最优投资组合模型

数理⾦融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风

险资产情形

最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形1.(1)什么是最⼩⽅差资产组合？

（2）写出标准的最⼩⽅差资产组合的数学模型。（即不存在⽆风险资产时期望收益率为p r 的模型）

（3）求解该模型，即求权重表达式及最⼩⽅差表达式

（4）已知市场上有两种证券，它们的收益率向量为12(,)T X X X =,假设X 服从联合正态分布，其期望收益率向量为()(1,2,0.5)TE X m ==,X 的 协⽅差矩阵为230

350001轾犏犏=犏犏臌

，设某投资者的投资选择组合为12(,)T w w w =

求由这两种证券组成的均值-⽅差最优资产组合（允许卖空）12(,)T w w w =与其对应的最⼩⽅差，并画出有效前沿图。2.解：(1)最⼩⽅差资产组合是指对确定的期望收益率⽔平有最⼩的⽅差之资产组合。 (2)对⼀定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最⼩的数学模型为：211min 22..()11

T

p

T p p T w w s t E X w r w

s m ==壮??

（3）应⽤标准的拉格朗⽇乘数法求解：令

其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满⾜的⼀阶条件为：121

2

10;

0;110;

T

T p T L

w w L

r w L

w l m l m l l ?=-=-???=-???

得最优解：*1

12(1)w l m l -=? ?

。

令11

1

,11,T

T

T a b m m m m ---===邋

1

211,T c ac b -=D =-?

则12,.p p r c ba r

b l l --=

=

D

D

最⼩⽅差资产组合⽅差为：2**21()T

p p c b w

w r c c

s ==

-+D ? 当p b r c =时，资产组合达到最优组合，最优组合*1

11w c

-= ?

， 最优组合⽅差为：*21p c

s =。

（4）由题意知，230

350001轾犏犏=犏犏臌

，所以，1

530350001-轾-犏犏=-犏犏臌?，()(1,2,0.5)T E X m == 11

第２４卷第１期　２０Ｏ２年３月　湖北大学学报（自然科学版）　】ｏｕ　ｎ吕１　ｏｆ　Ｈｕｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅ￣ｔｖ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎ∞Ｅｄｉｌｉ￣　Ⅷ２４　Ｎｏ．１　

．．２ＯＯ２　

文章编号：１０００—２ａ７５（２￣ｏ＇ｚ）ｏｌ—ｏｏ２５—０４　

允许卖空的最优资产组合投资模型中的几个定理　

刘　莉，周红霞，刘艳辉　

（湖北大学数学与计算机科学学院，湖北武汉，４３ｏｏ６２）　

摘要：研究了允许卖空的离散时间盎融市场，在每一周期的收益向量楣互独立（可不同分布）的条件下　得到关于ｌｏｇ一最优资产组台的几个性质．　关键词：宴空；收益；资产组台　中囤分类号：　３ｏ．９　文献标识码：Ａ　

考虑由ｍ种证券构成的允许卖空的金融市场．假设投资者有单位原始资金，不妨设为１．先考虑单　周期情形．设Ｘ＝（Ｘ。，Ｘ　，…，Ｘ　）　为收益向量，Ｔ表示转置．其中ｘ．表示把单位资金投资于第ｉ种证　

