2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案

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数学理

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．i是虚数单位，32i1i（ ）

Ａ．1i Ｂ． 1i Ｃ．1i Ｄ．1i

2．设变量xy，满足约束条件1133xyxyxy，，．≥≥则目标函数4zxy的最大值为（ ）

Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14

3．“2π3”是“πtan2cos2”的（ ）

Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件

Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

4．设双曲线22221(00)xyabab，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24yx的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）

Ａ．2211224xy Ｂ．2214896xy

Ｃ．222133xy Ｄ．22136xy

5．函数2log(42)(0)yxx的反函数是（ ）

Ａ．142(2)xxyx Ｂ．142(1)xxyx

Ｃ．242(2)xxyx Ｄ．242(1)xxyx

6．设ab，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）

Ａ．若ab，与所成的角相等，则ab∥

Ｂ．若ab，∥∥，∥，则ab∥

Ｃ．若abab，，∥，则∥ 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

----完整版学习资料分享---- Ｄ．若ab，，，则ab

7．在R上定义的函数()fx是偶函数，且()(2)fxfx，若()fx在区间[12]，上是减函数，则()fx（ ）

Ａ．在区间[21]，上是增函数，在区间[34]，上是增函数

Ｂ．在区间[21]，上是增函数，在区间[34]，上是减函数

Ｃ．在区间[21]，上是减函数，在区间[34]，上是增函数

Ｄ．在区间[21]，上是减函数，在区间[34]，上是减函数

8．设等差数列na的公差d不为0，19ad．若ka是1a与2ka的等比中项，则k（ ）

Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8

9．设abc，，均为正数，且122logaa，121log2bb，21log2cc．则（ ）

Ａ．abc Ｂ．cba Ｃ．cab Ｄ．bac

10．设两个向量22(2cos)，a和sin2mm，b，其中m，，为实数．若2ab，中央电视台m的取值范围是（ ）

Ａ． Ｂ．[48]， Ｃ． Ｄ．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答案前将密封线内的项目填写清楚．

2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．

3．本卷共12小题，共100分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．

11．若621xax的二项展开式中2x的系数为52，则a （用数字作答）． 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

----完整版学习资料分享---- 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．

13．设等差数列na的公差d是2，前n项的和为nS，则22limnnnanS ．

14．已知两圆2210xy和22(1)(3)20xy相交于AB，两点，则直线AB的方程是 ．

D是边BC15．如图，在ABC△中，12021BACABAC，，°，上一点，2DCBD，则ADBC· ．

16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数()2cos(sincos)1fxxxxxR，．

（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；

（Ⅱ）求函数()fx在区间π3π84，上的最小值和最大值．

18．（本小题满分12分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，60ABADACCDABC，，°，PAABBC，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明CDAE；

（Ⅱ）证明PD平面ABE；

（Ⅲ）求二面角APDC的大小．

ABDCA

B C D P

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20．（本小题满分12分）

已知函数2221()()1axafxxxR，其中aR．

（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程；

（Ⅱ）当0a时，求函数()fx的单调区间与极值．

21．（本小题满分14分）

在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；

（Ⅲ）证明存在kN，使得11nknkaaaa≤对任意nN均成立．

22．（本小题满分14分）

设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFA，，是椭圆上的一点，212AFFF，原点O到直线1AF的距离为113OF．

（Ⅰ）证明2ab；

（Ⅱ）设12QQ，为椭圆上的两个动点，12OQOQ，过原点O作直线12QQ的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

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2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ

6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．

11．2 12．14π 13．3

14．30xy 15．83 16．390

三、解答题

17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()yAx的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解：π()2cos(sincos)1sin2cos22sin24fxxxxxxx．

因此，函数()fx的最小正周期为π．

（Ⅱ）解法一：因为π()2sin24fxx在区间π3π88，上为增函数，在区间3π3π84，上为减函数，又π08f，3π28f，3π3πππ2sin2cos14244f， 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

----完整版学习资料分享---- 故函数()fx在区间π3π84，上的最大值为2，最小值为1．

解法二：作函数π()2sin24fxx在长度为一个周期的区间π9π84，上的图象如下：

间π3π84，上的最大值为由图象得函数()fx在区2，最小值为3π14f．

18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．由于事件AB，相互独立，且23241()2CPAC，24262()5CPBC．

故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255PABPAPB··．

（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件CD，互斥，

且21132422464()15CCCPCCC··，123422461()5CCPDCC·．

故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515PCDPCPD．

（Ⅲ）解：可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P，7(1)15P，

13224611(3)30CPCC·．从而3(2)1(0)(1)(3)10PPPP．

的分布列为 y

x O 2

2     