2018-2019学年度高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平
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2.2.4 平面与平面平行的性质
【选题明细表】
知识点、方法 题号
面面平行的性质 1,2
面面平行的性质的应用 4,7,8,9,10
综合应用 3,5,6,11
基础巩固
1.下列命题中不正确的是( A )
(A)两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平
面β
(B)平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β
(C)一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行
(D)分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面
直线
解析:选项A中直线a可能与β平行,也可能在β内,故选项A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,所以选项C正确;依据平面与平面平行的性质定理可知,选项B,D也正确,故选A.
2.已知两条直线l,m,α,β是两个平面,下列命题正确的是( D )
(A)若α∥β,l∥α,则l∥β
(B)若l∥α,m∥α,则l∥m
(C)若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m
(D)若α∥β,l⊂α,则l∥β
解析:A,l可能在β内,B,l与m可能相交、平行、异面,C,与B一样的结论.D正确.
3.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则①a∥b;②a,b为异面直线;③a,b一定不相交;④a∥b或a,b异面,其中正确的是( C )
(A)①② (B)②③
(C)③④ (D)①②③④
4.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的( C )
(A)一个侧面平行
(B)底面平行
(C)仅一条棱平行
(D)某两条相对的棱都平行
解析:当平面α∥某一平面时,截面为三角形,故选项A,B错.
当平面α∥SA时,如图截面是四边形DEFG,又SA⊂平面SAB,
平面SAB∩α=DG, 所以SA∥DG,同理SA∥EF,
所以DG∥EF,同理当α∥BC时,GF∥DE,
因为截面是梯形,
所以四边形DEFG中仅有一组对边平行,
故α仅与一条棱平行.故选C.
5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中过BD1的平面,分别与AA1,CC1交于M,N,则四边形BND1M的形状为 .
解析:由题意知,
平面A1ABB1∥平面C1CDD1,
所以MB∥D1N,同理,D1M∥BN.
所以四边形BND1M是平行四边形.
答案:平行四边形
6.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过P,M,N的平面与棱CD交于Q,则PQ=
.
解析:由线面平行的性质知MN∥PQ∥AC,所以=,又AC=a,所以PQ=a.
答案:a
7.如图所示,已知正三棱柱(底面是正三角形,侧面是矩形)ABC-A′ B′C′中,D是AA′上的点,E是B′C′的中点,且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置,并给出证明.
解:D点为AA′的中点.证明如下:
如图,取BC的中点F,连接AF,EF,
设EF与BC′交于点O,连接DO,
易证A′E∥AF,A′E=AF.
易知四边形A′EFA为平行四边形.
因为A′E∥平面DBC′,A′E⊂平面A′EFA,
且平面DBC′∩平面A′EFA=DO,
所以A′E∥DO.因为EC′∥BF,则EC′=BF,所以EO=OF.
在平行四边形A′EFA中,因为O是EF的中点,
所以D点为AA′的中点.
能力提升
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是平面A1B1C1D1内一点,则BM∥平面ACD1,且tan∠DMD1的最大值为( D
)
(A) (B)1
(C)2 (D)
解析:如图所示,
正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C1,B1D1,交于点O1,
连接BD,交AC于点O,连接BO1,OD1,
则A1A∥C1C,且A1A=C1C,
所以四边形ACC1A1是平行四边形,
所以AC∥A1C1.
又AC⊂平面ACD1,且A1C1⊄平面ACD1,
所以A1C1∥平面ACD1;
同理BO1∥D1O,BO1∥平面ACD1,
所以平面ACD1∥平面BA1C1,
所以当M在直线A1C1上时,都满足BM∥ACD1;
所以tan∠DMD1===是最大值. 9.如图,已知平面α∥β∥γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C与D,E,F.已知AB=6,=,则AC=
.
解析:由题意可知=⇒AC=·AB=×6=15.
答案:15
10.如图,平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB与CD上,且=,求证:EF∥平面β.
证明:(1)若直线AB和CD共面,
因为α∥β,平面ABDC与α,β分别交于AC,BD两直线,
所以AC∥BD.
又因为=,
所以EF∥AC∥BD,所以EF∥平面β.
(2)若AB与CD异面,连接BC并在BC上取一点G,使得=,则在△BAC中,EG∥AC,AC⊂平面α,
所以EG∥α,又因为α∥β,
所以EG∥β.
同理可得GF∥BD,而BD⊂β.
所以GF∥β,
因为EG∩GF=G,所以平面EGF∥β.
又因为EF⊂平面EGF,所以EF∥β.
综合(1)(2)得EF∥平面β. 探究创新
11.如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求PD的长;
(3)若点P在α与β之间,试在(2)的条件下求CD的长.
(1)证明:因为PB∩PD=P,
所以直线PB和PD确定一个平面,记为γ,
则α∩γ=AC,β∩γ=BD.
又α∥β,
所以AC∥BD.
解:(2)由(1)得AC∥BD,
所以=,即=.
所以CD=(cm),
所以PD=PC+CD=(cm).
(3)同(1)得AC∥BD,
所以△PAC∽△PBD.
所以=,即=.
所以=,
所以PD=(cm).
所以CD=PC+PD=3+=(cm).