券，经一定时间后得到的收益．　的联合分布函数记为Ｆ（　）．记　＝（　。，　，…，　）　为资产组合向量．　

这里　，ｉ＝１，２，…，ｍ可以太于等于０，也可以小于０．若　＜０，即表明允许卖空．在文献［１］中，假设　

≥０，不允许卖空．但现实的证券市场中卖空操作大量存在，所以去掉　．≥０的限制是很有必要的．记　

全体资产组合向量集为Ｂ，即　Ｂ＝｛∞∈Ｒ　Ｉ　ｅｔｏＪ＝１，∞‘Ｘ＞０，ｅ＝（１，ｌ，…，１）　｝．　

令Ｗ（　，　）＝Ｅ｛ｌｏｇ（　Ｘ）｝＝Ｉ［１ｏｇ（　）］ｄＦ（ｘ）为倍率函数．对累计资金　‘Ｘ求取对数，在多周　

期情形中在数学上便于处理，而且对数是一种常用效用函数，说明投资者是厌恶风险者，所以投资者目　

标是使倍率函数Ｗ（　，Ｘ）达到最大值，称Ｗ‘（Ｘ）＝她Ｄ：　（　，Ｘ）为最优倍率函数．由文献［２］，倍率函　

数具有如下性质．　

引理ｌ对于给定的　，　（　，　）是Ｆ（　）的线性函数．对于给定的Ｆ（　），　（　，Ｘ）是　的凹函数．　（　）是Ｆ（　）的凸函数．　定理ｌ使倍率函数Ｗ（　，Ｘ）达到最大的１０ｇ一最优资产组合　满足以下条件：　

投资组合理论是指，若干种证券组成的投资组合，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其风险不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低非系统性风险。

该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。

马科维茨的均值一方差组合模型

该理论依据以下几个假设：

1、投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内的证券收益的概率分布。

2、投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。

3、投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。

4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。

根据以上假设，马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值－方差模型：

目标函数：minбrp2=∑∑xixjCov(ri-rj)

rp= ∑ xiri

限制条件： 1=∑Xi （允许卖空）

或 1=∑Xi 【xi>≥0】（不允许卖空）

其中rp为组合收益， ri为第i只股票的收益，xi、 xj为证券 i、j的投资比例，бrp2为组合投资方差(组合总风险)，Cov (ri 、rj ) 为两个证券之间的协方差。该模型为现代证券投资理论奠定了基础。上式表明，在限制条件下求解Xi 证券收益率使组合风险бrp 2最小，可通过朗格朗日目标函数求得。其经济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益，通过上式可确定投资者在每个投资项目（如股票）上的投资比例（项目资金分配），使其总投资风险最小。不同的期望收益就有不同的最小方差组合，这就构成了最小方差集合。 马克维兹的有效边界模型

马克维兹依据以下几个基本假设备建立了有效边界模型:

（l）投资者希望财富越多越好,且被投资效用为财富的增函数,但财富的边际效用是递减的。

（2）投资者事先知道投资报酬率分布为常态分布。

（3）投资者希望投资效用的期望值最大而该期望值是预期报酬率和风险的函数,因此影响投资决策的主要因素是预期报酬率和风险。

1 实验四：无风险资产与多种风险型资产最优投资组合的模型分析

一、实验目的

通过上机实验，使学生充分理解Excel软件系统管理和基本原理,掌握多资产投资组合优化的Excel应用。

二、预备知识

（一）相关的计算机知识： Windows操作系统的常用操作；数据库的基础知识；Excel软件的基本操作。

（二）实验理论预备知识

现代资产组合理论发端于Markowitz(1952)提出的关于投资组合的理论。该理论假设投资者只关心金融资产（组合）收益的均值（期望收益）和方差，在一定方差下追求尽可能高的期望收益，或者在一定的期望水平上尽可能降低投资收益的方差。投资者的效用是关于投资组合的期望回报率和方差的函数，理性的投资者通过选择有效地投资组合以实现期望效用最大。该理论第一次将统计学中期望与方差的概念引入投资组合的研究，提出用资产收益率的期望来衡量预期收益，用资产预期收益的标准差来度量风险的思想。

1、理论假设

（Ⅰ）市场上存在n≥2种风险资产，资产的收益率服从多元正态分布，允许卖空行为的存在。12(,,,)Tn,代表投资到这n种资产上的财富（投资资金）相对份额，它是n维列向量，有11nii，允许0i，即卖空不受限制。

(Ⅱ) 用e表示所有由n种风险资产的期望收益率组成的列向量。

12(,,,)TneRRRR （1）

pr表示资产组合的收益率，)(prE和)(pr分别为资产组合p的期望收益率和收益率标准差。

niiiTperE1)( (2)

(Ⅲ)假设n种资产的收益是非共线性的(其经济意义为：没有任何一种资产的期望收益率可以通过其他资产的线性组合来得到，它们的期望收益是线性独立的。)。这样它们的方差-协方差矩阵可以表示为: 2 nnnnnnQ212222111211 （3）