2018-2019学年度高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3-2.3.4

2.3.3 直线与平面垂直的性质

2.3.4 平面与平面垂直的性质

【选题明细表】

知识点、方法 题号

线面垂直性质的理解 1,2,4,10

面面垂直性质的理解 3,4

线面垂直性质的应用 5,6,7,8

面面垂直性质的应用 9,11,12

基础巩固

1.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若α⊥β,则l∥m;③若l∥m,则α⊥β;④若l⊥m,则α⊥β,其中,正确命题的序号是( C )

(A)①② (B)③④

(C)①③ (D)②④

解析:当l⊥α,α∥β时,l⊥β,又m⊂β,所以l⊥m,故①正确;当α⊥β,l⊥α时,l∥β或l⊂β,又m⊂β,则l与m可能相交、平行、异面,故②不正确;因为l∥m,l⊥α,所以m⊥α,又m⊂β,所以α⊥β,故③正确;④显然不正确.

2.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个

命题:

①a∥b,a∥α⇒b∥α;

②a⊥b,a⊥α⇒b∥α;

③a∥α,β∥α⇒a∥β;

④a⊥α,β⊥α⇒a∥β.

其中不正确的有( D )

(A)1个 (B)2个

(C)3个 (D)4个

解析:①中b⊂α有可能成立,所以①不正确;②中b⊂α有可能成立,故②不正确;③中a⊂β有可能成立,故③不正确;④中a⊂β有可能成立,故④不正确.综上①②③④均不正确,故选D.

3.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,要使n⊥β,则应增加的条件是( C )

(A)n⊂α,且m∥n (B)n∥α

(C)n⊂α且n⊥m (D)n⊥α

解析:由面面垂直的性质定理可知选C.

4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )

(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行

(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行

(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线

(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面

解析:若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.

5.(2018·陕西西安一中月考)在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是( A )

(A)直角三角形 (B)等腰三角形

(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形

解析:过点A作AH⊥BD于点H,

由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,

则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,

所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB,

即△ABC为直角三角形.故选A.

6.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:

①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;②若l∥α,α∥β,则l⊂β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.

则正确命题的个数为

.

解析:①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l⊂β或l与β相交.

答案:1

7.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是

.

解析:因为平面PAC⊥平面PBC,

AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC.

所以AC⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.

所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).

答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)

8.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD.

(1)证明:平面PBD⊥平面PAC;

(2)设AP=1,AD=,∠CBA=60°,求A到平面PBC的距离.

(1)证明:因为四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,

所以BD⊥AC,

因为PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA,

因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC,

因为BD⊂平面PBD,

所以平面PBD⊥平面PAC. (2)解:因为AP=1,AD=,∠CBA=60°,

所以AC=,S△ABC=×()2=,

因为PC=PB==2,

所以S△PBC=××=,

设A到平面PBC的距离为h,

因为=,

所以×h×=××1,

解得h=.

所以A到平面PBC的距离为.

能力提升

9.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A-BCD,使平面ABD⊥平面BCD,则下列说法中不正确的是( D

)

(A)平面ACD⊥平面ABD (B)AB⊥CD

(C)平面ABC⊥平面ACD (D)AB∥平面ABC

解析:因为BD⊥CD,平面ABD⊥平面BCD,

所以CD⊥平面ABD,

因为CD⊂平面ACD,

所以平面ACD⊥平面ABD,故A正确;

因为平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,

所以AB⊥AD,

又CD⊥平面ABD,所以AB⊥CD,故B正确;

因为AB⊥AD,AB⊥CD,

所以AB⊥平面ACD,

又因为AB⊂平面ABC,

所以平面ABC⊥平面ACD,故C正确;

因为AB⊂平面ABC,所以AB∥平面ABC不成立,故D错误.故选D.

10.设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列 命题:

①若m∥α,m∥β,则α∥ β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;

③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.

上述命题中,其中假命题的序号是 .

解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确;

②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;

③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;

④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确.

答案:①③

11.如图,平行四边形ABCD中,BD=2,AB=2,AD=4,将△BCD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.

(1)求证:AB⊥DE;

(2)求三棱锥E-ABD的侧面积.

(1)证明:由题意AB=2,BD=2,AD=4,

因为AB2+BD2=AD2,

所以AB⊥BD.

因为平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,

所以AB⊥平面EBD.

因为DE⊆平面EBD,所以AB⊥DE.

(2)解:由(1)可知AB⊥BD,因为CD∥AB,

所以CD⊥BD,从而DE⊥BD.

在三角形DBE中,因为DB=2,DE=CD=AB=2.

所以S△BED=BD·DE=2.

又因为AB⊥平面EBD,EB⊂平面EBD,所以AB⊥BE.

因为BE=BC=AD=4,所以S△ABE=AB·BE=4.

又因为DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,

所以DE⊥平面ABD,

而AD⊂平面ABD,所以DE⊥AD.

所以S△ADE=AD·DE=4.

综上,三个面之和为三棱锥E-ABD的侧面积,

即为8+2.

探究创新

12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求证:AD⊥PB;

(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.

(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.

因为△PAD为等边三角形,

所以PG⊥AD.

在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.

又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.

因为PB⊂平面PGB,

所以AD⊥PB.

(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.

证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.

则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB.

在菱形ABCD中,GB∥DE,

所以可得DE∥平面PGB.

而EF⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,

所以平面DEF∥平面PGB.

由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,

所以平面PGB⊥平面ABCD,

所以平面DEF⊥平面ABCD.