2，记为a ，b ,写出从6人中任取2人的所有基本事件，从中找出两名用户评分都小于90分的基本事件，即可求其概率.考点：1.独立性检验；2.古典概型.【名师点睛】本题考查独立性检验及古典概型，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以选择题形式出现，命题的主要角度有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.已知2K 的观察值，判断几种命题的正确性.19. 如图，已知四边形ABCD 和BCGE 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG 且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCGE ，222BC CD CE AD BG =====．（1）求证：//AG 平面BDE ； （2）求三棱锥G BDE -的体积．【答案】(1)见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）由题意可证,,CD CB CD CE CB CE ⊥⊥⊥，所以以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出直线AG 的方向向量(2,1,1)AG =-与平面BDE 的法向量m ，由0AG n ⋅=证之即可；（2）应用等体积转换求体积即可，即13G DBE D BEG BEG V V S h --∆==⨯⋅求之.∵(2,1,1)AG =-，∴0AG n ⋅=，∴AG n ⊥， ∵AG ⊄平面BDE ，∴//AG 平面BDE ． （2）13G DBE D BEG BEG V V S h --∆==⨯⋅， ∵CD BC ⊥，面ABCD ⊥面BVEG ，而面ABCD 面BCEG BC =，∴CD ⊥平面BCEG ， ∴2h CD ==， ∴112122323G BDE V -=⨯⨯⨯⨯=． 考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.20. 设椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)且倾斜角为60︒的直线交椭圆E 于A ，B 两点，求AOB ∆的面积．【答案】(1) 22143x y +=；(2)15.【解析】试题分析：(1) 由题意12c a =，1a c -=，解出,a c 及b 的值即可；(2)先求出直线的方程2y =+，代入椭圆方程得21540x ++=，由弦长公式求出弦长AB ，再求出点O 到直线的距离即可求AOB ∆的面积.由点O 到直线AB 的距离1d ==，∴||2ABC AB S d ∆==． 考点：1.椭圆的定义与标准方程、几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属中档题.求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 21. 设k R ∈，函数()ln f x x kx =-．（1）若2k =，求曲线()y f x =在(1,2)P -处的切线方程； （2）若()f x 无零点，求实数k 的取值范围．【答案】(1) 10x y ++=；(2) 1(,)e+∞. 【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数得1'()kxf x x-=，当2k =时，'(1)1f =-，由点斜式写出切线方程即可；(2)当0k <时，由(1)()0kf f e ⋅<可知函数有零点，不符合题意；当0k =时，函数()ln f x x =有唯一零点1x =有唯一零点，不符合题意；当0k >时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可.在区间1(0,)k上，'()0f x >，函数()f x 是增函数； 在区间1(,)k+∞上，'()0f x <，函数()f x 是减函数；故在区间(0,)+∞上，()f x 的极大值为11()ln1ln 1f k kk=-=--， 由于()f x 无零点，须使1()ln 10f k k =--<，解得1k e >，故所求实数k 的取值范围是1(,)e+∞．考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与方程. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3241x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）M ，N 分别是曲线1C 和曲线2C 上的动点，求||MN 最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为43110x y +-=,2C 直角坐标方程：22(1)1x y +-=；（2）35. 【解析】试题解析：（1）1C ：32,21,34x t x y =-+⎧⎪--⎨=⎪-⎩∴2134x y --=-，整理得4833x y -=-+， ∴1C 的普通方程为43110x y +-=，曲线2C ：2sin ρθ=，22sin ρρθ=，2220x y y +-=，整理得22211x y y +-+=，∴2C 直角坐标方程：22(1)1x y +-=．（2）如图，圆心(0,1)O 到直线1C 的距离为d ，|311|855d -==， ∴min 3||5MN d r =-=． 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直角坐标与极坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.23. 选修4-5:不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =+-+．（1）若不等式()0f x ≥的解集为空集，求实数a 的取值范围； （2）若方程()f x x =有三个不同的解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[1,)+∞；（2）10a -<<. 【解析】试题分析：（1）（2）（2）在同一坐标系内作出函数()|1|||g x x x =+-图象和y x =的图象如下图所示，由题意可知，把函数()y g x =的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y x =的图象始终有3个交点，从而10a -<<．考点：1.绝对值的意义；2.分段函数的表示；3.函数与方程、不等式.。