最优投资方案数学模型

项目投资的最优问题

摘要

本文主要讨论项目投资的最优化问题。首先对该问题进行分析，建立相应的数学模型，以使得投资获得的总利润达到最大值。这是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，以资金总额加上各种投资项目的限制为约束条件。再用lingo软件对问题进行求解，得到比较理想的结果。在本文最后我们对项目投资最优的建模方法做了评价 ，对其算法进行综合考虑并做了简要分析

关键字：线性规划 ；LINGO软件 ； 优化模型； 0-1规划

一、问题的重述与分析

随着市场经济的快速发展，投资各个项目进行盈利已成为许多公司取得利润的主要途径，但盈利的多少与项目的选择息息相关，所以有时需要对项目进行选择性投资。本题就是针对这样一个问题建立数学优化模型，用数学的眼光看待及解决这个问题。项目j所需投资额和预期收益分别为：aj、cj(j=1,2,...,n) （1）若选择项目1，就必须选择项目2，反之不一定；（2）项目3和4中至少选择一个；（3）项目5、6、7中恰好选择两个。

问题：在各项目只可进行单次投资（模型一）和可重复投资（模型二）两种情况下分别建立一个数学优化模型，如何选择投资项目使投资收益最大化。

二、模型假设

1.无交易费和投资费用等的费用开支；

2.投资期间市场发展基本稳定；

3.投资期间社会政策无较大变化；

4.公司的经济发展对投资无较大影响；

三、符号说明

ja:项目j所需投资金额；

cj:项目j的预期收益金额；

xj:投资项目的决策变量（xj=0,1）；

z:投资的最大收益

ija：项目j投资i次所需投资金额；

ijc：项目j投资i次的预期收益金额；

四、模型建立

（1）模型一：

各项目只可进行单次投资,通过问题分析，运用线性规划的方法建立模型一。

目标函数为：

).....4,3,2,1(max1njcxznjjj

注：jx =

1表示投资该项目，0表示不投资该项目（运用0-1规划）

约束条件：

Bxanjjj1

012xx（项目1和项目2的选择投资的限制）

143xx（项目3和项目4的选择投资的限制）

2765xxx（项目5、6、7的选择投资的限制）

（2）模型二：

各项目可重复投资, 通过问题分析，运用线性规划的方法建立模型二。

目标函数：

)...2.1,3,2,1(max11njicxznjijjni

约束条件：

10j1j2xx（项目1和项目2的选择投资的限制）

10j4j3xx（项目3和项目4的选择投资的限制）

2076j5jjxxx（项目5、6、7的选择投资的限制）

njjiijniBxa11

五、模型求解

（1）、对于模型一，假设资金额总数（单位：万元）为B为100，投资项目N=7，项目投资额与预期收益的金额如下表： 单位：万元

项目

出入 1 2 3 4 5 6 7

aj 10 15 20 14 26 15 19

Cj 3 4 5 3 6 7 8

运用longo软件求的最大的投资收益为：30万元；

所选择的投资项目与各项目的预期收益情况如下表：

单位：万元

1 2 3 4 6 7

aj 10 15 20 14 15 19

Cj 3 4 5 3 7 8

最大的投资收益：30万元

Lingo软件的编辑程序详见附录1。

（2）对于模型二，假设资金额总数（单位：万元）为B为100，投资项目N=7，每个项目最多可重复投资3次，项目投资额与预期收益的金额如下表：

1 2 3 4 5 6 7

j1a 10 15 20 14 26 15 19

2ja 20 30 40 28 52 30 38

j3a 30 45 60 42 78 45 57

j1c 3 4 5 3 6 7 8

2jc 6 8 10 6 12 14 16

j3c 9 12 15 9 18 21 24 项

目 出

入

项

目 出

入 运用lingo求解所得最大收益为40万元；Lingo软件的编辑程序详见附录2

所选择的投资项目与各项目的预期收益情况如下表： 单位：万元

1 2 3 4 5 6 7

次数 0 0 0 1 0 3 2

收益金额 0 0 0 3 0 21 16

投资预期收益总金额：40万元

六、模型的评价与推广

本文合理的运用了0-1线性规划及lingo软件等对其建立了优化模型并予以解决，总体结构比较严谨完整，内容详细明了，思路清晰，但是对lingo软件的程序编辑稍有欠缺，总体不够熟练；

从文中对该题的解法可推广到当今社会各种项目投资方面，如银行投资取得利息问题，各大企业项目投资等，为其资金分配，投资方案的选择提供方便。

附录：

附录1：

model:

max=x1*3+x2*4+x3*5+x4*3+x5*6+x6*7+x7*8;

x1*10+x2*15+x3*20+x4*14+x5*26+x6*15+x7*19<=100;

x2-x1>=0;

x3+x4>=1;

x5+x6+x7=2;

@bin(x1);

@bin(x2);

@bin(x3);

@bin(x4);

@bin(x5);

@bin(x6);

@bin(x7);

End

Global optimal solution found.

Objective value: 30.00000

Objective bound: 30.00000

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

X1 1.000000 -3.000000

X2 1.000000 -4.000000

X3 1.000000 -5.000000

X4 1.000000 -3.000000

X5 0.000000 -6.000000

X6 1.000000 -7.000000

X7 1.000000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 30.00000 1.000000

2 7.000000 0.000000

3 1.000000 0.000000

4 1.000000 0.000000

5 0.000000 0.000000

附录2：

model:

max=x11*3+x12*6+x13*9+x21*4+x22*8+x23*12+x31*5+x32*10+x33*15+x41*3+x42*6+x43*9+x51*6+x52*12+x53*18+x61*7+x62*14+x63*21+x71*8+x72*16+x73*24;

x11*10+x12*20+x13*30+x21*15+x22*30+x23*45+x31*20+x32*40+x33*60+x41*14+x42*28+x43*42+x51*26+x52*52+x53*78+x61*15+x62*30+x63*45+x71*19+x72*38+x73*57<=100;

(x21+x22+x23)-(x11+x12+x13)>=0;

x21+x22+x23>=0;

x21+x22+x23<=1;

0<=(x11+x12+x13);

x11+x12+x13<=1;

(x31+x32+x33)+(x41+x42+x43)>=1;

0<=(x31+x32+x33);

x31+x32+x33<=1;

0<=(x41+x42+x43);

x41+x42+x43<=1;

0<=(x51+x52+x53);

x51+x52+x53<=1;

0<=(x61+x62+x63);

x61+x62+x63<=1;

0<=(x71+x72+x73);

x71+x72+x73<=1;

(x51+x52+x53)+(x61+x62+x63)+(x71+x72+x73)=2;

@bin(x11);

@bin(x12);

@bin(x13);

@bin(x21);

@bin(x22);

@bin(x23);

@bin(x31);

@bin(x32);

@bin(x33);

@bin(x41);

@bin(x42);

@bin(x43);

@bin(x51);

@bin(x52);

@bin(x53);